Figura 15-2 - fisicageneral3

CAPITULO 15
LA ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER II
15-1 EL HAMILTONIANO
A manera de recapitulación, recordemos que llegamos a una forma de la ecuación de
Schrodinger, ecuación (14-16), que no contenía explícitamente una dependencia del
tiempo.
h 2 d 2
 V  E
2m dx2

Donde  =  (x) es la función de onda, V = V(x) es la energía potencial, y E es la
energía total. La ecuación es aplicable solamente a campos conservativos, o sea,
aquellos en que la energía total.
E
1 2
mv  V  constante
2
Es una constante del movimiento. Cuando la energía cinética se expresa en términos
del momento p, y no en función de la velocidad v, la ecuación (15-2) se puede escribir.
p2
H
 V  E  constante
2m
En la mecánica clásica la función H(p.x) es llamada el Hamiltoniano del sistema. Ya
que en la ecuación (15-1) sólo aparecen funciones de la posición, es llamada forma de
“estado estacionario” o independiente del tiempo de la ecuación de onda de
Schrodinger. Trae a la mente la visión de una onda estacionaria de alguna especie.
Si, para un caso particular, esta ecuación tienen una solución  =  (x), podemos
sospechar que la onda es reflejada adelante y hacia atrás, de alguna forma, para
producir una onda estacionaria. La partícula (que, después de todo, es descrita por la
función) debe estar rebotando elásticamente entre dos paredes.
Es posible, desde luego, tener un sistema de ondas estacionarias en que la amplitud
decaiga con el tiempo. En tales casos es mejor usar la ecuación general (14-7)

h 2  2 ( x, t )
( x, t )
 V ( x, t )  ih
E
2
2m x
t
Pero con la función de onda se parada como en la ecuación (14-13)
( x, t )   ( x)e iEt / h
Si la partícula se mueve en un campo conservativo de fuerzas, entonces la función del
potencial V = V(x) es independiente del tiempo, la energía total H = (p2/2m) + V 0 E es
una constante, que puede tomarse arbitrariamente como cero. La frecuencia y
longitud de onda de la onda asociada están dadas por las ecuaciones v = E/h y  =
h/p.
15-2 OPERADORES
Las formas de la ecuación de onda que hemos descrito hasta ahora pueden ser
transformadas convenientemente a la forma de operadores. Un operador, en general
es una expresión que actúa sobre una función dentro de cierto dominio para producir
nuevos valores que ocupen un rango dado. Por ejemplo, el número 2, actuando como
multiplicador, transforma todo valor en el dominio de una función en dos veces ese
valor en el rango. Entonces resulta correcto decir que 2 es un operador aritmético. El
operador diferencial d/dx aplicado a una función f(x) en el sentido usual transforma
todo valor de f(x) en el valor de su derivada (d/dx) f(x) = f`(x). Ahora, inspeccionando
la ecuación independiente del tiempo (15-1) vemos que podemos escribir en la forma.
 h2 d 2

 
 V   E
2
 2m dx

La expresión completa dentro del paréntesis del miembro del lado izquierdo se puede
definir como un operador.
h2 d 2
H 
V
2m dx2
Llamado el operador Hamiltoniano debido a su similitud con la función Hamiltoniana de
la mecánica clásica (vers ecuación (15-3). Entonces la ecuación independiente del
tiempo (15-6) se escribe.
H  E
La función  no se puede cancelar de esta ecuación, ya que H no es un multiplicador
escalar simple, mientras que E es el valor de una energía. La ecuación (15-8) se debe
interpretar en la forma: (operador H) actuando sobre la función  = (energía total)
multiplicando la función .
En el caso tridimensional, la ecuación (15-1) puede escribirse en la forma.

h 2   2  2  2



2m  x 2 y 2 z 2

  V  E

Donde  = (x, y, z), V = (x, y, z), y el operador Hamiltoniano tridimensional es
H 
h2   2
2
2 
 2  2  2   V
2m  x
y
z 
Comparemos ahora las ecuaciones (15-3) (15-6). Son las mismas siempre y cuando
ambos lados de la ecuación (15-3) sean interpretados como operadores, operando
cada uno sobre la función de onda  -y si el momento p, como a parece en la ecuación
(15-3), se define como el operador.
P
h d
i dx
En vista del operador tridimensional más general H, dado en la ecuación (15-10),
debemos usar un operador de derivada parcial para representar una componente
particular del momento p, y escribir.
h 
i x
Px 
Las otras dos componentes del operador del momento son:
Py 
h 
i x
y
Px 
h 
i z
Regresando por ahora a la ecuación de Schroding (15-4), unidimensional, dependiente
del tiempo, podemos, por medio de simples manipulaciones algebraicas, escribir.

h2  2
h 
 V 
2
2m x
i t
 h2  2

h 
 
 V  
2
i t
 2m x

Pero H = -h2/2m(2/2x)+V es el operador Hamiltoniano, por lo tanto es una forma más
abreviada la ecuación de Schodinger dependiente del tiempo se puede escribir.
H 
h 
i t
La comparación de las ecuaciones (15-8) y (15-15) sugiere que ahora podemos definir
un operador de energía en la forma.
E
h 
i t
Así que en forma de operador, la ecuación de Schodinger dependiente del tiempo se
puede escribir como
H  E
Muy semejante a la forma independiente del tiempo, ecuación (15-8)
De nuevo, la función  (x, t) no puede cancelarse en la ecuación (15-17), ya que el
significado de la ecuación es
(operador H) actuando sobre la función  = operador E actuando sobre la función .
Donde ni H ni E son multiplicadores escalares simples.
Si la ecuación general (15-15) describe una partícula libre que no experimenta fuerzas
en ninguna parte, entonces la energía total E puede tener cualquier valor. Esto da por
resultado un mínimo infinito de soluciones posibles  (x, y, z, t) de la ecuación de
onda. Una situación física independiente del tiempo puede ser representada por una
partícula libre contenida en algún recipiente finito de paredes rígidas; entonces
debemos usar la ecuación (15-8) H  = E, donde (x, y, z) es una función que
depende solamente de la posición. En este caso, sólo se permiten ciertos valores
particulares  (x, y, z) de la ecuación de onda.
Estas son simbolizadas por sistemas de ondas estacionarias, en las que cada longitud
de onda y frecuencia corresponden a una diferente solución t.
Las soluciones permitidas t son llamadas funciones propias o características, y las
energías correspondientes son llamadas energías propias o características.
15-2(a) VALORES PROMEDIO O ESPERADOS
Se ha dicho que la ecuación de Schrodinger es, en la mecánica cuántica, lo que la
segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Una de las diferencias entre las dos
mecánicas, es que en la clásica sí podemos conocer con exactitud y simultáneamente
la posición y el momento de una partícula, mientras que en la cuántica el principio de
incertidumbre límite nuestro conocimiento de cantidades como éstas a las que hemos
llamado variables conjugadas.
La mecánica cuántica sólo nos permite conocer la función  * , la posición y el
momento más probables de una partícula en un cierto instante, o bien, cuáles son los
valores más probables de cualesquier par de variables conjugadas en un instante
dado. Esto nos obliga a buscar los valores más probables de las cantidades
dinámicas observables con las que tratamos usualmente, valores que coinciden con
los que en matemáticas conocemos como valores promedio o esperados. También es
posible encontrar los valores esperados de los operadores correspondientes a algunas
cantidades dinámicas.
Si hacemos esto y luego sustituimos estos valores, en lugar de las cantidades
correspondientes en las ecuaciones de la mecánica clásica, estamos efectuando una
transmisión de la mecánica clásica a la cuántica y empleando tácitamente el teorema
de Ehrenfest, el cual nos permite hacer esto, sirviendo como eslabón entre las dos
mecánicas, y constituyendo así, una aplicación más del principio de correspondencia.
La fórmula clave para obtener los valores esperados de cualquier cantidad dinámica o
de su operador correspondiente es.
 A  A    * Adv
Donde A es una cantidad u operador arbitrario, y dv cambia a dx en caso de tratarse
de una densidad por unidad de longitud. El orden de los térmicos en el integrando
debe ser el que aparece en la ecuación, si se está tratando de obtener el valor
esperado de un operador diferencial, aunque puede alterarse si la cantidad cuyo
promedio se busca no tiene operadores diferenciales. El producto  *  actúa como
una función de distribución o factor de peso siempre y cuando  esté normaliza. O
sea, si se cumple la ecuación.


  

 * dv  1
  
Por ejemplo, el valor esperado de la posición de una partícula descrita por la función
de onda  (x, t), en una dimensión, es.

x    * xdx

Si el momento de esta partícula es px, su valor esperado será, usando la ecuación (1512)
h 

*
dx



i
x

Px    * Px dx 

Si además esta partícula está describiendo un movimiento armónico simple, el valor
esperado de su energía potencial V(x, t) puede escribirse.

V ( x, t )   v( x, t ) * dx

Ya que V(x,t) es una cantidad algebraica
EJEMPLO 15-1: Calcule el valor esperado de la energía cinética de una partícula que
se encuentra dentro de una caja de longitud L, cuya función de onda es:
 n ( x)  i
2
nx
sen
L
L
SOLUCION: Sabemos que la energía cinética se puede expresar en la forma.
2
p
K x
2m
Ya que aquí interviene p2x necesitamos buscar su operador correspondiente. De la
ecuación (15-12)
Px =
h 
i x
Por lo tanto:
P 
2
x
2
h  
2 


h

x 2
 i x 
2
Es el operador correspondiente a p2x. El valor esperado de la energía cinética, de
acuerdo con la ecuación (15-1)a se puede poner en la forma.
L
 h2 2 
dx
K    *  
2 
0
 2m x 
Sustituyendo los valores de * y , obtenemos
K 
h2 L
2m 0
2
x 2
K 

2
nx 
 i

sen

L
L 

 2
nx 
i

 L sen L 


n 2 2 h 2
m L3
nh 2

m L2

L
0
sen 2
nx
dx
L
2n
 n 1
 2 L  4 sen L

L

x
0
mh 2 n
m L2 2
Por lo tanto
n 2 2 h 2
K
.
2m L2
Ya que K depende de n, y n solo puede tomar los valores 1, 2, 3,… Concluimos que
la energía cinética está cuantetizada en valores discretos.
EJEMPLO 15-2: Derive con respecto al tiempo el valor esperado del momento, y use
la ecuación de Schrodinger para encontrar la ecuación cuántica correspondiente a la
segunda ley de Newton.
SOLUCION: Derivando la ecuación (15-3a)
d px h   
 
 
*

dx
dt
i  t 
x 

h   * 
h 

dx    *

i  t x
i 
xt
De la ecuación (1-7) obtenemos
 ih  2  i

 V
t
2m x 2 h
El conjugado completo de esta ecuación es
 *
ih  2  * i

 V *
t
2m x 2
h
Sustituyendo en la ecuación (15-5ª) obtenemos
d p x h 2    2  * 
 3 

dx



*
dt
2m   x 2 x
x 3 
 



  V *
  * (V) dx

x
x


Es sencillo comprobar que esta ecuación puede tomar la forma.
d px
h 2     * 
2 

dx



*
dt
2m  x  x x
x 2 

 *


V
dx
x
h 2   * 
2 


*


2m  x x
x 2 

 *

V
dx
x
Pero, según nuestro requisito número 5
lim  ( x, t )  0
x
Por lo tanto, la cantidad entre paréntesis se desvanece, y de acuerdo con nuestra
definición (15-1a) la integral del lado derecho es igual al valor esperado de la derivada
espacial de la energía potencial, y ésta es igual al valor esperado de la fuerza, así que
d px
V

