TEMA No 3: Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES
Son las que incluyen derivadas y expresan índices de cambio de funciones
continuas con el tiempo. El objetivo al trabajar con ecuaciones diferenciales
es encontrar una función diferencial que satisfaga la ecuación diferencial.
Esta función recibe el nombre de solución integral de la ecuación.
Los sistemas de ecuaciones diferenciales surgen por la necesidad de
resolver distintos fenómenos descritos por dos o más ecuaciones y que
deben satisfacerse simultáneamente.
Las ecuaciones diferenciales tienen una amplia aplicación en la Economía.
Se utilizan para determinar las condiciones de estabilidad dinámica en
modelos microeconómicos de equilibrios de mercado y para trazar la
trayectoria de tiempo de crecimiento, en diversas condiciones
macroeconómicas. Dado el índice de crecimiento de una función, las
ecuaciones diferenciales permiten encontrar la función cuyo crecimiento se
describe; a partir de la elasticidad de un punto, permiten estimar la función
de la demanda 1.
48. Se busca la función de demanda que tenga elasticidad-precio constante
Solución:
49. Identifique y solucione las siguientes ecuaciones diferenciales
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
1
Extraído del libro Matemáticas para Economistas de Edward T. Dowling. Capitulo 18.
i)
j)
Solución:
a) Exacta; el factor integrante es
.
La solución resulta ser
Con la condición inicial
b) Variable separable;
c) Lineal en t como función de y;
d) Variable separable;
e) Exacta;
e t
et
y (t )  C 2  2
t
2t
f) Lineal
g) Homogenea;
x 40  C ( y  2 x) 27 ( y 
2 77
x)
9
h) Lineal;
i)Lineal;
j) Homogénea
50. En que casos es
su
solución?
una ED exacta y cual es
Solución:
Cuando b=c. La solución es entonces
51. Sea C el costo total asociado a un nivel Q de producción; Suponga que
el costo marginal es igual al costo promedio. Que se puede decir sobre la
función costos?
Solución:
Los costos son directamente proporcionales a la cantidad Q.
52. Suponga que la población en el instante t es P(t). La diferencia entre la
tasa de natalidad y la tasa de mortalidad, llamada tasa de reproducción, sea
r,(P,t). Si no hay migración ni emigración entonces el aumento de población
por unidad de tiempo resulta ser
La tasa de crecimiento instantáneo viene dada por lo tanto por
(i) Suponga que r(P,t)=K const. Resuelva la ED y calcule en cuanto tiempo
que se dobla la población.
(ii) Suponga que r(P,t)=a-bP. Resuelva ahora la ecuación diferencial y
calcule
Solución:
(i)
(ii)
53. Una compañía fabrica un artículo de gran demanda. Se decide aumentar
la
capacidad paulatinamente ya que se prevé que en 9 años la demanda será
doble.
Se compran 10 maquinas nuevas durante el primer año, 30 durante el
segundo, 50 durante el tercer año, etc. Inicialmente se tiene 400 maquinas.
A su vez la productividad del equipo decrece a una tasa del 5% anual(es
decir salen 5 maquinas de la producción) Se trata de determinar el tiempo
requerido para duplicar la capacidad fabricada si,
(i) Se supone que las maquinas se compran al final de cada año (Haga una
tabla)
(ii) Se define C(t)= Capacidad en el tiempo t. Plantee y solucione una ED
que relaciona el crecimiento instantáneo de la capacidad adicional con el
crecimiento de la capacidad (tasa de cambio) y la depreciación (=0.05C).
En que tiempo se duplica la capacidad? (SIN(13)).
Solución:
Año
1
Maq.
en 40
prod
Maq. que no 2
prod
Maq.
1
nuevas
2
39
3
40
4
43
5
47
6
53
7
61
8
70
9
81
2
2
3
3
3
4
4
5
3
5
7
9
11
13
15
17
