Ecuaciones con radicales

Universidad de Antofagasta
Facultad de Ciencias Básicas
Departamento de Matemáticas
4 º LABORATORIO INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS
Profesor : Sr. René Maluenda M.
Primer Semestre del 2006
ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. ECUACIONES FRACCIONARIAS Y
LITERALES.
Durante muchos años, el estudio del álgebra ha estado estrechamente ligado con el de las ecuaciones. Al aplicar
la matemática a situaciones prácticas se suele hacer uso de ellas.
Al relacionar cantidades mediante el signo igual podemos distinguir tres situaciones: igualdades, identidades y
ecuaciones.
Definición 1: Igualdad es la equivalencia entre dos cantidades numéricas o literales.
Ejemplo :
5+7 = 12,
3x +7x =10x
Definición 2: Identidad es una igualdad
desconocida)
que se verifica para cualquier valor de la variable (cantidad
Ejemplo :
15 + x = 15 + x
Para resolver ecuaciones debemos saber lo que es una ecuación, lo que significa resolver una ecuación y cuál es
el campo numérico en el cual están las incógnitas y los coeficientes.
Definición 3: Ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que hay una o más cantidades literales
desconocidas llamadas incógnitas. Igualdad válida para algunos valores del universo de la variable.
En general, los coeficientes se escriben con las primeras letras del alfabeto y las incógnitas con las últimas. Las
expresiones que están a la izquierda y a la derecha del signo igual se llaman primer miembro y segundo miembro
de la ecuación, respectivamente.
Resolver una ecuación es determinar el o los valores de la variable que verifican la igualdad.
Definición 4: Solución de una ecuación con una incógnita (variable) es un valor de la variable que verifica la
ecuación dada.
La solución debe ser un elemento del conjunto universo de la variable. Si no especificamos el universo de la
variable subentendemos que es el conjunto IR.
Las ecuaciones de acuerdo con el número de incógnita se dividen en:
ecuaciones con una incógnita
ecuaciones con dos incógnitas
................................................
ecuaciones con “n” incógnitas
Las ecuaciones con una incógnita podemos clasificarlas según el grado de la ecuación.
Definición 5: Grado de una ecuación, con una incógnita, de la forma an x n  an1 x n1  ..... a1 x  a0  0 es
el mayor exponente natural al cual esta elevada la incógnita.
Algunos ejemplos de ecuaciones con una incógnita clasificadas de acuerdo con el grado son :
a, b  R
a0
-ecuación lineal o de primer grado: ax  b  0
2
-ecuación cuadrática o de segundo grado: ax  bx  c  0
a, b, c  R, a  0
3
2
- ecuación cúbica o de tercer grado: ax  bx  cx  d  0
a, b, c, d  R, a  0
4
3
2
-ecuación de cuarto grado: ax  bx  cx  dx  e  0
a, b, c, d  R,
a0
Definición 6: Conjunto Solución de una ecuación es el subconjunto de R (en este caso) formado por todos los
elementos que verifican la ecuación o que satisfacen la ecuación.
Definición 7: Dos ecuaciones son equivalentes si y sólo si tienen el mismo conjunto solución.
Es posible demostrar que el número de soluciones de una ecuación con una incógnita depende del grado de la
ecuación.
Así tenemos, por ejemplo, que:
La ecuación lineal tiene a lo más una solución.
La ecuación de segundo grado tiene a lo más dos soluciones.
La ecuación cúbica tiene a lo más tres soluciones.
La solución de una ecuación con una incógnita se llama también raíz o cero de la ecuación.
1.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA (ECUACIÓN LINEAL)
Una ecuación lineal en la variable "x", es una expresión algebraica que puede escribirse en la
forma a x + b = 0 , en donde "a" y "b" son constantes y a ≠ 0 y pertenecen a los números
reales. El literal “x” es la incógnita y el valor es un número real
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se transforma la ecuación en otras equivalentes
más sencillas hasta obtener una ecuación en que el conjunto solución sea obvio.
Para obtener las ecuaciones equivalentes debemos aplicar los axiomas y propiedades de campo ya estudiados.
Entre ellas, recordemos la ley de cancelación para la adición y para la multiplicación.
entonces a  b
Si a  c  b  c
y
ac  bc
entonces a  b
Si c  0
De esta propiedad podemos concluir que:
Si a los dos miembros de una ecuación se suma un mismo número se obtiene una ecuación equivalente.
Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por un mismo número distinto de cero se obtiene una
ecuación equivalente.
Para obtener ecuaciones equivalentes más sencillas donde la solución sea obvia hacemos lo siguiente:
 Reducimos los términos semejantes en cada miembro (eliminamos paréntesis si los hay)
 Sumamos términos a ambos miembros o multiplicamos por algún término con el fin de dejar en un
miembro los términos que contienen la incógnita y en el otro miembro los términos constantes.
 Reducimos los términos semejantes (si los hay)
 Despejamos la incógnita.

