¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ESTOCASTICA

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ESTOCASTICA?
JAIME TRUJILLO DOMÍNGUEZ.
Departamento de Matemáticas y Física (U.A.A.)
INTRODUCCIÓN
En la actualidad, como los científicos siguen
tratando de profundizar en nuestro conocimiento de
la naturaleza y los ingenieros siguen buscando, a un
nivel mas pragmático, respuestas a problemas
técnicos, la técnica de representación de nuestro
“mundo real” en términos matemáticos se ha
convertido en una herramienta invaluable. Este
proceso de imitación de la realidad mediante el
lenguaje de las matemáticas se conoce como
modelación matemática.
La formulación de problemas en términos
matemáticos tiene varios beneficios. El primero es
que nos exige establecer con claridad nuestras
premisas, pues con frecuencia, los problemas del
mundo real son complejos e implican varios
“procesos” distintos, posiblemente relacionados
entre si. Así que cuando uno determina las variables
que intervienen en el problema, con frecuencia las
relaciones existentes entre dichas variables se
postulan en forma de leyes, formulas, teorías, etc.
Estas hipótesis constituyen las idealizaciones del
modelo.
Por lo regular las idealizaciones implica la razón
de cambio de una variable con respecto de otra.
Estos modelos producen una ecuación que contiene
algunas derivadas de una función incógnita. Esta
ecuación es una ecuación diferencial , como por
ejemplo
dP
 kP, P (0)  p0
dt
que
es
una
ecuación cien por ciento determinista. ¿pero que
sucede si a k no le conocemos completamente? Es
decir que k este “compuesta” por una parte
deterministica y otra que no conocemos su
comportamiento exacto y que llamaremos ruido.
Es asi como surge la pregunta ¿esta nueva
ecuación diferencial la puedo resolver con la
metodología conocida?
Para responder empezaremos, con el modelo de
población al que le introduciremos “ruido” como
una motivación. Y nos preguntaremos si nuestro
modelo tiene solución.
No olvidemos que nuestro objetivo es responder
la pregunta ¿qué es una Ecuación Diferencial
Estocástica?
Para auxiliarnos en formular la respuesta
introduciremos algunos conceptos básicos de la
teoría de probabilidad y veremos que el calculo
“tradicional” no será la clave en la solución de la
ecuación diferencial por lo que necesitaremos
introducir el calculo estocástico para tal fin.
RESULTADOS
Esperamos con esta charla motivar a los
muchachos en esta apasionante disciplina de las
matemáticas y que en un futuro ellos la desarrollen
en nuestra casa de estudios para resolver problemas
no solo en el aula sino también en la compleja rama
industrial.
MATERIALES
Pantalla
Proyector de acetatos
BIBLIOGRAFÍA
B. Oksendal, Stochastic Differential Equationhs:
An Introduction with Aplications. Springer Verlag,
1998.
L. Arnold, Stochastic Differential Equations.
Theory and Applications. Kreiger Pub. Co.
R. Bass, Stochastic calculus, with applications to
finance, PDE, and potential theory (lectures notes),
University
of
Connecticut
Storrs.
Dr. Jóse Villa Morales
Asesor