6.5.5 ecuaciones diferenciales de bernoulli.

UNIDAD VI. ECUACIONES DIFERENCIALES.
15 Hrs.
6.1 Definición de una ecuación diferencial.
6.2 Origen de las ecuaciones diferenciales.
6.3 Una clasificación de las ecuaciones diferenciales.
6.4 Solución general y particular de una ecuación
diferencial.
6.5 Métodos de solución de ecuaciones diferenciales de
primer orden y primer grado.
6.5.1 Ecuaciones diferenciales de variables separables.
6.5.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas.
6.5.3 Ecuaciones diferenciales exactas.
6.5.4 Ecuaciones diferenciales lineales.
6.5.5 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli.
6.6 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
6.1 DEFINICIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.
¿Qué es una ecuación?. Las que conoces son:
 2 x  4  6,
x y 0
x2  5x  6  0
x2  2 y  0
entonces si observas, todas tienen una o varias incógnitas y la relación de
igualdad.
¿Qué es una ecuación diferencial?.
Ejemplo 6.1.1
Definición
Una ecuación diferencial es la relación (igualdad) que hay entre una
función y sus derivadas.
6.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Siglos XVII y XVIII origen de las ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales se originan en los principios del
cálculo, con Isaac Newton y Gottfried Wilheln Leibnitz en el
siglo XVII.
Newton clasificó las ecuaciones de primer orden de acuerdo con las
formas dy dx  f ( x), dy dx  f ( y), y dy dx  f ( x, y).
En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecuación:

ydy 
1 2
y
2
descubrió el método de separación de variables, así como procedimientos para
resolver las ecuaciones homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales
de primer orden.
A Newton y Leibnitz , siguieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y
Daniel. Con ayuda del cálculo formularon y resolvieron las ecuaciones
diferenciales de muchos problemas de mecánica. Entre ellos el de la
braquistócroma que conduce a las ecuaciones no lineal de primer orden

y 1  ( y) 2


c

1
3
2 2
3
2
En aquel tiempo, pasar de la ecuaciones y  a (b y  a )
a la forma
diferencial y, entonces, afirmar que las integrales en ambos lados de la
ecuación debían ser iguales, excepto por una constante, constituyó
ciertamente un avance
trascendental.

ax dx  d ax
p
Así
p 1
por
Johann sabía que
( p  1) no era para p = -1 no sabía que dx x  d (ln x) .

ejemplo,
mientras
Sin embargo, pudo demostrar que la ecuación dy dx  y ax , que podemos
resolver escribiéndola como
a
tiene la solución y
a
dy
dx

,
y
x
x  c.
A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati, matemático italiano, consideró
ecuaciones de la forma f  y, y, y  0 .
Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de problemas de la mecánica
y su desarrollo de métodos de solución para estos problemas matemáticos.
También , mediante un cambio adecuado de variables, redujo ecuaciones de
segundo orden a ecuaciones de primer orden; Creó el concepto de factor
integrante; en 1739 dio un tratamiento general a las ecuaciones diferenciales
lineales ordinarias con coeficientes constantes; contribuyó al método de las
soluciones en series de potencias y dio un procedimiento numérico para
resolver las ecuaciones diferenciales.
Posteriormente en el siglo XVIII, los grandes matemáticos franceses JosephLouis Lagrange (1736-1813)
y Pierre-Simon Laplace (1749-1827)
hicieron importantes aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales
ordinarias y, además, dieron por primera vez un tratamiento a las ecuaciones
diferenciales parciales.
La finalidad no es tanto crear métodos de solución para
ecuaciones diferenciales particulares, sino desarrollar técnicas
apropiadas para el tratamiento de diferentes clases de ecuaciones
6.3 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
ORDINARIAS
ECUACINES
DIFERENCIALES
PARCIALES
LINEALES
PRIMER ORDEN
EC. DIFERENCIALES
ORDINARIAS
NO LINEALES
ORDEN SUPERIOR
A PARTIR DEL SEGUNDO
Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice
que es una ecuación diferencial ordinaria. Una ecuación que contiene las
derivadas parciales de una o mas variables dependientes de dos o más
variables independientes, se llama ecuación diferencial parcial.
Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan porque la variable
dependiente y sus derivadas son de primer grado, esto es la potencia de cada
término que involucra a y es uno. Los coeficientes dependen sólo de la
variable independiente x.
Una ecuación que no es lineal se le llama no lineal.
Ejemplo 6.3.1
Las ecuaciones que estudiaremos tienen la forma :
dy
 f ( y, t )
dt
y se llaman ecuaciones diferenciales de primer orden.
6.4 SOLUCIÓN GENERAL Y PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL.
Sea la ecuación diferencial:
dy
 2t
dt
(1)
Para encontrar una solución de esta ecuación, es necesario contestar la
pregunta:
¿Qué función y(t) al derivarla nos da 2t?. Si recordamos las fórmulas de
derivación podremos contestar la pregunta y decir que es la función :
y(t) = t 2
es decir, esta función es la que satisface la igualdad de la ec. (1), es la
solución de la ec. (1). ¿Es la única solución?
y(t)= t 2 + 1
y(t) = t 2 + 2
y(t) = t 2 + c donde c  R
(2)
Como podemos observar existe una infinidad de soluciones ver Fig. 6.4.1 y a
(2) le llamaremos solución general de la ec. dif. (1).
¿Cuándo existe una única solución?. Que pasaría si en (2) sustituimos los
valores x=1 y y=3, observemos que al despejar c=2 y al sustituirlo en la
solución (2) obtendremos una solución particular:
y(t)= t 2 +2
es decir, basta fijar un punto (t 0,y 0) para obtener una solución particular.
¿Siempre existe una solución particular para el problema
dy
 f ( y, t ) con
dt
valores iniciales (t 0,y 0)?. La respuesta sería si, siempre y cuando, en el
problema la función f ( y, t ) y su derivada sean funciones continuas en un
intervalo I que contenga al punto (t 0,y 0) .
Ejemplo 6.4.1
6.5 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO.
Para poder aplicar los diferentes métodos para encontrar la solución de una
ecuación diferencial de la forma:
dy
 f ( y, t )
dt
es necesario seguir los dos pasos siguientes:
1.- Identificar la ecuación.
2.- Aplicar el método correspondiente para encontrar su solución.
6.5.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES
SEPARABLES.
Definición
Una ecuación diferencial que se puede poner de la forma:
dy
f (t )

