1. INTRODUCCION:

1. INTRODUCCION:
La inducción electromagnética es la producción de corrientes eléctricas por campos magnéticos
variables con el tiempo. El descubrimiento por Faraday y Henry de este fenómeno introdujo una cierta
simetría en el mundo del electromagnetismo. Maxwell consiguió reunir en una sola teoría los
conocimientos básicos sobre la electricidad y el magnetismo. Su teoría electromagnética predijo, antes
de ser observadas experimentalmente, la existencia de ondas electromagnéticas. Hertz comprobó su
existencia e inició para la humanidad la era de las telecomunicaciones.
1.1.El descubrimiento, debido a Oersted, de que una corriente eléctrica produce un campo magnético estimuló
la imaginación de los físicos de la época y multiplicó el número de experimentos en busca de relaciones
nuevas entre la electricidad y el magnetismo. En ese ambiente científico pronto surgiría la idea inversa de
producir corrientes eléctricas mediante campos magnéticos. Algunos físicos famosos y otros menos conocidos
estuvieron cerca de demostrar experimentalmente que también la naturaleza apostaba por tan atractiva idea.
Pero fue Faraday el primero en precisar en qué condiciones podía ser observado semejante fenómeno. A las
corrientes eléctricas producidas mediante campos magnéticos Faraday las llamó corrientes inducidas. Desde
entonces al fenómeno consistente en generar campos eléctricos a partir de campos magnéticos variables se
denomina inducción electromagnética.
La inducción electromagnética constituye una pieza destacada en ese sistema de relaciones mutuas entre
electricidad y magnetismo que se conoce con el nombre de electromagnetismo. Pero, además, se han
desarrollado un sin número de aplicaciones prácticas de este fenómeno físico. El transformador que se emplea
para conectar una calculadora a la red, la dinamo de una bicicleta o el alternador de una gran central
hidroeléctrica son sólo algunos ejemplos que muestran la deuda que la sociedad actual tiene contraída con ese
modesto encuadernador convertido, más tarde, en físico experimental que fue Michael Faraday.
1,2.Las experiencias de Faraday
Las experiencias que llevaron a Faraday al descubrimiento de la inducción electromagnética pueden ser
agrupadas en dos categorías: experiencias con corrientes y experiencias con imanes. En primer lugar preparó
dos solenoides, uno arrollado sobre el otro, pero aislados eléctricamente entre sí. Uno de ellos lo conectó a
una pila y el otro a un galvanómetro y observó cómo cuando accionaba el interruptor del primer circuito la
aguja del galvanómetro del segundo circuito se desplazaba, volviendo a cero tras unos instantes. Sólo al abrir
y al cerrar el interruptor el galvanómetro detectaba el paso de una corriente que desaparecía con el tiempo.
Además, la aguja se desplazaba en sentidos opuestos en uno y otro caso.
En el segundo grupo de experiencias Faraday utilizó un imán recto y una bobina conectada a un
galvanómetro. Al introducir bruscamente el imán en la bobina observó una desviación en la aguja, desviación
que desaparecía si el imán permanecía inmóvil en el interior de la bobina. Cuando el imán era retirado la aguja
del galvanómetro se desplazaba de nuevo, pero esta vez en sentido contrario. Cuando repetía todo el proceso
completo la aguja oscilaba de uno a otro lado y su desplazamiento era tanto mayor cuanto más rápido era el
movimiento del imán entrando y saliendo en el interior de la bobina. Lo mismo sucedía cuando mantenía
quieto el imán y movía la bobina sobre él.
La representación del campo magnético en forma de líneas de fuerza permitió a Faraday encontrar una
explicación intuitiva para este tipo de fenómenos. Para que se produjera una corriente inducida en la bobina
era necesario que las líneas de fuerza producidas por el imán fueran cortadas por el hilo conductor de la
bobina como consecuencia del movimiento de uno u otro cuerpo. En el primer grupo de experiencias, las
líneas de fuerza, al aparecer y desaparecer junto con la corriente debida a la pila, producían el mismo tipo de
efectos.
1
Las experiencias anteriores a las de Faraday, al no tener en cuenta los aspectos dinámicos, o de cambio con el
tiempo, de esta clase de fenómenos, no pudieron detectar este tipo de corrientes que aparecen en un circuito
eléctrico sin que exista dentro del propio circuito ninguna pila que las genere.
1.3. La noción del flujo magnético:
Flujo magnético
La representación de la influencia magnética de un imán o de una corriente eléctrica en el espacio que les
rodea mediante líneas de fuerza fue ideada por Faraday y aplicada en la interpretación de la mayor parte de
sus experimentos sobre electromagnetismo. Mediante este tipo de imágenes Faraday compensaba su escasa
preparación matemática, apoyándose así su enorme habilidad gráfica y su no inferior intuición científica. La
noción de flujo magnético recoge esa tradición iniciada por Faraday de representar los campos mediante
líneas de fuerza, pero añade, además, un significado matemático.
Cuando se observa, con la ayuda de limaduras de hierro, el campo magnético creado por un imán recto, se
aprecia que, en los polos, las líneas de fuerza están más próximas y que se separan al alejarse de ellos. Dado
que la intensidad del campo magnético B disminuye con la distancia a los polos, parece razonable relacionar
ambos hechos y establecer por convenio una proporcionalidad directa entre la intensidad del campo B y la
cantidad de líneas de fuerza que atraviesan una superficie de referencia unidad. Cuanto más apretadas están
las líneas en una región, tanto más intenso es el campo en dicha región.
El número de líneas de fuerza del campo B que atraviesa una superficie unidad depende de cómo esté
orientada tal superficie con respectó a la dirección de aquéllas. Así, para un conjunto de líneas de fuerza dado,
el número de puntos de intersección o de corte con la superficie unidad será máximo para una orientación
perpendicular y nulo para una orientación paralela. El número de líneas de fuerza del campo B que atraviesa
perpendicularmente una superficie constituye entonces una forma de expresar el valor de la intensidad de
dicho campo.
Se define el flujo del campo magnético B a través de una superficie, y se representa por la letra griega ð, como
el número total de líneas de fuerza que atraviesan tal superficie. En términos matemáticos, para un campo
magnético constante y una superficie plana de área S, el flujo magnético se expresa en la forma:
ð = B · S · cos
(12.1)
siendo
el ángulo que forman las líneas de fuerza (el vector B) con la perpendicular a la superficie. Dicha ecuación
recoge, mediante el cos
, el hecho de que el flujo varíe con la orientación de la superficie respecto del campo B y también que su valor
dependa del área S de la superficie atravesada. Para
= 0º (intersección perpendicular) el flujo es máximo e igual a B · S; para
= 90º (intersección paralela) el flujo es nulo.
La idea de flujo se corresponde entonces con la de «cantidad» de campo magnético que atraviesa una
superficie determinada. En el Sistema Internacional se expresa en wéber (Wb). Un wéber es el flujo
magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1
volt si se anula dicho flujo en 1 segundo por crecimiento uniforme.
La ley de Faraday−Henry
Independientemente de Faraday, Joseph Henry, en los Estados Unidos, había observado que un campo
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magnético variable produce en un circuito próximo una corriente eléctrica. Los resultados concordantes de las
experiencias de ambos físicos pueden resumirse en un enunciado que se conoce como ley de Faraday−Henry:
La fuerza electromotriz inducida en un circuito es proporcional a la rapidez con la que varía el flujo magnético
que lo atraviesa.
O en forma matemática:
siendo ð la fuerza electromotriz inducida y ðð la variación de flujo magnético que se produce en el intervalo
de tiempo ðt. De acuerdo con esta ecuación, la magnitud de f.e.m. inducida coincide con lo que varía el flujo
magnético por unidad de tiempo.
La presencia de la fuerza electromotriz ð en la ley de Faraday−Henry en lugar de la intensidad de corriente
(ambas son proporcionales entre sí), resalta una característica de la inducción, a saber, su capacidad para
sustituir a un generador, es decir, para producir los mismos efectos que éste en un circuito eléctrico. Por su
parte, el signo negativo recoge el hecho, obser,vado experimentalmente por Faraday y Henry, de que
aumentos (ðð > 0) y disminuciones (ðð < 0) de flujo magnético producen corrientes inducidas de sentidos
opuestos.
Si no hay variación con el tiempo del flujo magnético que atraviesa un circuito, el fenómeno de la inducción
electromagnética no se presenta. Tal circunstancia explica los fracasos de aquellos físicos contemporáneos de
Faraday que pretendieron conseguir corrientes inducidas en situaciones estáticas, o de reposo, del circuito
respecto del imán o viceversa.
Cuando la ley de Faraday−Henry se aplica a una bobina formada por N espiras iguales toma la forma
El sentido de las corrientes inducidas
Aunque la ley de Faraday−Henry, a través de su signo negativo, establece una diferencia entre las corrientes
inducidas por un aumento del flujo magnético y las que resultan de una disminución de dicha magnitud, no
explica este fenómeno. Lenz (1904−1965), un físico alemán que investigó el electromagnetismo en Rusia al
mismo tiempo que Faraday y Henry, propuso la siguiente explicación del sentido de circulación de las
corrientes inducidas que se conoce como ley de Lenz:
Las corrientes que se inducen en un circuito se producen en un sentido tal que con sus efectos magnéticos
tienden a oponerse a la causa que las originó.
