MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE

MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE
Se denominan movimientos Periódicos a aquellos que tienen los cuerpos que pasan por una misma posición con las mismas
propiedades a intervalos de tiempos iguales. A ese tiempo se le llama periodo T (en seg), y al numero de veces que repite el
proceso, numero de vibraciones o ciclos que da por unidad de tiempo se le llama frecuencia F (en sg -1 , o bien en hz).
El Período y la Frecuencia son conceptos inversos.
El movimiento armónico es un Movimiento Periódico ; en él ,el cuerpo oscila entre unos extremos pasando por una
posición de equilibrio O en una determinada dirección; la característica de este movimiento es su aceleración, que
corresponde a una deceleración proporcional a la distancia a un puntos. De este tipo de movimiento es el que se produce al
estirar un muelle que cuelga de una pared y que tiene suspendido un cuerdo m ,al desplazarle de su posición de equilibrio y
soltarlo súbitamente.
La posición O es la de equilibrio
La posición A es la extrema. La distancia OA se la llama amplitud y a cualquier otra
posición OB=x se la denomina elongación.
El movimiento armónico simple se caracteriza porque la partícula o masa m que
vibra, está sujeta siempre a una fuerza opuesta al movimiento y dependiente de la
posición en cada instante. Es decir según la Ley de Hooke :
F   K.x
El signo negativo no indica más que cualquiera que sea la fuerza que se realice para estirar o comprimir al muelle, ésta
siempre se opone a la misma. Y siendo K la constante recuperadora del muelle.
Así, la aceleración del movimiento oscilatorio es del tipo:
K
a  
X
m
Esta fuerza elástica es conservativa , por lo que genera una energía potencial elástica en función de la posición respecto a la
de equilibrio:
x
1
x
 E pot = ( E pot 0 = 0) - E pot x = 0 - kx(dx)= (- k x 2 )
2
0
1
2
E pot x = k x
2
El movimiento circular es un movimiento también periódico. Y existe una relación muy estrecha entre este movimiento y el
armónico, siempre que el circular sea uniforme ( velocidad angular = Cte).
Podemos considerar la posición de la partícula en cada instante como la proyección de
su posición en el circular sobre su diámetro. En el instante inicial t=0 supongamos que
se encuentra en Po (desfase inicial o rad respecto de su posición de equilibrio). En el
instante t habrá recorrido el ángulo +0=.t , por lo que tendrá una elongación dada por:
X = A.sen(  )
Resultando que su posición en cada momento o ecuación del movimiento vibratorio
armónico simple es :
X  A.Sen(t 0 )
VELOCIDAD Y ACELERACION DEL M.V.A.S
Calculemos la velocidad y la aceleración de cualquier partícula que oscila; sabiendo que la velocidad de vibración es la
derivada de la posición respecto al tiempo y que la aceleración es la derivada de su velocidad respecto a la misma variable
dX
dt
dV
a
dt
V 
resulta :
resulta :
v = A..cos(  t - 0)
a = - A.2.sen(  t - 0) = - 2.X
Se observa que si la partícula que oscila es una masa "m", en un muelle elástico de constante recuperadora "K", entonces
existe una relación entre esta constante, la masa y la pulsación.
En efecto:
a 
K
X
m
y como
a = - 2.X
resulta
2 
K
m
 T = 2. .
m
K
Las velocidades y aceleraciones máximas y mínimas del armónico simple son:
Vmax = A.
Esta velocidad es máxima cuando lo sea cos(t- o)=1, es decir, t- ao = K. y su posición en esos
momentos es X=O.
Amax = 2.A
Esta aceleración es máxima cuando lo sea
en esos momentos es X=A.
sen(t- o)=1, o bien el cos( )=O que indica que su posición
En cambio, la velocidad mínima es cero y ocurre cuando la aceleración es máxima, es decir en los extremos; la aceleración
mínima es cero y ocurre cuando la velocidad es máxima, es decir en la posición de equilibrio X=O.
ENERGIA DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO
Si una partícula oscila con movimiento vibratorio armónico simple, dicha masa M tendrá una energía mecánica q ue será la
suma de las cinética y potencial que tenga en cada instante. Y como la energía cinética es máxima (cuando Vmax) en la
posición en que su energía potencial es mínima ( X=O), entonces la energía total mecánica del movimiento será la cinética
máxima o la potencial máxima.
Emec  Ecin max 
1
1
m (Vmax ) 2 
m ( A ) 2  2 m A 2 
2
2
2
f
2
Se observa que la energía que tiene una partícula osciladora depende esencialmente de su amplitud y de su frecuencia.
Cuanto mayor es su frecuencia mayor es su energía y como consecuencia mayor es la energía de transmisión.
También podría haberse calculado la energía total como la potencial elástica máxima, es decir:
1
Emec  Epot max  K . ( X 2 ) max
2
con K  m. 2
1
 Emec  m  2 A2
2
PENDULO SIMPLE
Se considera un péndulo simple a una masa casi puntual en el extremo de un hilo inextensible y sin masa apreciable que
oscila libremente con el otro extremo sujeto a un techo.