F
dt
x
que es una de las formas del teorema de Ehrenfest.
15-3 EL POZO POTENCIAL
Como una aplicación sencilla de la ecuación de Schrodinger de estado estacionario,
consideremos el caso de una partícula atrapada en un pozo de potencial infinitamente
profundo. Imagine que este pozo tiene un potencial cero a lo largo de un intervalo
finito del eje x y un potencial infinito en todo el resto del eje (ver figura 15-1)- Podemos
visualizar esta situación como describiendo una partícula que se mueve a lo largo del
eje x dentro de una caja con paredes infinitamente duras y perfectamente rígidas en
las cuales la partícula rebota elásticamente.
En términos de las condiciones fronterizas impuestas por el problema, la función del
potencial es
V=
V=
V=
0


para
para
para
0
x
x
<x


<
0
L
L
Figura 15-1
Una partícula de masa m está restringida a moverse en una dirección en un pozo de
potencial. La partícula efectúa choques perfectamente elásticos contra las paredes del
potencial infinito.
En la forma en que se ha planteado el problema, hay certidumbre de que la partícula
esté dentro de la caja, y no existe ninguna posibilidad de que se encuentre afuera.
Esto fija las condiciones sobre la función de onda
x  0
x  L
 ( x)  0 para
L
  *dx  1
0
No se sabe con exactitud donde se halla la partícula en cualquier momento dentro de
la caja, así que no se usarán datos dependientes del tiempo. Recordando la ecuación
de Schrodinger (15-1) independiente del tiempo, y haciendo V = O de acuerdo con las
condiciones (15-18) obtenemos
h2 d 2

 x   E x 
2m dx2
que se puede escribir en la forma
d 2 x 
 x 2  0
2
dx
donde
2 
2mE
h2
La ecuación (15-20) describe la situación de la partícula dentro de la caja. Esta
ecuación tiene la solución
 x  Aeix  Beix
que representa la superposición de dos ondas en la caja, cada una viajando en una
dirección diferente a lo largo del eje x. Esta es justamente la condición necesaria para
que haya ondas estacionarias si se toma junto con las condiciones fronterizas
apropiadas (paredes reflectoras). Es útil verificar que la ecuación (15-22) es una
solución de la ecuación (15-20) de Schrodinger.
Las condiciones fronterizas dadas por la ecuación (15-19), se pueden usar ahora para
evaluar las constantes A y B de la ecuación (15-22). Para (x) = O en x = O, la
ecuación toma la forma
0 = A+B
Y
A=-B
Entonces
( x)  A(eix  eix )
O por la ecuación de Euler,
( x)  2iAsenx
La segunda condición fronteriza, (x) = 0 para x = L, da
Ó, ya que A  0
Ó
 L = n
Y
x
n
para n = 1, 2, 3, …
L
Entonces, la energía dada por la ecuación (15-21) toma la siguiente forma, para cada
valor de n
En 
h 2 2 h 2 2 h 2

2m
2m L2
n= 1, 2, 3
La partícula sólo puede tener aquellos valores de la energía dados por la ecuación
(15-23). Expresamos esto diciendo que la energía está cuantizada en valores o niveles
discretos y que la partícula puede estar en cualquiera de los estados discretos
disponibles a ella. Desde luego, sólo puede tomar un valor a la vez en cualquier
tiempo dado. Para tomar otro valor de la energía, debe recibir o perder algo de su
energía. En cualquier caso la cantidad recibida o perdida debe ser justamente la
suficiente para colocar a la partícula en otro de los estados posibles.
Note también que la partícula no puede tener una energía igual a cero.
mínimo posible dado por la ecuación (15-23) se obtiene cuando n = 1, 0
El valor
E1 
 2h2
2m L
Y los otros valores de la energía son 4E1, 9E1 16 E1,… correspondientes a n= 2,3,4,,,
Sin embargo, para que este valor mínimo E1 sea apreciablemente diferente de cero, el
producto mL2 debe ser pequeño y del orden de h2. Ya que h = 6.625 x 10-34 J-seg, la
magnitud del denominador debe ser muy pequeña. El valor E1 dado por la ecuación
(15-24) es ligado energía del punto cero. En otras palabras la partícula no puede tener
una energía igual a cero. Esta conclusión contradice a la mecánica clásica porque es
un resultado del principio de incertidumbre. Es posible ver claramente la razón: ya que
la partícula está limitada por un potencial infinito, su posición es conocida dentro de
una incertidumbre x  L; por lo tanto, de acuerdo con el principio de Heisenberg, la
incertidumbre en su momento deber ser p  h/L. De acuerdo con este principio la
energía nunca puede ser cero, porque esto implicaría que p = 0.
El momento lineal conjugado de cualquiera de los valores permitidos En se obtiene
escribiendo.
n 2 2 h 2 p n

2m
2m L2
2
En 
pn 
nh
L
n = 1,2,3
Y así el momento también está cuantizado en valores discretos permitidos. Se ve, de
nuevo, que las dimensiones de la caja deben ser muy pequeñas. El estudiante debe
verificar que las dimensiones del lado derecho de la ecuación (15-23) son las de
energía, y las del lado derecho de la ecuación (15-25) son las del momento lineal.
La expresión para la función de onda  es
 n 
v  2iAsen
x
 L 
Así que
 n 
x
 L 
 *  2iAsen
Y la densidad de probabilidad es
 n 
x
 L 
 *  4 A 2 sen 2 
Usando la condición de normalización dada por la ecuación (14-5), que nos expresa la
certidumbre de que la partícula esté en alguna parte dentro de la caja, escribimos.
L
  * ( x)dx  
0
L
0
 n 
4A 2 sen 2 
x dx  1
 L 
La integración da
2
L
 n 
4 A 2  sen 
x dx
0
 L 
L

L
 2n  
 2 A x 
sen
x   2 A 2 L
2n
 L  0

2
Ya que esto debe ser igual a 1, la evaluación de la constante da A = 1 2L , y entonces
las funciones características normalizadas son:
 nx 
sen

2L
 L 
2
 n ( x)  i
ó
2  nx 
sen

l
 L 
 n ( x)  i
Así para el caso de nuestra partícula en un pozo de potencial infinitamente profundo
(en una caja con paredes perfectamente rígidas y reflectoras), la probabilidad de
encontrarla dentro del pequeño intervalo dado por x1 = a y x2 = b, donde el intervalo
yace completamente dentro de la caja, es
b
b
a
a
  *dx  
2 2  n 
sen 
x dx
L
 L 
Los resultados del problema de la partícula en una caja se resumen en la tabla 15-1
La figura 15-2 muestra algunas gráficas de la densidad de probabilidad (la probabilidad
por unidad de longitud), para n = 1,2,3,… para la función característica con n = 1, la
probabilidad de encontrar ala partícula en x = L/2 es mayor que para cualquier otra
posición. Note, sin embargo, que para la función característica con n = 2, la
probabilidad de encontrar a la partícula en x = L/2 es cero. Para la energía E2, es
imposible para la partícula estar en x = L/2.
EJEMPLO 15-3N: El siguiente programa de computadora, escrito en lenguaje BASIC,
está diseñado.
n
Función
características,  n
1
i
2
3
Densidad de
probabilidad
Valor característico, En
2
x
sen 2
L
L
 2h2
2
2x
sen 2
L
L
4 2 h 2
2m L2
 *
2
x
sen
L
L
2
2x
i
sen
L
L
2
3x
sen 2
L
L
2
3x
i
sen
L
L
4
i
2
4x
sen
L
L
n
2
nx
i
sen
L
L
2m L2
9 2 h 2
2m L2
2
4x
sen 2
L
L
16 2 h 2
2m L2
2
nx
sen 2
L
L
n 2 2 h 2
2m L2
Figura 15-2
Densidades de probabilidad para las tres primeras funciones de onda de una partícula
en una caja rígida.
Para evaluar por la regla de Simpson * la integral aproximada por

b
0
f ( x)dx 
h
 f ( a )  4 f ( a  h)
3
 2 f (a  2h)  ....
 4 f a  (2n  1)h  f (b)
Este programa se usará para evaluar la integral de la ecuación (15-28), la función f(x)
se identifica en el programa como FNF(X). Las entradas incunclyen la anchura del
pozo (que en realidad está normalizada de forma que cualquier valor sirve), el número
cuántico asociado con la energía de la partícula y los límites de integración. En la
declaración 30, bajo A y B están las fracciones de la anchura total del pozo. Por
ejemplo, para, para integrar desde XA = 0.49L a 0.51L, A y B entran como la
probabilidad de encontrar la partícula dentro de los límites y la probabilidad de
encontrar la partícula dentro de los límites y la probabilidad por unidad de longitud para
varios numeros cuánticos.
El programa BASIC se da en la página siguiente:
TABLA 15-2
Número de cuántico
N
Probabilidad por
unidad de longitud
1
2
3
4
25
26
99
100
1.9993
0.0026
1.9941
0.0105
1.9836
1.6366
0.3891
0.9899
1.0000
La tabla 15-2 muestra las probabilidades por unidad de longitud para el intervalo que
va de xA = 0.49 L a xB = 0.51L, como funciones de los números cuánticos. Compare
estos valores con la figura 15-2
15-4 SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
En esta sección abordaremos la solución de varias ecuaciones diferenciales que
normalmente constituyen una fuente de problemas para el estudiante medio, el cual
rara vez se molesta en verificar la solución paso a paso. La primera de éstas es la
ecuación (15-20) que ya hemos establecido anteriormente.
d 2 ( x)
 a 2  0
dx
Donde
a2 
2mE
h2
Suponemos una solución de la forma
  e yx
Diferenciando obtenemos
 ´ e yx
y
 ´  ´2 e yx
Donde las primeras indican diferenciación con respecto a x. Sustituyendo en (15-29)
obtenemos
 2 ex   2 ex  0
De donde
( 2   2 )ex  0
Según el método usual la ecuación (15-31) será una solución de la ecuación (15-29) si
 es una solución de la ecuación cuadrática.
 2  20
Esta ecuación es conocida como ecuación característica o auxiliar de (15-29). Sus
raíces son
  i
Sustituyendo estas dos raíces en la ecuación (15-31) obtenemos las funciones
 ´ eiax
y
 2  e 1ax
Que son soluciones de la ecuación (15-29). La solución general será
 ( x)  Aeix  Be1x
Que coincide con la que antes llamamos ecuación (15-22). Resulta útil poner esta
ecuación en otras formas que se utilizan frecuentemente. Para ella notamos que las
raíces de la ecuación dadas por (15-33) son complejas y que por lo tanto podemos
suponer que son de la forma general.
sen 
a
a b
2
cos 
y
2
b
a  b2
2
Ahora podemos poner  en la forma

  2 2  b 2 
a
2
2
 a b
cosx 

senx   C ( sen cosx
a2  b2

b
 cossenx)  Csen(ax   )
Que es otra de las formas más comunes de la solución general. Aquí.
C  a2  b2
y
tan 
a
A B

b i ( A  B)
Otra ecuación diferencial que aparece muy a menudo, y que veremos en el próximo
capítulo en relación con el efecto túnel, es la siguiente:
d 2
 a 2  0
2
dx
Procediendo como al principio de esta sección, encontramos que para este caso
nuestra ecuación auxiliar.
 2  2  0
De donde
  
De aquí que nuestra solución general tome ahora la forma.
  Aex  Bex
Sentimos que la molestia de encontrar estas soluciones vale la pena, pues en esta
forma el estudiante entra con mucha mayor confianza a los capítulos posteriores.
15-5 LA PARTICULA DE UNA CAJA TRIDIMENSIONAL
En esta sección estableceremos la ecuación de Schorodinger para una partícula
atrapada en una caja tridimensional de lados a, b, y c, y estudiaremos la degeneración
de los niveles de energía. Ya que nuestra partícula esta imposibilitada para salir de la
caja, las condiciones fronterizas de la energía potencial son:
0 para0  x  a,0  y  b,0  z  c
V ( x, y, z)  
fueradelacaja
Esto nos da las condiciones de la función de onda.
 n ( x, y, z)  0
 x  oç0, y  0, z  0
 x  a, y  b, z  c
Para 
Además
a
b
c
0
0
0
  
 *dv  1
Resulta lógico utilizar en este caso la ecuación (15-29) en la forma
 2 n  2 n  2 n


 a 2 n  0
2
2
2

y
z
Donde
2 
2mE
h2
Intentaremos resolver esta ecuación usando el método de separación de variables, así
que supondremos una solución de la forma.
 n ( x, y, z)   ( x) ( y) ( z)
Tomando las derivadas de la ecuación (15-43) indicadas por la ecuación (15-41)
 "n ( x)   ( y) ( z) " ( x)
 "n ( y)   ( x) ( z) " ( y)
 "n ( z)   ( x) ( y) " ( z)
Donde las primas indican la derivada de la función respectiva con respecto a su
argumento que está entre paréntesis, es decir.
 "n ( x) 
 2 n
x 2
Etc. Sustituyendo las ecuaciones (15-44) en la ecuación (15-41) y multiplicando por
1
n
Obtenemos