Así, cuando el polo norte de un imán se aproxima a una espira, la corriente inducida circulará en un sentido tal
que la cara enfrentada al polo norte del imán sea también Norte, con lo que ejercerá una acción magnética
repulsiva sobre el imán, la cual es preciso vencer para que se siga manteniendo el fenómeno de la inducción.
Inversamente, si el polo norte del imán se aleja de la espira, la corriente inducida ha de ser tal que genere un
polo Sur que se oponga a la separación de ambos. Sólo manteniendo el movimiento relativo entre espira e
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imán persistirán las corrientes inducidas, de modo que si se detiene el proceso de acercamiento o de
separación cesarían aquéllas y, por tanto, la fuerza magnética entre el imán y la espira desaparecería.
La ley de Lenz, que explica el sentido de las corrientes inducidas, puede ser a su vez explicada por un
principio más general, el principio de la conservación de la energía. La producción de una corriente eléctrica
requiere un consumo de energía y la acción de una fuerza desplazando su punto de aplicación supone la
realización de un trabajo. En los fenómenos de inducción electromagnética es el trabajo realizado en contra de
las fuerzas magnéticas que aparecen entre espira e imán el que suministra la energía necesaria para mantener
la corriente inducida. Si no hay desplazamiento, el trabajo es nulo, no se transfiere energía al sistema y las
corrientes inducidas no pueden aparecer. Análogamente, si éstas no se opusieran a la acción magnética del
imán, no habría trabajo exterior, ni por tanto cesión de energía al sistema.
1.4. Ley de Faraday−Henry:
Aplicación de la ley de Faraday−Henry y del concepto de flujo magnético
Una espira circular de 20 cm de diámetro gira en un campo magnético uniforme de 5 T de intensidad a razón
de 120 vueltas por minuto. Determinar: a) El flujo magnético que atraviesa la espira cuando su plano es
perpendicular al campo y cuando forma un ángulo de 30º con la dirección del campo magnético. b) El valor
de la f.e.m. media inducida en la espira cuando pasa de la primera a la segunda posición.
a) La expresión del flujo que atraviesa una espira circular en un campo magnético uniforme viene dada por.
siendo B la intensidad del campo magnético, S el área limitada por la espira, R su radio y
el ángulo que forma la perpendicular al plano de la espira con la dirección del campo.
En la primera posición el ángulo
1 = 0º y por lo tanto:
En la segunda posición el ángulo
2 = 90º − 30º = 60º y entonces:
b) De acuerdo con la ley de Faraday−Henry, la f.e.m. media inducida en una espira en un intervalo de tiempo
ðt viene dada por:
siendo ðt el intervalo de tiempo que transcurre entre una y otra posición.
Dado que el movimiento de rotación es uniforme, se cumple la relación:
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que permite el cálculo de ðt.
resulta:
Sustituyendo el valor de ðð y de ðt en la ley de Faraday−Henry resulta finalmente:
Producción de una corriente alterna
La corriente alterna se caracteriza porque su sentido cambia alternativamente con el tiempo. Ello es debido a
que el generador que la produce invierte periódicamente sus dos polos eléctricos, convirtiendo el positivo en
negativo y viceversa, muchas veces por segundo.
La ley de Faraday−Henry establece que se induce una fuerza electromotriz (f.e.m.) ð en un circuito eléctrico
siempre que varíe el flujo magnético ð que lo atraviesa. Pero de acuerdo con la definición de flujo magnético
(ecuación 12.1), éste puede variar porque varíe el área S limitada por el conductor, porque varíe la intensidad
del campo magnético B o porque varíe la orientación entre ambos dada por el ángulo
.
En las primeras experiencias de Faraday las corrientes inducidas se conseguían variando el campo magnético
B; no obstante, es posible provocar el fenómeno de la inducción sin desplazar el imán ni modificar la corriente
que pasa por la bobina, haciendo girar ésta en torno a un eje dentro del campo magnético debido a un imán.
En tal caso el flujo magnético varía porque varía el ángulo
. Utilizando el tipo de razonamiento de Faraday, podría decirse que la bobina al rotar corta las líneas de fuerza
del campo magnético del imán y ello da lugar a la corriente inducida.
En una bobina de una sola espira la fuerza electromotriz
bobina desde la posición paralela (
= 90º) a la posición perpendicular (
= 0º) puede calcularse a partir de la ley de Faraday−Henry, en la forma:
Como el flujo ð inicial es cero (cos 90º = 0) y el final es B · S (cos 0º = 1), la variación ðð o diferencia entre
ambos es igual al producto B · S. Considerando el instante inicial igual a cero, resulta ðt = t · 0 = t, siendo t el
tiempo correspondiente al instante final después de un cuarto de vuelta. De este modo se obtiene el resultado
anterior.
5
Si se hace rotar la espira uniformemente, ese movimiento de rotación periódico da lugar a una variación
también periódica del flujo magnético o, en otros términos, la cantidad de líneas de fuerza que es cortada por
la espira en cada segundo toma valores iguales a intervalos iguales de tiempo. La f.e.m. inducida en la espira
varía entonces periódicamente con la orientación y con el tiempo, pasando de ser positiva a ser negativa, y
viceversa, de una forma alternativa. Se ha generado una f.e.m. alterna cuya representación gráfica, en función
del tiempo, tiene la forma de una línea sinusoidal.
La síntesis de Maxwell
El experimento de Oersted (1820) había demostrado la existencia de efectos magnéticos debidos a cargas en
movimiento. Los descubrimientos de Faraday (1831) habían puesto de manifiesto que campos magnéticos
variables con el tiempo dan lugar a un movimiento de cargas eléctricas en los conductores. Además, la
explicación de Faraday de estos fenómenos llamados de inducción había introducido por primera vez en la
historia de la física la noción de campo magnético representado por un conjunto de líneas de fuerza. Medio
siglo antes, Charles Coulomb (1785) había descrito en forma de ley el modo en que las cargas eléctricas se
atraen entre sí. Estos cuatro elementos fundamentales sirvieron de base a Maxwell para iniciar la síntesis de
los fenómenos eléctricos y de los fenómenos magnéticos entonces conocidos y su explicación dentro de una
amplia teoría conocida como teoría del electromagnetismo.
Apoyado en una enorme habilidad matemática, Maxwell empezó dando forma de ecuaciones a las
observaciones de Faraday y a su noción de campo magnético. Las fuerzas entre cargas en reposo se
beneficiarían pronto de una representación semejante en forma de campos eléctricos o electrostáticos. Este
proceso de elaboración teórica le permitió finalmente describir lo esencial de los fenómenos
electromagnéticos en cuatro ecuaciones, que se denominan ecuaciones de Maxwell. La primera describe cómo
es el campo eléctrico debido a cargas en reposo; la segunda traduce en forma matemática la imposibilidad de
separar los polos magnéticos de un imán; la tercera expresa en términos de campos magnéticos y corrientes
eléctricas el descubrimiento de Oersted y la cuarta recoge la aportación de Faraday. La virtud de tales
ecuaciones es que en ellas aparecen a primera vista los campos eléctricos E y magnético B y su forma simple
y rica a la vez permite relacionarlas entre sí para obtener nuevos resultados y predecir nuevas consecuencias.
Además de resumir en un solo cuerpo de conocimientos la electricidad y el magnetismo, la teoría de Maxwell
abrió nuevos caminos al conocimiento de la naturaleza y a sus aplicaciones. Las ondas electromagnéticas, que
son la base de las actuales telecomunicaciones, como la radio o la televisión, constituyeron la predicción más
interesante de esta síntesis de Maxwell.
Las ondas electromagnéticas
De las ecuaciones de Maxwell se deduce que el campo magnético y el campo eléctrico pueden estar
interactuando permanentemente si uno de ellos varía con el tiempo. Así, el movimiento acelerado de un
sistema de cargas produce un campo magnético variable, el cual a su vez genera campos eléctricos. Pero si
éstos se producen tuvieron que partir de cero; tal variación del campo eléctrico produce a su vez un campo
magnético y así repetidamente. Esta sucesión oscilante de campos eléctricos y magnéticos viajando por el
espacio se denomina onda electromagnética.
A partir de sus ecuaciones, Maxwell anticipó que las ondas electromagnéticas deberían propagarse en el vacío
a una velocidad igual a la velocidad de la luz. Las predicciones de Maxwell fueron confirmadas
experimentalmente por Hertz, quien generó y detectó este tipo de ondas, observando que su comportamiento
era idéntico al de las ondas luminosas de la Óptica.
Desde las ondas de radio hasta los rayos gamma, pasando por las ondas luminosas, una amplia gama de ondas
electromagnéticas constituyen el llamado espectro electromagnético hoy conocido. Todas ellas tienen la
misma naturaleza y sólo se diferencian en su frecuencia, es decir, en el número de oscilaciones que se
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producen en cada segundo en estos campos viajeros. La energía de las ondas electromagnéticas es tanto mayor
cuanto mayor es su frecuencia. La luz con sus colores constituye simplemente la porción limitada del espectro
electromagnético, al cual el ojo humano es sensible.
1.5. El experimento de Hertz:
El montaje experimental que permitió a Heinrich Hertz en 1888 producir y detectar ondas electromagnéticas
constaba de un circuito eléctrico, capaz de producir tensiones eléctricas oscilantes, y de un detector. Dicho
circuito, formado, en esencia, por un transformador y unas placas metálicas a modo de condensadores, se
conectaba a dos esferas metálicas pulimentadas separadas entre sí por una pequeña región de aire. Cuando la
tensión entre las dos esferas alcanzaba su valor máximo, el aire intermedio se electrizaba y saltaba una chispa.
