6_aplicaciones_de_derivada

APLICACIONES DE LA DERIVADA
1. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE UNA PARTÍCULA EN MOVIMIENTO
En una ecuación de movimiento s  s t  , s representa la distancia recorrida y t el tiempo
transcurrido. La primera derivada de s con respecto a t determina la velocidad de la partícula y la
segunda derivada de s con respecto a t (es decir la derivada de la velocidad con respecto a t) es la
aceleración.
ds
dv d 2 s
v y

a
dt
dt dt 2
Ejemplo 1 Supón que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de observación de
una torre. La ecuación de movimiento es s  4.9t 2 . Podemos saber la velocidad de
la pelota después de 5 segundos evaluando la derivada de s en t=5, es decir
ds
 9.8t y la velocidad es v 5  s ' 5  9.8 5  49 ms . La aceleración obtenida
dt
es s '' t   9.8 y entonces s ''  5  9.8 sm2 .
Ejemplo 2 Un auto arranca en un semáforo con una ecuación de movimiento s t   2t 3  40 . La
velocidad del auto 10 segundos después es s ' 10 , donde s ' t   6t 2 ; entonces
s ' 10   6 10   600 ms y la aceleración en ese mismo tiempo es s '' 10 , donde
2
s '' t   12t por tanto s '' 10  12 10  120 sm2 .
Ejemplo 3 Una pelota se deja caer en un río, en donde el río se mueve de acuerdo con una
ecuación de movimiento s t   t 3  3t 2  4 . La velocidad de la pelota después de 8
m
.
s
La aceleración en ese mismo tiempo es s '' 8 en donde s '' t   6t  6 entonces
segundos es s ' 8 en donde s ' t   3t 2  6t entonces s '  8   3(8) 2  6(8)  240
s ''  8   6(8)  6  54
m
.
s2
51
Ejercicios para el aula
1. La ecuación de movimiento de un móvil es s t   4.9t 2  3 . La velocidad de la pelota después
de 3 segundos será
a) 9.8 ms
b) 14.7 ms
c) 29.4 ms
d) 32.4 ms
2. Un objeto se mueve de acuerdo con la ecuación de movimiento s t   4.9t 2  4 . La
aceleración de la pelota después de 4 segundos es
a) 2.9 sm2
b) 9.8 sm2
c) 29.4 sm2
d) 98 sm2
3. Si una partícula se mueve según la ley s t   2t 3  40 , entonces la velocidad de dicha
partícula después de 5 segundos será
a) 15 ms
b) 30 ms
c) 60 ms
d) 150 ms
4. Un objeto se mueve de acuerdo con la ecuación de movimiento s t   2t 3  40 . La
aceleración del objeto después de 7 segundos es
a) 12 sm2
b) 42 sm2
c) 84 sm2
d) 294 sm2
5. Una pelota es lanzada por un beisbolísta y su trayectoria la describe la ecuación de
movimiento s t   t 3  3t 2  4 . La velocidad de la pelota después de 3 segundos es
a) 4.5 ms
b) 24 ms
c) 45 ms
d) 50 ms
6. La ecuación de movimiento de un móvil es s t   t 3  3t 2  30 . La aceleración del móvil
después de 4 segundos es
a) 30 sm2
b) 36 sm2
c) 45 sm2
d) 72 sm2
7. Si la ecuación de movimiento de un auto es s t   2t 3  25 , la velocidad después de 5
segundos es
a) 30 ms
b) 33 ms
c) 150 ms
d) 153 ms
8. Un objeto se mueve de acuerdo con la ecuación de movimiento s t   2t 3  2t  5 . La
aceleración del auto después de 3 segundos es
a) 12 sm2
b) 36 sm2
c) 54 sm2
d) 55 sm2
9. Si un objeto se mueve con ecuación de movimiento s t   2t 3  5 , el tiempo que tarda en
alcanzar la velocidad de 54 ms será (en segundos)
a) 3
b) 9
c) 27
d) 45
52
10. Si una partícula se mueve según la ley s t   t 2  30t  9 , el tiempo que tarda en alcanzar la
velocidad de 60 ms será
a) 3
b) 15
c) 30
d) 60
11. Una partícula se mueve según la ley s(t )  t 2  6t  9 expresada en metros. La función que da
la velocidad en cualquier instante es
a) 2t  6t
b) 2t  6
c) t 2  9
d)  6t  9
12. Una pelota es lanzada y su trayectoria la describe la ecuación de movimiento