El péndulo simple permite determinar la gravedad en un lugar conociendo la longitud del péndulo y midiendo el período de
oscilación del mismo.
MOVIMIENTO ONDULATORIO
La energía puede transportarse mediante el movimiento o desplazamiento de la masa material que lleva implícita la
energía, o bien sin el transporte de la misma, es decir, el movimiento ondulatorio.
El movimiento ondulatorio es la propagación de una perturbación provocada por un foco o punto donde se origina la
misma; se propaga la información o la energía pura sin el transporte de la masa material. Sin embargo hay dos clases de
propagación:
a) Las que necesitan de un medio material para su transporte como lo son las ondas sonoras, y que generalmente oscilan
a frecuencias relativamente pequeñas y se propagan a velocidades moderadas. (MECANICAS)
b) Las que no necesitan de ningún medio material para su transporte y que se denominan ondas electromagnéticas, como
lo son las de radio, Tv. luz láser .... que generalmente oscilan a frecuencias muy altas y se propagan a grandes velocidades.
Las onda electromagnética está compuesta de dos campos eléctrico y magnético simultáneos variables y perpendiculares
entre sí.
Las ondas al propagarse pueden clasificarse :
a) Según el tiempo que dura la perturbación producida por el foco. Así, si es una perturbación instantánea se produce una
onda llamada PULSO.(por ejemplo al estallar una bomba, una sacudida en un extremo de una cuerda... ) y si la perturbación
dura un tiempo determinado entonces se produce una sucesión de ondas llamado TREN DE ONDAS.
b) Según el número de dimensiones en que se propaga la perturbación o energía. Así, puede ser uni, bi, tridimensional.
c) Según la dirección de propagación con respecto a la de la perturbación provocada por el foco. Así, pueden clasificarse
en LONGITUDINALES y TRASVERSALES.
Ondas longitudinales son aquellas en que la propagación de la onda es en la misma dirección que la vibración o perturbación
del foco (por ejemplo la compresión de partículas de un gas o partículas en suspensión en un tubo por medio de un émbolo;
la onda producida al estirar un muelle longitudinalmente, el sonido…)
Ondas trasversales son aquellas en donde la propagación de la onda es perpendicular a la vibración u oscilación del foco.
(por ejemplo la onda producida en el agua al dejar caer un objeto verticalmente sobre ella, las ondas electromagnéticas…)
CARACTERISTICAS DE LAS ONDAS
Longitud de Onda o distancia más próxima entre dos puntos de la onda en
igualdad de fase.
Periodo o tiempo empleado en recorrer una distancia de longitud de onda.
Frecuencia o número de veces que repite el proceso en la unidad de tiempo.
Los puntos A y B están en igualdad de Fase y su distancia es la longitud de
onda y el tiempo empleado desde A a B es el
Periodo T. Los puntos A y C están en oposición de Fase, es decir, la distancia
sucesiva que les separa es media longitud de onda.
ONDAS ARMONICAS
Dentro de las ondas, hay un tipo de ondas denominado armónicas que tienen unas características
a) Mantienen su forma indefinidamente en toda su propagación y lo único que podría disminuir es la amplitud si el medio en
que se transmite tiene amortiguamiento. En general la onda al propagarse cambian de forma, salvo las de tipo armónico.
b) Estas ondas armónicas son similares a las de muchos fenómenos físicos, como por ejemplo la luz, sonido, de radio,
rayos x ...
c) Muchas ondas periódicas de forma muy compleja y diversa son en realidad mezcla de ondas armónicas, pero de distinta
frecuencia, recibiendo la de la frecuencia mas baja el nombre de fundamental y el resto primer, segundo, tercer ... armónicos.
d) En estas ondas la velocidad de propagación en el espacio es fácilmente medible
VELOCIDAD DE PROPAGACION
La perturbación producida por el foco (emisor) se transmite a las partículas contiguas, siendo alcanzadas las mismas al
cabo de un cierto tiempo y comenzando a vibrar ellas mismas como si fueran focos emisores.
El espacio recorrido x por la perturbación en el tiempo empleado se le denomina velocidad de propagación de la onda.
Si la energía se transmite íntegramente de unas partículas a otras se dice que el medio es perfectamente elástico; para las
ondas Mecánicas (las que necesitan medio de transporte) tal medio no existe, por lo que las ondas al propagarse sufren
amortiguaciones. Además su velocidad de propagación también depende del medio o de sus características. Así, por
ejemplo, en las ondas trasversales producidas en una cuerda, su velocidad de propagación depende de la tensión de la
cuerda y de su masa por unidad de longitud; el sonido se propaga en el aire pero con una velocidad que depende de la
temperatura del mismo; y las ondas electromagnéticas se propagan con velocidades que dependen de una característica del
medio llamada permitividad.
Así pues, en las ondas armónicas la velocidad de propagación no depende del foco emisor sino del medio material en que
Vprop 