1
 ( x) ( y ) ( z )
 " ( x)  " ( y )  " ( z )


 a2  0
 ( x)  ( y )  ( z )
Según la base del método de separación de variables, cada una de las fracciones de
la ecuación anterior es función de solamente una variable y la suma de los tres es
igual al negativo de la constante de separación. Podemos darle a esta constante la
forma que más nos convenga; en este caso nos conviene que sea
a2  a2x  a2 y  a2z 
2mE
h2
Esto nos permite igualar separadamente cada fracción de la ecuación (15-45) al
negativo de su constante correspondiente en la misma dirección; en esta forma
obtenemos las siguientes ecuaciones
 " ( x)
 a x2
 ( x)
 " ( y)
 a y2
 ( y)
 "( z)
 a z2
 ( z)
Cada una de estas ecuaciones puede ser resuelta por el método empleado en la
sección 15-3. Por ejemplo la solución de la primera es
 ( x)  2iAsenax X
 C1 senax X
La aplicación de las condiciones fronterizas correspondientes a la dirección x nos da
ax 
n x
a
Con esto, nuestra ecuación anterior toma la forma
 ( x)  C1 sen 
n x x
a
De igual modo obtenemos la solución de las otras dos ecuaciones y si las sustituimos
en la ecuación (15-43) obtenemos
 n ( x, y, z ) 
Ksen
n y y
n xx
n z
sen
sen z
a
b
c
Donde K = C1 C2 C3, esta ecuación constituye la solución general de la ecuación (1541), que andábamos buscando. Además, debido a la forma que tiene y a que está
implícitamente constituida por soluciones de la forma dada por la ecuación (15-22), la
cual nos representa la superposición de dos ondas viajando en direcciones opuestas a
lo largo del mismo eje, y ya que en esta ecuación la variables espaciales están
separadas del tiempo, la que nos da por resultado una amplitud variable en el interior
de la caja, pero fija para cada punto, esta ecuación nos representa la amplitud de las
ondas estacionarias tridimensionales del interior de la caja.
Los valores permitidos de la energía están dados por:
En 
1 2
p n  ( p x2  p y2  p z2 )
2m
Ya que V = 0 en el interior de la caja.
Así como obtuvimos la ecuación (15-25) para el caso de una dimensión se pueden
obtener otras dos ecuaciones semejantes para el caso tridimensional.
El conjunto de éstas sería.
Px 
n xh
,
a
Py 
n y h
b
,
Pz 
n z h
,
c
Si elevamos estas cantidades al cuadrado y las sustituimos en la ecuación (15-49)
obtenemos
 2 h 2  n x2
n y2
n z2
En 


2m  a 2 b 2 c 2




Expresión que nos da los valores característicos de la energía o niveles de energía de
la partícula atrapada en la caja. Estos eigenvalores de la energía (como también se
les llama) corresponden, cada uno, a una eigenfunción o función característica dada
cada una para un valor particular de n, por la ecuación (15-48). Entre las varias
posibilidades de variación que nos ofrece esta ecuación, el caso más importante
ocurre cuando buscamos los niveles de energía de una caja cúbica, es decir, cuando
todos sus lados son iguales, a = b = c = L. Entonces tenemos
En 
 2h2
2m L
n
2
x
 n y2  n z2


 2h2
2
2m L
n2
Donde n2 = n2x + n2y + n2z. Recordemos que nuestros números cuánticos pueden
variar cada uno independientemente de los otros en la forma.
nx , n y , nz  1,2,3,.....
de aquí se origina la posibilidad de que n y por lo tanto En tengan el mismo valor para
varias combinaciones de los números cuánticos nx, ny, nz(no entre si, ya que En
depende de n2, ésta dos, que aunque tengan la misma energía estarán caracterizados
por distintas combinaciones de los números cuánticos nz, ny, nz. Pero ya que la función
de onda no depende de n2, ésta sí será diferente para cada combinación de estos
números, dándose así la posibilidad de que cada nivel de energía esté descrito por
varias distintas funciones de onda. Cuando ocurre este tipo de situación, es decir,
cuando varios estados con la misma energía difieren en otros aspectos, por ejemplo
en su función de onda, estos estados se llaman degenerados, entendiéndose la
degeneración con respecto a la energía.
El orden de degeneración se designa comúnmente por la letra g, y es igual al número
de distintas combinaciones de números cuánticos que dan el mismo valor para la
energía, o en otras palabras es igual también al número de distintas funciones de onda
que describen estados con la misma energía. Ya que la variación de cualquier de los
números cuánticos es independiente de la variación de los otros dos, las funciones de
onda resultantes para cada combinación son independientes entre si. Por lo anterior
se deduce que cada nivel de energía puede constar de varios estados cuánticos
distintos entre sí, descritos cada uno por su función de onda particular. A tales niveles
de energía (los que constan de varios estados) se les llama degenerados y sus
estados correspondientes son los estados degenerados.
Tomemos como ejemplo el nivel caracterizado por los números cuánticos nx = 1, ny,
=1, nz = 2, números que pueden combinar.¡e en tres formas diferentes que
designaremos por medio de la notación (1, 1, 2), (1,2, 1), (2,1, 1). Estas tres formas
corresponden a tres distintos estados, todos con la misma energía, ya que
n2 = n2x + n2y + n2z = 6
siempre, pero cada uno con su función de onda particular y distinta de las otras, estas
serían, usando la ecuación (15-48) con a = b = c = L.
 112  Ksen
 121  Ksen
 211  Ksen
x
L
x
L
sen
sen
y
L
sen
z
L
2y
z
sen
L
L
2x
y
z
sen
sen
L
L
L
Para este caso el orden de degeneración es g = 3, o sea, que el nivel es triplemente
degenerado.
Es instructivo encontrar la diferencia de energía entre dos niveles consecutivos
cualesquiera de la partícula en una caja cúbica. Usando la ecuación (15-52) tenemos
En 
 2h2
2
2m L
n2
 2h2
E n 1 
y
E  E n 1  E n 
 2h2
2m L2
2m L2
(n  1) 2
(2n  1)
de aquí vemos que si estamos tratando con una caja muy pequeña, es decir, si L ,
E, y la separación entre los niveles es muy grande, el espectro de energías en este
caso es discreto. Pero si L  , E  O, y entonces el espectro de energías tiende a
ser continuo.
De la ecuación (15-42) tenemos
En 

h2 2
a x  a y2  a z2
2m

Igualando esta ecuación con la (15-52) obtenemos
a a a 
2
x
2
y
2
z
2
2
L
n
2
x
 n y2  n z2

De donde
ax 
n x
L
, a xy 
n y
L
, a xz 
n z
L
Si cambiamos estas ecuaciones con las dadas por (15-50), con a = b = c = L, vemos
que
p y   y h,
p x   x h,
p z   z h,
también de las ecuaciones (15-50)
px 
py  ny
n x h
h
 nx
L
2L
h
h
, p z  nz
,
2L
2L
de donde vemos que a cada número cuántico le corresponde un momento, y la
variación de cu;¡l. quiera de estos números provoca un cambio en la variación de su
momento asociado, que a su vez causa un cambio en el momento total.
La forma de la ecuación del momento
p 2  px2  2y  pz2
nos recuerda la forma de La ecuación de una esfera de radio igual a p, sólo que en
lugar de las coordenadas espaciales x, y, y z, tenemos ahora coordenadas de
momento px, py y pz, respectivamente, se conoce como espacio del momento (ver
figura (15-4) cada punto en este espacio estará localizado por un conjunto de tres
coordenadas (px, py, pz), las cuales representarán un estado posible de la partícula;
cualquier punto de este espacio es accesible a la partícula.
Ya que cualesquiera dos estados consecutivos dos estados consecutivos
corresponden a valores de n que difieren sólo en una unidad, la separación entre dos
puntos consecutivos de este espacio es, a partir de la ecuación (15-57).
p x 2  p x1 
h
h
(n x  1) 
nx
2L
2L

h
2L
Con fórmulas semejantes para las direcciones.
Por esta razón se dice que cada punto en el espacio de momento yace en el centro de
un cubo, cuyo volumen está dado por
Todas estas disgresiones nos permitirán calcular más adelante, en el capítulo 35,
número posible de estados electrónicos disponibles a una partícula en este espacio
del momento.
PROBLEMAS
h = 1.054 x 10-34 J-seg.
15-1 Para el problema del pozo de potencial en la sección 15-3, suponga que la
partícula es un electrón confinado dentro de una dimensión de L = 20 A.
Determine para esta partícula (a) la más pequeña energía posible E 1 que
puede tomar en electrón volts, (b) la diferencia en energía entre la energía más
pequeña E1, y la siguiente energía más elevada E2, E = E2 – E1, y (c) la
longitud de onda de un fotón con energía E.
15-2 Para un electrón confinado dentro de una dimensión de L = 2.0 A, calcule
(a) el valor más pequeño del momento angular, y (b) el porcentaje de
incertidumbre en el momento de un electrón dentro de la caja.
15-3 Si la partícula en el pozo de potencial es un gramo de arena, con una masa
de 1.0 X 10 Kg. confinada dentro de una dimensión de L = 1.0 mm., determine
(a), la energía más pequeña E1 en electrón volts, y (b) la diferenciará de
energía entre E1 y la siguiente energía más elevada E2 (E = E2 – E1),
Compare este valor con el del problema 15.1.
15-4 Encuentre un valor aproximado de n para (a) un electrón que se mueve a
una velocidad de 7.3 X 106 m/seg. dentro de una caja de longitud L= 5.0 A, (b)
una molécula de oxígeno (m = 5.3 X 10-26kg) que se mueve a la velocidad de
460 m/seg. dentro de una caja de 10.000 A de longitud, y (c) una partícula de
1.0 X 10-6 kg. de masa que se mueve a la velocidad de 0.0010 m/seg. dentro
de una caja de 1.0mm. de longitud.
15-5 Use el l programa BASIC del ejemplo 15-1 para evaluar la probabilidad y la
probabilidad por unidad de longitud de encontrar una partícula de energía E3 en
intervalos de 0.10L desde X = O a X = L. Compare ahora los resultados de la
probabilidad y de la probabilidad por unidad de longitud para los intervalos XA =
0.30L a XB = 0.36L y dé XA = 0.499L a XB = 0.501. ¿Por qué es mayor en el
último caso la probabilidad por unidad de longitud?
15-6
(a) Para un pozo de potencial infinito, use la ecuación (15-27) para determinar la
probabilidad de encontrar un electrón, en las situaciones dadas abajo.
NUMERO CUANTICO, N
1
INTERVALO
1
L
2
1
1
L L
4
4
1
0 L
2
1
1
L L
4
4
0
1
2
2
(b) Encuentre la probabilidad por unidad de longitud correspondiente á los puntos
medios de los intervalos para los números cuánticos dados.
15-7 Calcule el valor esperado del momento de una partícula que se halla dentro
de una caja de longitud L, si su función de onda es
 n (X )  i
2
nx
sen
L
L
CAPITULO 16
ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER
16-1 EL OSCILADOR ARMONICO CLASICO
La mecánica clásica es un caso especial de la más general mecánica cuántica. Un
ejemplo simple pero sorprendente del contraste entre las dos "mecánicas" es provisto
por el tratamiento del movimiento del oscilador armónico. El problema del oscilador
armónico idealizado es uno de los pocos casos que pueden ser tratados por completo
con la ecuación de Schrodinger, y suministra un valioso primer método de
aproximación para problemas más complejos, como el tratamiento de la energía de
vibración de las moléculas. (Hablando estrictamente, el único problema que puede ser
tratado con exactitud por la mecánica cuántica es el problema de la partícula libre).
Como una breve revisión del tratamiento clásico de un oscilador simple, considere la
partícula de masa m de la figura 16-1- Esta ejecutará un movimiento armónico simple
cuando al ser desplazada la distancia x de 0 actúe sobre ella una fuerza restauradora.
****
F = – kx
donde k es una constante y F es la magnitud de un vector siempre dirigido hacia el
punto fijo 0.
Cuando aplicamos la segunda ley de Newton esta ecuación torna la forma
m
d 2x
 kx
dt 2
Que también se puede escribir como
m
dx d 2 x
 kxdx
dt dt 2
La integración da
1
1
mv 2  kx 2  cons tan te  E
2
2
El primer término es la energía cinética de la partícula.
K
1 2
mv
2
Y el segundo es la energía potencial
De forma que la energía mecánica total del sistema es una constante.
K + V = E = constante
Para cualquier valor finito, la partícula oscilará entre dos puntos, digamos A en x = L y
A´en x = - L. Ya que E puede tener cualquier valor dependiendo de x y v, el espectro
de los valores permitidos para E es continuo.
Si definimos
2 
k
m
Entonces la ecuación (16-2) se puede escribir como
d 2x
2x  0
2
dt
Esta es similar en la forma a la ecuaciñon de onda (15-14) y, como esa expresión,
tiene una solución
x  Aeit  BeAeit
Los valores de las constantes A y B se pueden determinar a partir de los valores
iniciales de la posición y la velocidad. La relación de Euler nos permite escribir la
solución como
x  C cos t  Dsen t
Esta es una ecuación de movimiento, que nos da la posición de la partícula como una
función del tiempo. La velocidad de la partícula en cualquier instante es.
v
dx
 Csen t  D cos t
dt
Dejemos que la partícula se encuentre en x = L en el tiempo t = 0 y que en este
instante tenga una velocidad v = 0. Con estas condiciones iniciales, las ecuaciones
(16-10) y (16-11) dan C= L y D =0
La forma final de estas dos ecuaciones es
x(t) = L cos t
t(t) = - L  sen t
y la energía total es
E
1 2 2
1
mL  sen 2t  kL2 cos 2 t
2
2
La velocidad máxima se da cuando la partícula cruza el origen x = 0 y es vmax = L.
En el origen la energía potencial es cero, y la energía total es
E
1 2
1
mv max  m 2 L2
2
2
Sin, embargo, cuando la partícula se encuentra en A o en A', la velocidad es v = 0, y
por lo tanto, la energía cinética también es nula, así que la energía total se debe sólo a
la energía potencial; de donde
E
1 2
1
kx max  kL2
2
2
16-2 EL OSCILADOR ARMONICO MECANO-CUANTICO
El tratamiento del mismo sistema con los métodos de la mecánica ondulatoria implica
la solución de la ecuación de Schr6dinger al ser aplicada al sistema. Por lo tanto,
debemos plantear la ecuación que describa el mismo oscilador armónico que tratamos
clásicamente Sin embargo, debemos damos cuenta de que la función de onda no está
localizada en ningún punto del eje x y, por lo tanto, no se puede definir una posición
cierta para la partícula en cualquier instante dado. El producto  *  de la densidad de
probabilidad de encontrar la partícula en cualquier pequeño intervalo dx a lo largo del
eje x. De aquí que, no se pueda usar, para plantear el problema, una ecuación de
fuerzas que sean funciones de la posición corno se hizo para el oscilador clásico
usando la ecuación (16-1). De hecho, el concepto de fuerza pierde su relevancia en la
mecánica cuántica; sin embargo, los conceptos de energía y momento siguen
prevaleciendo. Por !as mismas razones, no debemos esperar encontrar resultados que
den la posición de la partícula como función del tiempo, como los da para el oscilador
clásico la ecuación (16-12), ni para la velocidad como función del tiempo como los da
la ecuación (16.13).
Sin embargo, la energía del sistema sí puede ser considerada, ya que esta cantidad
aparece en términos de la energía potencial como una función de x en ambos
tratamientos. En el caso clásico, la energía potencial dada por la ecuación (16-5)
resulta de la aplicación de las leyes de Newton a la ecuación de la fuerza. Sin
embargo, en el tratamiento mecano-cuántico, la función de la energía potencial.
V  1 2 kv 2
(16-17)
Es una condición inicial y primaria impuesta sobre el sistema mecánico. Entonces,
esta condición establece el problema al definir a V(x).
Recordemos que, en el caso clásico, la ecuación (16-16) fija un desplazamiento
máximo L=(xmax) para la partícula e iguala la energía total a la energía potencial de la
partícula en este desplazamiento máximo. Esto no puede usarse para definir xmáx en
términos de la energía total y así, a menos que se impongan nuevas condiciones
sobre V(x), debe extenderse en su forma definida por la ecuación (16-17) tanto a x=- 
como a x = +  . Sin embargo, no servirá tener una función de onda  que
permanece finita en el infinito, porque no podría ser normalizada para dar la
probabilidad de encontrar la partícula en regiones finita del espacio. Por lo anterior,
imponemos a la función de onda la condición de que desvanecerse a distancias
infinitas del origen.
Nuestra visión ya no es ahora la de una partícula ligada a un punto por una fuerza
elástica proporcional al desplazamiento. Ahora pensamos en un sistema de ondas
contenido en una especie de botella o “pozo” de energía potencial, cuya forma está
dada por la ecuación (16-17). Podemos discutir las probabilidades de encontrar a la
partícula en varias regiones en/y alrededor del pozo, y preguntamos sobre su energía
en toda las circunstancias posibles cuando se encuentra en el pozo. Como para
cualquier sistema de ondas que se encuentre limitado por todos lados por algún
medio, no es sorprendente encontrar que éste también toma la forma de ondas
estacionarias dentro del pozo.
Así, el problema es encontrar soluciones  n que sean funciones características que
representen los varios sistemas posibles de ondas estacionarias, y encontrar las
energías correspondientes En que sean los valores característicos. El procedimiento
bosquejado aquí se puede extender a cualquier número de dimensiones.
Cuando la forma de nuestro pozo de potencias es la energía potencial asociada con el
oscilador armónico clásico, V  1 2 kx 2 , la ecuación de Schrodinger toma la forma
d 
kx
 2h mdx
2  2   E
2 2
2
(16-18)
Es interesante notar que esta ecuación de onda y el problema de su solución era bien
conocidos de los matemáticos antes de que los físicos lo aplicaran a sistemas físicos
reales. Para encontrar su solución, pondremos primero esta ecuación en la forma
d 2
dx

