Anàlisi espectral

CFGS−Telecomunicacions
Sistemes tècnics d'emissió i recepció de senyals d'imatge i so
INTRODUCCIÓ A L'ANÀLISI ESPECTRAL
GUIÓ DE LA PRÀCTICA
Introducció:
L'objectiu d'aquesta pràctica és fer una introducció a l'anàlisi espectral, per fer−ho ens basarem en un suport
informàtic anomenat MATLAB, resumint, MATLAB és un entorn de càlcul matemàtic que permet
implementar tota mena d'algoritmes de càlcul numèric mitjançant un llenguatge d'alt nivell (basat en C),
visualitzar gràfiques en dues i tres dimensions i fins i tot, si es disposa del hardware apropiat, pot funcionar
com a sistema d'adquisició de dades en temps real.
Analitzar espectralment un senyal, consisteix en transformar−lo d'alguna forma per tal de veure'n una
representació en el domini de la freqüència. Qualsevol senyal elèctric presenta un espectre característic, és
mercès a aixó que han estat possibles infinitat d'aplicacions tant en comunicacions com en sistemes
d'adquisició i processament de dades p.ex.:
• La pràctica de la multiplexació en freqüència s'arrela als conceptes de Banda base i mesclat en
freqüència, els quals no tindrien sentit sense l'eina matemàtica adient que permetés definir els senyals
en un domini NO temporal.
• Sense l'anàlisi espectral mancaria el criteri de decisió en l'elecció del mètode de modulació adient per
transmetre un senyal determinat a través de un canal.
• Els sintetitzadors de so o veu artificial, així com els moderns sistemes de reconeixement de veu, han
estat desenvolupats integrament pensant en termes de freqüència.
• En el mon de la recerca, instruments com els espectròmetres, emprats per a esbrinar quins elements i
amb quina concentació són presents en un compost, serian absolutament impensables si aquests
haguessin volgut ser desenvolupats desde una altra perspectiva diferent a la de la mesura de les
freqüències radiades pels elements del compost.
L'eina matemàtica emprada per a realitzar la transformació al domini de la freqüència és l'anomenada
transformada de Fourier. La qual es defineix com:
On X(f) és l'expressió freqüencial del senyal i x(t) és l'expressió temporal.
Cal pensar que aquest és un métode purament analític el qual tant sols és possible sobre el paper mitjançant
equacions, evidentment els analitzadors d'espectre, mesuradors de camp i sistemes d'adquisició i processament
no en saben de resoldre equacions, així doncs aquests aparells el que estan fent és aproximar la transformada
de Fourier mitjaçant un métode numèric anomenat FFT (Fart Fourier Transform) tot mostrejant el senyal amb
un número finit de punts dins d'un interval de temps.
La resolució i la rapidesa amb la qual es realitza el càlcul depen del nombre de punts i la durada de l'interval
on es realitza el mostreig. Observant l'expressió de la transformada de Fourier, veiem que per a resoldre−la
analíticament hem de contemplar tot l'eix temporal (positiu i negatiu) de forma contínua, aixó vol dir un
nombre de punts per a fer el mostreig i durada de l'interval infinits. Aixó és una idealitat i haurem d'arribar a
un compromís entre aquest dos paràmetres.
1
En el nostre cas prendrem 8192 punts, suficient com per estudiar l'espectre de senyals en Banda base i
modulats en l'entorn d'uns quants centenars de kiloherzt. A l'hora d'escollir l'interval, naturalment la teoria diu
que contra més llarg més resolució tenim, però a la pràctica si prenem un interval massa gran amb un número
finit de punts la freqüència de mostreig tendirà a fer−se petita amb el conseqüent problema de l'aliasing i error
en el càlcul de la FFT.
Com a criteri per arribar al compromís podem emprar el teorema de Nyquist, és a dir escollirem un interval de
temps, tal que, per un número de punts donat (potència de 2) la freqüència de mostreig sigui com a mínim el
doble de la màxima component del senyal sota estudi.