s(t )  t 2  6t  5 . La velocidad de la pelota después de dos segundos es
a) 2 ms
b) 4 ms
c) 10 ms
d) 25 ms
13. La partícula que se mueve con ecuación de movimiento s(t )  t 2  6t  9 se encontrará en
reposo en el tiempo
a) 6
b) 3
c) 2
d) 0
14. La ecuación de movimiento de una partícula es s(t )  t 2  5t  2 , la distancia recorrida (en
metros) después de cuatro segundos es
a) 34
b) 13
c) 9
d) 8
15. Si una partícula se mueve según la ley s(t )  4t 3  9t 2  t  2 , la función que da la velocidad
en cualquier tiempo es
a) 12t 2  18t  1
b) 12t 2  18t
c) 12t 3  18t 2  1
d) 4t 2  9t  1
16. Un objeto se mueve de acuerdo con la ecuación de movimiento s t   t 3 12t 2  48t  50 el
instante donde estará en reposo es
a) 16
b) 4
c) 3
d) 0
17. La distancia que recorre un móvil está dada por s t   t 3  6t 2  12t  4 , el instante cuando su
velocidad sea de 48 ms es
a) 2
b) 6
c) 10
d) 12
18. Se arroja una pelota verticalmente hacia arriba. La altura después de t segundos está dada por
la expresión s(t )  80t 16t 2 . La altura máxima (en metros) alcanzada por la pelota es
a) 80
b) 90
c) 96
d) 100
19. Un objeto se lanza hacia arriba y su trayectoria está descrita por s(t )  62  80t 16t 2 . La
velocidad, en metros por segundo, cuando alcanza una altura de 98 metros y va hacia arriba, es
de
a) 64
b) 54
c) 16
d) 10
53
20. Un objeto se lanza hacia arriba y su trayectoria está descrita por s(t )  62  80t 16t 2 . La
velocidad, en metros por segundo, cuando alcanza una altura de 98 metros y va hacia abajo, es
de
a)  64
b)  54
c)  16
d)  10
21. Si una pelota es lanzada desde el suelo hacia arriba y tiene como ecuación de movimiento
s(t )  80t 16t 2 , entonces la velocidad de la pelota al momento de llegar al suelo es de (en
metros por segundo)
a)  80
b) 0
c) 64
d) 80
22. La población de una colonia de bacterias que crece conforme a la función
n t   100  24t  2t 2 (t en horas). La tasa de crecimiento después de dos horas es
a) 56
b) 48
c) 24
d) 32
23. Si una colonia de bacterias crece según la función b t   100  24t  2t 2 , entonces el tiempo
en el cual la tasa de crecimiento es cero, es de
a) 0
b) 3
c) 5
d) 6
24. La masa de glucosa en un experimento de metabolismo disminuyó de acuerdo con la
ecuación m t   5  0.02t 2 , donde t se expresa en horas. La razón de cambio de la glucosa
después de una hora es
a)  0.02
b)  0.002
c) 0.04
d) 0.4
25. La masa de glucosa en un experimento de metabolismo disminuyó de acuerdo con la
ecuación m t   5  0.02t 2 , donde t se expresa en horas. El instante en que la glucosa
disminuye con una rapidez de 20% es
a) 8
b) 5
c) 4
d) 0.5
54
Ejercicios para la casa
2
1. Un automóvil se desplaza mediante la ecuación de movimiento s(t )  5t  2 expresada en
metros. La velocidad (en metros por segundo) después de tres segundos es
a) 47
b) 32
c) 30
d) 7
2. Una partícula se mueve con la ecuación de movimiento s(t )  5t  10 . El tiempo, en
segundos, en el cual alcanza una velocidad de 28 metros por segundo es de
a) 6
b) 2.8
c) 2
d) 1.5
2
3. Si un automóvil se mueve mediante la ecuación s(t )  3t 2  7 , la velocidad, en metros por
segundo, que tendrá después de cinco segundos es
a) 10
b) 30
c) 45
d) 60
4. Una partícula tiene como ecuación de movimiento s(t )  4t 3  9t 2  6t  2 expresada en
metros y t en segundos. La aceleración (en sm2 ) después de t segundos es
a) 24t  18
b) 12t  18t  6
c) 9t  6
d) 12t 2  9t
Si una partícula se desplaza mediante la ecuación s(t )  t 4  4t  1 , la aceleración después de
dos segundos es
a) 52
b) 48
c) 24
d) 12
5.