2
2m
h2
E    0
kx2
2
(16-19)
Que también puede escribirse como
d 2
dx 2


2 mE
h2

mk
h2

x2   0
Con el fin de simplificar los cálculos posteriores es conveniente introducir las
cantidades.

2E
h
 2  mk
 mh
h
2 2
y
2
De forma que
(16-20)
2
2 Em
  mh  2hEm
  h
2
Así, nuestra ecuación toma la forma
d 2
dx 2


    2 x 2   0
(16-21)
Ahora hacemos un cambio de variable introduciendo
  x
Que es una cantidad sin dimensiones ya que  se mide en m-2 como el estudiante
puede verificarse. Utilizando la regla de la cadena.
d
dx
d
d

d 2
dx 2

d
d
 ddx  
 
d
dx
Sustituyendo en 16-21N encontramos
d 2
d 2

d
dx
d
d

d 2
d 2

   2   0
(16-22)
Normalmente, esta ecuación se resolvería presuponiendo una solución en forma de
serie de potencias, pero la función de onda está restringida por el requisito número 5 a
tender a cero cuando x, o en este caso    . Esto nos sugiere el empleo del
método conocido como expansión asintótica de una función, según lo cual
buscaremos la forma de  para grandes valores, tanto positivos como negativos de
 . Ya que  depende E, para cualquier energía finita  es despreciable en
comparación de  , nuestra ecuación se reduce a
d 2 
d 2
  2 
(16-24)
Esta es de la misma forma que la ecuación (15-37) del capítulo anterior y por lo tanto
es satisfecha por una ecuación de la forma.
   eo
2
(16-25)
Derivando con respecto de  obtenemos
d2
d 2


 4o 2 2  2o e o
2
Sustituyendo en la ecuación (16-24) y despreciando el segundo término entre
paréntesis encontramos
4o 2 2   2
De donde
o   12
Por lo tanto nuestra solución toma la forma

   Ae
2
2
2
 Be 2
(16-26)
Pero de nuevo el requisito número 5 vuelve a encontrar para modificar esta ecuación;
de acuerdo con este requisito la segunda exponencial es inadmisible pues tiende al
infinito cuando    , por loa tanto la desechamos y solo nos resta

   Ae
2
2
Ya que A es una constante arbitraria, no fijada aún por las condiciones de
normalización, podemos por conveniencia hacerla igual a 1, Con esto nuestra
expansión asintótica para la función de onda es
  e

2
2
(16-27)
Esta ecuación nos da el comportamiento asintótico de  , es decir, para grandes
valores de  , pero también nos interesa definir  para pequeños valores de 
positivos y negativos. Para esto asociamos a nuestra solución asintótica con una
nueva función, que deberá tener el comportamiento adecuado en las regiones
cercanas y regular el comportamiento de  en las regiones lejanas. Así se prueba
tentativamente como solución general la función
    H    e

H  
2
2
(16-28)
Para abreviar la discusión siguiente en lugar de H (  ) escribiremos simplemente H.
derivando la ecuación (16-28) con respecto de  dos veces encontramos
d
d
Y
d 2
d 2


d 2H
d 2


dH
d
 2

 H e
dH
d

2
2

 H  H e
2

2
2
Sustituyendo ahora la función y su derivados en la ecuación (16-22) llegamos a

 2
d 2H
d 2
 He
dH
d

2
2

 H  H e
2
  He
2

2
2

2
2
0
Cancelando el factor exponencial común y simplificando obtenemos finalmente
d 2H
d 2
 2
dH
d
   1H  0
(16-29)
Esta es la famosa ecuación diferencial de Hermite. El método usual para resolver esta
ecuación consiste en suponer una solución en forma de serie de potencias, aquí
usaremos.

H     cm m
(16-30)
m 0
 c0  c1  c2  c3  ....
2
3
Buscaremos ahora las derivadas que implica la ecuación (16-29)
dH
d
 c1  2c2  3c3 2  ....4c4 3 
 2

dH
d
 2c1  4c2 2  6c3 3  ...
   2m cm m
m 0
También
 2c2  6c3  12c4 2  ....
d 2H
d 2

  (m  1)(m  2)cm1 m
m 0
Además

  1H     1Cm m
m 0
Sustituyendo estas tres ecuaciones en la ecuación (16-29)

 m  1m  2c
m 0
m2
   1  2mcm  m  0
Para que H (  ) sea una solución de la ecuación (16-29) la ecuación anterior debe
desvanecerse para cualquier valor de  y esto requiere que el coeficiente total de
cada potencia de  sea igual a cero, locuaz nos permite derivar la siguiente relación
de recurrencia.
cm 2  m2m11m2 cm
(16-31)
Esta fórmula nos permite calcular los coeficientes c2, c3, c4, c5… en términos de los
coeficientes c y c1 que son arbitrarios y deben ser determinados a partir de las
condiciones iniciales. Por lo tanto nuestra serie (16-30) consistirá en realidad de dos
series, una de potencias pares (si el mínimo subíndice m es par) y otra de potencias
non (si el mínimo subíndice m es non). Esto esta de acuerdo con la teoría de las
ecuaciones diferenciales, según la cual una ecuación diferencial de segundo orden
debe tener una solución que contenga dos constantes, en este caso co y c1, que deben
determinarse de las condiciones fronterizas.
Sabemos que si una serie tiene una suma finita es convergente y divergente si no la
tiene. La convergencia de nuestra serie (16-30) es determinada por los coeficientes
dados por la ecuación (16-31) y si estos son positivos la serie divergirá para grandes
valores de  . Los coeficientes de la ecuación son positivos si
2m  1  
O bien, si
m
 1
2
Para que esto no ocurra, es decir, para que la serie no se vuelva divergente es
necesario que la terminemos a una cierta potencia máxima dada por
mmax 
De aquí
 1
2
n
(16-32)
  2n  1 
2 En
2 h

2En
hv
(16-33)
De aquí los valores permitidos o característicos de la energía total quedan dados por
En  n  12 h  n  12 hv (16-34
Donde  =2 r v y n = 0,1, 2 ,3… Este espectro de valores de la energía es discreto, y
distinto en este caso del espectro continuo permitido por la mecánica clásica. La
diferencia entre los niveles de energía de este espectro es hv.
¿En qué sentido entonces, puede la mecánica clásica considerarse como un caso
particular de la mecánica cuántica? La respuesta se encuentra al considerar la
aplicación particular. Supongamos por ejemplo, que estamos manipulando un artilugio
mecánico tal como un címbalo, o un diapasón, o la columna de aire de un tubo de
órgano. La frecuencia puede encontrarse entonces en alguna parte de la región que
va de 1000 a 10.000 Hz, y la energía del sistema vibrante puede ser de varios julio. La
separación entre los niveles permitidos de la energía sigue siendo hv, y ya que h es
alrededor de 6.63 x 10-3 4 J –seg. La separación entre niveles estará en el rango de 103 0
J. Comparada con la energía total implicada, la separación entre los niveles de
energía es tan pequeña que puede tomarse efectivamente como cero, de manera que
el espectro de valores permitidos parece ser continuo.
Sin embargo, para las dimensiones atómicas y nucleares, las frecuencias pueden
exceder fácilmente a 1012 Hz , y la energía del sistema puede ser 10-24 J o menor. En
estos casos, la separación entre niveles (hv = 6.63 x 10-3 4 x 10 1 2 = 6.63 x 10-2 2 J se
vuelve muy pronunciada y el espectro de los niveles permitidos de energía es
notablemente discreto. Debe recordarse que tales espectros discretos de energía se
obtienen solamente cuando el sistema mecano-cuántico está limitado de alguna forma.
Una partícula “libre” aquella que no se halla en ningún campo de fuerza y está bajo la
influencia de funciones de energía potencial constantes, puede tomar cualquier valor
de la energía y por esto tienen un espectro de energía verdaderamente continuo.
Otro resultado sorprendente del oscilador mecano-cuántico es que no pueden tener
una energía igual a cero. La ecuación (16-33) no permite que E tome a cero como su
menor valor. Esto fija la energía del punto cero igual a ½ hv. Una situación similar se
discutió en el capítulo 15: ver la explicación que se da en conexión con al ecuación
(15-23).
Nuestra relación de recurrencia dada por la ecuación (16-31) puede utilizarse para
calcular los polinomios de Hermite a que se reduce nuestra serie (16-30) cuando la
cortamos utilizando la condición dada por la ecuación (16-32). Para este fin, es decir,
para calcularlos, introducimos   2n  1en la ecuación (16-31) y hacemos m = (m - 2)
conservando la misma letra como índice a pesar del cambio, lo cual es de uso común
en el manejo de series; así tenemos.
cm  2  2 
2m 2 
m  2 1m  2  2  c m  2
Despejando a cm-2
cm2   2mnmm12  cm
(16-35)
Aquí debe cumplirse m  n para estar de acuerdo con la ecuación (16-32). En este
caso cm viene siendo el coeficiente de la potencia más alta del polinomio y ya que la
constante de normalización de la función de onda aún no se ha determinado, la
experiencia acumulada en matemáticas nos muestra que resulta conveniente
expresarlo en la forma
cn  2n
(16-36)
Sustituyendo esta ecuación en la (16-35) y prosiguiendo en forma iterativa para el
resto de los coeficientes obtenemos
cn2  2n2 nn11
cn4  2n4 nn1n22n3
(16-37)
Sustituyendo todas estas ecuaciones en la ecuación de nuestra serie original (16-30)
llegamos a
H n    2   n n11 2 
n2
n
 n n 1n22 n3 2 
n4