Ejemplo :
Determine el conjunto solución de la ecuación:
3  2y  2 y  2  2y  3 y  1
Para resolver esta ecuación primero reducimos los términos semejantes en cada miembro.
3  2y  2 y  2  2y  3 y  1
3  2y  2 y  2  2y  3 y  1
Recuerde que conviene eliminar primero los paréntesis internos
3  2 y  2  24 y  1
3  2y  4  8y  2
(distributividad)
 2 y 1  8y  2
Ahora que hemos reducido los términos semejantes en cada miembro, dejamos las incógnitas en un lado y las
constantes en el otro.
 2y
 8y  2 1
(sumamos 1 a ambos miembros)
 2 y  8 y  2  1
(sumamos (-8y) a ambos miembros)
 10y  1
 10
1
1
y
(multiplicamos por
ambos miembros)
 10
 10
 10
1
1 y 
10
1
y
10
1
Luego el conjunto solución de la ecuación original, es S =  
10 
1
1
Podemos verificar que
es solución de la ecuación dada reemplazando y por
10
10
Comprobación :
3  2y  2 y  2  2y  3 y  1 si
y
1
10
1  1
1  1


3  2   2   2   2   3   1

10  10
10  10 
2
3
1

1

3  2   2  2   1
10 10 
10 10 
2 20
3 10
1
1
3  2     2   
10 10 10 
10 10 10
  21
 6
3  2
  2 
 10 
 10 
30 42  12


10 10
10
 12  12

10
10
6 6

5
5
1
y
es solución de la ecuación
10

Ejercicios :
A.- Encuentre los valores reales para la variable, que satisfacen la ecuación dada.
1).- 4x = 10
2 x+3=0
5).9).-
x
 2x  6
5
14).- 3x 
17).-
2).- 0.2 x = 5
3).- 3y = 0
6) 7 x + 7 = 2(x + 1)
10).-
5y 6
  2  4y
7 7
x
1
 5   5x
5
5
x2 2 x

 x2
3
6
15).-
18).-
4).- 2x - 4x = -5
7).- 2(p - 1) - 3(p - 4) = 4p 8).- t = 2 - 2[2t - 3(1 -t)]
11).- 5 
4x x

9
2
2y  3 6y  7

4
3
9
3
(3  x)  ( x  3)
5
4
12).-
16).-
x
x
4
13) q = (3/2)q - 4
3
5
p 3
9
 p  ( p  1)
3 4
2
19).- (3x - 1)2 - (5x - 3)2 = - (4x - 2)2
B.- Problemas de aplicación :
1).- La Ecuación I = P r t es la fórmula para el interés simple I que se obtiene sobre un capital P , a la tasa
anual de interés r por un período de t años. Despeje cada una de las variables en función de las
restantes.
2).- Dada la fórmula S = P (1 + r t ) , Despeje cada una de las variables en función de las restantes.
2m l
Despeje cada una de las variables, en función de las restantes)
B (n  1)
n
4).- Dada la la fórmula S = (a1  a n ) , Despeje cada una de las variables, en función de las restantes)
2
3).- Dada de la fórmula r =
5).- Despeje el símbolo "R " , a partir de la fórmula S =