 .
T
se propague. Y como en estas ondas se recorre una distancia (longitud de onda) en un tiempo T, resulta :
Ahora bien, como se ha dicho la velocidad de propagación de una onda depende del medio material en que se traslade, y
como la frecuencia de la onda es independiente del medio , significa que una misma onda en distintos medios de
propagación modifica su longitud de onda.
Teniendo en cuenta que las ondas se propagan en general en el espacio tridimensional, todas aquellas partículas que en
un instante son alcanzadas por la perturbación forman un frente denominado Frente de Onda, dando origen a las ondas
esféricas, planas...,y siendo la dirección perpendicular a ese frente.
Generalmente ese frente o los frentes suelen dibujarse con los frentes que corresponden a las elongaciones máximas, siendo
por ello la distancia entre dos sucesivos frentes la longitud de onda.
ECUACION DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
Veamos el movimiento de propagación de una onda armónica, considerando sólo una dirección, por ejemplo la X.
Si el foco emisor está en x=o vibrando según un movimiento armónico de elongación Y : Y (x=o,t) = A.sen(wt)
Un punto P, a una distancia X del foco será alcanzado por la perturbación al cabo de un cierto retraso de tiempo t` y se
pondrá a vibrar
t =
O bien
x
x
=

V pr o
T
Y(x, t) = A.Se n2(
Y(X,t) = A.sen(wt - kX)
t
x
 )
T 
en donde k=nº de onda
Esta ecuación es doblemente periódica :
Periódica respecto al tiempo, es decir que para una determinada distancia constante del foco emisor dicha partícula vibra
periódicamente.
Periódica respecto a la distancia, es decir, que para un determinado instante de tiempo constante, todas las partículas
alcanzadas por la perturbación forman una onda periódica.
2 t 1
2 x1
2 t 1
2 x2

)(

)=
T

T

En ig u a ld a dd e fa se es = 2 k  x1  x 2 = K
(
En o p o sicio nd e fa se = k ( k im p a r)
 x1  x2 = K

2
Están en igualdad de fase todas las partículas cuya distancia entre ellas es un número entero de longitudes de onda
Y están en oposición de fase todas las partículas cuya distancia es un número impar de medias longitudes de onda.
ENERGIA ASOCIADA AL M. ONDULATORIO
Cada partícula alcanzada por la perturbación vibra, por lo que la energía será la del movimiento vibratorio, es decir:
E = ½.mV 2vibrac + ½.K.x2 = ½.K.A2 = ½. m.ω2.A2 = 2.m.π2.f2.A2
Así pues, la energía transportada por el movimiento ondulatorio es proporcional al cuadrado de su frecuencia, al cuadrado de
su amplitud y de la masa de la partícula.
Cuando la onda avanza, la cantidad de partículas aumenta por lo que la energía se reparte y como consecuencia la amplitud
disminuye ( la onda se ATENUA); y si además se producen pérdidas de energía por rozamientos o absorción del medio (la
onda sufre ABSORCION) la amplitud también disminuye y la onda se amortigua incluso llegando a desaparecer.
INTENSIDAD DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
La intensidad del Movimiento ondulatorio se mide por la cantidad de energía que atraviesa por unidad de superficie colocada
perpendicularmente a la dirección de propagación y por unidad de tiempo ; es decir, potencia por unidad de superficie.
I = Pot/S (Wat/m2)
Si la onda que se propaga emite espacialmente (por ejemplo ondas esféricas), entonces atraviesa una superficie de área
S=4.π.r2 ; pero si la onda es superficial (por ejemplo las ondas del agua) entonces la potencia que la atraviesa será por
unidad de longitud L=2.π.r ; y si la onda es lineal (por ejemplo la producida en una cuerda vibrando) entonces la potencia que
la atraviesa será la misma que la del foco emisor.
La intensidad del movimiento ondulatorio disminuye (para ondas no lineales) proporcionalmente a la inversa de la distancia al
cuadrado por ATENUACION; y como la intensidad es proporcional es proporcional al cuadrado de la amplitud, la onda sufre
una disminución de su amplitud inversamente proporcional a la distancia del foco emisor. En efecto:
I1 
E
4R 12 .t
I2 
E
4R 22 .t

I1 R 22 A 12


I 2 R 12 A 22
es decir
A1 R 2

A2
R1
La intensidad de la onda también puede disminuir por ABSORCION y como consecuencia la amplitud de la onda también
se amortigua, pero en este caso decrece exponencialmente con la distancia
I  I o .e  .R
CUALIDADES del SONIDO :
Si nos referimos al SONIDO y más concretamente a la sensación auditiva del oído humano, éste sólo permite audición para
frecuencias comprendidas entre 16 Hertz y 20.000 Hertz. Además se ha comprobado que la sensación auditiva depende
también de la Intensidad de la propia onda (siendo la intensidad mínima para la audición de I o = 10-12 Wat/m2 ). Para ello se
define una unidad de "intensidad sonora" o sensación auditiva : DECIBELIO.
Db  10. Log
I
I0
Otras cualidades del sonido son: el Tono y el Timbre.
El TONO es la cualidad por la que se distinguen dos notas distintas en un mismo instrumento musical: es la frecuencia.
Esta frecuencias ,para el oído humano, están comprendidas entre 16 y 20000 Herz; a las frecuencias audibles altas se las
denomina "agudos" y a las bajas "graves".
El TIMBRE es la cualidad por la que se distinguen la misma nota en dos instrumentos musicales diferentes, por ejemplo el
"do" de un piano y el de un violín.
En general una onda sonora periódica es combinación de múltiples ondas de tipo sinusoidal de amplitudes y fases concretas
y frecuencias que son números enteros de una onda principal o fundamental ( primer, segundo .... armónicos). El timbre es la
característica que depende del numero (armónicos), sus intensidades y frecuencias, que acompañan a la onda fundamental.
PRINCIPIO de HUYGENS
En la transmisión a través de un medio elástico de una perturbación, los diferentes puntos alcanzados por la misma vibran de
la misma forma que lo hace el foco; el movimiento es como una reproducción fiel del foco con las excepciones :
La amplitud puede disminuir y existe un retraso entre el movimiento generador y el original.
Así pues, todo punto alcanzado por una onda se convierte en foco emisor de nuevas ondas.
Este efecto explica la onda producida y sus desviaciones al atravesar grandes rendijas, obstáculos, etc.
Sin embargo al aplicar el principio de Huygens al paso de ondas a través de pequeñas rendijas o aberturas ( en donde la
abertura tiene un tamaño igual o inferior a la longitud de la onda) se produce un fenómeno denominado DIFRACCION.
La Difracción es por lo tanto un efecto consecuencia del principio de Huygens, y se produce siempre que la onda encuentre
un obstáculo, rendija de tamaño igual o menor que la longitud de onda. La difracción de la Luz no se aprecia a simple vista
porque los obstáculos tienen que ser muy pequeños ya que la longitud de onda es excesivamente pequeña.
Los fenómenos de Difracción e Interferencias son bien distintos pero suelen darse juntos, ya que las ondas se interfieren
después de la difracción.
EFECTO DOPPLER
Este efecto se produce cuando o bien el foco emisor, el punto receptor, o ambos a la vez, no están fijos sino moviéndose
con determinadas velocidades en un sentido de acercarse o alejarse.
Es bien conocido este efecto en las ondas sonoras, por ejemplo en el cambio de tono del pitido de dos trenes que se acercan
o se alejan. La frecuencia aparente de la perturbación recibida
depende de las velocidades relativas entre foco y receptor según sean acercándose o alejándose.
Supongamos un foco F que emite ondas de frecuencia  y que se propagan en un medio con velocidad V= /T =  .Veamos
la frecuencia y longitud de onda que mide un observador si ambos se acercan :
La frecuencia que mide el observador acercándose con velocidad Vo es:
  