...
A este polinomio hay que agregarle c1 si n es impar y co si n es par. Si dejamos que
n tome los valores n= 0, 1 , 2, 3, …. Etc, obtenemos los polinomios de Hermite.
H 0    1
H 1    2
H 2    4 2  2
H 3    8 3  12
.
.
H n     1 e 2
n
dn
d n
e 
 2
Donde   x 
La tabla 16-1, da una lista de los valores característicos En de la energía y de las
funciones características correspondientes  n para diferentes valores de n
La probabilidad por unidad de longitud de encontrar la partícula en una región
cualquiera del eje x está dada por   o, en notación más usual, / / 2 . Los valores
de esta densidad de probabilidad para unos pocos valores de las energías permitidas
se grafican en la figura (16-2) junto con la función de la energía potencial V(x), que fija
el pozo de potencial para el oscilador. Los puntos A y A', B y B', etc., representan
aquellos puntos en que la energía potencial es igual a la energía total permitida para
ese valor del número cuántico n. Un oscilador clásico según la ecuación (16-16) no
será encontrado fuera de estos puntos. En el caso meno-cuántico, la densidad de
probabilidad tiene valores finitos más allá de estos límites, y así existe una
probabilidad, pequeña pero finita, de encontrar la partícula en regiones exteriores al
pozo de potencial.
Ejemplo 16-1: Calcúlese el valor esperado de la energía cinética del oscilador
armónico cuántico para el estado n = 0
Solución: Utilizando las funciones características normalizadas, que aparecen en la
tabla (16-1) para facilitar los cálculos, ya que son independientes del tiempo, tenemos
Vo 
 


1/ 2
e

2
2
Tabla 16-1 Valores y funciones características del oscilador armónico
n
VALORES
CARACTERISTICOS
DE LA ENERGIA, En
0
E0  12 hv
FUNCIONES
CARACTERISTICAS
NORMALIZADAS  N
  e
   2e
   4
1
E1  hv
1
2
E3  hv
2
En  n  12 hv
n 
5
2
.
.
.
n
1/ 2

2 
1/ 2

8 
1/ 2
0 
3
2





 2n n!

1/ 2
2
2

2
2
2

2 e
H ne

2
2
Donde

y
m
h

4 2 mv
h
H n 1  2 H n  2nH n 1
Ya que H 0    1
La energía cinética está dada por
K
p2
2m
De la ecuación (15-1a)

K    0


1 h
2m i
 x   0 d x
2

2
2
Cambiamos ahora de variable recordando que   x x
   ddx   

x
Además
d  dx
d
x
dx 
y
La sustitución de todas estas cantidades nos da
K 

 
 1/ 4

0

 
 1/ 4

e
h2
2m 

2

2
d




e
e
2
2

2
2
pero
  2
e

2
2
 2
 

2

d



 2
  2 
2  2
e    e  e


2
2
 2

1 h 
2m
i
2
2
Así que, cambiando los límites de integración
K


d
0

2
2

   2

2 2
 0 e d  0  e d 
h2 
m 
h2 
m 

e

2
2

  2
2 2
e


e


2
2
Estas integrales son bastantes conocidas y se pueden encontrar en las tablas ya
citadas, de modo que
K
h2 
m 


2


4

h2 
4m
Pero de la tabla 16-1
 4 hmv
2
La sustitución da
K  hv4  Eo
2
Donde hemos hecho uso de la ecuación (16-34).
encuentre el valor esperado de la energía potencial.
Se sugiere que el estudiante
16-3 EL EFECTO TUNEL
En la figura 16-2 se ilustró que la función de onda penetra una corta distancia “dentro”
del pozo de potencial en cada caso dando una probabilidad finita de encontrar la
partícula más allá de los límites clásicos impuestos por la pared. La función de
densidad de probabilidad dentro del pozo de potencial puede ser considerada como el
resultado de un sistema de ondas estacionarias en la función  correspondientes a
cada nivel permitido de energía.
Ya que una onda estacionaria es el resultado de dos trenes de ondas que viajan en
direcciones opuestas entre fronteras reflectoras, podemos considerar que la función de
onda en cualquiera de las paredes consiste de una onda incidente y otra reflejada. En
este caso, la onda penetra un poco dentro de la pared, y así la reflexión tiene lugar a
esta profundidad finita, así como en la superficie de la pared misma.
Suponga, ahora, que la pared en la región de la función de onda penetrante es muy
delgada; en otras palabras, la función de la energía potencial se dobla y tiende a cero
rápidamente justo después de los puntos A ó B ó C, como lo hace la línea punteada en
el punto B de la figura 16-2. Entonces la función de onda puede tener una amplitud
finita en este punto. ¿Qué le pasa un poco más allá?
Esta situación puede tratarse en forma simplificada usando una delgada pared de
potencial, una barrera de potencial. Supongamos que ésta consiste de una pequeña
región sobre el eje x limitada por agudos saltos de potencial: uno desde cero hasta un
valor finito V y el otro desde V hasta cero otra vez. En la figura 16-3, esta situación se
representa colocando el primer salto en x = 0, el origen, y el segundo en x = A. Esto
divide el eje en tres regiones.
Región I, x < 0, donde la energía potencial es 0
Región II, 0 < x < t, donde la energía potencial es = V, y
Región III, x > 0, donde la energía potencial es = 0
Dejemos ahora que el tren de ondas incida sobre la barrera desde la izquierda. La
barrera se ha construido de tal forma que es delgada, comparada con la profundidad
de penetración de la onda dentro de ella, y por lo tanto debe haber una onda de
amplitud finita en la región III a la derecha.
Hemos desarrollado esta situación a partir del caso de uno de los niveles de energía
indicados para el oscilador armónico de la figura 16-2. Note que allí la energía total
del nivel (digamos E1) es menor que la altura de la barrera, que hicimos doblar en x
con un valor un poco mayor que en el punto B como lo indica la línea punteada allí. La
energía potencial en el máximo de la barrera es mayor que la energía total de la
partícula en ese nivel, sin embargo, decimos que la función de onda tiene una amplitud
finita más allá de la barrera.
Esto implica que la probabilidad de encontrar la partícula fuera de la barrera es finita,
aun cuando su energía total es menor que la altura de la barrera. Nos vemos forzados
a dibujar una amplitud finita para la función de onda en la 3ª. Región como se ve en la
figura 16-3. Asignando la notación  1 , 2 , 3 a las respectivas funciones de onda en
las regiones I, II y III, como se indica en la figura, las correspondientes ecuaciones de
Schrodinger son
Región I
h2
2m
 ddx21  E 1 , ya que V1 = 0
Región II
h2
2m
 ddx22  v 2  E 2
Región III
h
2m
2
2
(16-38)
ya que VII = V
2

d 2 3
dx 2
 E 3
ya que VIII = 0
Rearreglando estas ecuaciones y definiendo las cantidades
2  2hm2 E
y
 2  2mhV E 
2
Las ecuaciones toman la forma
Región I
d 2 1
dx 2
 2  1  0
Región II
d 2 2
dx 2
  2 2  0
Región III
d 2 3
dx 2
 2  3  0
(16-39)
Las soluciones de estas ecuaciones son
Región I
 1  Ae(x  eizx
Región II
 2  Fe x  Gex
Región III
 3  Ceizx  Deizx
(16-40)
Donde las constantes A, B, etc., son las amplitudes de las componentes
correspondientes de cada onda. Se pueden identificar como sigue:
A es la amplitud de la onda que incide desde la izquierda sobre la barrera.
B es la amplitud de la onda reflejada en la región I
F es la amplitud de la onda que penetra la barrera en la región II
G es la amplitud de la onda reflejada (por la superficie en A) en la región II
C es la amplitud de la onda transmitida a la región III, y
D es la amplitud de una (no existente) onda reflejada en la región III.
Debe notarse que hemos dibujado la función de onda a través de las tres regiones de
la figura 16-3, de manera que es continua y de valor único en todos los puntos del eje
x. Estas condiciones que imponemos son razonables, y hacen posible resolver
explícitamente para las varias amplitudes en términos de la energía de la partícula, la
altura de la barrera y su espesor.
Ya que la densidad de probabilidad asociada con una función de onda es proporcional
al cuadrado de la amplitud de esa función, podemos definir el coeficiente de
transmisión de la barrera como
T
C
A
2
2
Y un coeficiente de reflexión para la superficie de la barrera en x = 0 en la forma
R
B
A
2
2
Si la barrera es alta comparada con la energía total de la partícula o ancha comparada
con la longitud de onda de la función de onda, entonces el coeficiente de transmisión
toma la forma
(16-43)
T  16 VE 1  VE e ( 2tk )
2 m (V  E )
Donde t es el espesor físico de la barrera.
Hemos alcanzado la notable conclusión de que si una partícula con energía E sobre
una delgada barrera de energía de una altura mayor que E, hay una probabilidad finita
de que una partícula penetre la barrera. Este fenómeno, llamado efecto túnel es un
resultado de la mecánica cuántica que no está permitido en el tratamiento clásico.
Entre los primeros éxitos de la teoría cuántica en la física nuclear está la aplicación del
efecto túnel del decaimiento radiactivo α efectuada por Gamow en 1928 y por Condon
y Gurney en 1929.
Los nucleones en el núcleo de, digamos, el uranio, consisten de neutrones y protones.
Estas partículas forman grupos de corta vida, consistentes de dos protones con dos
neutrones (partículas α) dentro del núcleo. Se puede calcular sobre la base del efecto
túnel que una de tales partículas α, al incidir desde el interior sobre la barrera de
fuerzas nucleares que mantiene unido al núcleo, tiene alrededor de una oportunidad
en 103 8 de penetrar la barrera y escapar del núcleo. Este escape constituye lo que
llamamos decaimiento radioactivo α.
El núcleo tiene un diámetro de aproximadamente 10-1 4 m, y la partícula α se mueve
dentro de él con una velocidad de 107 m/seg de manera que efectúa cerca de 102 1
colisiones/seg. Dentro de la barrera. Así hay
10 38 colisiones
10 21 colisiones
 10 17
seg
penetración
O sea que se necesitan cerca de 3 x 109 años para que una partícula α tenga una
probabilidad de escapar. Además, esto nos permite comprender la larga vida media
radiactiva del uranio, que es alrededor de un billón de años.
La altura de la barrera nuclear del polonio es algo menor que la del uranio, y una
partícula α tiene una oportunidad en 101 7 de escapar del núcleo por el proceso de
colisión. Tomando la razón de colisiones como 102 1 /seg. el tiempo probable de
escape de este isótopo del polonio para una partícula α es del orden 10-4seg. El
efecto túnel mecano-cuántico en el decaimiento α exhibe diferencias extremas en los
primeros tiempos de vida radiactivos (variando de millones de años a milsegundos) por
variaciones muy pequeñas en la altura de la barrera de potencial.
EJEMPLO 16-2: el problema de la barrera de potencial es una buena aproximación al
problema de un electrón atrapado dentro pero cerca de la superficie de un metal.
Calcule la probabilidad de transmisión, es decir, que un electrón de 1.0 e V penetre
una barrera de potencial de 4.0 e V cuando la anchura de la barrera es de 2.0 A.
SOLUCION: De la ecuación (16-43), el coeficiente de transmisión es:
1.0 eV
T  1614..00eV
eV 1  4.0 eV 