dt g ( y)
recibe el nombre de ecuación diferencial de variables separables.
Ejemplo 6.5.1.1
Método
Cuando una ecuación diferencial se puede llevar a una ecuación de variables
separables, el método para resolverla consiste en: poner en uno de los
miembros de la igualdad todo lo que esta en términos de la variable
dependiente y en el otro todo lo que esta en términos de la variable
independiente, posteriormente se integran ambos miembros con respecto a su
variable y de esta manera obtenemos la solución general de la ecuación.
Ejemplo 6.5.1.2
6.5.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
Definición.
Si una ecuación diferencial se puede llevar a la forma
dy
 y
 f 
dx
x
entonces decimos que se trata de una ecuación homogénea.
Una ecuación homogénea puede ser resuelta con el cambio de variable u 
x
, donde u y v son variables dependientes y transformaran la
y
ecuación en una ecuación de variables separables.
o bien v 
Ejemplo 6.5.2.1
6.5.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.
Definición.
Una ecuación diferencial de la forma
M x, y dx  N x, y dy  0
(1)
se dice que es exacta si
M  x, y 
N  x, y 

y
x
Si la ecuación (1) es exacta entonces existe una función f(x,y) tal que
M x, y dx  N  x, y dy 
f ( x, y )
f ( x, y )
dx 
dy
x
y
y
x
para toda (x,y), es decir
f x, y 
 M x, y .................2
x
f x, y 
 N x, y ...................3
y
Método de solución para resolver una ecuación diferencial exacta:
Integrando (2) con respecto a la variable x obtenemos
f  x, y    M ( x, y )dx  h y 
(4)
derivando (4) con respecto a la variable y tenemos
f x, y  

y
y
 M ( x, y)dx h y 
igualando esta expresión con (3) obtenemos h( y )
h( y)

 N ( x, y) 
y
y
 M ( x, y)dx
la cual al integrarla nos da h( y ) , que sustituyendo en (4), obtenemos la
solución general de la ecuación diferencial exacta (1):



f x, y    M ( x, y)dx    N ( x, y)   M ( x, y)dx dy
y


La integración con respecto a la variable y se obtiene de una manera similar.
Ejemplo 6.5.3.1
6.5.4
ECUACIONES DIFERENCIALES, LINEALES DE PRIMER
ORDEN.
Definición.
Una ecuación diferencial de la forma
dy
 px  y  qx 
dx
se llama ecuación diferencial lineal , de primer orden.
El procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones, consiste en:
(1)
Primer paso. Encontrar el factor integrante.
p  x dx

e
Segundo paso. Multiplicamos la ecuación (1) por el factor integrante.
e
p  x dx
(
p  x dx
dy
 px  y )  e 
qx 
dx
la cual es equivalente a la ecuación
d (e 
p  x dx
y)  e 
p  x dx
qx dx
Tercer paso. Integramos esta última ecuación y resulta
e
p  x dx
p  x dx
y   e
qx dx  c
o bien
 p  x dx
ye 