R (1  i) n  1
i
6).- Si se compra un artículo pata utilizarlo en un negocio , al elaborar la declaración del impuesto sobre la
renta se puede repartir su costo sobre toda su vida útil. A esto se le denomina depreciación. Un método de
evaluar esta cantidad es la depreciación en línea recta , en la cual se calcula la depreciación anual dividiendo
el costo del artículo, menos su valor estimado de desecho , entre su vida útil. Supóngase que el costo es "C" , la
vida útil es N (años) y no hay valor de desecho. Entonces , el valor V de artículo al final de "n" años está dado
por:
n

V  C 1   Supóngase que se adquieren U$ 1600 de muebles nuevos para oficina , que tienen una
N

vida útil de 8 años y que carecen de valor de desecho.¿Después de cuántos años valdrán U$ 1000?
7).- Cuando se utiliza radar en una carretera para determinar la velocidad de un automóvil , se envía un haz de
hondas para que se refleje en el automóvil que transita. La diferencia F ( en ciclos por segundo) en la frecuencia
entre el haz original emitido y el reflejado está dado por :
vf
F
en donde " v" es la velocidad del automóvil en millas por hora ; "f" es la frecuencia del haz
334 .8
radioeléctrico original ( en megaciclos por segundo).
Su póngase que un conductor maneja en una carretera que tiene límite de velocidad de 55 mi/ hr. Un policía
dirige un haz de radar , cuya frecuencia es de 2450 megaciclos / segundo al automóvil. Y observa que la
diferencia en frecuencia es de 420 ciclos por segundo . ¿Puede suponer el policía que el conductor está
rebasando el límite de velocidad ?.
8.- El ingreso mensual total de una “guardería infantil”, obtenido del cuidado de “x” niños está dado por r = 450 x .
Sus costos totales mensuales están dados por c = 380 x + 3500.
¿Cuántos niños se necesitan tener matriculados mensualmente para que los ingresos igualen a los costos?
(punto de equilibrio).
9.- Juan y Paula quieren comprar una vivienda básica Serviu, de modo que han decidido ahorrar la cuarta parte
de sus respectivos salarios. Paula gana $ 10.000 por hora y recibe $ 7.500 como bono extra a la semana. Juan
gana $ 13.000 por horas y un bono extra de $ 10.000 a la semana. Ellos necesitan ahorrar de forma urgente al
menos $ 220.000 en una semana. Si trabajan el mismo número de horas, ¿Cuántas horas debe trabajar cada uno
de ellos en la semana?
1.1.2. ECUACIONES FRACCIONARIAS Y LITERALES
Definición 8 Una ecuación se llama fraccionaria si la incógnita está en el denominador de alguna fracción.
Es decir, las ecuaciones fraccionarias son las que contienen fracciones algebraicas
El método de resolución de estas ecuaciones es similar al de las ecuaciones que tienen coeficientes
fraccionarios.
Para resolver una ecuación con incógnita en el denominador se determina el mínimo común múltiplo de los
denominadores, o bien, el menor múltiplo común que podamos obtener. Enseguida multiplicamos los dos
miembros de la ecuación por el menor múltiplo común a fin de eliminar los denominadores y obtener una
ecuación entera.
Al resolver ecuaciones fraccionarias debemos recordar que la incógnita no puede tomar valores que anulen
algún denominador y por lo tanto el conjunto solución de la ecuación debe estar contenido en:
IR - { x / x anula algún denominador}
Ejemplo :
Resuelva la ecuación:
3x  1 x  9

1
2x  3 4x  6
Para resolver esta ecuación factorizamos los denominadores, si es posible
3x  1
x9

1
2 x  3 22 x  3
El mínimo común denominador es 22 x  3
Luego, multiplicamos la ecuación por 22 x  3
3
Recuerde 22 x  3 debe ser distinto de cero, es decir, x 
2
Observe, además que al multiplicar cada miembro de la ecuación hay que multiplicar cada término por
22 x  3
3x  1
x9
 22 x  3
 1 22 x  3
22 x  3
2x  3
22 x  3
23x  1  x  9  22x  3
6x  2  x  9  4x  6
5 x  11  4 x  6
5 x  4 x  6  11
x5
Ejercicios
A.- Ecuaciones que conducen a ecuaciones Lineales
1).-
4
3