Este proceso se repetía periódicamente generando, cada vez, según la predicción de Maxwell, un conjunto de
ondas electromagnéticas.
Para comprobar que, en efecto, un campo electromagnético viajero se estaba propagando por el espacio, Hertz
preparó un detector (o antena), conocido también como resonador, que consistía en un alambre corto doblado
en forma de circunferencia, pero con una pequeña abertura intermedia. Las ondas electromagnéticas, si
existían, serían detectadas porque la variación del campo magnético de la onda al atravesar el resonador daría
lugar a una fuerza electromotriz inducida que provocaría una chispa entre sus extremos.
Con el fin de analizar el fenómeno más cómodamente, situó en su laboratorio una superficie reflectora que le
permitiría confinar las ondas producidas en el espacio comprendido entre el circuito emisor y la placa. Así, y
con la ayuda del resonador, fue capaz de descubrir las características de las ondas generadas mediante su
aparato emisor y de medir una longitud de onda de 66 cm. Las previsiones teóricas de Maxwell fueron
confirmadas y Hertz demostró experimentalmente que las ondas electromagnéticas se reflejaban, se
retractaban y sufrían interferencias al igual que las ondas luminosas. En su honor recibieron el nombre de
ondas herzianas.
2. VARIABLES:
Cada una de las magnitudes mecánicas y eléctricas está específicamente representada por un aspecto del
modelo mecánico.
En un medio conductor, la intensidad de corriente en un punto (j) vienen representada por el número de bolas
que pasan por ese punto en un segundo, midiéndose en A/m2. La intensidad de la fuerza mecánica (H) viene
representada por la velocidad del remolino en su superficie. Su dirección viene dada por la del eje del
remolino; Maxwell supone que si miramos a lo largo del eje del remolino y vemos que éste gira en el sentido
de las agujas del reloj, entonces estamos mirando en dirección norte, es decir, aquella hacia donde sería
impulsado el polo norte magnético. La densidad media (masa) de los remolinos se corresponde con la
permeabilidad magnética del campo (); si se trata de la permeabilidad del campo en el vacío, () se mide en
H/m o seg/m (=4 x 10−7 H/m).
Si dos remolinos vecinos describen un movimiento de rotación con velocidades distintas, sobre las partículas
que hay entre ellas se ejerce una fuerza tangencial. Esta fuerza representa la parte de la fuerza electromotriz
(E), medida en N/C, debida a la inducción. El estado electrotónico o potencial vectorial (A) está relacionado
con el momento de los remolinos, por lo cual la fureza electromotriz es una función de la variación del
momento de los remolinos.
En la descripción dimensional de los fenómenos electromagnéticos, se necesita una cuarta unidad para la
carga eléctrica o corriente eléctrica. Se ve que la selección dimensional de la cuarta unidad (carga) adoptada
para el sistema mks, depende de los valores que se escojan para las constantes "0 y 0que aparecen en las
ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, sólo una de esas constantes es arbitraria a la vista de la relación para la
7
velocidad de la luz,
1
− c = ___ = 2,99792 x 108 " 3 x 108 m/s
"¯"0¯
lo cual es un valor determinado experimentalmente. En el sistema mks, la unidad de carga es el coulomb, que
se define haciendo la constante 0 igual a 4 x 10−7. Entonces se obtiene el valor de la constante "0
1
− "0 = __
0c2
que, si se hace la aproximación c" 3 x 108 m/s para la velocidad de la luz, produce la buena aproximación
10−9
−"0 " __ " 8.85 x 10−12 F/m
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Este valor de " , sustituido en la expresión por la fuerza de Coulomb, proporciona entonces el valor de escala
para obtener la fuerza entre cargas en newtons, en las que las cargas q y q están dadas en coulombs y están
separadas una distancia dada en metros.
Por otra parte, si las bolitas están formando parte de un dieléctrico, no podrán desplazarse de su posición pero
sí sufrir una deformación elástica bajo la acción de las fuerzas que actúan sobre ellas.
En el modelo de Maxwell, la carga está producida por una presión mutua ejercida por las partículas eléctricas.
La presión es análoga al potencial eléctrico o tensión ().
Se describen también constantes como la constante dieléctrica o capacidad inductiva específica del medio ()
que relaciona el desplazamiento (D) con la enegía del campo eléctrico. Así también la resistividad del medio
(), la densidad de flujo de campo eléctrico (B) y la densidad de la carga eléctrica (q) en C/m3.
2.1. Densidad de carga:
El origen de todos los fenómenos magnéticos, es la existencia de la carga eléctrica y el movimiento de la
misma. En definitiva, por medio de un campo electromagnético lo que se pretende, es describir
satisfactoriamente las interacciones entre cargas y elementos de corriente. Parece pues, que el primer paso de
nuestro intento, sea representar matemáticamente estas magnitudes haciendo posible su manejo.
Las partículas eléctricas fundamentales de la materia son las cargas eléctricas. Las cargas eléctricas pueden ser
positivas i negativas. Se demuestra experimentalmente que la carga eléctrica total de un conjunto definido de
materia se conserva y que además, la carga eléctrica solamente existe en múltiplos enteros del electrón e=
−1.16 x 10−19 coulombs; esto implica que la carga está cuantificada.
Desde el punto de vista del electromagnetismo clásico, una carga eléctrica, puede subdividirse
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indefinidamente de tal forma que se define como densidad de carga volumétrica v a la relación:
q
= ___ C/m3
v
donde q es la carga existente en un v de volumen. En sentido riguroso, v sólo representa una función
continua, si v tiende a cero a escala macroscópica, es decir de tal forma que el elemento de volumen
considerado contenga un número elevado de partículas discretas cargadas.
Como quiera que la carga que se encuentra dentro de un elemento de volumen puede variar de un punto a
otro, es evidente que la densidad de carga es una función de las coordenadas y posiblemente del tiempo. Así
pues, v es un campo escalar, que se expresa en general por v(x,y,z,t) o simplemente v(r,t).
En algunos problemas físicos, se identifica la carga con un elemento de superficie o de línea, en vez de
volumen. Entonces la relación queda:
q
v = __ C/m2
s
q
v = __ C/m
l
La cantidad total de carga contenida en una región volumétrica, superficial o lineal, de acuerdo con las
ecuaciones anteriores será:
q = "v v dv ; q = "s s ds ; q = " l dl
donde v, s y representan respectivamente el volumen, superficie y curva de integración.
• Campo eléctrico:
Si se tiene un conjunto de cargas eléctricas y se coloca una pequeña carga de prueba inmóvil q en esa región,
esta carga experimentará una fuerza F (newton). Esta fuerza es proporcional a la carga q, de tal modo que el
cociente F/q es un invariante que representa una propiedad local del espacio. El cociente anterior se denomina
campo eléctrico E, de tal modo que se cumple:
F
E = __ V/m
−q
Según esta ecuación el campo eléctrico sería la fuerza que por unidad de carga experimenta una pequeña
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carga de prueba estacionaria colocada en el punto donde se quiere determinar E. La exigencia de que la carga
de prueba tenga un valor pequeño, es para asegurar que no se perturbe la configuración de cargas cuyo campo
se medirá. El campo eléctrico E es un campo vectorial cuya dirección y sentido corresponde al de la fuerza F
en cada punto de la región.
2.3. Densidad de corriente:
Sabemos que un movimiento ordenado de cargas eléctricas en una cierta dirección constituye una corriente
eléctrica. Consideremos por ejemplo que se tiene un medio con una distribución de carga de densidad
volumétrica v y supongamos que las cargas tienen unas velocidades medias representadas por la función
vectorial u(x, y, z, t). Se puede definir una densidad de corriente J en un punto P de la región, por la
expresión:
J = vu A/m2
En general si se tienen diferentes tipos de cargas libres en el medio con densidades volumétricas vi y
velocidades ui, la densidad de corriente es igual a:
J = vi ui
Los medios que contienen cargas libres pueden ser: los metales, los semiconductores y los electrólitos.
La densidad de corriente J es una medida, en el entorno de punto P, de la cantidad de carga eléctrica que
atraviesa en una unidad de tiempo, la unidad de superficie normal a u. Si se tiene una superficie S a través de
la cual existe movimiento de cargas, el flujo de J a través de S, se denomina intensidad de la corriente
eléctrica i:
− i = "s J ds A
Cuando se aplica un campo eléctrico E a un material que posee electrones libres, aparece una fuerza en éstos.
Si el medio en el que se mueven las cargas fuera ideal se produciría una aceleración de las cargas de acuerdo
con la ley de Newton:
du
F = qE = −eE = m __ N
− dt
donde se ha considerado únicamente la fuerza sobre un electrón de carga −e y masa m. Integrando la ecuación
anterior se obtiene la velocidad u:
−eE
− u = ____ t m/s
m
lo cual indica que la velocidad de los electrones aumenta linealmente con el tiempo hacia el infinito, lo que
está en contradicción con los resultados experimentales. Lo que ocurre en realidad es que en la materia real,
existe una fuerza amortiguadora adicional resultan de los choques de los electrones con las redes cristalinas
del medio, los cuales producen un calentamiento del material recorrido por la corriente. La velocidad
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amortiguadora estabiliza los electrones, resultando una velocidad de arrastre ud constante y cuya magnitud es
proporcional al campo eléctrico.