p  x dx
  p  x dx

e
qx dx  ce
en otras palabras la solución de la ecuación (1) es de la forma (2).
Ejemplo 6.5.4.1.
Ejemplo 6.5.4.2.
(2)
6.5.5 ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI.
Definición.
Una ecuación diferencial de la forma
dy
 px  y  qx  y n
dx
(1)
donde n es un número real diferente de 0 y 1, se llama ecuación de
bernoulli.
El procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones, consiste en realizar el
1 n
cambio de variable v  y , para convertir la ecuación (1) en una ecuación
lineal y resolverla de esa manera.
Ejemplo 6.5.5.1.
6.6
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
L
E
R
Considere un circuito en serie que solo contiene un resistor y un inductor
(circuito L-R). “La segunda ley de Kirchof” establece que las sumas de las
caídas de voltaje a través de un inductor [L (di/dt)  y el resistor iR es igual al
voltaje aplicado,  E (t)  al circuito.
Dando origen a la ecuación diferencial lineal que describe la corriente i (t)
L
di
+ Ri = E (t)
dt
(1)
Un acumulador de 12 V se conecta a un circuito R-L, con una inductancia de
1
Henry y una resistencia de 10 . Determinar i , si la corriente inicial es
2
cero.
Solución: Lo que debemos resolver de acuerdo a
la ecuación (1) es el problema con valores
iniciales:
1 di
 10i  12
2 dt
(2)
i (0) = 0
Obsérvese que la ecuación (2) se puede llevar a la forma:
di
dt + 20 i = 24
Resolviéndola como una ecuación diferencial lineal de primer orden se tiene
la solución general :
i(t ) 
6
c
 20t
5
(3)
e
Con la corriente inicial igual a cero, tenemos sustituyendo y despejando en (3)
6
20 t 
c  e i(t )  
5

6

i(0)  5 


6
c
5
Por lo tanto, sustituyendo el valor de C en (3), tenemos como solución
particular del problema:
20 0 
ce
i(t ) 
6
6
 20t
5 5e
1.4
1.2
(Amp)
1
0.8
Serie1
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
2
3
4
5
t(s)
6
6
i
(
t
)


Grafica de
5 5 e20t
REACCIONES QUÍMICAS
En química hay algunas reacciones que se apegan a la siguiente ley empírica:
Si las moléculas de la sustancia A se descompone y forma moléculas más
pequeñas, es natural suponer que la rapidez con que se lleva acabo esa
descomposición es proporcional a la cantidad de la sustancia A que queda en
cualquier momento, es decir,
dx
 kx
dt
donde k es una constante negativa (porque es decreciente).
PROBLEMA
El isótopo radiactivo de Plomo, Pb 209, se
desintegra en un instante cualquiera, con una
rapidez proporcional a la cantidad presente en
dicho instante y tiene una semivida ( o período
medial) de 3.3 horas. Si inicialmente hay un
gramo de plomo, ¿cuánto tiempo transcurrió
para que se desintegre el 90% de dicho elemento?
Solución. Para contestar la pregunta anterior, se resuelve el problema con
valores iniciales
dx
 kx
dt
x0   1
x3.3 
1
2
Resolviendo por variable separada
x  Ce
kt
(1)
Como x(0) = 1, es decir, en t = 0 y x = 1 podemos calcular el valor de c
sustituyendo en (1)
1 Ce
k (0)
C 1
Considerando que en un tiempo t = 3.3, x =  y
sustituyendo en la solución general obtenemos:
1
2
e
k ( 3..3)
1
ln 
2
k     0.21
3.3
Sustituyendo c =1 y k = -0.21 en
(1),
se tiene la solución particular:
xe
0.21t
CANTIDAD DE
PLOMO
GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN
PARTICULAR
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
TIEMPO
Para obtener el tiempo que transcurrió para que
se desintegre el 90% de dicho elemento se tiene:
0.21t
0.1  e
ln0.1  0.21t
t
ln 0.1
 0.21
t  10.96horas
t  11horas
Costo
El costo de la vida es la cantidad requerida para
comprar cierta lista fija de bienes y servicios en
un año. Se supone que esta sujeto a un
crecimiento exponencial. La tasa de crecimiento
se conoce como la tasa de inflación.
dp
 kp
dt
Problema:
El costo de una botella de 2 litros de una bebida
era de 85 pesos hace dos años, pero ahora cuesta
95 pesos.Si esta tasa de crecimiento continuara,
¿cuál será el tiempo aproximado para que costara
$150?
Solución. Para
contestar el problema anterior se
resuelve el problema con valores iniciales:
dp
 kp
dt
P(0) = 85
P(2) = 95
Aplicando el método de variables separables
tenemos la solución general
p  cekt
(2)
Sustituyendo las condiciones iniciales P(0) = 85,
en (2) obtenemos:
85 = c ek (0)
c = 85
Sustituyendo la condición de p(2) = 95, c = 85 en
(2) tenemos:
95 = 85 e 2 k
95
85
ln 1.1176 2k
e 2k 
2k  0.11
0.11
k
 0.055
2
Por lo tanto sustituyendo c = 85 y k = 0.055 en
se obtiene la solución particular.
p(t) = 85 e0 .0556 t
(2)
(3)
Sustituyendo el dato p = $150 en (3), obtenemos el
tiempo aproximado para que la botella cueste
$150.
150  85e 0.0556 t
150 0.0556 t
e
85
1.764  e 0.0556 t
ln1.764  ln e 0.0556 t
ln1.764
0.0556
t  10.2155años
t
250
Precio ($)
200
150
100
50
0
0.000
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
Tiempo (años)
Grafica de p(t) = 85 e0 .0556 t
14.000
16.000
18.000