8 x 4
6).-
3x  2 3x  1

2x  3 2x  1
2).-
7).-
x3 2

x
5
3).-
x  2 x 1

x 1 2  x
q
3
3q  4
8).-
4).-
4p
1
7 p
4
7
3


x 1 2  x x 1
5).-
9).-
2x  3
6
4x  5
9
3x

x3 x3
Definición 9: Ecuación literal es aquella en que hay una o más letras además de la incógnita.
Una fórmula es una ecuación que muestra la relación entre dos o más cantidades representadas por variables.
Cuando resolvemos problemas que involucran fórmulas, es a menudo conveniente transformar la fórmula en una
equivalente en la cual se muestre la variable buscada en términos de las otras.
Ejemplo :
Resuelva la siguiente ecuación literal para la variable x
xa
xb

2
2a  b a  2b
Multiplicamos cada término de la ecuación por el M.C.M. de los denominadores, que en este caso es el producto
2a  ba  2b
xa
xb

2
/ 2a  ba  2b
2a  b a  2b
x  aa  2b + 2a  bx  b = 2 2a  ba  2b
ax  2bx  a 2  2ab  2ax  2ab  bx  b 2  4a 2  8ab  2ab  4b 2
3ax  3bx  a 2  4ab  b 2  4a 2  10ab  4b 2
x3a  3b   3a 2  6ab  3b 2
3a 2  6ab  3b 2
3a  3b
2
3 a  2ab  b 2
x
3 a  b 
x


2

a  b
x
a  b 
x  ab
Ejercicios :
En los problemas siguientes , exprese la letra que se señala en términos de las restantes:
1).-
r
d
1  dt
; 2).- r 
despeje d ; despeje t
2m l
despeje n ; despeje B , despeje m
B (n  1)
Ecuaciones con radicales
Definición : Una ecuación con radicales , es aquella en la que una variable o incógnita aparece bajo el signo
de una raíz. Para poder despejar la variable se necesita eliminar la raíz.
Ejemplo :
Resolver
x 2  33  x  3
Lo primero que debe hacerse es dejar en un lado de la ecuación la expresión con raíz e y colocar en el otro lado
de la ecuación los términos que no tienen raíz. Seguidamente ambos lados de la ecuación se elevan a un
exponente que permita eliminar la raíz, que en este caso es una raíz cuadrada.
x 2  33  (3  x)
x
2