Maq.
año
Fin 39
40
43
47
53
61
70
81
93
Capacidad adicional en el tiempo t:
Ecuación diferencial:
Se dobla aprox. t=7.73 años
54. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
(i) 3y’’’-19y’’+36y’-10y=0
(ii) y’’’+3y’-4y=0
(iii) y’’-3y’+2y=
Solución:
(i)
(ii)
(iii)
55. El método de los “Coeficientes indeterminados” es una madera
alternativa para solucionar ecuaciones de orden superior con coeficientes
constantes
inhomogeneos. Para ellos se define sobre el espacio de las Funciones F un
operador, llamado “Operador diferencial”, D, del tal forma que para:
La ecuación diferencial
Puede entonces escribirse en la forma
Ahora bien un operador diferencial A(D), se llama anulador de una función
g(t) si A(D)(g)=0. El método consiste ahora en encontrar el operador
diferencial que anula la parte inhomogenea de tal forma que este caso se
reduce a solucionar una ecuación homogénea. Si la función g(t) es una
expresión sencilla es relativamente fácil encontrar a A(D).
(i) Pruebe que si
(a)
+……
(b)
, entonces A(D)=
,
entonces
la anula.
A(D)=(D-
anula
estas
expresiones respectivamente.
(c)
Similar
A(D)=
anula
expresiones
del
tipo
etc
(d) Si g(t) es alguna combinación aditiva de estas expresiones se combinan
los anuladores.
(e) Solucione por este método las siguientes ecuaciones diferenciales:
Solución:
(i)
a.
b.
c.
56. La medida de actividad económica “y” y la tasa de inflación p se
relacionan por medio de un sistema de ecuaciones diferenciales:
(i) Escriba el sistema en la forma Ax=Bx+c donde
Transfórmelo a la forma
(ii) Encuentre los valores propios de G.
(iii) Para que valores de b tendremos comportamiento ciclico de y y de p?
(iv) Para que valores de b seria el sistema estable?
(v) Escoja un valor de b que arroje comportamiento cíclico y haga un
diagrama de fase asumiendo que y(0)=2ª y p(0)=a, encontrando a su vez
la solución explicita para y(t).
Solución:
(i)
(ii) Valores propios
(iii) Cíclico discriminante es menor que 0, es decir, si b
(iv)Nunca es estable
(v)Sea
57.
Solucione el sistema
(i) Haga un diagrama de fase indicando las líneas de fase y el movimiento.
(ii) Dibuje en el diagrama anterior la trayectoria dinámicamente estable y
calcule su ecuación. De que tipo de punto de equilibrio se trata?
Solución:
(i) Los valores propios son:
(ii) La trayectoria estable es
58.
Suponga el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales.
donde
y
Encuentre la solución general y discuta la estabilidad.
Solución:
Valores propios
La solución tiene entonces la forma:
Con la condición inicial se obtiene
59. Solucione los sistemas
(i)
(ii)
Solución:
(i)
(ii)
60. Suponga
Construya un diagrama de fase e indique algunas trayectorias y la
naturaleza del punto de equilibrio.
Solución:
Punto de silla tomando el origen como el punto de equilibrio, las líneas de
fase son los ejes.
61. Supónganse que el nivel de precios y salarios (en log) son p(t) y w(t)
sea:
ecuación
que
representa
la
inflación, parte determinada por la inflación salarial, parte por la presión en
la demanda. Suponga también que la inflación salarial viene dada por
(i) Escriba el sistema en la forma
precios y salarios constantes si
y muestre que el sistema tiende a
(ii) Si se cumple la desigualdad anterior que sucede con el salario real?
Solución:
(i)
Valores propios son
Si
(ii)
2
62. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método
apropiado.
a.
.
x  5x  4 y
.
y  x  2z
.
z  2 y  5z
b.
.
x  x y
.
x  2 x  y
63. Encontrar los extremos de las siguientes funcionales:
a. V  y  
 /2