El període de l'interval està relacionat en cada cas amb el nombre de cicles de l`ona generada, així doncs:
Procediment operatiu
Seguidament passarem a analitzar els espectres de cinc formes d'ona tipus on comprovarem d'una banda en
què consisteix la sintetització de senyals, mitjançant sèries de Fourier i d'altra ens farem una clara idea
respecte a l'ample de banda real que ocupa la informació un cop modulada en AM i FM en l'espectre.
• Obriu MATLAB i introduiu l'ordre sfourier al intèrpret de comandes.
• Inmediatament s'obrirà un quadre de diàleg amb les opcions possibles, pitjeu−ne una.
• Ara l'intèrpret de comandes solicitarà que s'introdueixin les dades necessàries per a generar el tipus de
senyal seleccionat. (És important pensar les dades que s'intodueixen de forma que aquestes siguin
plausibles i NO de forma aleatòria, d'altra banda és possible que resulti impossible interpretar les gràfiques
resultants)
• Un cop introduides la totalitat de les dades, el programa generarà les gràfiques resultants.
• Pel cas de les ones sintetitzades (l'ona quadrada i la dent de serra) s'en generen tres gràfiques, dues en el
temps i una tercera en la freqüència, la primera representa a la ona fonamental i les seves armòniques,
tantes com hagin estat seleccionades, la segona és l'ona pròpiament dita un cop sintetitzada i la tercera és
l'espectre de la mateixa.
• Per la resta resta d'opcions tant sols s'en generen dues gràfiques, en el temps i la freqüència.
• Per tal d'examinar amb més detall les gràfigues podeu introduir les següents ordres al intèrpret de comandes
zoom i ginput ambdues sense tancar la finestra gràfica.
Zoom: Permet ampliar una àrea de la gràfica delimitada amb el botó esquerre del ratolí. Per desfer el zoom
picar sobre la gràfica amb el botó dret.
Ginput: Retorna el valor en coodernades, segons l'escala de la gràfica, d'un punt seleccionat amb el botó
esquerre del ratolí, per veure els resultats picar return.
El to pur o sinus
És bàsic veure quin és l'espectre d'un sinus, ja que aquesta és la funció u ona bàsica a partir de la qual s'en
podran sintetitzar altres de més complexes mitjançant l'equació de les sèries de Fourier:
v(t) = Vo+V1·sin(ð·t+ð1)+V2·sin(2ð·t+ð2)+V3·sin(3ð·t+ð3)+V4·sin(4ð·t+ð4)+ +Vn·sin(nð·t+ðn)
Segons aquesta famosa equació, qualsevol ona periòdica pot ser expressada com la superposició d'ones
sinusoidals relacionades armònicament. Teòricament, el número d'armònics és infinit; és a dir n no té un límit
superior. Tan mateix, en el laboratori, n'hi ha prou amb entre 5 i 10 armònics per a sintetitzar una ona
periòdica complexe dins d'una tolerància del 5%.
Cada un dels termes de l'equació de les sèries de Fourier és un to pur o sinus, que rebrà també el nom de
2
component espectral
Genereu una ona sinusoidal de freqüència 1KHz i 1V d'amplitut de forma que es compleixin le següents
condicions:
• Es compleixi el teorema de Nyquist. fmostreig > 2·fmàx
• Que l'amplitut de la component espectral sigui aproximadament la meitat de l'amplitut en l'eix temporal.
TF{Vsin(ð0·t)} = ½[V(ððð0)+V(ððð0)]
Acontinuació ompliu el següent quadre i dibuixeu de forma aproximada la forma d'ona generada i la seva
representació espectral.
fmostreig =
nº de cicles =
La ona quadrada
En aquest apartat sintetitzarem una forma d'ona quadrada d'amplitut 1V i freqüència fonamental 1KHz. El
procediment és el següent:
• Executar la rutina diverses vegades amb diferent número d'armònics per tal de comprovar que contra més
termes de la sèrie de Fourier prenem nés acurada resulta l'ona generada
• Comprovar que es compleix el teorema de Nyquist.