/( )
2
2
 33  (3  x) 2
x 2  33  9  6 x  x 2
Cancelanlas " x 2 "
33  9  6 x
x
Ejercicios
1).-
5).-
x6 3
2).-
4x  6  x
6).-
24
; con lo que x  4
6
5x  6  16  0
7  2x  x  1
3).-
x
2
1 
2
3
7).-
1
2
4).- ( x  6)  7
y2  9  9  y
8).-
y  y2 3
6.1.3 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Resolveremos ecuaciones de la forma:
a) ax  b  c
b) ax  b  cx  d
Analizaremos ambos casos
Si ax  b  c recordemos que por definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
ax  b  c
o
bien
ax  b  c
Lo que lleva a resolver estas ecuaciones.
Si
tenemos las siguientes posibilidades:
ax  b  cx  d
ax  b  cx  d
ax  b  cx  d 
 ax  b   cx  d
 ax  b   cx  d 
Lo que también se reduce a resolver ecuaciones ya conocidas.
6.2. INTERPRETACIÓN ALGEBRAICA DE ENUNCIADOS VERBALES E INTERPRETACIÓN VERBAL DE
ENUNCIADOS ALGEBRAICOS.
Una de las herramientas más importantes que podemos adquirir con el estudio del álgebra es la solución de
problemas, ya que muchos problemas de las ciencias, la economía, la administración, las finanzas, la medicina y
de otros muy variados campos, se pueden plantear en términos algebraicos.
6.2.1. INTERPRETACIÓN ALGEBRAICA DE ENUNCIADOS VERBALES.
Una de las ventajas que ofrece el álgebra elemental es la de poder escribir simbólica y abreviadamente
expresiones que en lenguaje corriente ocupan muchas palabras. Es costumbre designar en álgebra las
cantidades desconocidas o incógnitas por medio de las últimas letras del abecedario.
Ejemplo :
El doble de un número desconocido x, se representa por 2x
y
2
La mitad de otro número desconocido y, por
El cuadrado de z, por z 2
El primer paso al resolver un problema es traducir en forma correcta los enunciados verbales al lenguaje
algebraico, se debe ser capaz de escribir ecuaciones que describan con exactitud las relaciones que se
mencionan en el problema.
REGLAS BÁSICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ENUNCIADO VERBAL.
Comprensión del enunciado del problema: Antes de iniciar la resolución de un problema es siempre
necesario que hayamos comprendido bien su enunciado. Lea cuidadosamente el problema, tantas veces como
sea necesario para comprenderlo bien.
Designación de la o las incógnitas del problema: Para designar la(s) incógnita(s) debemos prestar atención a
la pregunta que se formula en el problema. Sin embargo, es conveniente también tener presente las relaciones
existentes entre los datos y la incógnita, pues ello puede permitir plantear una ecuación más simple.
Traducción de frases al lenguaje matemático: Exprese en términos matemáticos las relaciones enunciadas
verbalmente en el problema.
Expresar relaciones por medio de ecuaciones: Identifique la(s) condición(es) del problema que relaciona(n)
dos o más de las expresiones establecidas en el paso anterior. Plantee una ecuación (o ecuaciones) que exprese
las condiciones del problema.
Resolución de las ecuaciones y análisis de las soluciones encontradas: Resuelva la(s) ecuación(es) y
compruebe que sus soluciones satisfagan el problema original. Escriba la respuesta en la forma de un enunciado
que responda a la pregunta que se plantea en el problema.
Ejemplo :
1
1
del libro y el miércoles lee
5
3
del resto. Si para los restantes días de la semana todavía le quedan 64 páginas de lectura, entonces ¿cuál es el
número total de páginas del libro?
Sea “x” el número total de páginas del libro
1
x
Lunes y martes:
5
1
1 4
4
 x x
Miércoles :
del resto =
3
3 5
15
Otros días:
64
Un estudiante debe leer una novela en una semana. Entre lunes y martes lee
1
x
5

Es decir:

lunes
martes
Resolviendo :
x
4
x  64

15
otros

miércoles
1
4
x  x  64
5
15

x
total
días
/ 15
15 x  3x  4 x  64  15
8 x  64  15
64  15
8
x  8  15
x  120
x
Análisis de la solución encontrada:
Lunes leyó un quinto de 120, es decir:
Martes a miércoles leyó un tercio de 96, es decir:
Los restantes días debe leer:
24 páginas
32 páginas
64 páginas
Total : 120 páginas
6.2.2. INTERPRETACIÓN VERBAL DE ENUNCIADOS ALGEBRAICOS
El proceso inverso del que acabamos de ver, es decir, dada una expresión algebraica o alguna fórmula, se trata
de enunciar verbalmente o en palabras el significado de la expresión o fórmula en cuestión.
Ejemplo :
Esta expresión es el cuádruple de la diferencia entre x e y.
4x  y 
a 2  b2
a2
3
4
La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de a y b.
La cuarta parte del cuadrado de a por la raíz cuadrada de tres.
Si a es un número real positivo, esta es la fórmula del área de
Un triángulo equilátero en términos del lado a.
6.3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA CON COEFICIENTES ENTEROS Y
FRACCIONARIOS. INECUACIONES FRACCIONARIAS
Situaciones de la vida diaria, las ciencias, la tecnología como en la matemática, nos demuestran que vivimos en
un mundo de diferencias y desigualdades. Observamos personas altas, bajas; de igual forma la superficie
terrestre del planeta no es uniforme, la temperatura en la tierra, diversidad de climas, etc.
La presencia de desigualdades en muchos aspectos es inevitable, al mismo tiempo algunas veces pueden
ocasionarnos problemas y otras pueden sernos beneficiosas. La necesidad de estudiarlas, analizarlas y si es
posible encontrar algún método o herramienta matemática para describirlas y resolver problemas afines.
Definición 10 : Se denomina desigualdad a una proposición del tipo a >b, a < b, a > b, o a < b, verdadera
para todos los valores de las variables que en ella intervienen.
Ejemplo :
x2  0
verdadero para todo x  R
2ab  a 2  b 2 verdadero para todo
a, b  R
6.3.1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA CON COEFICIENTES ENTEROS Y
FRACCIONARIOS.
Definición 11: Inecuación en una variable es una desigualdad en la cual hay una cantidad desconocida o
variable.
Solución de una inecuación: Es un valor de la variable que hace válida la desigualdad.
Resolver una inecuación: Es determinar todos los valores posibles de la variable que satisfacen la desigualdad
planteada.
Conjunto solución de una inecuación: Es el conjunto de todos los valores de la variable que satisfacen la
inecuación o el conjunto formado por todos los números que son solución de la inecuación.
Debe tenerse muy en cuenta el conjunto N , Z , R  en el cual se ha planteado la inecuación, ya que de ello
dependerá como se anote el conjunto solución. En general, una misma inecuación tiene conjuntos solución
distintos según sea el conjunto en el cual se considere. Si no hay información, se supondrá que la variable es un
número real.
Para resolver una inecuación se procede de manera similar a como se resuelve una ecuación: utilizando las
propiedades de las desigualdades, la inecuación propuesta se transforma sucesivamente en otras equivalentes
hasta llegar a una lo más simple posible. Interpretando esta última se podrá escribir y graficar el conjunto
solución.
Es importante recordar que al igual que para ecuaciones, no se puede dividir por cero. Además, una propiedad
fundamental para desigualdades: al multiplicar o dividir por un número negativo a ambos lados de una
desigualdad cambia la desigualdad por su contrario.
Las inecuaciones que resolveremos en esta unidad se denominan lineales o de primer grado, en una variable, ya
que la variable aparece en ella sólo elevada a exponente 1.
Definición 12: una inecuación lineal o de primer grado con una incógnita es una inecuación que se puede
reducir a una de las formas:
ax  b  0
ax  b  0
ax  b  0
ax  b  0
con
a, b  R
y
xR
6.3.2. INECUACIONES FRACCIONARIAS
Definición 11: Una inecuación se llama fraccionaria si la incógnita está en el denominador de alguna fracción.
Ejemplo :
5
 2
x7
Para resolver este tipo de inecuaciones la transformamos en una equivalente en forma de fracción pero
comparada con cero.
Nos queda una inecuación en forma de fracción <, >, < o > 0.
Por regla de los signos:
- si es menor que cero significa que numerador y denominador son de diferente signos.
- Si es mayor que cero, significa que ambos son de igual signo.
Siguiendo esta pauta, resolvemos
5
5
 2 
20
x7
x7
5  2x  7 

0
x7
5  2 x  14

0
x7
2x  9

0
x7
Obtenemos así, una inecuación en forma de fracción o cuociente menor que cero esto significa que numerador y
denominador (o dividendo y divisor) son de distinto signo, es decir:
(2 x  9  0
 x  7  0 )  2 x  9  0
^
x  7  0
Resolviendo estas inecuaciones:
9
9



^ x  7   x 
 x
2
2



Analizando los resultados:
9 
S   ,7 
2 

^ x  7

6.4 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
En general, una inecuación del tipo ax  b  c , con c>0 se transforma en dos inecuaciones sin valor absoluto :
ax  b  c  ax  b  c
. El conjunto solución de la inecuación es la unión de los conjuntos solución de
cada caso.
Ejemplo:
3x  5  1



3x  5  1
3x  4
4
x
3

3x  5  1

3x  6

x  2
 4

Conjunto solución S=  ,2   ,
 3

o bien, de la forma ax  b  c , c>0 { la cual se transforma en:
Ejemplo:
2x  3  7
  7  2x  3  7
 c  ax  b  c