·2
( y 2  y )dt, y (0)  0 y y ( / 2)  1
0
1
· 2
b. V  y   (t 2  y )dt, y (0)  0 y y (1)  2

0
64.
Encontrar la solución general de:
..
.
3t
a. x  6 x  9 x  e  Cos 3t
.
2
b. P  aP  bP , P(0)=P0
1  1 4 


c. x  3 2  1 x


2 1  1
.
65. Encontrar y clasificar los puntos estacionarios del siguiente sistema y
realizar el diagrama de fase correspondiente.
.
1 1 
x
x
1  1
2
Extraído del libro de Economía Matemática de Diego escobar Uribe (48-64)
66. Considerar la ecuación y" (v)  2 y' (v)  2 y(v)  0 verificar que para toda x
y
la siguiente es una solución.
yv   e cos v  senv
Posteriormente encontrar los valores de  y B para los cuales se satisfacen
las condiciones iníciales y (0)  0 y y´ (0)  7.
.
67. La ecuación x  bx  c  0 , con x (0) = x o, tiene como solución a
x(t )  3e3t  2 encontrar los coeficientes b y c y el valor inicial x0
Solución
Derivamos respecto a t y reemplazamos la solución en la ecuación
.
x  9e3t
9e3t  b(3e3t  2)  c  0
9e3t  3be3t  2b  c  0
c  9e3t  3be3t  2b
c  9e3t  b(3e3t  2)
2  9e3t  3be3t
9
3
1
b   e 3t  be 3t  c
2
2
2
c  9e 3t 
27 6t 9 6t 3 3t
e  be  ce  9e 3t  3be 3t  c
2
2
2
27 6t 9 6t 3 3t
e  be  ce  3be 3t  0
2
2
2
3 3t
27
9
ce   e 6t  be 6t  3be 3t
2
2
2
3ce3t  27e 6t  9be6t  6be3t
c  9e3t  3be3t  2b
c  9e3t  b(3e3t  2)
9
3
1
b   e 3t  be 3t  (9e 3t  b(3e 3t  2)
2
2
2
9
3
9
3
b   e 3t  be 3t  e 3t  be 3t  1
2
2
2
2
b 1
c  9e3t  3e3t  2
c  12e3t  2
Como x(0)  x0 reemplazamos en la solución y obtenemos x0 :
x0  3e3(0)  2
x0  5
68. (Modelo de Malthus) El modelo de Malthus de crecimiento para una
población propone que ésta evoluciona de acuerdo con la ecuación.
P  aP
En dónde P presenta el número de individuos de la población y a  0 es la
tasa de crecimiento. Contestar las siguientes preguntas:
a) Cuál es la población al tiempo t si inicialmente es P(0)  P0 ?
b) Cuánto se necesita para que se duplique la población?
c) Si se supone ahora que a  0 , calcular lim P (t )
t 
Solución
.
a) Hallar p(t) dado P(0)=P0 escribiendo P tenemos:
.
P  aP  0
factor integrante:
 adt
e   e at
multiplicando a ambos lados tenemos:
.
e  at P  ae  at P  0 , que equivale a:


d  at
e P 0
dt
integrando a ambos lados tenemos:
e  at P  C
despejando P(t) hallamos la solución:
P(t )  Ce at
Aplicamos la condición inicial P(0)=Po y tenemos
P0  Ce a(0)
P0  C reemplazando en la solución tenemos:
P(t )  P0 e at
b) 2 p  p0 e at  de esta ecuación despejamos t:
2P
 e at aplicando logaritmos tenemos:
P0
 2P 
  Lne at 
Ln
 P0 
Ln2P  LnP0  atLne
Luego despejando t, tenemos la solución:
t
c)
Ln2 P  LnP
.
a
Si a < 0 la solución quedara:
P(t )  P0 e at
Lim p(t )  P0 e  a (  )  0
t 
Si a  0 significa que la tasa de crecimiento de la población es negativa
(decrece)
luego a medida que pasa el tiempo (t aumenta) la población
disminuye hasta que
llega un momento en que la población será cero.
69. Supongamos que ahora se tiene que la población evoluciona de acuerdo
con la ecuación.
.
P  (   ) P ,
Solución
.
P  (   ) P ;
donde α > 0: tasa de natalidad
β > 0: tasa de mortalidad
.
reescribiendo P tenemos:
.
P  (   ) P  0
factor integrante:
e  (   ) t
multiplicando a ambos lados tenemos:
.
P e (   )t  (   )e (   )t P  0

lo que equivale a:

d  (   ) t
e
P 0
dt
Integrando a ambos lados tenemos:
e (  )t P  C
Despejando P tenemos:
P(t )  Ce8  9t
Como P(0) = P0 entonces
P0  Ce (  )(0)  P0 = C,
reemplazando en la solución tenemos:
P(t )  P0 e (  )t
Calculamos Lim P (t )
t 
Si     Lim P (t )   no converge (equilibrio asintóticamente inestable)
t 
Si     Lim P (t )  0 converge (equilibrio asintóticamente estable)
t 
En donde   0 representa la tasa de natalidad y   0 la tasa de
mortalidad.
Resolver para P (t) dado que P(0)  Po y analizar el comportamiento de
lim P (t )
t 
dependiendo de las magnitudes de y
70. Supongamos que ahora se tiene que la población evoluciona de acuerdo
con la ecuación.
.
P  aP  E
En donde a  0 es la tasa de crecimiento y E representa un número fijo de
personas que emigra cada año. Resolver para P(t) dado P0 y analizar que
pasa con lim P (t ) para distintos valores de los parámetros .
t 
Solución
.
P  aP  E
a0
.
Reescribiendo P tenemos:
.
P  aP   E
Factor integrante:
e  at
Multiplicando:
.
e  at P  ae  at P   Ee  at
Lo que equivale a:


d  at
e P   Ee  at integramos a ambos lados t tenemos:
dt
e  at P 
E  at
E
e  C despejando P tenemos: P (t )   Ce at
a
a
Dado que P(0)  P0 , tenemos:
P0 
E
 Ce a ( 0 )
a
Luego C  P0 
P(t ) 
E
reemplazando en P(t) tenemos:
a
E 
E
  P0  e at
a 
a
Calculamos
Lim P(t ) 
t 
E 
E
  P0  e a (  ) no converge (es asintóticamente inestable).
a 
a
Esto quiere decir que a medida que pasa el tiempo (t aumenta), la
población crece
indefinidamente.
71.
Consideremos la siguiente ecuación
.