10
m
x exp  1.052 xx210x10
 34
J  seg
 2(9.1x10
31

kg )4  1 1.6 x1019

 0.084
Así, solo alrededor de ocho electrones de 1.0 e V de cada cien, penetran la barrera,
16-4 POTENCIALES PERIODICOS Y EL MODELO DE KRONG – PENNEY
La elevada conductividad de los metales es una consecuencia de la gran cantidad de
electrones libres que contienen. Sin embargo, a pesar de su gran movilidad, solo unos
pocos tienen energías suficientes para vencer la energía que en el capítulo 7
llamamos función de trabajo, también conocida como trabajo de extracción. En otras
palabras, hay una especie de “barrera” que les impide, en la mayor parte de los casos,
abandonar el metal. Al encontrarse rodeados por todos lados por esta barrera,
podemos suponer que se encuentran efectivamente dentro de un pozo de potencial.
Pero en su interior, es decir, en el interior del metal, este pozo no es tan simple como
el que vimos en el capítulo 15. Para darnos una idea de cómo es este pozo o sea, de
la forma que tiene el potencial en el interior del metal, notemos, en primer lugar que,
en general, la estructura de la mayor parte de los sólidos, y en especial de los metales,
es de forma cristalina y que los átomos de un cristal están arreglados en forma
periódica, geométrica y regular.
De esta manera, la casi infinita cadena de átomos de un metal da lugar a un potencial
de forma periódica dentro del cual se mueven los electrones que llamamos libres,
aunque no lo sean del todo.
Para convencernos de que este potencial interior es realmente periódico recordemos
la forma de la energía potencial de un electrón en la cercanía de un protón. Esta se
puede apreciar en la figura (16-4). La forma particular se debe a que la energía
potencial es proporcional a l/r.
Energía potencial de Coulomb de un electrón en la cercanía de un protón.
Esta energía potencial es de signo negativo y está dada por la fórmula (12-4)
V 
e2
1
4 0 r
(16-44)
El signo menos nos indica que el electrón se encuentra ligado al protón por una fuerza
atractiva, formando con este lo que antes llamamos un sistema cerrado. En otras
palabras, el electrón se encuentra atrapado dentro de lo que podríamos llamar un pozo
de energía potencial, producido por la atracción electrostática entre las dos partículas.
Los metales alcalinos se caracterizan por tener un solo electrón en la última capa
exterior adyacente a las capas internas, las que sí cuentan con su dotación completa
de electrones. Los electrones de las capas interiores actúan como una especie de
pantalla, escudando al electrón exterior del campo electrostático nuclear en proporción
directa al número de electrones que llenan las capas internas, de tal forma, que para el
electrón exterior el núcleo tiene una sola carga efectiva de signo positivo, siendo
contrarrestadas las demás por los otros electrones. Esto nos permite simplificar la
situación, suponiendo que tenemos un solo electrón en la cercanía de un protón. Por
lo tanto, la energía potencial del electrón en el campo del protón será semejante a la
que ya vimos antes.
La estructura cristalina de un metal compuesto de este tipo de átomos, ordenados uno
tras otro, producirá un potencial periódico de la forma representada en la figura (16-5),
en la cual vemos un corte transversal de un potencial que en realidad es
tridimensional, pero que por simplificar los cálculos se ha reducido a una sola
dimensión. Cuando, como aquí lo hacemos, tomamos en cuenta la periodicidad que
este potencial impone al movimiento del electrón, aparece un cierto número de
características que nos permite explicar varios fenómenos que ocurren en el interior
del metal, por ejemplo, a que se debe que algunos sólidos sean buenos conductores,
otros aislantes y otros semiconductores.
Sin embargo, nuestro modelo de energía potencial de la figura (16-5) no es adecuado
para trabajar, pues los cálculos se vuelven muy complicados, lo cual nos obliga a
utilizar un modelo aproximado que se asemeje lo más posible a nuestro caso real.
Este se muestra en la figura (16-6) y se conoce como modelo unidimensional de
Kroning Penney.
La periodicidad del potencial afecta nuestras funciones de onda de tal forma que,
además de constar del factor normal que corresponde a la amplitud constante,
asumen otro factor que modula la amplitud de la onda de acuerdo con el período del
potencial. De aquí que las funciones de onda se puedan escribir como
 ( x)  e ikxu( x)
Donde las u(x) deben cumplir con la condición
(16-45)
u(x) = u (x-1)
(16-46)
donde   a  b , es el período del potencial. De aquí que
 ( x)  eikxu( x  l )
(16-47)
Las ecuaciones (16-45) y (16-46) constituyen la expresión matemática del teorema de
Bloch y las funciones u(x) se conocen como funciones de Bloch. El teorema de Bloch
establece que la amplitud modulante u(x) de la función de onda se repite con período l.
Para probarlo, partiremos de la ecuación (16-45), según esta
 ( x  l )  e ik ( xl ) u( x  l )
De donde
 ( x  l )  e ik ( x l ) u ( x  l )
 e ikl e ikxu ( x)
 e ikl ( x)
De aquí que
 ( x)  eikl ( x  l )
Si multiplicamos ambos miembros por
(16-48)
e ikx obtenemos
e ikx ( x)  e ik ( x1) ( x  1)
(16-49)
Pero e ikx ( x)  u( x) lo cual nos prueba su carácter periódico. Ahora que ya tenemos
las herramientas necesarias para atacar nuestro problema, tomaremos tres regiones.
Región I
0< x < a
VI = 0
Región II
a< x < a + b
VII = 0
Región III
a+b<x<1+a
VIII = 0
Asignando la notación  I , II , III a las respectivas funciones de onda en las
regiones I, II y III de la figura 16-6, las correspondientes ecuaciones de Schrodinger
son
d 2 i
Región I
 2hm
Región II

2
h 2 d  Ii
2 m dx 2
Región III

2
h 2 d  III
2 m dx 2
2
dx 2
 E i
 V0 II  E II
 E III
(16-50)
Si hacemos
a2 
2 mE
h2
2 
y
2 m  E V 0 
(16-51)
h2
Nuestras ecuaciones se transforma en
d 2 I
dx 2
d 2 II
dx 2
d 2 III
dx 2
 2  I  0
0<x<a
(16-52a)
  2 II  0
a<x<a+b
(16-52b)
  2  III  0
a+b<x<1+a
(16-52c)
De la ecuación (16-45) tenemos para la región I
 I x  e ihk u I x
Tomando derivadas
d I
dx
 eikh

duI
dx
 ikuI

Y
d 2 I
dx
2
 e ikx

d 2u I
dx
2
 2ik
du I
dx
 k 2u I

Sustituyendo en la primera de las ecuaciones 16-50 y procediendo en forma similar
para las otras dos, llegamos a
d 2u I
dx 2
d 2u II
dx 2
 2ik
d 2u III
dx 2
 2ik
du II
dx
du I
dx


 k 2  2 uI  0


 k 2   2 u II  0
 2ik
du III
dx

(16-53)

 k 2   2 u III  0
Estas ecuaciones pueden ser resueltas por el método llamado de los operadores
diferenciales. La aplicación de este método nos da
uI x  Aei k x  Bei k x
uII x  Cei  k   Dei  k 
(16-54)
uIII x  Aei k  x1  Bei k  x1
La última de las ecuaciones (16-54) debe su forma a dos razones: la., a la necesidad
de eliminar dos nuevas constantes que aparecerían inevitablemente si la
escribiéramos en su forma normal, y 2a., a que en el estudio del teorema de Bloch, en
la ecuación (16-46) vimos que
u (x)=u(x–l)
En otras palabras, nuestra función de onda en la tercera región es de la forma
u III x   u I x  l 
Esto se debe también a que los valores de x en la tercera región corresponden a x – l
de los valores de x en la primera región, debido a que cualquier punto de la región III
está adelantado en e con respecto al punto correspondiente de la región I.
Las discontinuidades del potencial imponen ciertas condiciones fronterizas que deben
satisfacer las ecuaciones 16-54, estas son
I
u I  u II , du
dx 
du I I
dx
En x = a, y
uII  uIII ,
du I I
dx

du I II
dx
Aplicando estas condiciones a las ecuaciones 16-54, obtenemos
Aei  k a  Bei  k a  Ce i  k a
 Dei
 k a
 k Aeik a   k Beik  
  k Aeik a    k Dei k a
A  B  Ce i  k ab 
 Dei
 k ab 
 k A   k B    k Cei k ab
   k Dei  k ab 
(16-55)
Este sistema de cuatro ecuaciones simultáneas, lineales y homogéneas tiene una
solución no trivial solamente si la matriz de los coeficientes es singular, o sea, si su
determinante es igual a cero. De aquí que debamos tener, después de simplificar los
términos del determinante.
1
1
1
1
 k 
  k 
  k 
   k 
e i  k a
e i  k a
e i   k b
e i  k b
 k e i k a
  k e i  k a
  k ei  k b
=0
   k ei  k b
(16-56)
La expansión de este determinante resulta sumamente laboriosa, y la larga serie de
desarrollos a que da lugar hacen prohibitivo que se pongan por escrito, pero no implica
más que el uso de los métodos usuales de expansión, y el uso de la ecuación de
Euler. Si hacemos todo esto llegamos a la ecuación
cos k a  b   cos  a cos b
 2  sen  asenb
2
2
(16-57)
Esta es la ecuación que nos permitirá conocer las características de los niveles de
energía del conjunto de átomos que dan lugar al potencial periódico que estamos
estudiando. Nuestra definición de ß implica que si E < VO, es decir si la energía del
electrón es menor que la altura de la barrera, entonces ß se convierte en una cantidad
imaginaria.
Para evitar la aparición de este tipo de cantidades en la ecuación (16-57) es necesario
hacer ß = la sustitución de esta relación en la ecuación (16-57 nos da
cosk a  b   cos  a cosi 0b

 02 2
2i 0
sen  asenib
Usando las relaciones cosix  cosh xysenix  isenhx, llegamos a
cosk a  b   cos  a cosh  0b

 02 2
2i  0
sen  asenh 0b
(16-58)
Para examinar las características de las zonas permitidas de la energía, recordemos
que los máximos valores que puede tomar el coseno de un ángulo son +1 y -1.
entonces las zonas permitidas de la energía deben yacer entre
 1  cos  cosh  0b

 o2  2
2  0
sen  asenh  0 b  1 (16-59)
Esta ecuación aún resulta muy complicada para interpretarla, de manera que, para
simplificar un poco, tomaremos de nuevo la ecuación 16-58, y la estudiaremos a la luz
del caso límite que ocurre cuando la barrera de potencial tiene al infinito, Vo  y su
anchura tiende a cero b  0 . En este caso
cosk a  b  coska
cosh 0b  l
senh 0b   0b
y
Entonces nuestra ecuación toma la forma
2
2
coski  cos  a  0 2 b sen  a
(16-60)
Ya que
 02   2
 02  2
2
02 2
2
Y
E  V0
y

mV 0
h 2
 abb   mVh ab 1a
0
2
 Aa
Donde A  mV0 ab / h 2 se conoce como opacidad de la barrera de potencial.
Sustituyendo estas cantidades, y haciendo   x , la ecuación 16-60 se transforma en
coska  cos x  A senx
x
(16-61)
La gráfica del miembro derecho de esta ecuación se muestra en la figura (16-17).
Es obvio que ahora también debe cumplirse
1  cos x  A senx
x 1
(16-62)
Si cuando Vo , b  0 , la opacidad A de la barrera de potencial permanece finita,
ya que el producto V0 b permanece finito. Una opacidad finita significa que el electrón
tiene una buena probabilidad de atravesar la barrera que lo circunda, y pasar a otro
nivel de energía cercano, semejante al que se encontraba. Esto es posible debido a
que los átomos del cristal se hallan muy próximos los unos a los otros, de modo que
todos y cada uno de los electrones comparten entre sí, aunque no simultáneamente,
los niveles semejantes de todos y cada uno de los otros átomos que forman el
material.
Cada uno de estos niveles, de igual energía, están tan próximos entre sí, que dan
lugar efectivamente a la formación de bandas permitidas de energía, las
Cuales se indican por medio de líneas oscuras en la figura (16-7), y que están
separadas unas de otras, o sea, unos niveles de otros, por medio de bandas
prohibidas, las cuales no son otra cosa que la unión de las barreras semejantes entre
sí. Si hacemos  a  n , se puede observar por la figura, que cada valor de n marca
el fin de una banda permitida y el principio de una prohibida y que a medida que
aumenta n, es decir, a medida que aumenta la energía, las bandas prohibidas se
hacen cada vez más estrechas, mientras que las bandas permitidas se ensanchan, de
manera que para grandes energías el espectro es prácticamente continuo.
En cambio, si la opacidad tiende al infinito, la situación equivale a la de un conjunto de
átomos aislados, o bien, a la de los electrones correspondientes separados por barrera
impenetrables, o, lo que es lo mismo, atrapados dentro de pozos infinitos de potencial.
Pero si A  , entonces para evitar una indeterminación debemos tener senx = 0,
de manera que nuestra ecuación 16-61 se reduce a
Cos k1 = cos x
ka = α a = nπ
ó
De donde
2 
2 mE
h2