 10  2 x  4

5  x  2
De donde el conjunto solución resulta  5,2
Hay inecuaciones con valor absoluto que se resuelven tras una cuidadosa inspección. Por ejemplo:
3x  5
 0 no tiene solución, ya que un valor absoluto no puede ser negativo.
3
5  4x
b)
 0 se satisface para cualquier valor real, ya que el valor absoluto aplicado a cualquier real es en
2
todos los casos mayor o igual a cero.
a)
No deben confundirse inecuaciones que estén conectadas por  (conectivo “y”) con inecuaciones conectadas
por  ( conectivo “o”). En el primer caso, cada solución debe satisfacer todas las inecuaciones del sistema, por
ello se obtienen como intersección de los conjuntos solución de cada inecuación. En el segundo caso, para que
un número sea solución, basta que satisfaga una de las inecuaciones, por ello el conjunto solución se obtiene
como unión de los conjuntos solución de las inecuaciones participantes.
6.6. PROBLEMAS DE PLANTEO. ESTRATEGIAS PARA SU PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN
Para resolver problemas de enunciado verbal debemos ser capaces de escribir inecuaciones que describan con
exactitud las relaciones entre las cantidades que es mencionan en el problema. A continuación presentamos una
lista de enunciados verbales y su interpretación algebraica que puede ayudar a decidir entre la inecuación:
Enunciado verbal Expresión
algebraica
Es mayor que
>
Es menor
<
No es mayor que
<
Es a lo más
<
No es menor que
>
Es al menos
>
El procedimiento es análogo al de ecuaciones, es decir:
Comprensión del enunciado del problema.
Designación de la o las incógnitas del problema.
Traducción de frases al lenguaje matemático.
Expresar relaciones por medio de inecuaciones.
Resolución de las ecuaciones y análisis de las soluciones encontradas
Ejemplo:
El producto de 3 y x aumentado en 2 es al menos 12, se traduce como:
3x  2  12
Si un problema es expresable mediante una inecuación, este se resuelve considerando la variable en R.
Obtenido el conjunto solución, es necesario analizar si estas soluciones corresponden al problema. Es lo que se
llama existencia y pertinencia de las soluciones. En el contexto del problema, debe observarse si las soluciones,
por ejemplo, son positivas o valores enteros, o si pueden ser decimales, asegurándose si sólo es posible una
determinada cantidad de cifras decimales como ocurre con centésimos.
EJERCICIOS PROPUESTOS
I.Resolver las siguientes ecuaciones:
1) 2 x  3  7
2 )3 x  7  8
3)3  2 x  4 x  8
4) ax  2  cx  4
5)6( x  6)  a ( x  a )
6) x  3( 2  x )  8
7)3( 2 x  1)  ( x  1)  0
x 1 x
 
2 3 3
2x x  3 4x 1
9)



5
2
3
4
x 1 2
10)

x2 5
1 1
3
11) 

x 2x 4
a 1 2
12)  
x a a
xa bx
13)

xb a  x
x 1 x  2
14)

4
3
8)
15) x  2 x  1  8  3 x  3
16)5  3 x    4 x  6   8 x  11  3 x  6 
17)71   5 x   2 x  3  25   3 x  4   4 x  3
18)34 x  5  2 x  7   10  42 x  3  3
19)3 x  2 x  5  2 x  3  4   x  3 x  5  x 2
20) x  5 x  1   x  1
2
21)3 x  5  4 x  52 x  3   x  3  2
22) x  12 x  5  2 x  3 x  4   5
2
2
23)3ax  9b 2  a 2  9bx
24)x  a x  b   2 xa  b   x  a x  a 


25)5x  1  6 x 2  3x  7  xx  3  2 x2  5  2
2
26) x  5 x  15  xx  3  14  5x  2  313  2 x 
2
x x 2 x

 
5 10 3 15
2 x  1 3 x  1 42  3 x 
28)


3
8
9
2 5 7
3
29)  

1
3 x x 10 2 x
3x  2 3x  1
30)

2
x  5 3x  2
x  3 x 1
3x  5
31)

 2 2
x 1 x 1
x 1
x  6 x  5 x 1
x
32)



x  2 x 1 x  3 x  4
x2
2x  5
x2
33) 2
 2
 2
0
x  8 x  7 x  49 x  6 x  7
1
34) bx  a  2 x
2
ab
a b
35)   x 
12
6 8
27)
36)