   r0 
a)
b)
c)
d)
e)
1 
T 1
con condición Y(T) 1.
 
t  1
t 1
Identificar la tasa de interés r (t).
Encontrar el valor de un bono B (t) tal que B (T)  1.
Identificar el cambio marginal (t) en la posición de la inversión.
Encontrar la posición Z (t) si se supone que Y (T)  1.
Encontrar la solución Y (t) al problema y verificar la solución.
72. Sea r  0 una constante. La ecuación lineal
.
  r  X (t )
Relaciona el valor de una inversión Y al tiempo t con la función X (t), que
representa los flujos de dicha inversión. Se supone que el valor presente de
la inversión satisface.

 (0)   e r X ( )d
0
(a) Dar una justificación intuitiva para la ecuación. (sugerencia: si h es un
número pequeño y positivo, entonces  (t )  e rh  (t  h) 

t
tt  h
X ( )d
(b) Encontrar la solución de la ecuación diferencial usando el método
propuesto en la sección 2.2.4.
(c) Demostrar que la solución Y se puede reescribir como

 (t )   e r X (  t )d
0
(d) interpretar el resultado.
73. Sean f y g dos funciones cuyas transformadas de Laplace existen para
toda la s  0. Probar que para todo a, b   se cumple
 af (t )  bg(t )
 a  f (t )  b g (t )
Es decir, la transformada de Laplace es un operador lineal.
74. Resolver las siguientes ecuaciones:
.
a) x  (cost )2 x'  cos t
.
b) x  2tx  t
.
2
2
c) x  t x  5t , con la condición inicial x (0)  6.
6
7
2
2
e) y'3u y  u , con la condición inicial y(o)  1 ( y es una función de
la variable u ).
.
t
d) 2 x  12 x  2e  0 , con la condición inicial x (0) 
75. Verificar que la sustitución v  ln(y ) transforma la ecuación
y' P(t ) y  Q(t ) y ln(y)
en la ecuación v'Q(t )v   P(t ) .
76. Utilizar el método del problema anterior para resolver la ecuación
ty't 3 y  y ln(y)  0
77. Probar el siguiente principio de superposición: dada una ecuación
diferente
lineal homogénea si x 1 (t) y x 2 (t) son soluciones, entonces
x3 (t )  ax1 (t )  bx2 (t ) es solución. En otras palabras, cualquier
combinación
lineal de soluciones también es solución.
78. Encontrar una ecuación diferencial lineal de segundo orden cuya
solución sea:
t2
 4t  2
(a) x(t ) 
2
(b) x(t )  Ae2t  Bet  3t  1
(c) x(t )  e 2t ( A cost  Bsent)
79. Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones:
..
(a) x  4 x  sen 2t
..
.
2
(b) x  2 x  3x  9t
..
.
t
(c) x  x  2 x  4e
..
.
..
.
t
(d) x  2 x  3x  2e  10 sent
 2t
(e) x  6 x  13 x  e
3
80. Resolver las siguientes ecuaciones y determinar si la solución converge
o no a su único estado estacionario.
(a) x  5 x
(b) 2 x  x  0
3
Extraído del libro Métodos Dinámicos en Economía de Héctor Lomeli(65 -80)
(c) x  8  x
(d) x  5 x  10  10
Solución
.
a) x  5 x
Igualamos a cero:
.
x 5x  0
Hallamos el factor de integración:
p(t )  5
 5 dt
e   e 5t
.
5t
5t
Multiplicamos por e 5 t : e x  5e x  0
Lo que resulta ser:


d
xe 5t  0
dt
Integrando a ambos lados tenemos:
xe5t  C
Luego la solución será:
x(t )  Ce 5t
Lim x(t )  Ce 5(  ) 
t 
no converge hacia un estado estacionario porque x(t)
tiende a infinito, luego el equilibrio es asintóticamente inestable.
.
.
b) 2 x  x  0  dividimos entre 2 a ambos lados: x 
factor de integración:
e
1 dt
2
e
1 t
2
multiplicando:
e
1
2
.
1 1t
x e 2 x  0
2
que equivale a:
x
0
2
d  12t 
e x  0