n 2 2
a2
De aquí
En 
n 2 2 h 2
2ma 2
n = 1,2,3…..
Fórmula que nos da, como ya sabemos, un espectro discreto de niveles de energía
para cada átomo.
Cuando E > V0 , las zonas permitidas de la energía están dadas por la ecuación.
 1  cos  a cos b
 2  sen  asen b  1
2
2
(16-63)
Cualquier potencial de tipo periódico da lugar a la formación de bandas permitidas y
prohibidas de energía semejantes en sus aspectos cualitativos a los de la figura 16-7,
razón por la cual podemos tomar las características de esta figura como ampliamente
generales.
PROBLEMAS
16-1
Un péndulo en la primera aproximación en un oscilador armónico. Determine la
energía cuántica del punto cero para un péndulo de 10m de longitud en el
campo gravitacional de la tierra.
16-2
Use una tabla de integrales y muestre que la función características  o de la
tabla 16-1 está normalizada.
16-3
Use la tabla 16-1 y encuentre la expresión para la función características V4(x)
para el oscilador armónico.
16-4
¿Cuál es la frecuencia de vibración de un electrón con una energía de punto
cero de 15 e V? ¿Cuál es el siguiente valor permitido de la energía para este
electrón?
16-5
Cuando electrones de 1.0 e V inciden sobre una barrera de potencial de 8.0 e V
(tal como la función de trabajo de un metal), ¿qué fracción de electrones
penetrará la barrera si ésta tiene 5.0 A de ancho?
16-6
Una partícula de energía cinética E incide sobre un pozo de potencial con V > E
como se muestra en la figura 16-8
(a) establezca las ecuaciones de Shrodinger para las regiones I y II y encuentre la
expresión para la función de onda en cada región.
(b) Use las condiciones fronterizas y la definición de función de onda para
determinar las constantes de las funciones de onda [Si α2 = (2m/h2) E y ß2 =
2m (V – E) / h2, entonces la constante asociada con el eßx debe ser cero].
(c) Si A es la amplitud de la función de onda incidente y B es la amplitud de la
función de onda reflejada, muestre que el coeficiente de reflexión es igual a
uno, o sea,
R
B
A
2
2
1
¿Qué significa esto físicamente?
16-7
Los electrones están atrapados a 3.0 A dentro de la superficie de una placa de
metal: ¿Cuál es la probabilidad de que los electrones escapen de la placa si la
barrera de potencial es de 8.0 e V y la energía de los electrones es (a) I.0 e V,
(b) 4.0 e V, y (c) 7.0 e V?
16-8
La ecuación 16-43 es válida solamente cuando la barrera es alta o ancha. La
ecuación exacta para el coeficiente de transmisión es

T  1
16-9
senh 2
2mVt

/ h 2 1 E / V 
4 E / V 1 E / V 
2

1
Una partícula α está atrapada en un núcleo cuyo radio es ro = 1.4 x 10-15m.
¿Cuál es la probabilidad de que una partícula α escape del núcleo si su energía
es (a) 2.0 MeV, o (b) 1.0 MeV?. La barrera de potencial en la superficie del
núcleo es 4.0 MeV.
16-10 Para el oscilador armónico clásico, la probabilidad P de encontrar la partícula
en una longitud dx es proporcional al tiempo que estuvo en dx, o sea, a dx/v.


2
(a) Muestre que P es proporcional a dx / 2m E  1 2 kx . (b) Muestre que la
constante de proporcionalidad A en la integral.
P
b
Adx

a a 2 m E  12 kx2

1
Es igual a K2m2/π. Para el oscilador armónico clásico cuales son los límites a y
b?
CAPITULO 17
DIFERENTES MODELOS DE LA MECÁNICA
17-1 MODELOS DE LA MECÁNICA
Hagamos una pausa en este punto, y revisemos los varios modelos básicos del mundo
físico a los que nos referimos como “mecánica”. En este capítulo haremos un resumen
breve dejando las pruebas detalladas y los ejemplos para los respectivos capítulos
donde cada modelo fue desarrollado. Aquí sólo se presentan los resultados principales
de cada uno, de manera que podamos compararlos con los diferentes enfoques.
Debemos darnos cuenta de que estos modelos no son puntos de vista competitivos,
ni concepciones de la naturaleza diferentes y exclusivas que deban ser probadas de
forma que algún día sólo una sea aceptada y las demás rechazadas. Los modelos que
los físicos han desarrollado son, de hecho, diferentes aproximaciones a la realidad de
la naturaleza, aplicables en diferentes circunstancias. Aún no hay un número de
aproximaciones suficientes para describir todo cuanto observamos en la naturaleza, ni
tampoco una sola teoría unificada que pueda usarse para describir cualquier situación.
El progreso de la física consiste en encontrar nuevas aproximaciones para cubrir
nuevas observaciones y en desarrollar generalizaciones que reúnan tales
aproximaciones dentro de varias teorías. Estas aproximaciones matemáticas, junto
con los conceptos que las ligan a una parte de la naturaleza, se llaman modelos.
Los modelos que estudiamos en este texto pueden ser llamados (1) el Newtoniano o
mecánica clásica, (2) la mecánica especial relativista, y (3) la mecánica cuántica u
ondulatoria.
17-2 MECÁNICA CLÁSICA
La mecánica clásica o Newtoniana fue, históricamente, el primer sistema de mecánica
desarrollado dentro de lo que ahora llamamos física. Basada en las observaciones del
movimiento de los objetos ordinarios en el mundo cotidiano, la mecánica clásica tuvo
éxito al desarrollar una descripción general del movimiento de estos objetos y de sus
interacciones. Estos objetos no eran ni muy grandes, como lo son las galaxias, ni muy
pequeños, como los átomos. Cuando se hallaban en movimiento no viajaban a
velocidades demasiado grandes, sino pequeñas comparadas con la de la luz. En
general, la mecánica clásica describe con éxito el movimiento de estos objetos.
La mecánica clásica, en su forma más elemental, puede considerarse basada en las
tres leyes del movimiento, de Newton:
La ley de la inercia establece que un cuerpo libre se encuentra en reposo o
moviéndose a velocidad constante.
La ley de la fuerza establece que la fuerza F actuante sobre una partícula de masa m
es igual a la razón de cambio en el tiempo del movimiento p=mv.
F
d
mv 
dt
(17-1)
La ley de la acción y la reacción establece que cuando un cuerpo A ejerce una fuerza
FA sobre un cuerpo B, por cualquier medio, B a su vez ejerce una fuerza igual y otra
opuesta FB sobre A, de modo que
FA  FB
(17-2)
La ley de la inercia define la condición de equilibriopara un cuerpo e implica la
conservación del momento. Ambas leyes, ésta y la de la acción y reacción, pueden ser
derivadas de la ley de la fuerza, ecuación (17-1), y así deducimos que la segunda ley
es la más fundamental de la mecánica clásica. De manera alterna puede considerarse
la conservación del momento como la más básica*. Considere una agrupación de n
partículas que se mueven libremente no sujetas a fuerzas externas. Dejemos, sin
embargo, que haya un número arbitrario muy grande de fuerzas actuante entre las
partículas, y dejemos que sus masas y velocidades sean m1, m2, ... mn y v1, v2, ... vn.
La ley de la conservación del momento establece que el momento total del grupo está
compuesto de la suma vectorial de los momentos de las partículas, y que ésta suma
permanece constante aunque los momentos de las partículas individuales pueden
cambiar. Esto es,
n
m v
i 1
i
i
 m1 v1  m 2 v 2  ...  m n v n  constan te
(17-3)
Así, si el momento de una de las partículas cambia, el momento de una de las
partículas cambia. El momento de al menos otra partícula también debe cambiar para
preservar constante la suma en la ecuación (17-3). La interacción entre estas
partículas causante de dicha acción cooperativa es llamada “fuerza”, y la segunda y la
tercera ley de Newton se siguen como una consecuencia lógica. El principio de
conservación en la ecuación (17-3), tomado con su consecuencia, la ecuación (17-1),
sirve para definir la noción de fuerza. Sin embargo, el concepto de fuerza pierde
mucho de su relevancia, en ambos mundos el microscópico de la mecánica cuántica y
el macroscópico de la teoría general de la relatividad (que no estudiaremos en este
texto)
Para estudiar el movimiento clásico de una partícula, su masa m se toma como una
constante y la ecuación (17-1) se expande como
F
d
dv
d2r
(mv)  m
m 2
dt
dt
dt
(17-4)
El vector r es el vector de posición de la partícula con respecto al origen de un sistema
de coordenadas inerciales arbitrarios: por ejemplo
r  îx  ĵy  k̂z
(17-5)
El sistema no necesita ser cartesiano-puede ser un sistema de coordenadas esféricas
o cilíndricas o cualquier otro de tres coordenadas espaciales ortogonales.
La ecuación de movimiento que da la posición como una función del tiempo t se
obtiene integrando la ecuación (17-4), lo que da
r  rt, c,...,c 6 
(17-6)
donde las seis c’s constantes de integración. La evaluación de estas constantes está
basada entonces sobre la suposición fundamental de que en algún tiempo inicial,
cuando t=t0 , tanto la posición de la partícula,
ro  îx o  ĵyo  k̂z o
(17-7)
como su velocidad
v o  î
d
d
d
x o  ĵ y o  k z o
dt
dt
dt
(17-8)
se conocen simultáneamente y con precisión absoluta. La posibilidad teórica de
obtener este conocimiento es incuestionable; su adquisición está basada solamente en
nuestra habilidad para realizar la medición.
Nuestra ecuación (17-6) de movimiento se ha obtenido, en este caso, con respecto a
algún marco particular de referencia con el cual hemos elegido empezar. Si la
ecuación correspondiente de ha de valuar con respecto a otro sistema de
coordenadas, podemos empezar de nuevo en la derivación o usar para obtenerla una
“transformación de coordenadas”. La transformación es simplemente un conjunto de
relaciones entre las coordenadas del sistema de referencia y aquellas del segundo.
En la mecánica clásica , esta es la transformación Galileana, llamada así en honor a
Galileo.
Refiriéndonos por ejemplo, a la figura 17-1 vemos que si S1 ( x1 , y1, z1 , t1 )
indica un
sistema de coordenadas inercial arbitrario y S 2 ( x21 , y2, z 2 , t 21 ) es un segundo sistema
inercial que se mueve con respecto a S 1 con velocidades constante v, entonces las
coordenadas en S 1 de un evento E( x1 , y1, z1 , t1 ) que tiene lugar en un punto P están
relacionadas a las coordenadas en S 2 del mismo evento E en el mismo punto P por
x1  x 2  vt 2
y1  y 2
z1  z 2
t1  t 2
(17-9)
Figura 17-1
Las coordenadas del evento E( x1 , y1, z1 , t1 ) que ocurre en el punto p están
relacionadas a las coordenadas en S 2 del mismo evento E( x2 , y2, z 2 , t 21 ) a través de
las transformaciones Galileanas, los vectores unitarios i, j y k son los mismos en
ambos sistemas, ya que los ejes (x, y, z) en S 1 y S 2 son paralelos.
Este conjunto de ecuaciones define transformación Galileana de Ejes Cartesianos.
Tienen contrapartidas cuando se aplica a otros sistemas coordenados, tales como las
coordenadas esféricas o cilíndricas.
La situación se ha simplificado tomando la velocidad relativa v a lo argo del eje x
tanto S 1 y como de S 2 . Esto tienen el efecto de igualar los valores numéricos de las
coordenadas y y z en 17-9. La igualdad de t 1 y t 2 -el valor del tiempo en cualquier
instante y en cualquier lugar leído es movimiento relativo y se toma como una
suposición fundamental.
De la ecuación(17-9), se encuentra que la correspondiente transformación Galileana
de velocidades es
v1x  v 2 x  v
v1 y  v 2 y
(17-10)
v1z  v 2 z
Donde la velocidad de la partícula en el punto P medida en S 1 es
V1  iv1x  jv1y  kv1z
(17-11)
Y la velocidad de la misma partícula en el mismo punto P y en el mismo tiempo t 1 = t 2
medida en S 2 es
V2  iv2 x  jv2 y  kv2 z
(17-12)
La composición clásica o Galileana de velocidades está dada entonces por
V1  V2  V
(17-13)
Y, finalmente, las aceleraciones de las partículas medidads desde los dos sistemas
coordenados son
(17-14)
a1  a 2
Ya que en la mecánica clásica la masa m es una constante universal, de la ecuación
(17-14) obtenemos
m a1  m a2
Y las leyes de Newton son invariantes en ambos sistemas S 1 y S 2 .Por lo tanto,
también el sistema S 2 es inercial.
Es importante recordar que la transformación es una operación con varias
representaciones, una de ellas dada por el sistema de ecuaciones (17-9).
Consecuencia inmediata de la transformación Galileana es el principio clásico de la
relatividad, el cual establece que las leyes de la mecánica son invariantes en forma
para todos los marcos inerciales que se mueven los unos respecto a los otros, con
una velocidad relativa constante y pequeña comparada con la velocidad de la luz en
el vacío.
Figura 17-2
El principio de Hamilton establece que si ACB es la trayectoria real seguida por una
partícula viajando entre los puntos Ay B, y ADB es cualquier “trayectoria ligeramente
diferente” que conecta los mismos puntos, integral