V  V0

Si el foco se acerca al observador con velocidad V f el observador mide una
longitud de onda comprimida
´=  - Vf.T
Si ahora consideramos los dos acercándose, tenemos que la frecuencia medida
por el por observador según se acerca la onda comprimida :
 
V  V0
V  V0
V  Vo
V  V0


.

  VF .T T V  VF 
V  VF
Por lo tanto, la frecuencia emitida “” por un foco y medida por un observador
“´” será según se acerquen (signo superior) o se alejen (signo inferior):
  
V  V0
V  VF
En el caso que se mueva el foco emisor con mayor velocidad que el sonido entonces el foco adelanta a la onda
produciendo un tipo de onda llamada "Onda de choque".
INTERFERENCIAS
Este fenómeno se produce al ser alcanzado un punto del espacio simultáneamente por dos movimientos ondulatorios de
focos diferentes. Tal fenómeno es exclusivo del movimiento ondulatorio.
En los puntos donde se juntan los frentes de onda, la perturbación que se produce es
un máximo de interferencia (siendo la distancia de estos puntos al foco un múltiplo de
la longitud de onda), y los puntos intermedios se producen los mínimos de interferencia
(la distancia al foco es un múltiplo impar de longitud de onda).
Todos los puntos alcanzados por la interferencia siguen una onda que no se estorba
con las originales.
ONDAS ESTACIONARIAS
Es un caso particular de interferencias en el que los focos emiten con la misma frecuencia, la misma intensidad, la misma
dirección pero en sentidos opuestos.
La superposición de ambas ondas origina una onda tal que da la sensación de
no avanzar encontrándose "estacionada" en el espacio, presentando unos
puntos inmóviles de amplitud nula (NODOS) y otros vibrando, siendo los de
máxima amplitud entre dos Nodos los denominados VIENTRES.
Una onda estacionaria NO TRANSPORTA ENERGIA ya que los nodos están en
reposo y la energía queda estancada entre ellos.
Y1= A.Sen(wt-kx)
Y2= A.Sen(wt+kx)
wt - kx + wt + kx
wt + kx - wt + kx
Y = Y1+ Y2 = 2A.Sen(
).Cos(
)
2
2
2x
Y = 2A.Sen(wt)
. Cos(
)

Am ax= 2A
Am in= O
vientres cuando Cos(
nodos
cuando Cos(
2x

2x

) = 1  x = n.
)= O

2
 x = (2n - 1 ).

4
REFLEXION – REFRACCION
Cuando la Luz atraviesa la materia, parte de la energía es trasmitida y parte es absorbida; la absorción depende de la
naturaleza del cuerpo material y de su espesor, pero según su capacidad de absorción los cuerpos se dicen : transparentes,
translúcidos y opacos.
La velocidad de propagación de la luz es máxima en el vacío ( c=3.10 5 Km/sg ) y más lenta en los distintos cuerpos
transparentes. La comparación entre estas velocidades determinan el coeficiente o índice de refracción "n" :
n
c
V
El índice de refracción es siempre igual o mayor que la unidad.
Sin embargo la Luz está compuesta de colores o distintas longitudes de onda, propagándose con velocidades
ligeramente diferentes ( dicha velocidad es directamente proporcional a la longitud de onda ) , salvo en el vacío y el aire (que
prácticamente es la misma velocidad). Así la luz, al atravesar ciertos medios, se divide o DISPERSA en sus frecuencias o
colores .
De la misma manera, cuando la luz incide sobre un medio, parte de la energía es absorbida y parte es reflejada, y las
frecuencias reflejadas son los colores del objeto.
La luz al incidir sobre una superficie que separa dos medios distintos de índices de refracción n1 y n2, parte se refleja (vuelve
al mismo medio del que procede) y parte se refracta (pasa al otro medio).
Gracias a la reflexión pueden verse los objetos, ya que éstos
no tienen luz propia o no la emiten con la suficiente potencia
para ser observada, de tal modo que los objetos absorben
unas frecuencias o colores de la luz que reciben y reflejan
otras que son las frecuencias o colores que se ven.
La reflexión y la refracción cumplen las leyes:
a) El rayo incidente, la normal a la superficie , el rayo reflejado y el rayo refractado están en un mismo plano.
b) El ángulo del rayo incidente es igual al ángulo del rayo reflejado, es decir : i = R
c) Los senos de los ángulos de incidencia y refracción están relacionados con los índices de refracción de los medios
mediante la expresión ( ley de Snell ) :


