ECUACÓN DE SEGUNDO GRADO

ECUACÓN DE SEGUNDO GRADO
La ecuación de segundo grado se resuelve aplicando la formula general
Introducción histórica
Desde hace por lo menos 3.500 años, se resuelven problemas que dan
lugar a ecuaciones. En los escritos de los antiguos babilonios y egipcios, se han
descifrado tales problemas y la forma de resolverlos. Algunas de las antiguas
tablillas contienen problemas de tipo algebraico y geométrico, pero las soluciones
no utilizan nociones de la geometría.Un antiguo pergamino de los babilonios
contiene la solución de la ecuación: x2-x = 870
"Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x , y cuádrese. Entonces, súmese
1/4 a 870, para obtener 3.481/4. Ahora, tómese la raíz cuadrada de 3.481/4
para obtener 59/2. Al número obtenido, súmese la mitad de 1 que es el coeficiente
de x. El resultado obtenido, 30, es una solución de la ecuación".
Si se utilizan símbolos en lugar de palabras, se dan los siguientes pasos:
Del ejemplo mencionado anteriormente, se deduce que el método empleado
para la solución era el de completación de cuadrados, el cual se sigue
empleando y enseñando actualmente en la escuela secundaria.
A continuación, se describen los resultados teóricos más importantes relacionados
con las ecuaciones de segundo grado.
Definiciones.
i) La ecuación:
, donde a, b y c son números reales y a
¹ 0,
se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado en la variable x .
ii) Si b y c son distintos de cero, la ecuación se llama completa o
afectada; incompleta, en caso contrario.
Así, las ecuaciones:
mientras que las ecuaciones:
y
son cuadráticas completas,
y
son cuadráticas incompletas.
iii) En la ecuación cuadrática:
, la cantidad:
es
llamada discriminante de la ecuación y su signo determina la naturaleza de las
raíces, como lo afirma el siguiente teorema.
Teorema.
Considere la ecuación cuadrática:
;a
0.
Si
, entonces, las raíces son reales y diferentes.
Si
, entonces, las raíces son reales e iguales.
Si
, entonces, las raíces son complejas conjugadas.
3.4.1 Solución de ecuaciones cuadráticas.
Para resolver la ecuación cuadrática,
siguientes métodos:
puede usarse cualquiera de los
Método 1. Solución por factorización .
Como toda ecuación cuadrática es equivalente a una ecuación en la cual uno de
sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces,
cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se procede así:
Si ,
, entonces, la ecuación
equivalente a:
(1).
es
La ecuación (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los números
reales:
.
Método 2. Solución por completación de cuadrados.
Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una
ecuación cuadrática.
Se supone que la ecuación:
ecuación cuadrática:
,con a
0 ,es equivalente a la
(1).
Sumando
en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene:
ó
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene
sentido solo si
), se obtiene:
,de donde
(2).
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación
cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación :
.
Metodo 3 solucion por la formula general
Usando el método de completación de cuadrados, demuestre que la solución de la
ecuación cuadrática :
, con a
0 viene dada por :
(1).
Solución :
La ecuación:
Sumando
, con a
0 ,es equivalente a la ecuación :
,en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene:
O equivalentemente,
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad(si b 2-4ac >=
0), se obtiene:
De donde :
(2)
La fórmula (2) se conoce como :fórmula general para resolver la ecuación
cuadrática :
; con a
0.
3.5 FACTORIZACION DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS
Use el teorema del factor para demostrar que:
a) Si n N ,entonces, (x - y ) es factor de
.
b) Si n es natural par, entonces, (x + y ) es factor de
.
c) Si n es natural impar, entonces, (x + y ) es factor de
Solución:
Considere el polinomio
a) Como
.
, se sigue, entonces, por el teorema del factor que
(x - y ) es factor de
.
b) Si n es natural par, entonces,
el teorema del factor que
con k N . Así que
Como
, se sigue, entonces, por
(x -(- y) ) = (x + y ) es factor de
c) Considere el polinomio
Entonces,
.
con n impar.
. Como n esimpar,
y, por lo tanto,
. En consecuencia , (x -(- y) ) = (x + y ) es factor de
.
Del ejemplo anterior y usando la regla de Ruffini, se pueden deducir las siguientes
fórmulas que permiten factorizar la suma y la diferencia de potencias n-simas.
si n E N,
(1)
si n natural par,
si n natural impar,
Casos Particulares: Sumas y Diferencias de Cubos
Cuando n = 2, se obtiene de la formula (2):
x2-y2=(x-y)(x+y) (4)
La Fórmula (4) se usa para factorizar cualquier diferencia de cuadrados.
(2)
(3)