t2
t1
( K  V ) / dt tienen el mismo
valor para ambas trayectorias. O, en otras palabras I  0 lo que significa que

t2
t1
( K  V ) / dt tiene” una valor estacionario”, puede ser un mínimo o un máximo.
Se ha descrito a la mecánica clásica como basada en el concepto de fuerzas que
actúan sobre masas (Leyes de Newton)o, como una alternativa , basada en el principio
de conservación del momento.
Otros puntos de partida se emplean en varias aproximaciones a la mecánica clásica, y
desde luego todas deben dar los mismos resultados al aplicarse a cualquier problema
dado. Cada uno provee un concepto algo diferente de la naturaleza básica del
universo físico, y ofrece ventajas particulares en la aplicación a problemas reales. Una
aproximación muy importante a la mecánica clásica – que no trataremos con detalle
en este texto, pero usada ampliamente en la dinámica clásica avanzada y adaptable
tanto a la mecánica relativista como a la cuántica – se basa en el principio de
Hamilton. Este principio considera una situación dinámica en la cual, por ejemplo,
(figura 17-2) una partícula viaja entre los puntos A y B en un tiempo t  t 2  t1 bajo la
influencia de fuerzas. La energía cinética K y la energía potencial V se definen como
funciones de la posición y del tiempo a lo largo de la trayectoria. El principio de
Hamilton establece que las integrales
4
 ( K  V )dt
2
de las diferentes funciones (K-L)
sobre el tiempo t  t 2  t1 son las mismas cuando se toman a o largo de cualquier
trayectoria real ACB o cualquier trayectoria ligeramente diferente (v,gr.,ADB).
La cantidad L= k-v es llamada la función Lagrangiana o el potencial cinético. Se dice
que la integral temporal entre dos puntos a lo largo de una trayectoria dinámica tiene
un valor estacionario con respecto a la misma integral tomada sobre cualesquiera
otras trayectorias permitidas (o diversas). El valor de la integral a lo largo de una
trayectoria, en muchos casos de interés. Todas las leyes de la dinámica clásica
pueden ser derivadas del principio de Hamilton , y éste provee de un sistema de
mecánica basado en energías en lugar de cantidades vectoriales tales como las
fuerzas o los momentos. Ya que la energía (en sus muchas formas) para ser la “
esencia” primaria de la cual está formado todo el universo físico , tal vez una
aproximación Hamiltoniana a la mecánica sea la más fundamental.
17-3 MECÁNICA RELATIVISTA
Cuando una situación dinámica implica cuerpos moviéndose con velocidades que se
acercan a la velocidad de la luz, la aproximación que debe usarse es llamada
mecánica
relativista. Si hay grandes aceleraciones involucradas, o masas
extremadamente grandes como se encuentran en las estrellas neutrónicas, debemos
trabajar en uno de los sistemas de la mecánica relacionados con la teoría general de
la relatividad. Esta complicación se encuentra aquí requiriendo que las masas sean
también de tamaño ordinario y que cualesquiera velocidades implicadas, aunque muy
grandes, sean constantes o cambien de manera muy uniforme. Estos son los límites
de la teoría especial de la relatividad.
Un resultado experimental primario, el experimento de Michelson y Morley, suministró
muchos de los motivos para el desarrollo de esta teoría. Una suposición básica se
desprende de la consideración de este resultado: que la velocidad de un paquete de
luz en un vacío (c) es la misma para todos los observadores inerciales (un
observador inercial es un observador en reposo a un marco inercial) , aún cuando
estos puedan estar moviéndose relativamente entre sí con velocidades constantes
arbitrarias. Ya que todas las observaciones de los eventos naturales son, en último
caso, llevadas a cabo de alguna forma
a través del uso
de campos
electromagnéticos, debe emplearse una transformación
de coordenadas
fundamentalmente diferente de la Galileana, dada por la ecuación (17-9). Ahora
debemos usar la transformación de Lorente. Cuando se aplica a los sistemas
representados en la figura 17-14, las ecuaciones de y transformación de Lorente son:
(17-15)
Donde  es el factor de Lorentz

1
1  (v 2 / c 2 )
(17-16)
La razón de la velocidad de la luz c a menudo se indica por el símbolo

v
c
(17-17)
El estudiante debe mostrar que a medida que se vuelve muy pequeña comparada con
c la ecuación (17-15) se reduce a la ecuación (17-9) de la transformación Galileana .
La transformación de Lorente o relativista de velocidades correspondientes a la
ecuación (17-15) está dada por
v1x 
v1 y 
v2 x  v
1   (v 2 x / c )
v2 y 1   2
1   (v 2 x / c )
v2 z 1   2
v1z 
1   (v 2 x / c )
(17-18)
Estas también se reducen a sus aproximaciones Galileanas dadas por la ecuación
(17-10) cuando

v
0
c
Una consecuencia de la transformación de Lorente es que la diferencia entre los
valores de dos coordenadas (digamos, una longitud a lo largo del eje x) depende de la
velocidad relativa entre ese eje particular y el observador que mide la longitud.
Esto se ve en la primera de las ecuaciones (17-15), donde  es un factor común para
cualesquiera dos valores x1 y así multiplica cualquier longitud a lo largo del eje x. se
encuentra fácilmente que la ley de transformación para longitudes espaciales es
L1 
1

L2
(17-19)
Ya que el valor de  es siempre mayor que la unidad L1 es siempre menor que L2 , y
así hablamos de contracción de la longitud.
Una consecuencia similar se deduce de la última de las ecuaciones (17-15). El
intervalo temporal entre dos valores de t1 también es afectado por la velocidad
relativa. La ley de transformación resultante para intervalos temporales es
T1  T2
(17-20)
Y así decimos que se agrandan o dilatan .
Ahora podemos extender la definición del principio de relatividad clásica declarando
que las leyes naturales son invariables en forma para todos los marcos inerciales que
se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante arbitraria.
La ley de conservación del momento, dada por la ecuación (17-3), es válida así como
está formulada tanto en la mecánica relativista como en la clásica. Este hecho lo
recomienda como punto de partida en un modelo de la naturaleza. Esta ley, al tomarse
en conjunto con la transformación de Lorente, resulta en una definición de la masa
m velocidad
 m0
que también depende de la
relativa.
(17-21)
Donde m0 , la masa de reposo, se toma como la masa de medida por un observador
en reposo relativo.
En el menor valor posible de m para cualquier objeto.
La fuerza se define en la mecánica relativista igual que en la mecánica clásica
F
d
(mv )
dt
(17-22)
Igual a la segunda ley de Newton, excepto que m es ahora una función de r de
acuerdo con la ecuación (17-21)
Ahora la ecuación (17-22) puede usarse para definir relativísticamente a la energía
cinética como
s
s
0
0
K   F .ds  
v
d
(mv )ds   v.d (mv )
0
dt
(17-23)
Donde la energía cinética es el trabajo hecho por F sobre el cuerpo para cambiar su
velocidad de 0 a v.
En la ecuación (17-23), hemos supuesto que F actúa paralelamente a v, pero el
resultado que vamos a obtener también es válido para movimiento curvilíneo.
La forma relativista par la energía cinética a partir de esta ecuación es
K  (m  m0 )c 2
Cuando v / c  0 , esta se reduce a la expresión clásica
(17-24)
17-6 PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
Otra característica del mundo microscópico, relacionada estrechamente con el
problema de la dualidad, es el principio de incertidumbre de Heisenberg. Este principio
establece que hay pares de variables, referente a un sistema microscópico, que no
pueden ser conocidas simultáneamente con precisión infinita. Considérese por
ejemplo, un electrón. Su posición x y su momento p se conocen solo con cierta
precisión. Si x es la incertidumbre en la posición y p la incertidumbre en el
momento
xp  h
(17-42)
Donde ha es ka constante de Planck. Si sucede que la posición x es perfectamente
conocida, entonces se deduce que no sabemos nada sobre la magnitud de p, y
viceversa. La misma relación se mantiene para la energía y el tiempo relativos a
cualquier evento o estados dados como una consecuencia de la ecuación (17-42),
Et  h
(17-43)
El principio de incertidumbre brota del hecho de que nos vemos forzados a
representar a una partícula por un paquete de ondas (ver figura 17-3), en el cual el
infinito número de ondas monocromáticas que forman el paquete tienen una
extensión efectiva en la frecuencia de v  E / h . La partícula en alguna parte
dentro de la región x del paquete, y la incertidumbre es
h

p     h 2

 y
(17-44)
Esta incertidumbre es intrínseca a la propia naturaleza de los sistemas que más
estamos discutiendo, y representa un límite último a lo que es conocible acerca de
ellos. No tiene que ver con cualesquiera dificultades técnicas encontradas en la
construcción real de instrumentos de medición más precisos.
Figura 17-3
La región de máxima interferencia de un paquete viajero de onds representa una
partícula en movimiento
PROBLEMAS
17-1 En un sistema inercial S1 , una masa de 2.0 kg se mueve con una velocidad
v1  5.0i  3.0 j m/seg y choca de frente con una masa de 3.0kg que se mueve con
una velocidad v2  10i  6 j (a) Determine el momento de cada masa medidos por
un observador moviéndose con una velocidad v0  6i con respecto al sistema S1 .
17-2
Una
estación
de radar
observa dos naves, una con velocidad
v1  (0.54c)i  (0.72) j y la segunda con una velocidad v2  (0.54c)i . ¿Cuál es la
velocidad de la primera nave medida por la segunda?
17-3 El laureado Nobel Ernest Laurence propuso planes par un ciclotrón con un imán
de 4000 toneladas, en el cual los iones pudieran ser acelerados a través de un
potencial de 100 MeV.(a)¿Cuál será la masa relativista de un protón acelerado a
través de este potencial ? (b) Cuál será la masa relativista del imán, medida por un
observador en el protón?
17-4 Determine la longitud de onda de un cuanto de luz, cuya “masa efectiva” es igual
a la masa de reposo de (a) u electrón y (b) un protón.
17-5 Una partícula de masa de reposo m0 que viaja con una velocidad (0.90c)i hace
colisión completamente inelástica con otra partícula idéntica (a) Determine la
velocidad de las masas combinadas a medida que se alejan juntas. (b) ¿Cuál es el
cambio en la energía cinética?
17-6 Muestre que la función
 ( x)  Ax exp[ ( mk / 2h) x 2 ]
Podría ser una solución de la ecuación de Schödinger par aun oscilador armónico de
masa m con una constante de resorte k.
17-7 Un láser pulsante de rubí con una salida de 2.0GW (gigawats) produce un pulso
con una duración de 10 pseg. ¿Cuál es la incertidumbre relativa en la medición de la
energía del láser?
17-8 ¿Cuál es la velocidad de un electrón con una masa relativista igual a 1.1 m0 ?
¿Cuántos electrón-volts de energía se requieren para que el electrón alcance esta
masa?
17-9 Determine la longitud de onda asociada con un electrón que se desplaza a (a)
0.80c, y (b) 0.90c