dt 
integrando a ambos lados:
e
1 t
2
xC
luego la solución es:
x(t )  Ce
1 t
2
calculamos:
Lim x(t )  Ce
 1 ( 0)
2
tiende a cero. Luego x(t) es asintóticamente estable. A
t 
medida que t aumenta, x(t) tiende a cero que seria su único estado
estacionario.
.
c) x  8  x
Reescribiendo:
.
x x  8
Factor integrante:
e
p(t )  1 
1dt
 et
Multiplicando a ambos lados:
.
e t x  e t x  8e t
Que equivale a:
d t
(e x)  8e t
dt
Integrando a ambos lados tenemos:
e t x  8e t  C
Luego la solución es:
x(t )  8  Ce t
Calculando Lim x(t )  8  es independiente de t. Luego x(t) converge a un
t 
único estado estacionario porque siempre va a ser constante.
.
d) x  5 x  10  0
Reescribiendo:
.
x  5 x  10
Factor integrante:
e 5 t
Multiplicando:
.
e 5t x  5e 5t x  10e 5t
Que equivale a:
d 5t .
(e x)  10e 5t
dt
Integrando a ambos lados tenemos:
e 5t x  2e 5t  C
Luego despejando x la solución queda:
x(t )  2  Ce 5t
Calculando Lim x(t )  2  Ce 5(  ) 
t 
converge
tiende a infinito luego la solución no
a un único estado estacionario.
81. Considerar las siguientes funciones de oferta y demanda de un bien en
donde P denota el precio y Q la cantidad del bien.
Q0  p  4
Qd  11 2 p
Supongamos que P =
también Q lo es.
P (t) es una función del tiempo y por lo tanto
El precio cambia en el tiempo de acuerdo con la ecuación diferencial.
p  2(Qd  Q0 )  30  6 p
Resolver para P (t), encontrar el estado estacionario y determinar si el
sistema converge a este último.
Solución:
QO  p  4
Q D  11 2 p
.
p  2(Q D  Q o )
Hallamos
Q D  Q o  11 2 p  ( p  4)
Q D  Q o  11 2 p  p  4
Q D  Q o  15 3 p
.
Reemplazando en p tenemos:
.
p  2(15  3 p)
.
p  30  6 p  resolvemos esta ecuación diferencial de primer orden para
p(t)
.
p  6 p  30 
factor integrante:
e 6t  multiplicando
.
p por e 6t
.
tenemos: 6 6t p  6e 6t p  30e 6t  lo que equivale a:


d 6t
e p  30e 6t
dt
Integrando a ambos lados tenemos
e 6t p  5e 6t  C
Despejamos p(t) y hallamos la solución:
p(t )  5  Ce 6t
Para calcular el estado estacionario calculamos el Lim p (t )
t 
Lim p(t )  5  Ce 6(  )  5  p *
t 
Esto quiere decir que a medida que t aumenta, el precio tiende a 5, que es
su valor
de estado estacionario.4
82. Resuélvase la ecuación diferencial que sigue, mediante el procedimiento
de
separación de variables:
Al separar las variables
La integración de cada término por separado da:
4
Extraído del libro de Optimización Estatica y Dinámica en Economía de Arsenío Pecha (80 -81)
Sea
83. Resuélvase la ecuación de Bernoulli que sigue:
Se tiene, en este caso
.
Al
sustituir:
Con
Por partes,
Puesto que
Así,
84. Determínese la función de la demanda,
Al separar las variables
Al integrar InQ+ In P = In c
85. Determínese la función de la demanda Q = f(P), si ∊ = -k, una
constante.
Al separar variables
86. Determínese la función de la demanda
Al separar las variables,
* Dedúzcase la formula P para el valor total de una suma inicial de dinero
P(0) invertida durante t años a la tasa de interés i, acumulada
continuamente.
Si i se acumula continuamente,
La separación de las variables da:
Al integrar,
Cuando se establece el lado izquierdo de la ecuación como exponente de e,
Para
87. Determínese las condiciones de estabilidad para un modelo de
determina-
ción de ingresos de dos sectores en el que
son desviaciones del
consumo, las inversiones y los ingresos, respectivamente, de sus valores de
equilibrio
. O sea,
., en donde
se lee C con sombrero;
los
ingresos cambian a un índice proporcional a la demanda en exceso (C+I-Y)
y
Al sustituir las dos primeras ecuaciones en la tercera,
Cuando la constante
Conforme
.
La
suma
de
la
propensión
marginal al consumo g y la propensión marginal a invertir b debe ser menor
que uno. 5
5
Extraído de Matemáticas para Economistas de Edward Dowling (82-87).