Sen ( i ).n1 = Sen (r).n2
Esta expresión también puede ser descrita de la forma: cuando la luz pasa de un medio a otro más refrigente (mayor índice),
el rayo refractado se acerca más a la normal; por el contrario si la luz pasa a otro medio menos refrigente entonces el rayo
refractado se aleja de la normal.
REFLEXION TOTAL
Cuando la luz pasa de un medio más refrigente a otro menos refrigente, como es el caso de un foco de luz en el agua al salir
al aire, entonces sucede un caso especial en el cual la refracción puede no existir y
entonces el rayo sólo sufre reflexión (reflexión total).
Existe un ángulo de incidencia ilim a partir del cual se produce la reflexión total.
Efectivamente puede comprobarse por la ecuación de Snell, que a partir de un cierto
valor de ángulo incidente, el seno del ángulo de refracción puede resultar mayor de la
unidad, lo que indicaría la no existencia de refracción.

n2

Sen( r ) =
.Sen( i )
n1
 Si n2 > n1 puede ocurrir que

Sen( r ) > 1
ESPECTROS
Veamos la dispersión de la luz de la luz blanca al incidir un sobre un prisma óptico
Para un rayo de luz monocromática (una sola longitud de onda) solo saldrá del prisma un rayo, pero si la luz tiene por
ejemplo dos colores o longitudes de onda ( los extremos de la luz visible : Rojo y Violeta), obtendremos a la salida del
prisma dos rayos dispersados
Rojo
Violeta
Por supuesto si la luz es Blanca (contiene todas las longitudes de onda) obtendremos todos los rayos dispersados
sucesivamente en un Espectro Contínuo (toda la gama de colores del rojo al violeta)
El espectro es por lo tanto la dispersión de todas las longitudes de onda de la luz. Si dicha luz contiene todas las longi tudes
de onda so obtiene un espectro contínuo, pero si la luz sólo contiene determinadas longitudes de onda se obtiene un espectro
discontínuo (rayas)
La obtención de un espectro puede ser: Por Emisión o Absorción.
Por Emisión se obtiene al dispersar la luz que emite un cuerpo.
Por Absorción se obtiene al atravesar luz blanca el objeto que absorberá unas longitudes de onda, de modo que en el
espectro contínuo faltarán unas rayas correspondientes a las longitudes de onda absorbidas. Así se obtienen los espectros
de los astros desde la Tierra, pues al atravesar la atmósfera parte de la radiación será absorbida.
EJERCICIOS
MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE
1. Una partícula de masa 2 grs. está animada de un mov. v.a. simple de ecuación x= 4 Sen ( t - /2 ) unidades del S.I.
Calcular:
a) Período, frecuencia, amplitud y desfase inicial
b) Velocidad y aceleración máximas.
c) Velocidad y aceleración iniciales
d) Tres primeros instantes en los que pasa por la posición de equilibrio.
e) Energía cinética en el instante t= 0,25 sg.
2.Un punto material oscila con m.v.a.s de amplitud 2 cm. y frecuencia de 10 hz. Calcular su velocidad y aceleración máximas
y su velocidad y aceleración en t=1/120 sg., sabiendo que en el instante inicial su posición es la de equilibrio.
3. A una partícula de 10 grs. se le hace describir un m.v.a.s. en la dirección del eje X. La amplitud es de 5 cm. y cada
segundo efectúa el punto media oscilación. Calcular: Ecuación del movimiento - Máxima velocidad - Valor de la fuerza que
actúa sobre la partícula.
4. Una masa de 20 grs. realiza un m.v.a.s. en el extremo de un resorte que da 2 oscilaciones por sg. y con una amplitud de 5
cm. Calcular:
Velocidad máxima de la masa oscilante
Aceleración de la masa en el extremo del resorte
Valor de la constante K recuperadora del resorte
Energía cinética y potencial elástica cuando su elongación es 2 cm
5. A un muelle helicoidal se le cuelga un cuerpo de 10 Kg. y se alarga 2 cm. Después se le añaden otros 10 Kg. y
posteriormente se le estira hacia abajo para soltarlo y dejarlo oscilar con una amplitud de 3 cm.
Calcular:
Constante recuperadora K del muelle
Frecuencia de la oscilación
Velocidad, aceleración y fuerza recuperadora a los 2 Sgs de haber comenzado a oscilar.
6 Una partícula de 0,5 Kg. describe un mov. Armónico simple de frecuencia 5/ sg. y tiene inicialmente una energía cinética
de 0,2 jul. y una energía potencial de 0,8 jul. Calcular:
a) Posición y velocidad iniciales, así como la amplitud de oscilación y velocidad máxima. Escribe la ecuación de su
posición.
b) Cuál es el desplazamiento en el instante en que las energía cinética y potencial son iguales.
7. Un objeto de masa "m" oscila con movimiento armónico simple unido a un muelle de constante "K". Si la velocidad máxima
es "Vm" dar las expresiones de la amplitud y de la energía total.
8. Una partícula que describe un mov. vibratorio arm. simple tarda 1 sg. en desplazarse desde un extremo de la trayectoria
hasta llegar al centro de la misma. La distancia entre ambas posiciones es 10 cm. Determinar a) el período del movimiento b)
velocidad de la partícula en t=2,75 sg. sabiendo que en t=0 su elongación era cero.
9. Un cuerpo de masa m=2 Kg. sujeto por un muelle y situado sobre un plano inclinado de 30º