• Comprovar que les amplituts de les components espectrals resultants s'ajusten a les de la fòrmula indicada a
la gràfica.
Acontinuació ompliu el següent quadre i dibuixeu de forma aproximada la forma d'ona generada i la seva
representació espectral.
f. 1a. armònica =
f. 2a. armònica =
f. 3a. armònica =
f. 4a. armònica =
f. 5a. armònica =
f. 6a. armònica =
fmostreig =
Amplitut 1a. armònica =
Amplitut 2a. armònica =
Amplitut 3a. armònica =
Amplitut 4a. armònica =
Amplitut 5a. armònica =
Amplitut 6a. armònica =
nº de cicles =
La ona dent de serra
En aquest apartat sintetitzarem una forma d'ona dent de serra d'amplitut 1V i freqüència fonamental 1KHz. El
procediment és el següent:
• Executar la rutina diverses vegades amb diferent número d'armònics per tal de comprovar que contra més
termes de la sèrie de Fourier prenem nés acurada resulta l'ona generada
• Comprovar que es compleix el teorema de Nyquist.
• Comprovar que les amplituts de les components espectrals resultants s'ajusten a les de la fòrmula indicada a
la gràfica.
Acontinuació ompliu el següent quadre i dibuixeu de forma aproximada la forma d'ona generada i la seva
representació espectral.
3
f. 1a. armònica =
f. 2a. armònica =
f. 3a. armònica =
f. 4a. armònica =
f. 5a. armònica =
f. 6a. armònica =
fmostreig =
Amplitut 1a. armònica =
Amplitut 2a. armònica =
Amplitut 3a. armònica =
Amplitut 4a. armònica =
Amplitut 5a. armònica =
Amplitut 6a. armònica =
nº de cicles =
Amplitut modulada convencional
Si bé fins ara hem estat analitzant senyals sintetitzades, l'espectre de les quals consistia sempre en un to
fonamental acompanyat d'un cert número d'armòniques, ara aparcarem les sèries de Fourier i veurem
l'espectre d'un possible senyal d'AM convencional.
L'espai designat per a les emissions de radio en AM va desde 144KHz fins als 1611KHz, si assumim una
amplada de banda per a la moduladora d'entre 4.5KHz i 5KHz, l'amplada de banda per un canal no pot ser mai
més gran de 10KHz.
Simularem, així doncs, una AM amb una ona portadora de 199KHz i 0.5V d'amplitut i una ona moduladora de
5KHz i 0.3V d'amplitut. Un cop introduides les dades, l'intèrpret de comandes, retornarà el valor de l'índex de
modulació i generarà les gràfiques.
Acontinuació ompliu el següent quadre i dibuixeu de forma aproximada la forma d'ona generada i la seva
representació espectral.
f. de l'ona portadora =
f. de la banda lateral inferior =
f. de la banda lateral superior =
fmostreig =
nº de cicles =
Amplitut =
Amplitut =
Amplitut =
M=
Freqüència modulada
Simularem, una FM amb una ona portadora de 500KHz i 1V d'amplitut i una ona moduladora de 5KHz on
variarem la seva amplitut per tal d'aconseguir FM normal i FM de banda estreta. Un cop introduides les dades,
l'intèrpret de comandes, retornarà el valor de l'índex de modulació i generarà les gràfiques. Recordem que si
B>>1 tenim FM normal, d'altra banda si B<<1 tenim FM de banda estreta.
Acontinuació ompliu el següent quadre i dibuixeu de forma aproximada la forma d'ona generada i la seva
representació espectral.
Freqüència modulada normal; Am =
10V
f. de l'ona portadora =
Amplitut =
BW =
BL inferior =
BL superior =
fmostreig =
nº de cicles =
B=
Freqüència modulada de banda estreta;
Am = 1V
f. de l'ona portadora =
Amplitut =
4
BW =
fmostreig =
BL inferior =
nº de cicles =
BL superior =
B=
Introducció a l'anàlisi espectral
5