Si denominamos c el tiempo libre medio entre colisiones, se tendrá un valor para la velocidad media de
arrastre:
1 −eE −eE
− u = _ (0 + ___c) =____ c = E m/s
2 m 2m
2.4. Inducción magnética:
El campo magnético es un concepto introducido en electromagnetismo para explicar las fuerzas que aparecen
entre corrientes eléctricas. Los campos magnéticos son producidos por corrientes eléctricas, con imanes o si
existen campos variables. Una carga eléctrica en movimiento que es equivalente a una corriente eléctrica,
también produce un campo magnético.
Si se mueve una carga eléctrica q, en la zona de acción de una corriente eléctrica, a una velocidad u, aparecerá
una fuerza de origen magnético sobre la carga que es proporcional a q, a su velocidad u, y es perpendicular a
esta última. Esta fuerza es proporcinal y perpendicular a la inducción magnética B en ese punto del espacio:
F = q(u x B) N
Donde x representa un producto vectorial. Esta expresión se puede tomar como una definición axiomática de
la inducción magnética B.
3. LAS ECUACIONES MATERIALES:
3.1. Desplazamiento eléctrico, polarización y permitividad:
Un material aislante o dieléctrico no contiene electrones libres, por ello al aplicar un campo eléctrico sobre él
no se produce ningún movimiento de cargas, como es el caso de un conductor. Desde el punto de vista
microscópico, un dieléctrico está formado por átomos con un núcleo de cargas positivas y una nube de
electrones alrededor del núcleo. Generalmente el átomo es eléctricamente neutro. Al aplicar un campo
eléctrico externo se ejercen unas fuerzas sobre las partículas cargadas de cada átomo, provocando un
desplazamiento del centro de gravedad de la nube electrónica respecto del núcleo. El átomo sigue siendo
neutro, pero los centros de gravedad de las distribuciones de carga positiva y negativa se separan una
distancia. Este conjunto de dos cargas iguales y diferente signo, separadas una distancia, se conoce con el
nombre de dipolo eléctrico. Se denomina momento dipolar p al producto de la carga q por la distancia d, es un
vector cuyo sentido va de la carga negativa a la positiva. Este momento dipolar se opone al campo eléctrico
aplicado.
Se define campo de polarización P de un dieléctrico, el momento dipolar por unidad de volumen:
p
P = límv!0 ____ C/m2
v
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el efecto del campo eléctrico E aplicado se representa en el dieléctrico por el desplazamiento eléctrico D, que
se define:
D=E+P
Donde 0es la constanta dieléctrica o permitividad en el vacío que vale:
1
= ____ 10 −9 C/Vm
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cuando el medio dieléctrico es lineal e isótropo la polarización P es directamente proporcional al campo
eléctrico:
P = e E C/m2
Donde e es una cantidad sin dimensiones que se denomina susceptibilidad eléctrica. Al sustituir este valor
de P en la definición de D queda:
D = (1 + e)E = r E = E
Donde:
r = 1 + e = ___
o
es una constante sin dimensiones que se conoce por el nombre de permitividad relativa o constante dieléctrica
del medio. El coeficiente = r es la permitividad absoluta o simplemente permitividad.
En el vacío y aproximadamente en el aire, la polarización P es nula y de este moda nos da:
D = E C/m2
Lo que nos indica que r = 1. Esto se debe a que las permitividades se toman en referencia al vacío.
3.2. Campo magnético, imanación, permeabilidad:
Las propiedades magnéticas de los materiales son debidas a una propiedad cuántica del electrón que recibe el
nombre de momento magnético del spin
En la mayoría de los materiales, loas átomos poseen el mismo número de electrones con momento magnético
positivo que negativo, de este modo no aparece ningún efecto magnético exterior. Cuando los poseen en
número distinto, ese desequilibrio provoca la aparición de un momento magnético resultante que se une al de
algunos átomos vecinos formando dominios magnéticos con el mismo sentido de momento magnético.
Cuando se aplica un campo magnético exterior se produce un alineamiento de todos los momentos de todos
los dominios, dando lugar a la aparición de un momento magnético resultante.
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Se define el campo de imanación M, de un material magnético o vector de magnetización al momento dipolar
magnético por unidad de volumen:
m
M = límv!0 ____ A/m
v
El campo magnético H se define a partir de la inducción B y la imanación M por la relación:
B
H = ___ −M A/m
Cuando el medio magnético es lineal e isótropo, la imanación M es directamente proporcional al campo
magnético
M = m H Vs/Am
Donde m es una cantidad sin dimensiones que se denomina susceptibilidad magnética.
B = 0(1 + m)H = r H = H Teslas
Donde:
r = 1 + m = ___
es una constante sin dimensiones que se conoce con el nombre de permeabilidad relativa del medio. El
coeficiente = r es la permeabilidad absoluta o simplemente permeabilidad.
3.3. La ley de Ohm:
Si se considera un conductor con n electrones por unidad de volumen, la densidad volumétrica de carga libre
sería: v = −ne dará lugar a una densidad de corriente de valor:
− ne2
J = vud = −neud = ____ cE A/m2
2m
la ecuación anterior demuestra que la densidad de corriente es directamente proporcional al campo eléctrico
aplicado. Los experimentos demuestran que el modelo es estremadamente exacto para una amplia gama de
conductores. La ecuación anterior se suele expresar:
13
J = E A/m2
Que es la ley de Ohm en forma puntual. El factor recibe el nombre de conductividad y se puede expresar:
− ne2
= ____ c s/m
2m
En los conductores, la conductividad tiene un valor elevado y en los aislantes el valor es pequeño. Desde el
punto de vista ideal se considerará un conductor perfecto si =", mientras que se considerará aislante perfecto
si = 0.
4. ECUACIONES DE MAXWELL:
Maxwell se planteó el problema de desarrollar las ideas de Faraday dentro de una teoría matemática del
electromagnetismo. Utilizaba, como Thomson, una interpretación en función del éter, lo cual le permitió
construir varios modelos matemáticos que podía estudiar utilizando las leyes de Newton. Maxwell era
consciente de que su interpretación era algo distinta a la de Faraday, pero pensaba que era preferible a la teoría
del campo.
A lo largo de todo su trabajo sobre electricidad, Maxwell siguió el método de las analogías. Lo liberador de
este método reside en el hecho de que permite el desarrollo de teorías, en un principio consideradas como
falsas, pero que pueden arrojar luz sobre la verdad.
Maxwell construyó analogías de dos de las teorías de Faraday, poniéndolas en lenguaje matemático:
• Veamos en primer lugar la analogía de las líneas de fuerza que presentó Maxwell. Si llenamos de
líneas de fuerza el espacio que rodea a un imán, como lo hizo Faraday, obtendríamos un modelo
geométrico de los modelos físicos que nos indicaría la dirección de la fuerza, pero no su intensidad en
cualquier punto, para lo cual necesitaríamos de otro método. La solución de Maxwell consistía en
considerar estas curvas no como simples líneas, sino como finos tubos de sección variable que
transportan un fluido incomprensible. En cualquier punto del campo, la magnitud dirección de la
fuerza vendrá entonces representada por la dirección y magnitud del fluido imaginario.
• Pasemos ahora a la analogía mecánica de la electricidad. La carga positiva se considera como una
fuente de fluido que vierte de forma continua en una cantidad de fluido que depende de su intensidad.
La carga negativa es como un sumidero que absorbe todo el fluido de las proximidades
proporcionalmente a su intensidad. Según Faraday, hay la misma cantidad de carga positiva que de
negativa, y por tanto los sumideros nunca dejan de absorber fluido. Se trata, desde luego, de un fluido
extraño que continuamente está creándose en un lugar y destruyéndose en otro. Pero Maxwell
recalcaba que, al tratarse de una analogía matemática de los fenómenos, podemos asignarle todas las
propiedades que queramos.
Maxwell se dedicó al arduo problema de encontrar una explicación mecánica de las leyes que había expresado
matemáticamente, una explicación que condujera a una teoría unificada de la electricidad. El problema de
Maxwell se centraba, pues, en dar con un modelo del éter del campo electromagnético que incorporara la
masa y elasticidad necesarias para la velocidad finita de la inducción y que fuera coherente con los fenómenos
eléctricos y magnéticos ya conocidos. A partir de este mecanismo, podría quizá deducir nuevas ecuaciones del
campo.
14
El primer paso de la construcción del modelo es introducir la hipótesis fundamental de que la masa de los
remolinos magnéticos depende de la permeabilidad magnética del medio. Por lo tanto, la energía del campo
magnético − la energía cinética de los remolinos − es función de la constante de permeabilidad.
El segundo paso era encontrar una analogía mecánica de la corriente eléctrica que estableciera una relación
entre ésta y el magnetismo. Maxwell propuso una solución muy ingeniosa que consistía en suponer que la
electricidad está constituida por bolitas que separan a unos remolinos magnéticos de otros, considerando a
éstos como barras flexibles con superficies rugosas. El desplazamiento de las partículas eléctricas constituye
la corriente eléctrica. Mientras pasa la corriente, las partículas se mueven de un remolino a otro. Al
desplazarse pueden dar saltos y provocar una pérdida de energía que aparece en forma de calor; pero mientras
están girando, no hay rozamiento entre la partícula y el remolino, y no se producen pérdidas de energía. En
principio, pues, parece posible mantener indefinidamente un campo magnético.