(tal como indica la figura), estira este muelle un valor de 1 cm. en situación de equilibrio. Si
separamos ahora este cuerpo de la posición de equilibrio y lo dejamos oscilar libremente ¿
Cuál será el período de oscilación ? (suponer que no existe rozamiento).
10. Un péndulo simple tiene suspendido una masa de 500 gr. de un hilo de 1 m. de longitud.
a) Calcula el periodo de oscilaciones para pequeñas amplitudes.
b) Si se desplaza la masa un ángulo de 60º respecto de su posición de equilibrio, calcular la velocidad con que pasará de
nuevo por dicha posición.
11. Una partícula se mueve con mov. vibratorio a.s. con un período de 4 sg. y un desfase inicial de 0,8 rad. Tomando origen
de tiempos la posición de equilibrio. Si sabemos que para t=2 sg. la velocidad es de v= -3 m/sg., hallar la ecuación que
describe la partícula y su velocidad máxima.
12. La energía de un oscilador de 20 grs. Es de 0,6 jul. y su velocidad es de 2 m/sg cuando su elongación es de 1 m. Calcula
la amplitud y frecuencia de su movimiento.
13. Una partícula de masa 1 gr. Tiene un mov. Arm. Simple con una amplitud de 0,2 m. ; su aceleración vale 0,4 m/sg 2
cuando su elongación es 0,1 m.
a) Determinar su ecuación suponiendo nula la fase inicial
b) Calcula su velocidad máxima
c) Determina su energía mecánica
EJERCICIOS
MOVIMIENTO ONDULATORIO
1. Una onda armónica tiene por ecuación: Y(x,t)= 5.sen ( 4x-20t+0,25) expresada en el C.G.S. Determinar la amplitud,
frecuencia, longitud de onda, diferencia de fase y velocidad de propagación.
2. Determinar la ecuación de onda que se propaga en el sentido negativo del eje OX con una velocidad de 900 m/sg. siendo
su frecuencia de 400 hz y 2 cm. su amplitud. Se sabe además que para X=0 y t=0 es Y(X,t)=2 cm.
3. Sometemos el extremo de una cuerda tensa a vibraciones sinusoidales de 10 hz. La distancia entre dos puntos próximos
en oposición de fase es de 20 cm. Calcular la longitud de onda y la velocidad de propagación.
4. Dada la ecuación de una onda trasversal Y= 12.sen 2( t/5 - X/8 ) donde X e Y están en m. y t en sg. Calcular: Amplitud,
frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación.
Calcular la elongación y velocidad de vibración de un punto que dista 1 m. del foco y al cabo de 5/6 de sg.
5. En un extremo de una cuerda tensa horizontal de 5 m se provoca un movimiento ondulatorio armónico perpendicular a la
dirección de la cuerda, cuya elongación es 8 cm cuando han transcurrido 0,5 sg. desde su comienzo. Se observa que la onda
tarda en llegar al otro extremo 2 sg y que la distancia entre dos crestas sucesivas es de 1,5 m. Calcular:
Frecuencia y amplitud del movimiento.
Velocidad de un punto de la cuerda situado a 1 m del extremo inicial y en el instante t=1 sg.
Desfase entre dos puntos separados 2 m
6. Una cuerda de 8 m. de longitud y 0,5 Kgs de masa está sometida a una tensión de 50 Nw. En uno de sus extremos se une
a un vibrador armónico simple de frecuencia 6 Hz. y amplitud 20 cm y contando origen de tiempos t=0 el instante de posición
de equilibrio; calcular :
a) Velocidad de propagación sobre la cuerda:
T
(siendo T tension de la cuerda y  la densidad por unidad de longitud) V prop = 
b) Ecuación de la onda que se propaga.
c) Altura de la cuerda para un punto que dista 1 m. del foco y en el instante t=1 sg.
d) Velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda.
7. En el centro de un estanque circular de 5m. se produce un movimiento ondulatorio en la superficie del agua. Se observa
que las ondas tardan 10 sgs. en llegar a la orilla y que la distancia entre dos crestas sucesivas es de 50 cm. ; s abiendo que la
amplitud del foco es 10 cm. :
a) Ecuación del movimiento ondulatorio
b) Velocidad máxima de vibración de un corcho flotando a 3m. del centro del estanque o foco.
8. Se deja caer sobre un punto O de la superficie tranquila del agua de un lago una serie de gotas a razón de 90 por minuto.
Calcula la distancia entre dos crestas sucesivas sabiendo que la velocidad de propagación de las ondas en el agua es 0,60
m/sg. Admitiendo que el movimiento es armónico, determinar la elongación de un corcho flotando en el agua a 0,15 m del
punto O, si la amplitud de dicho movimiento es de 7,5.10 -3 m.
9. El oído “distingue” sonidos diferentes con un intervalo de tiempo de 0,1 sg. Si el eco es una reflexión sobre un obstáculo y
que vuelve al lugar de origen ¿ Cuál es la distancia mínima entre foco y obstáculo para que exista el eco en un medio como el
aire y velocidad del sonido de 340 m/sg ?.
10. Un tren emite pitidos de frecuencia 100 Hz. y lleva una velocidad de 200 km/h. Calcular la frecuencia y longitud de onda
que mide una persona en:
a) En reposo en la estación viendo alejarse al tren.
b) En otro tren a velocidad de 100 km/h acercándose al otro.
Reflexion- Refracción:
1.
2.
Un foco luminoso puntual se encuentra situado en el fondo de un estanque lleno de agua de n=4/3 y a un metro de
profundidad. Emite luz en todas las direcciones. En la superficie del agua se forma un círculo luminoso debido a los