6. Si un objeto se mueve según la ecuación de movimiento s  t  
segundos tendrá un valor en
a) 0.5
b) 0.25
m
s2
t2 1
, la aceleración a los dos
t
de
c) 0.25
d) 0.5
7. Si una partícula se mueve mediante la ecuación s t   t 3 12t 2  36t  20 , la aceleración a los
dos segundos es
a) 24 sm2
b) 12 sm2
c) 0 sm2
d) 12 sm2
8. Si una partícula se mueve mediante la ecuación s t   t 3 12t 2  6t 12 , el tiempo en que la
partícula tiene una aceleración nula es
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
t3
1
9. Un cuerpo se desplaza mediante la ley s  t    2t  , expresada en metros, la velocidad,
2
2
en metros por segundo, al cabo de dos segundos es
a) 6
b) 4
c) 3
d) 0
55
t3
 3t  4 , expresada en metros, la
2
aceleración, en metros por segundo cuadrados, al cabo de dos segundos es
a) 8
b) 6
c) 4
d) 3
10. Un cuerpo tiene como ecuación de movimiento s  t  
11. Considera un objeto que se mueve mediante la ley s t   t 3  6t 2  9t  4 , la aceleración
(positiva) del objeto cuando la velocidad es cero es
a) 8
b) 6
c) 5
d) 4
12. Si una partícula tiene como ecuación de movimiento s t   t 3  6t 2  9t  3 , la velocidad del
objeto cuando la aceleración es de cero es
a) 4 ms
b) 3 ms
c) 3 ms
d) 6 ms
13. Si una partícula tiene como ecuación de movimiento s t   t 3  9t 2  24t , entonces la
distancia, en metros, recorrida en los primeros cinco segundos es de
a) 18
b) 20
c) 28
d) 30
14. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba. Esta se mueve con la ecuación de movimiento
s t   100  112t 16t 2 ; la aceleración después de cuatro segundos es de
a) 32 sm2
b) 16 sm2
c) 16 sm2
d) 32 sm2
15. Una pelota lanzada hacia arriba tiene como ecuación de movimiento s t   12 112t 16t 2 .
El tiempo en el que una pelota alcanza su altura máxima es de
a) 3.5 s
b) 3 s
c) 2.5 s
d) 2 s
56
HOJA DE RESPUESTAS
11ª SESIÓN
Ejercicios para el aula
1er bloque (1. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE UNA PARTÍCULA)
1- c
7- c
13- b
19- a
25- b
2- b
8- b
14- a
20- a
3- d
9- a
15- a
21- a
4- c
10- b
16- b
22- d
5- c
11- b
17- b
23- d
6- a
12- c
18- d
24- c
3- b
9- b
15- a
4- a
10- b
5- b
11- b
6- c
12- c
Ejercicios para la casa
1- c
7- b
13- b
2- b
8- c
14- c
57