El tercer paso fue el suponer que los remolinos magnéticos están dotados de elasticidad. Esta hipótesis exige
una velocidad finita de variación de los estados del mecanismo: una velocidad de inducción finita. Y
proporciona también una explicación de la electricidad estática: en un dieléctrico, los ejes de los remolinos
magnéticos no pueden moverse. Si una causa exterior al mecanismo ejerce fuerzas sobre las partículas
eléctricas, éstas deforman elásticamente los remolinos magnéticos. Esta deformación pone en juego a las
fuerzas elásticas del remolino, que presiona sobre las partículas eléctricas circundantes. Se supone que la
fuerza de un remolino sobre una partícula eléctrica representa la fuerza eléctrica debida a la carga. Así pues,
Maxwell, al igual que Faraday, aportó una teoría de campo de la carga.
La definición del campo electromagnético debido a Maxwell era esencialmente completa. Llegó a deducir las
cuatro ecuaciones de Maxwell:
B
− rot E = _ ____
t
"E
− rot B = 0 ___ + J
"t
1
− div E = __
− div B = 0
Están escritas para los campos en el vacío, en presencia de una densidad de carga y de corriente, es decir,
cargas en movimiento de densidad J.
La primera ecuación es la ley de la inducción de Faraday. La segunda expresa la dependencia del campo
magnético de la densidad de corriente de desplazamiento, o velocidad de variación del campo eléctrico, y de
la densidad de la corriente de conducción o variación del movimiento de la carga con el tiempo. La tercera
ecuación es equivalente a la ley de Coulomb. La cuarta nos indica que no existen fuentes del campo
15
magnético con excepción de las corrientes.
La falta de simetría de estas ecuaciones con respecto a B y E es enteramente debida a la presencia de carga
eléctrica y corriente de conducción eléctrica. En el espacio vacío los términos con y J son nulos y las
ecuaciones de Maxwell se convierten en:
"B
− rot E = _ __ div E = 0
"t
"E
− rot B = __ div B = 0
"t
Aquí lo importante es el término debido a la corriente de desplazamiento. Su presencia, al igual que su
contrapartida en la primera ecuación, implica la posibilidad de ondas electromagnéticas. Comprendiendo esto,
Maxwell desarrolló con brillante éxito, la Teoría electromagnética de la luz.
4.1. Ecuaciones de Maxwell en su forma integral para el espacio vacío:
Las ecuaciones de Maxwell, las cuales se postulan aquí en forma integral para los campos E y B en el espacio
vacío, proporcionan las relaciones entre los campos de fuerzas eléctrica y magnética y sus distribuciones
asociadas de carga y corriente en el espacio vacío.
"S ( 0e) ds = "v v dv C (4−1)
"s B ds = 0 Wb (4−2)
d
"l E dl = − __ "s B ds V (4−3)
dt
Bd
"l ___ dl = "s J ds + __ "s ( 0 E) ds A (4−4)
dt
Las ecuaciones de Maxwell (4−1) a (4−4) deben de satisfacerse simultáneamente por las soluciones de E y B
para todas las trayectorias cerradas posibles l y superficies l en la región del espacio ocupado por esos
campos. Este requisito estricto parecería limitar bastante la cantidad de problemas prácticos que pueden
resolverse mediante esas integrales; en efecto, su aplicación al descubrimiento de soluciones de campo E (u1,
u2, u3, t) y B (u1, u2, u3, t) está restringido, en el tratamiento actual, a problemas en que las distribuciones de
carga o de corriente tienen simetrías específicas que sirven para simplificar las soluciones.
• Ley de Gauss para campos eléctricos en el espacio vacío:
16
La ley integral de Maxwell (4−1)
"S ( E) ds = "V v dv " q
también se conoce como la ley de Gauss para los campos eléctricos en el espacio vacío.
Así, si se da un campo eléctrico E = E (u1 ,u2 ,u3 , t) en el espacio (indicado por la distribución de líneas de
flujo en la figura), significa que la integración de ("0 E) ds sobre cualquier superficie cerrada S (en la cual el
flujo neto de "0 E sale de S) es una medida de la cantidad de carga eléctrica q, contenida dentro del volumen
V encerrado por S. Ya que se debe tomar el flujo de "0 E como positivo hacia fuera de S, se supone que el
sentido positivo de cada elemento de superficie ds sobre S es hacia fuera. A la cantidad "0 se le llama
permitividad del espacio vacío.
La ley de Gauss (4−1) es algo más que un criterio de la cantidad de carga contenida por una superficie
cerrada; debe de satisfacerse para todas las superficies cerradas posibles que se puedan construir en una región
que contenga a E (r, t) y a una distribución relacionada de cargas v (r, t). A veces se pude emplear la ley de
Gauss para encontrar soluciones para E, siempre que se conozca la distribución v de cargas, aunque esto
sólo se realiza en pocos ejemplos de distribuciones de carga estática con simetrías espaciales determinadas.
• Ley Circuital de Ampere en el espacio vacío:
La ley integral de Maxwell (4−4)
B d de
"l ___ dl = "S J ds + __ "S ("0 E) ds = i + __
dt dt
con frecuencia se conoce como ley circuital de Ampere para el espacio vacío. La figura ilustra los significados
de las magnitudes del campo, relativas a cualquier línea cerrada l que limita una superficie S. La dirección
positiva del elemento ds puede tomarse a cualquier lado de S, pero el sentido de integración positiva alrededor
de l debe de concordar con la regla de la mano derecha con respecto a ds. La relación (4−4) significa que la
integral de línea del campo B (modificado por −1) alrededor de cualquier trayectoria cerrada arbitraria l en
todo instante t, debe de ser igual a la suma de la corriente eléctrica neta i, más la relación de cambio en el
tiempo del flujo eléctrico neto e que pasa a través de la superficie S limitada por l.
Los dos términos a la derecha de (4−4) denotan las dos clases de corrientes eléctricas que ocurren físicamente
en el espacio vacío. La primera, i, recibe el nombre de corriente de convección cuando está formada por una o
más especies de cargas en movimiento en el espacio vacío; también se le llama corriente de conducción si se
debe a las cargas eléctricas libres que se transportan dentro de un sólido, líquido o gas. El segundo término
de / dt, se conoce como corriente de desplazamiento que indica la relación de cambio en el tiempo de flujo
eléctrico instantáneo neto e y que atraviesa la superficie S. La corriente de desplazamiento es la contribución
histórica de Maxwell, quien proporcionó el eslabón faltante en la unificación de las teorías de electricidad y
magnetismo y predijo la propagación de las ondas electromagnéticas en el espacio vacío en ausencia de cargas
y corrientes.
Comparando (4−4) contra la ley de Gauss (4−1) se ve que la ley circuital de Ampere es más comprensiva;
abarca ambos campos: el magnético B y el eléctrico E variable en el tiempo, al igual que las corrientes
eléctricas que pudieran fluir en una región. En efecto, especifica qué corrientes eléctricas o campos eléctricos
variables en el tiempo, en el espacio, o ambos, darán lugar a un campo magnético B tal, que se debe satisfacer
(4−4) para todas las líneas cerradas, posibles, construidas en la región.
17
En general, no es factible una aplicación directa de la ley circuital de Ampere (4−4) en la obtención de
soluciones para E (r, t) y B (r, t) como campos variables en el tiempo cuando, por ejemplo, se especifica en
cierta manera una distribución de corrientes J (r, t). La dificultad consiste, en parte, en no saber cómo
especificar la distribución de corriente sin más información relativa a los campos adyacentes; las
complejidades podrán apreciarse mejor, si se reconoce que las soluciones de campo deben satisfacer
simultáneamente las cuatro relaciones integrales de Maxwell (4−1) a (4−4).
Sin embargo, se pueden descubrir algunas ilustraciones sencillas de la aplicación de la ley circuital de Ampere
para la determinación de los campos magnéticos debidos a distribuciones de corriente estática en el tiempo
(corriente directa). En el caso estático, (4−4) se reduce a una expresión de la que está ausente el término de
corriente de desplazamiento.
B
"l __ dl = "S J ds " i ley de Ampere para campos estáticos.
• Ley de Faraday:
La ley integral de Maxwell (4−3)
d dm
"l E dl = _ ___ "S B ds = _ __
dt dt
se atribuye a la obra de Faraday, y se conoce como la ley de la fuerza electromotriz inducida (fem). La esencia
de esta ley de electromagnetismo se expresa en la simbología de la figura. La relación del sentido positivo de
la integración de línea con la dirección positiva supuesta para ds, es la misma que para la ley circuital de
Ampere. La ley de Faraday (4−3) expresa que, la relación de disminución en el tiempo del flujo magnético
neto m, que pasa por cualquier superficie arbitraria S, es igual a la integral del campo E alrededor de la línea
cerrada que limita a S, lo que equivale a decir que un flujo magnético variable en el tiempo genera un campo
E. En general, éste también debe variar en el tiempo para que se realice (4−3) en cada instante.
Las soluciones válidas para los campos E (r,t) y B (r, t) que cumplan con la ley de Faraday (4−3) también
deben cumplir con las relaciones integrales de Maxwell restantes (4−1) a (4−4); sin embargo, si las
variaciones de los campos en el tiempo no son demasiado rápidas, en algunas ocasiones se sobreentiende que
la solución estática para B, que realiza la forma estática de la ley circuital de Amper:
B
"l ___ dl = "S J ds = i
o
es el campo conocido . Si las densidades J de corriente varían lentamente en el tiempo, se sobreentiende que
darán lugar a un campo B que varíe lentamente con el tiempo. A tal campo estático, en que se imponen las
variaciones en el tiempo, se le llama cuasiestático. Insertando en el campo cuasiestático B (r,t) en la ley de
Faraday (4−3), se puede obtener una aproximación de primer orden al campo E de (4−3). A veces se puede
emplear un proceso iterativo para mejorar la exactitud de la solución cuasiestática, aunque, si las variaciones
18
en el tiempo de los campos no son excesivamente rápidas, con frecuencia basta la solución de primer orden.