rayos que se refractan al pasar al aire; fuera de ese círculo los rayos de reflejan totalmente y no salen al exterior.
Calcular el radio R de ese círculo.
Cuando el ángulo de incidencia de un rayo sobre un material es de 30º, el ángulo que forman los rayos reflejado y
refractado es de 135º. Calcular el índice de refracción de dicho medio.
SELECTIVIDAD CASTILLA-LEON
(VIBRATORIO-ONDULATORIO)
Junio 2008
Un cuerpo de 1 kg de masa se encuentra sujeto a un muelle horizontal de constante elástica k
= 15 N/m. Se desplaza 2 cm respecto a la posición de equilibrio y se libera, con lo que
comienza a moverse con un movimiento armónico simple.
a) ¿A qué distancia de la posición de equilibrio las energías cinética y potencial son
iguales? .
b) Calcule la máxima velocidad que alcanzará el cuerpo .
Septiembre 2008
1. Una partícula de 0,1 kg de masa, se mueve con un movimiento armónico simple y realiza un desplazamiento máximo de
0,12 m. La partícula se mueve desde su máximo positivo hasta su máximo negativo en 2,25 s. El movimiento empieza
cuando el desplazamiento es x = +0,12 m.
a) Calcule el tiempo necesario para que la partícula llegue a x = -0,06 m
b) ¿Cuál será la energía mecánica de dicha partícula?
2. Escriba la expresión matemática de una onda armónica unidimensional como una función de x (distancia) y t (tiempo) y
que contenga las magnitudes indicadas en cada uno de los siguientes apartados:
a) Frecuencia angular ω y velocidad de propagación v
b) Período T y longitud de onda λ
Junio-07
1. Una partícula de masa m está animada de un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f Deduzca las
expresiones de las energías cinética y potencial de la partícula en función del tiempo. Deduzca la expresión de la energía
mecánica de la partícula .
2. En las figuras se representa la variación de la posición, y, de un punto de una cuerda vibrante en función del tiempo, t, y de
su distancia, x, al origen, respectivamente
a) Deduzca la ecuación de onda. b) Determine la velocidad de
propagación de la onda y la velocidad de vibración de un punto de la
cuerda.
Jun-06
1. a) .Escribir la ecuación de una onda que se propaga en una cuerda (en sentido negativo del eje X) y que tiene las
siguientes características: 0,5 m de amplitud, 250 Hz de frecuencia, 200 m/s de velocidad de propagación y la
elongación inicial en el origen es nula.
b) Determinar la máxima velocidad trasversal de un punto de la cuerda
2. De dos resortes con la misma constante elástica se cuelgan sendos cuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene
el doble de longitud que el otro ¿ El cuerpo vibrará con la misma frecuencia?. Razonar la respuesta
Sep-05
1. Una masa de 1 Kg oscila unida a un resorte de constante K= 5 N / m, con movimiento armónico simple de amplitud 10 2m.
a) Cuando la elongación es la mitad de la amplitud, calcule que fracción de la energía mecánica es cinetica y que fracci ón
es potencial
b) ¿ Cuánto vale la elongación en el punto en el cual la mitad de la energía mecánica es cinética y la otra mitad potencial ?
2. Defina la velocidad de vibración y la velocidad de propagación de una onda sinusoidal. Dé sus expresiones en función de
los parámetros que aparecen en la ecuación de onda. ¿ De cuál de las dos y de qué forma depende la energía transportada
por la onda ?
Jun-05
1. Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. Escriba la ecuación de dicho movimiento en unidades del S.I.
en los siguientes casos:
a) Su aceleración máxima es igual a 5π2 cm/s2 , el período de las oscilaciones es 2 sg y la elongación del punto al
iniciarse el movimiento era 2,5 cm
b) Su velocidad es 3 cm/s cuando la elongación es 2,4 cm y la velocidad es 2 cm/s cuando su elongación es 2,8
cm. La elongación al iniciarse el movimiento era nula.
2. Un punto realiza un movimiento vibratorio armónico simple de período T y amplitud A, siendo nula su elongación inicial.
Calcule el cociente entre sus energías cinética y potencial:
a) En los instantes de tiempo t = T/12, t = T/8 y t = T/6
b) Cuando su elongación es x = A/4 , x = A/2 y x = A
Sep-04
1. Una partícula describe un movimiento vibratorio armónico simple de 20 cm de amplitud. Si alcanza su velocidad máxima,
de 5 m.s-1, en el instante inicial,
a) ¿ Cuál será la aceleración máxima de la partícula ?
b) ¿ Cuáles serán la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante t= 1 sg ?
2. ¿ Que se entiende por onda longitudinal y por onda trasversal ? . Las ondas sonora ¿ son longitudinales o trasversales ?.
Explique las tres cualidades del sonido: tono, timbre e intensidad
Jun-04
1. Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación:
Y = 0,2 cos( 2t – 0,1x)
en unidades del S.I.
Calcule:
a) La longitud de onda y la velocidad de propagación
b) El estado de vibración, velocidad y aceleración de una partícula situada en x=0,2 m en el instante t=0,5 sg
2. Explique con claridad los siguientes conceptos:
enuncie el principio de Huygens
Período de una onda, número de onda, intensidad de una onda
