Tema 2 Ecuaciones

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES: Mayores de 25 años.
Tema 2. Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de
ecuaciones.
 Igualdades, identidades y ecuaciones. Identidades notables.
 Resolución de ecuaciones. Ecuaciones lineales.
 Ecuaciones de segundo grado.
 Inecuaciones de primer grado con una incógnita.
 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
IPEP de Granada
Dpto. de Matemáticas
Tema 2. Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de ecuaciones.
Igualdades, identidades y ecuaciones. Identidades notables
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser:
Falsa:
Ejemplo
2x + 1 = 2 · (x + 1)
2x + 1 = 2x + 2
1≠2.
2x + 2 = 2x + 2
2=2
Cierta
Ejemplo
2x + 2 = 2 · (x + 1)
Identidad
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.
Ejemplo
2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
Ecuación
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
x+1=2
x=1
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo
igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.
Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.
Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
2x − 3 = 3x + 2
x = −5
2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 −3 = −15 + 2
−13 = −13
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones según su grado
Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x +1
Ecuación de segundo grado.
5x + 3 = 2x2 + x
Ecuación de tercer grado.
5x3 + 3 = 2x +x2
Ecuación de cuarto grado.
5x3 + 3 = 2x4 +1
Resolución de ecuaciones. Ecuaciones lineales
Ecuaciones de primer grado
1) Resuelve
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos y sumamos:
Despejamos la incógnita:
2) Resuelve
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
Despejamos la incógnita:
3) Resuelve la ecuación
Quitamos paréntesis y simplificamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
4) Resuelve la ecuación
5) Resuelve la ecuación
6) Resuelve la ecuación
7) Resuelve la ecuación
8) Resuelve la ecuación
8) Resuelve la ecuación
Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
Ejemplos
1.
2.
3.
Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o c, o
ambos, son iguales a cero.
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
1. ax2 = 0
La solución es x = 0.
Ejemplos
2. ax2 + bx = 0
Extraemos factor común x:
Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero.
Ejemplos
1.
2.
3.
ax2 + c = 0
1. En primer lugar pasamos el término c al segundo miembro cambiado de signo.
2. Pasamos el coeficiente a al 2º miembro, dividiendo.
3. Se efecúa la raí cuadrada en los dos miembros.
Ejemplos
1.
2.
Por ser el radicando negativo no tiene solución en los números reales
Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado
Dada una ecuación de seguno grado completa:
ax2 + bx + c = 0
b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación.
El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres
casos:
1.
Ejemplo
b2 − 4ac > 0
La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.
2.
b2 − 4ac = 0
La ecuación tiene una solución doble.
Ejemplos
3.
b2 − 4ac < 0
La ecuación no tiene soluciones reales.
Ejemplos
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de
estos signos:
2x − 1 < 7
< menor que
≤
>
≥
menor o igual que
2x − 1 ≤ 7
mayor que
2x − 1 > 7
mayor o igual que
2x − 1 ≥ 7
Inecuaciones equivalentes
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación
resultante es equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la
inecuación resultante es equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la
inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
Resolución de inecuaciones de primer grado
1º
Quitar paréntesis.
2º
Quitar denominadores.
3º
Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
4º
Efectuar las operaciones
5º
Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de
la desigualdad.
6º
Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:
De forma gráfica
Como un intervalo
Ejemplo 1:
(1, ∞)
Ejemplo 2:
Ejercicios para practicar: http://www.ematematicas.net/inecuaciones.php
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema donde cada ecuación es lineal, es decir que todas las
incógnitas son de grado 1. Por ejemplo: un sistema con dos incógnitas x, y de dos ecuaciones es:
http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/sisActividades.html
Para resolver este sistema podemos utilizar distintos métodos:
Por sustitución:
¿En qué consiste el método de sustitución?
http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm
Método de reducción:
Ejemplo:
Al sustituir en la primera ecuación, obtenemos 7 + 2·1= 7 + 2 = 9 → se cumple
En la segunda 3·7 – 1 = 21 – 1 = 20 → se cumple
7+ 2·1 = 7+2 = 9 luego se cumple la primera ecuación
3·7 – 1 = 21 – 1 = 20 así que también se cumple la segunda ecuación y por tanto x = 7
del sistema.
y = 1 es la solución
Por igualación:
Método de igualación