2a  x  3(b  x) 6 a 2  2b 2


b
a
ab

II.En cada una de las siguientes fórmulas exprese la variable indicada en términos de las variables
restantes (o sea despejar de la fórmula la variable indicada).
1) P en I = 2Pt
2) r en A   r 2
PV
C
3) V en
T
4) y en ax  by  cz  d
1
1
1
1
5)
R2
en



R R1 R2 R3
a
r en S 
6)
1 r
P en S  P  2 Prt
7)
III. Plantear y resolver una ecuación para cada problema:
1)Pienso en un número. Si le resto 8 y luego multiplico esa diferencia por 3,obtengo como resultado 15. ¿Cuál es
el número que pensé?
2) En una liquidación de libros quiero comprar 14 libros. Algunos cuestan $3000 cada uno y otros $8000 cada
uno. ¿Cuántos de cada uno puedo comprar con $62.000?
3)Una retroexcavadora demora un día en excavar una zanja. Otra retroexcavadora más grande demora 4
horas.¿Cuánto demoran las dos juntas en excavar la misma zanja?
4)Un automóvil sale de La Calera al mediodía dirige a La Serena a una velocidad promedio de 80 Km/hr . Al
mismo tiempo, sale un camión de La Serena que viaja a La Calera a una velocidad promedio de 50 Km/h. Si la
distancia de La Calera a La Serena es de 360 Km, ¿cuándo se encuentran el automóvil con el camión?.
5) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30m/seg. ¿En qué momento
comienza su descenso?
6)Obtuve un 8% de aumento de sueldo, lo que me significó $20.400 más al mes. ¿Cuál era mi sueldo anterior y
cuánto es mi sueldo actual?
IV. Plantear y resolver
1)Marcela tiene un pequeño casino donde vende café, bebidas y sándwich. Ella sabe que al menos 40 sándwich
y como máximo 65. Si el valor de cada sándwich es $500 ¿entre qué valores está la venta de este producto?
2) Un comerciante compra un artículo en $3500. Considerando diferentes gastos, su sueldo y que además
conviene hacer algún descuento a clientes frecuentes, estima que el precio de venta se obtiene agregando entre
35% y 42% de recargo.¿Cuál es el precio de venta?
3) En un taxi, la tarifa se obtiene considerando un valor fijo de $300 más $150 por cada kilómetro recorrido. ¿Cuál
es la tarifa correspondiente a un viaje entre 12 y 15 Km?
4) Un túnel mide 2.400 metros y debe recorrerse a una velocidad no inferior a 60 Km./h. ni superior a 72 Km./ h.
¿Cuánto tiempo se espera que demore un vehículo en atravesar el túnel? 8 recuerda que d= vt).
5) Un automovilista estima que para recorrer 45 km. Demora entre 45 minutos y media hora. ¿A qué velocidad
viaja el automóvil?
5
6) Las relaciones entre la escala de temperatura de Fahrenheit y Celsius esta dada por: C  F  32  .Exprese
9
los valores de C correspondientes a 60 < F < 80
por medio de una desigualdad.
N
) y V el volumen (
7) Para cierto gas la ley de Boyle afirma que P·V= 20, donde P denota la presión (en
cm 2
en cm3 ) . Si 25 < V < 50. ¿Cuáles son los valores correspondientes de P?
8) Un vendedor de frutas comenzó el día con 20.000 pesos en caja. El precio promedio de todos sus productos
es de 300 pesos el kilo. Encuentra una desigualdad para los kilos de fruta que debería vender para tener en caja
más de 50.000 pesos.
9) La ley de Charles para los gases establece que si la presión permanece constante, entonces la relación entre
el volumen V que ocupa el gas y su temperatura T en grado Celsius esta dada por la fórmula:
1
V  V0 (1 
T ) . ¿Qué incremento en la temperatura se necesita para aumentar su volumen de
273
V0 a 2 V0
IV. Resuelve las inecuaciones
1) 3x  5  2 x  4
2)12  5 x  4 x  6
3)3x  4 x  7   2(6 x  1)
4)2 x  3  x4 x  1
x  5 3x  2
5)

2
3
6) x  5  3
7) 5 x  3  0
8) 4 x  7  1
8x  3
0
4
5  4x
10)
0
2
9)