La ley de Faraday para campos estrictamente estáticos en el tiempo es (4−3) con su lado derecho reducido a
cero
"l E dl = 0 ley de Faraday para campos estáticos en el tiempo
la cual expresa que la integral de línea de un campo estático E alrededor de cualquier trayectoria cerrada,
siempre es cero. Los campos que cumplen con esta ley se conocen como conservativos; todos los campos
eléctricos estáticos son conservativos.
Se puede considerar a todas las distribuciones estáticas de cargas en el espacio como superposiciones de
concentraciones de cargas puntiformes dq = v dv en los elementos de volumen dv en el espacio. Por otra
parte, se ha demostrado que el campo eléctrico de una carga puntiforme Q es
Q
E = ar ___
4"or2
Es fácil demostrar que este campo eléctrico obedece a la ley de Faraday para un campo estático en el tiempo.
Si en el espacio, alrededor de una carga puntiforme, se escoge cualquier trayectoria cerrada tal como l = la +
lb , la integral desde cualquier punto A a cualquier punto B a lo largo de la trayectoria la es
QQ11
E dl = " [a r ___ ] (ar dr + a r d + a rsen d ) = ____[ _ _ _ ]
4"0r2 4"0 r1 r2
Se ve que este resultado es independiente de la elección de la trayectoria que conecta A con B; es una función
sólo de las distancias radiales r1 y r2 a los puntos extremos respectivos A y B. En consecuencia, si se toma la
integración alrededor de la trayectoria completa l = la + lb , se cancelan las dos integrales desde A hasta B, a
través de la y luego desde B de vuelta a A por lb, y se cumple la ley de Faraday.
• Ley de Gauss para los campos magnéticos:
La ley integral de Maxwell (4−2)
"S B ds = 0
también se conoce como la ley de Gauss para campos magnéticos. Esta especifica que el flujo magnético neto
(positivo o negativo) que emana de cualquier superficie cerrada S, en el espacio, siempre es cero. Este
enunciado se ilustra en la figura; en (a) de la misma, hay una superficie S cerrada, arbitraria, construida en la
región y que contiene una configuración generalizada de flujo magnético con densidad B (r, t) en el espacio.
La ley integral de Maxwell requiere que de cada superficie cerrada S de ese tipo, emane un total de cero líneas
magnéticas netas, lo que quiere decir que las líneas de flujo magnético siempre forman líneas cerradas. En
forma equivalente, expresa que los campos magnéticos no pueden terminar en fuentes de cargas magnéticas
por el motivo de que físicamente no existen cargas magnéticas libres, lo cual contrasta con la conclusión a la
que se llega de la ley de Gauss (4−1) para los campos eléctricos; el hecho de que el término del lado derecho
de esa relación no sea cero y que comprende la función de densidad de carga eléctrica v, revela la existencia
19
física de cargas eléctricas libres.
Es fácil encontrar ejemplos físicos que ilustran la naturaleza cerrada de las líneas de flujo magnético. En la
figura (b) se ilustra nuevamente el campo magnético de un alambre largo, recto, que lleva una corriente; las
líneas de flujo no interrumpidas explican que a la superficie cerrada S entran precisamente tantas líneas de
flujo magnético como las que salen de la misma; así sucede para todas las superficies cerradas que podrían
construirse en el espacio para ese campo.
4.2. Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial para el espacio vacío:
La definición de la divergencia de un campo vectorial sirve como base para obtener las formas diferencial o
interna de dos de las ecuaciones de Maxwell, a partir de sus formas integrales correspondientes (4−1) y (4−2)
para el espacio vacío
"S("0 E) ds = "V v dv C
"S B ds = 0 Wb
Esas leyes se aplican a superficies cerradas S de forma y tamaño arbitrarios. Si S es la superficie que limita a
cualquier elemento v, de volumen pequeño, dividiendo (4−1) entre v se tiene
"S("0E) ds "V vdv
____ = ____
vv
El límite del lado izquierdo, conforme v se hace suficientemente pequeño, es div("0E) de la definición de la
divergencia de un campo vectorial. El lado derecho denota la relación de la carga libre q dentro de v al propio
v; su límite es v. Por ende, conforme v!0, nos queda
− div ("0E) = v C/ m3
que es la forma diferencial de la expresión integral (4−1) de Maxwell. Al expresar esta ecuación en
coordenadas rectangulares se obtiene la ecuación diferencial parcial
"Ex "Ey "Ez v
___ = ___ = ___ = __
"x "y "z "0
Es evidente que la divergencia de ("0E) en cualquier punto, en una región, es precisamente v, la densidad del
volumen de carga eléctrica allí, si se supone que las fuentes de flujo de los campos E son de cargas eléctricas.
De manera equivalente, si las líneas de campos eléctricos terminan abruptamente, sus puntos de terminación
deben de ser cargas eléctricas.
Por un procedimiento semejante, aplicando (4−2), se obtiene la siguiente ecuación diferencial parcial en
términos de B
− div B = 0 Wb/m3
20
lo que implica que los campos de B siempre son sin divergencia y en consecuencia, no tienen fuentes. Por
tanto, la gráfica de flujo de cualquier campo B debe consistir invariablemente en líneas cerradas; así que en el
mundo físico no existen las cargas magnéticas libres. A un campo sin divergencia también se le llama campo
solenoidal; los campos magnéticos son siempre solenoidales.
Se puede utilizar la definición de rotacional en forma semejante para obtener las formas diferenciales de las
ecuaciones restantes (4−3) y (4−4). Debido a que las últimas son correctas para líneas de formas y tamaños
arbitrarios, se puede escoger a l en forma de cualquier trayectoria cerrada y pequeña que limite a a1 s1 en la
vecindad de cualquier otro punto. Tomando la relación de (4−3) a s1 asignando el sentido vectorial a1 a cada
lado, se tiene
d
_ __ "s1 B ds
"l E dl dt
− a1 ____ = a1 ________
s1 s1
De
"l F dl
− a1 [rot F]1 " a1 líms1!0 ____
s1
conforme s1!0, el lado izquierdo se hace a1 [ rot E]1. El lado derecho denota la velocidad de disminución de
la relación del flujo magnético m a s1, pero esta es precisamente la componente B1 en el punto P. Por tanto,
el límite de la primera ecuación se reduce a
"(a1 B1)
a1 [rot E]1 = _ ____
"t
y que relaciona la componente a1 del rot E con la velocidad de disminución de la componente a1 de la
densidad de flujo magnético B en cualquier punto. La selección de la dirección asignada por a1 es arbitraria,
lo que implica que también son válidos dos resultados semejantes alineados con las direcciones de los
vectores unitarios a2 y a3 e independientes de esta ecuación. Combinándolos vectorialmente, se obtiene el
rotacional total de E en el punto
"
− a1 [rot E]1 + a2 {rot E]2 + a3 [rot E]3 = _ ___ [a1 B1 + a2 B2 + a3 B3]
"t
de la que se puede obtener la forma más compacta
21
"B
− x E = _ ___ V/ m2
"t
que es la forma diferencial de la ley de Faraday (4−3). La ecuación anterior expresa que el rotacional de
campo E en cualquier posición es precisamente la rapidez del campo B allí, lo que implica que la presencia de
un campo magnético B variable en el tiempo, en una región, es responsable de que surja un E inducido
variable en el tiempo en la misma región, tal que la ecuación anterior se satisface en todas partes.
A la relación de Maxwell (4−4) se le puede aplicar un procedimiento semejante al que usó para deducir la
última ecuación, lo que da la ecuación diferencial
B "("0 E)
− x __ = J + ____ A/m2
"t
y que expresa que el rotacional de B/ en cualquier punto, en una región, es la suma de la densidad J de
corriente eléctrica y la densidad "("0 E)/"t que aparece en las dos últimas ecuaciones se debe hacer igual a
cero. Esta restricción proporciona las siguientes relaciones del rotacional para campos estáticos en el tiempo
−"xE=0
Relaciones de rotacional para campos estáticos E y B
B
− " x ___ = J
La primera de estas dos ecuaciones expresa que cualquier campo E estático es irrotacional (conservativo), en
tanto la segunda especifica que el rotacional de un campo B, estático en todo punto del espacio, es
proporcional a la densidad J de corriente allí.
4.3. Resumen de las ecuaciones de Maxwell en forma compleja y armónica en el tiempo:
Las soluciones sinusoidales de estado estable o armónicas en el tiempo de las ecuaciones de Maxwell también
son de importancia. Los campos E y B, armónicos en el tiempo, se generan siempre que sus fuentes de carga y
corriente tengan densidades que varíen sinusoidalmente en el tiempo. Suponiendo que las fuentes sinusoidales
hayan estado activas el tiempo suficiente como para que las componentes de campos transitorios hayan
decaído hasta niveles despreciables, se puede hacer la suposición adicional de que E y B han alcanzado un
estado sinusoidal estable. Entonces E y B varían de acuerdo con los factores cos(t + e) y cos(t + b), en
que e y b denotan fases arbitrarias y es la frecuencia angular. Se logra otra formulación equivalente si se
supone que los campos varían de acuerdo con el factor exponencial complejo ejt. Esta suposición lleva a una
reducción de las funciones de campo del espacio y tiempo a las funciones de espacio solamente.