y
Sep-03
1. Se zarandea uno de los extremos de una cuerda de 8m de longitud, generándose una perturbación ondulatoria que tarda
3 sg en llegar al otro extremo. La longitud de onda mide 65 cm. Determine:
a) La frecuencia del movimiento
b) La diferencia de fase entre los extremos libres de la cuerda
2. Explique brevemente como se clasifican las ondas según:
a) El medio de propagación
b) La relación entre la dirección de oscilación y la dirección de avance
Proponga en cada caso un ejemplo
Jun-03
1. Una partícula inicia un movimiento vibratorio armónico simple en el extremo de su trayectoria y tarda 0,1 sg en llegar al
centro de la misma. Si la distancia entre ambas posiciones es de 20 cm, calcule:
a) El período del movimiento y la pulsación
b) La posición de la partícula 1 sg después de iniciado el movimiento
Sep-02
1. Una onda trasversal se propaga según la ecuación:
Y = 4 sen 2π [ (t / 4) + ( x / 1,8)]
(en unidades del S.I.)
Determine:
a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración máxima de un punto alcanzado por la onda
b) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos puntos separados 1 m en la dirección de avance de la onda
Jun-02
1. Un extremo de una cuerda tensa horizontal de 3 m de longitud está sometida a un movimiento vibratorio armónico simple.
En el instante t=4 s la elongación de ese punto es de 2 cm. Se comprueba que la onda tarda 0,9 sg en llegar de un extremo
a otro de la cuerda y que la longitud de onda es de 1 m. Calcule:
a) La amplitud del movimiento ondulatorio
b) La velocidad de vibración en el punto medio de la cuerda para t= 1 sg
Reflexión – Refracción
Septiembre 2008
a) Determine la velocidad de la luz en el etanol teniendo en cuenta que su índice de refracción absoluto es n= 1,36
b) Un haz de luz roja cuya longitud de onda en el aire es de 695 nm penetra en dicho alcohol. Si el ángulo de incidencia es
de 30°, ¿cuál es el ángulo de refracción? ¿Cuál es la longitud de onda y la frecuencia del haz de luz en el alcohol ?
Junio-07
1. a) ¿Qué se entiende por reflexión especular y reflexión difusa? (0,5 puntos). Enuncie las leyes de la
reflexión
b) Se tienen dos espejos A y B planos y perpendiculares entre sí. Un rayo luminoso contenido en un
plano perpendicular a ambos espejos incide sobre uno de ellos, por ejemplo el A, con el ángulo a
mostrado en la figura. Calcule la relación entre las direcciones de los rayos incidente en A y reflejado en B
2. Sobre un prisma cúbico de índice de refracción n situado en el aire incide un rayo luminoso con un
ángulo de 60º . El ángulo que forma el rayo emergente con la normal es de 45º. Determine:
a) El índice de refracción n del prisma
b) El ángulo que forman entre sí la dirección del rayo incidente en A con la dirección del rayo
emergente en B
Septiembre-07
1. Sobre una de las caras de un bloque rectangular de vidrio de índice de refracción n2 = 1,5 incide un rayo de luz
formando un ángulo θ 1 con la normal al vidrio. Inicialmente, el bloque se encuentra casi totalmente inmerso en
agua, cuyo índice de refracción es 1,33.
a) Halle el valor del ángulo θ 1 para que en un punto P de la cara normal a la de incidencia se produzca la
reflexión total
b) Si se elimina el agua que rodea al vidrio, halle el nuevo valor del ángulo θ 1 en estas condiciones y explique el
resultado obtenido
2.- Una superficie plana separa dos medios de índices de refracción n1 y n2. Si un rayo incide desde el medio de índice n1,
razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Si n1 > n2 el ángulo de refracción es menor que el ángulo de incidencia
b) Si n1 < n2 a partir de un cierto ángulo de incidencia se produce el fenómeno de reflexión total
Jun-06
1. ¿ Qué es la reflexión total de la luz ?. El índice de refracción del medio en que permanece la luz ¿ es mayor, igual o
menor que en el otro medio. (Razona la respuesta) ? . ¿ Qué es el ángulo límite y como se calcula?
Sep-05
1. Un rayo de luz verde pasa de una placa de vidrio de índice de refracción n=1,5 al aire. La longitud de onda de la luz en la
placa es 333.10-9 m . Calcule:
a) La longitud de onda de la luz verde en el aire
b) El ángulo crítico a partir del cual se produce la reflexión total
2. Enuncie las leyes de la refracción de ondas. ¿ Qué es el índice de refracción ?. Razone si al pasar a un medio de mayor
índice de refracción el rayo se acerca a la normal o se aleja de ella.
Jun-05
a) Un rayo luminoso incide sobre una superficie plana de separación aire-líquido. Cuando el ángulo de incidencia es de
45º el de refracción vale 30º . ¿ Qué ángulo de refracción se producirá si el haz incidiera con un ángulo de 60º ?.
b) Un rayo de luz incide sobre una superficie plana de vidrio de índice n=1,5. Si el ángulo formado por el rayo reflejado y
refractado es de 90º , calcule los ángulos de incidencia y de refracción
Jun-04
¿ Qué es la reflexión total ? .Represente mediante esquemas la trayectoria de la luz para el caso de un ángulo de incidencia
menor, igual o mayor al ángulo límite.