4.4. Ecuaciones de Maxwell para campos eléctricos estáticos:
22
Al estudiar las relaciones estáticas de Maxwell se ve una nueva propiedad no válida para sus formas más
generales variables en el tiempo. De esa manera, los campos eléctricos estáticos D y E están regidos
únicamente por las propiedades de divergencia y rotacional
−""D=v
−"xE=0
en tanto que el comportamiento de los campos magnéticos estáticos B y H está dictado por
−""B=0
−"xH=J
Se ve que en esos pares de ecuaciones falta el acoplamiento entre las cantidades de campo eléctrico y
magnético, generalmente proporcionadas bajo condiciones variables en el tiempo por los términos _"B/"t y
"D/"t. De la primera expresión de divergencia, las fuentes de campos electrostáticos son cargas estáticas de
densidad v. Por otra parte, las fuentes de los campos magnetostáticos son corrientes estáticas (directas), En
la tabla se dan las ecuaciones diferenciales de la electrostática junto con sus formas integrales y sus
condiciones de frontera. Más aún, la siguiente fórmula es aplicable para un material homogéneo e isotrópico.
− D = "E
Tabla− Ecuaciones de Maxwell para la electrostática
___________________________________________
Forma diferencial Forma integral Condición de frontera
___________________________________________
" " D = v "S D ds " q Dn1 _ Dn2 = s
" x E = 0 "l E dl = 0 Et1 _ Et2 = 0
___________________________________________
Ya se ha señalado que se requieren campos magnéticos estáticos para satisfacer solamente las ecuaciones de
Maxwell
−""B=0
−"xH=J
La propiedad de no divergencia especifica que las líneas de flujo B siempre están cerradas, en tanto que la
segunda de ellas expresa que las fuentes de campos magnéticos estáticos son corrientes estables de densidad
J. Más aún, la propiedad sin divergencia de cualquier distribución de corriente directa en el espacio está
asegurada por
−""J=0
aunque esta propiedad de la corriente directa no es independiente de las ecuaciones de Maxwell, debido a que
23
ésta es una consecuencia de tomar la divergencia de la segunda de las ecuaciones anteriores. Las tres
ecuaciones diferenciales anteriores tienen integrales correspondientes dadas por
−"S B ds = 0
−"l H dl = i
− "S J ds = 0
en tanto que la relación constitutiva entre B y H en cualquier punto, para los materiales homogéneos e
isotrópicos considerados, está dada por
−B= H
Ya deducidas las condiciones de frontera para campos magnéticos bajo la suposición general de variaciones
en el tiempo para los campos, aunque se mantienen sin cambio bajo condiciones estáticas. Están dadas por
− Bn1 _ Bn2 = 0
− Ht1 _ Ht2 = 0
− Jn1 _ Jn2 = 0
que aseguran la continuidad de las componentes normales de los campos estáticos B y J en cualquier
interacción, al igual que las componentes tangenciales de H.
La presencia de una corriente en una región finitamente conductora implica la presencia de un campo E, a la
vista de la relación de que J = E, que da la posibilidad de acoplar el campo magnético estático con un campo
electrostático.
5. LA VELOCIDAD DE LA LUZ:
El objetivo de Maxwell era triple: en primer lugar, modificar la teoría de la inducción electromagnética; en
segundo, demostrar que su modelo explicaba la carga estática; y por último, demostrar que las perturbaciones
del campo electromagnético se propagan a la velocidad de la luz. Maxwell comenzó la teoría suponiendo que
la magnitud del desplazamiento es directamente proporcional a la fuerza (electromotriz) que actúa sobre la
pared del remolino
D = ¼ c2E
La constante c caracteriza la elasticidad de los remolinos, y ¼ c2 es la capacidad inductiva del medio.
Ahora era necesario admitir la posibilidad de un pequeño desplazamiento de las bolas de un dieléctrico. Las
bolas eléctricas se pondrán en movimiento en direcciones opuestas, igual que si hubiese conducción. En otras
palabras, un cambio de desplazamiento produce, igual que una corriente eléctrica, un campo magnético.
Maxwell expresó esto mismo matemáticamente diciendo que a la corriente de conducción hay que sumarle
una corriente de desplazamiento, es decir la tasa de variación del desplazamiento dD/dt. Esta corriente total
sería la responsable del campo magnético:
4j + dD/dt = rot H
24
Maxwell la utilizó para demostrar que el modelo podía dar cuenta de las fuerzas eléctricas debidas a cuerpos
cargados.
Evitó introducir la carga en el modelo, otorgando en cambio un peso fundamental a la corriente y a su
relación con el campo magnético. Para estudiar la relación entre la carga y la fuerza eléctrica, comenzó
estudiando el desplazamiento originado por la presencia de una carga. Encontró la relación entre carga y
corriente de conducción:
− div j + de/dt = 0
combinando ambas, dedujo la relación que existe entre la carga y el desplazamiento que ésta produce:
− e = div D
Maxwell se basó en consideraciones energéticas para encontrar la fuerza que actúa sobre un cuerpo cargado.
La energía del campo eléctrico viene dada por el trabajo que realizan las fuerzas electromotrices sobre las
bolas eléctricas. El trabajo es el producto de la fuerza electromotriz y el desplazamiento producido.
Las cargas obedecen la ley de Coulomb. Lo que Maxwell dedujo no fue exactamente la ley de Coulomb, sino
esta ley corregida para los dieléctricos:
− F = c2(e1 e2 /r2)
La constante c está relacionada con la capacidad inductiva específica mediante la expresión
− = ¼ c2
Esta deducción de la ley de Coulomb ponía fin a dos de las tareas que Maxwell se había planteado: (1) hallar
las ecuaciones del campo que describan los fenómenos electromagnéticos y (2) probar que estas ecuaciones
eran consistentes con los experimentos conocidos. Y demostró también que su modelo mecánico era una
analogía muy próxima al campo electromagnético. No obstante, Maxwell miraba más lejos; quería desarrollar
una teoría matemática que identificara la luz con las vibraciones del campo electromagnético.
5.1. La teoría electromagnética de la luz:
El mayor acierto de Maxwell fue identificar la luz con un fenómeno electromagnético. Uno de los principales
problemas que llevaron a Maxwell a construir un modelo fue el de desarrollar una teoría donde la inducción
tuviera velocidad finita. Si lograba deducir la velocidad de las ondas en el mecanismo a partir de las
propiedades electromagnéticas, entonces tendría una predicción que sería contrastable independientemente
del mecanismo. El objetivo de Maxwell era, pues, la relación entre la velocidad de inducción y las magnitudes
electromagnéticas.
Existía ya una teoría general de la elasticidad que fijaba la velocidad de las ondas transversales en un
mecanismo sujeto a las leyes de Newton. Según esta teoría, el cuadrado de la velocidad de las ondas
transversales es igual al cociente entre la rigidez y la densidad del medio
− v2 = r/d
El problema se reducía, por tanto, al conocimiento de la rigidez y densidad del mecanismo en términos de sus
propiedades electromagnéticas. Para resolver el problema, Maxwell sentó unas cuantas hipótesis
simplificadoras, más o menos arbitrarias:
25
• En primer lugar, supuso que la masa de las bolas eléctricas y su elasticidad eran despreciables. Toda
la elasticidad y toda la masa están en los remolinos. La expresión de la elasticidad del mecanismo
estaba ya, pues, a mano: Maxwell había demostrado ya que la densidad de los remolinos (d) podía
correlacionarse con la permeabilidad magnética del medio ():
−d=.
• Quedaba luego el problema de hallar la rigidez de los remolinos en términos de magnitudes eléctricas.
La cuestión era relacionar la rigidez de los remolinos con la capacidad inductiva específica. El
problema se complica por la existencia de dos constantes que caracterizan las fuerzas que se originan
en el desplazamiento: la constante de rigidez que determina la resistencia a la torsión y la constante de
elasticidad tridimensional, que determina la resistencia a la comprensión o a la dilatación.
Para obtener la relación entre la capacidad inductiva específica y la rigidez, Maxwell supuso primero que la
fuerza electromotriz que actúa sobre la materia que constituye el remolino varía con el seno del ángulo cuyo
origen es el punto de contacto de la partícula eléctrica con el remolino. Después supuso que la materia podía
sufrir una torsión alrededor del centro de la bola, pero no podía desplazarse hacia el centro ni hacia fuera. Esta
hipótesis era fundamental, ya que sólo permite que se originen en el mecanismo ondas transversales.
Maxwell tuvo que admitir que las constantes de rigidez y de elasticidad tridimensional guardan una
proporción fija de seis a cinco. Esta proporción es la que se da en un sólido perfecto, donde las fuerzas
proceden todas ellas de pares de partículas.
Finalmente, pudo establecer la tan deseada relación entre la rigidez y la capacidad inductiva específica
utilizando todas estas hipótesis sobre los remolinos. Descubrió que la capacidad inductiva específica es igual a
¼ del inverso de la rigidez:
− = ¼ c2
donde c2 es la rigidez. Maxwell había conseguido expresar la velocidad de las ondas transversales del
mecanismo en términos de capacidad inductiva específica y la permeabilidad magnética del medio. La
densidad del medio estaba relacionada con la permeabilidad magnética, y la rigidez con la capacidad inductiva
específica; se sabía que el cuadrado de la velocidad de las ondas transversales era la razón entre ambas. La
fórmula exacta es:
− v 2= c2/
Midiendo la capacidad inductiva específica y la permeabilidad magnética de un medio, podía predecirse la
velocidad de las ondas de inducción.
Sin embargo, hay un punto clave donde los experimentos entran en la cuestión de el establecimiento de las
unidades electromagnéticas: la determinación de la constante c que resulta ser precisamente la velocidad de la
luz.
5.2 La velocidad de la luz, una constante electromagnética:
La dificultad básica a la hora de fijar las unidades de corrientes es que tiene que ser compatible con los
aspectos de la corriente, el eléctrico y el magnético. En principio es fácil fijar una unidad de carga o unidad de
imanación. La de carga puede definirse como la cantidad que ejerce la unidad de fuerza (medida
mecánicamente) sobre otro cuerpo cargado, situado a una distancia unidad. También podría definirse a partir
de consideraciones electromagnéticas, diciendo que es la cantidad de carga que pasa por un circuito en un
segundo; pero esta unidad podría no concordar con la anterior, basada en la electricidad estática. Pero, en una
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unidad de corriente definida desde el punto de vista electromagnético, ¿cuántas unidades de carga, definidas
estáticamente, pasan por un punto en un segundo?
La solución es necesariamente empírica. Para llegar a la solución del problema mediante el experimento,
tenemos que elegir un medio como patrón de referencia de todos los demás. El vacío parece ser el medio más
natural. Si hallamos la relación entre esu (unidad electrostática) y emu (unidad electromagnética) en el vacío,
podemos predecir los efectos eléctricos y magnéticos relativos de cualquier otro medio, porque podemos
medir su capacidad inductiva específica y su permeabilidad magnética en relación con las del vacío. Tomando
como patrón el vacío, podemos por tanto formular las leyes del electromagnetismo para todos los medio,
siempre que conozcamos la constante fundamental del vacío, es decir, la relación entre unidades
electrostáticas y electromagnéticas.
El sistema de unidades encastrado en las ecuaciones de Maxwell era un sistema electromagnético. Convirtió
las ecuaciones del mecanismo en leyes electromagnéticas exactas; y en ella valía 1 en el vacío y c en el
vacío era la razón entre esu y emu. El fijar el valor de en la unidad se debió a que Maxwell dedujo la
expresión (1/)(m1m2/r2) para la ley del inverso del cuadrado de polos magnéticos. De ahí se sigue que una
unidad electromagnética de carga no produce una fuerza unidad a la distancia unidad: dos cargas
electromagnéticas iguales se repelen con una fuerza que vale k2, siendo k la razón entre esu y emu.
Por lo tanto, para que las ecuaciones de Maxwell fueran consistentes con el sistema electromagnético de
unidades bastaba con identificar el valor de c en el vacío con la razón entre esu y emu, que hemos llamado k.
Y eso fue lo que hizo Maxwell, relacionó la razón entre esu y emu, que se determina experimentalmente, con
la velocidad de las ondas transversales en el modelo. Por tanto, se había establecido la relación entre las
propiedades mecánicas que determinan la velocidad de las ondas transversales del mecanismo y una
constante que se podía determinar por experimentos electromagnéticos.
Recordemos que la velocidad de las ondas transversales en un mecanismo es la raíz cuadrada del cociente
entre la rigidez y la densidad (v2= r/d). Según las relaciones establecidas por Maxwell, la velocidad de las
ondas debería ser
− v = c/"
Como acabamos de ver, en el vacío vale la unidad y c es la razón entre unidades electromagnéticas y
electrostáticas. Así pues, en el modelo mecánico de Maxwell, la velocidad de ondas transversales es la misma
que la relación entre las unidades electrostáticas y electromagnéticas.
La fórmula de la velocidad es válida no sólo en el vacío, sino también en materiales dieléctricos, pudiéndose
determinar la c y de estos materiales en relación a los del vacío. La velocidad de la luz en un medio
determina su índice de refracción (el grado que desvía un rayo de luz), con lo que el índice de refracción de un
medio dependería de c.
En cualquier caso, si se conociera el valor de c en el vacío, la teoría podría predecir la velocidad de las ondas
transversales en este medio. Maxwell buscó el de c obtenido por Wilhem Weber años antes, utilizando otro
sistema de unidades. Cuando Maxwell consultó el valor de c, descubrió que el valor medido por Weber
coincidía casi exactamente con el de la velocidad de la luz: acababa de nacer la teoría electromagnética de la
luz.
6. CONCLUSIONES:
En su teoría, en un principio, Maxwell se apoyó en la imagen cartesiana del mundo, donde el medio
omnipresente obedece las leyes de la dinámica de Newton. La teoría del éter había emanado de la teoría
ondulatoria de la luz. Tan pronto como Young sugirió que las ondas luminosas podían ser representadas como
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ondas transversales propagándose en un medio sólido, quedó preparado el terreno para una teoría del éter.
Cuando la teoría ondulatoria, debido principalmente a los esfuerzos de Fresnel, triunfó sobre la teoría
corpuscular de la luz de Newton, surgió un serio problema: ¿Cómo podía reconciliarse la teoría newtoniana
con la teoría ondulatoria de la luz? La dificultad más obvia es que las partículas materiales deberían perder
velocidad en su movimiento a través del éter; la tierra, por ejemplo, chocaría con el sol. Kelvin y otros
salieron de esta dificultad considerando a las partículas como modificaciones del éter, que se suponía
sometido a las leyes de la dinámica de Newton. La teoría gravitatoria de Newton se veía naturalmente en un
aprieto dentro de este sistema metafísico, porque era necesario explicar la gravedad como el resultado de los
efectos del éter. Sin embargo, los intentos de explicar la gravedad, Maxwell por ejemplo, no llevaron a
ninguna parte. Maxwell, incapaz de construir una explicación mecánica viable del campo electromagnético,
independizó las ecuaciones de la analogía mecánica y, a pesar de no contar con un mecanismo para el campo,
trató de defender una teoría de campos. Presentó para ello un fuerte argumento, la deducción de la teoría
electromagnética de la luz, así como la posibilidad de contrastarla. Demostró que la idea de que la energía y la
tensión están localizadas en el campo es congruente con su teoría. Y señaló, aunque no muy
convincentemente, que su teoría podía deducirse a partir de los experimentos de Faraday.
Maxwell abogó también por sus ecuaciones señalando que son consistentes con la hipótesis de un mecanismo.
Este argumento consistía en una ilustración dinámica del mecanismo de la inducción electromagnética. En
esta ilustración dinámica, Maxwell suponía un cuerpo C conectado de tal suerte a dos puntos de alimentación
A y B, que su velocidad es p veces la de A y q veces la de B. Además, supuso que A y B experimentan una
resistencia proporcional a su velocidad. Sin ningún otro conocimiento del mecanismo, Maxwell logró deducir
el efecto sobre B de un cambio de velocidad en A. Para ello utilizó la formulación lagrangiana de la teoría de
Newton, porque utilizando las ecuaciones de Lagrange, no hace falta introducir las fuerzas específicas de
ligadura en mecanismo.
Las consecuencias de este argumento no fueron, precisamente, las que Maxwell buscaba. Demostró que la
teoría era consistente con la existencia de un mecanismo newtoniano en el campo, pero esto quería decir que
habría un número infinito de mecanismos que podían explicar la interacción entre corrientes. El efecto del
argumento de su teoría fue poner en tela de juicio la empresa de buscar una explicación mecánica del campo.
La teoría expuesta no depende realmente de la hipótesis de un mecanismo newtoniano. En lugar de ser el
primer paso hacia la consecución de una teoría mecánica, resultó ser el primero en el sentido opuesto.
Maxwell trató de desarrollar la teoría de los remolinos al margen de su antiguo mecanismo. De nuevo, los
aplicó a la explicación de la rotación de Faraday. Creía que la explicación verdadera resultaría, al final, ser de
naturaleza mecánica, pero en el tema de la interpretación mecánica, se hallaba en una posición bien incómoda.
Consiguió demostrar que había infinitos mecanismos coherentes con sus ecuaciones, pero no logró describir
ni uno sólo en concreto. No obstante, tampoco le preocupaba demasiado este estado tan poco satisfactorio de
su teoría, pues presentía que el problema del mecanismo tendría que aguardar hasta que se hicieran
investigaciones experimentales más profundas en torno a la relación entre las moléculas de la materia
ordinaria y la electricidad.
En resumen, Maxwell creía que la interpretación correcta de sus ecuaciones era un mecanismo subordinado a
las leyes de la mecánica newtoniana, pero no sabía cuál; tenía fe en el mecanismo y no creyó necesario
analizar explícitamente la interpretación operativa que utilizó para hacer sus predicciones electromagnéticas.
En su deseo de conseguir una teoría mecánica del campo, se esforzó por demostrar que las ecuaciones
apoyaban una interpretación en función de campos y que podían interpretarse mediante un mecanismo
newtoniano.
BIBLIOGRAFIA
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Rodert Resnick
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Autores: Varios
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