Solución de la Ecuación de Laplace

Solución de la Ecuación de Laplace
en
Coordenadas Cilíndricas
Si en alguna situación se presenta cierta simetría cilíndrica conviene tener la solución de
la Ecuación de Laplace en términos de las coordenadas cilíndricas para ajustarla a las
condiciones de fronteras particulares del problema. La Ecuación de Laplace en
coordenadas cilíndricas es:
 2 V r, , z  
1   V  1  2 V  2 V
 2  0.
r

r r  r  r 2  2
z
(111)
con V función de r, , z. Comenzaremos por obtener la solución general en donde sólo se
tiene dependencia radial, para luego tratar el caso en donde no se tiene dependencia en
la coordenada Z, y finalmente donde se tiene dependencia en las tres coordenadas.
Dependencia Radial.
Cuando sólo se tiene dependencia en la variable radial de las coordenadas cilíndricas, la
Ecuación de Laplace se reduce a:
d  dV (r ) 
r
  0.
dr  dr 
(112)
Para determinar la solución general de V(r), integramos, obteniendo:
r
dV(r )
 A0 .
dr
Dividiendo entre r e integrando de nuevo, tenemos que el potencial eléctrico es:
V(r )  A 0 ln(r)  B 0 .
(113)
Ejemplo 1. Determinar el potencial para cualquier distancia radial r entre dos cilindros
coaxiales de radios R1 y R2 (R1 < R2), que se encuentran a potenciales V1 y V2,
respectivamente.
Solución 1. Las condiciones de frontera son:
(a)
En la superficie del cilindro de radio R1 el potencial es:
V(r  R1 )  V1.
(b)
(114)
En la superficie del cilindro de radio R2 el potencial es:
V(r  R 2 )  V2 .
Aplicando la condición de frontera indicada en (a), tenemos la relación:
V1  A 0 ln(R1 )  B 0 ;
(115)
y al considerar la condición señalada en el punto (b),
V2  A 0 ln(R 2 )  B 0 .
A partir de estas dos ecuaciones se tiene que las constantes son:
A0 
B0 
V2  V1
,
ln(R 2 / R 1 )
V1 ln(R 2 )  V2 ln(R 1 )
;
ln(R 2 / R 1 )
por lo que el potencial se puede escribir como:
V(r ) 
V2  V1 ln(r )  V1 ln(R 2 )  V2 ln(R 1 )
ln(R 2 / R 1 )
.
(116)
Dependencia Radial y Angular.
Cuando no se tiene dependencia en la coordenada Z, la Ecuación de Laplace toma la
forma:
 2 V r,  
1   V  1  2 V
 0.
r

r r  r  r 2  2
(117)
Considerando como solución mediante el método de separación de variables, con el
potencial en la forma:
Vr,   f1 r f 2  ,
(118)
al sustituir en la Ecuación de Laplace, y dividir entre ella, tenemos:
1 d  df1 r  
1 d 2 f 2 
 n2 ,
 r
   2
rf1 r  dr  dr 
r f 2  d 2
siendo n2 una constante de separación. Con esto la ecuación separada para la variable
d2 f2 
d
2
 n 2 f2   0 ,
(119)
con solución:
f2   Cein  De-in  C cosn  Dsenn ,
Mientras que la parte de la ecuación dependiente de la coordenada r queda como:
(120)
r
d  df1 r  
r
  n 2 f1 r   0 .


dr  dr 
(121)
Para n  0, si se propone como solución una función f1(r) = rp, al sustituir en la ecuación
se tiene una ecuación cuadrática para p, con soluciones:
p1  n , y p2  n ;
de tal manera que la solución general para la parte radial, con n  0, es:
f1r   A nr n  Bnr -n .
(122)
Si n =0, la ecuación para la parte radial resulta:
d  df10 r  
r
  0,
dr 
dr 
la cual, al integrar directamente, tiene como solución (ver ec. 113):
f10 r   A' 0 lnr   B' 0 .
Mientras que la ecuación correspondiente a la parte angular (ec. 119), para n = 0, es:
d 2 f 20  
d 2
 0,
con solución:
f 20 r   A' ' 0   B' ' 0 .
Por lo tanto, la solución general de la Ecuación de Laplace, independiente de la
coordenada Z, es:



V r,   A 0  B 0 lnr   C 0   D 0  lnr    A nr n  B nr -n Cn cosn  D n senn.
n=1
(123)
Ejemplo 2. Un cilindro de material dieléctrico, con permitividad eléctrica  y radio R, se
coloca en una región del espacio en donde se tiene originalmente un campo uniforme E0,
de manera que el eje del cilindro queda perpendicular a la dirección del campo.
Determinar el campo eléctrico, tanto en el interior como en el exterior del cilindro.
Solución 2. En este caso debemos de proponer una solución para el interior:



Vi r,   A 0  B0 lnr   C' 0   D' 0  lnr    A nr n  Bnr -n Cn cosn  Dn senn,
n=1
(124)
y otra para el exterior:



Ve r,   A 0  B 0 lnr   C 0   D 0  lnr    A nr n  B nr -n Cn cosn  D n senn.
n=1
(125)
Las condiciones que deben de satisfacerse para determinar los valores de los
coeficientes son:
(a)
Al considerar al campo externo para cuando r tiende a ser muy grande,
prácticamente debe de ser igual al campo eléctrico uniforme original,
Ee r    E0  E0 ˆi ,
o en términos del potencial:
Ve r    E0 x  V0  E0r cos  V0 ,
(126)
siendo V0 una constante, que representa a un potencial de referencia.
(b)
El potencial debe ser finito en el interior.
(c)
En la frontera entre los dos medios (en r = R), se debe de tener la continuidad en
las componentes interna y externa del campo eléctrico tangentes a la superficie,
esto es:
Eit r  R  E et r  R ;
(127)
Esta condición se puede escribir en función de los potenciales considerando que
el negativo de la componente angular  del gradiente corresponde a la dirección
tangente a la superficie, de tal forma que la condición 127 queda como:
 V
 Vi 
  e


   r =R  
(d)

 ;
 r =R
(128)
En la frontera entre los dos medios (en r = R), también se debe tener continuidad
en las componentes del desplazamiento eléctrico normales a la superficie, esta
condición escrita en términos de los campos eléctricos es:
Ein r  R   0E en r  R .
(129)
Esta condición se puede escribir en función de los potenciales considerando que
el negativo de la componente radial del gradiente corresponde a la dirección
normal a la superficie, de tal forma que la condición 129 queda expresada como:
 V 
 V 
 i 
 0  e 
.

r

 r =R
 r r =R
(130)
De la condición 126 para el potencial en el exterior, tenemos:





Ve r     limr  A 0  B 0 lnr   C 0   D 0  lnr    A nr n  Bnr -n Cn cosn  Dn senn
n=1


 limr   E 0r cos  V0  ,
de donde se tienen los valores para los coeficientes:
A 0  V0 ,
B0  0 ,
C0  0 ,
D0  0 ,
A 1C1  E 0 ,
A nCn  0 para n  2, y
A nDn  0 para toda n,
quedando la expresión para el potencial en el exterior como:

Ve r,   V0  E 0r cos   Bnr - n Cn cosn  Dn senn.
n =1
(131)
De la condición que el potencial eléctrico sea finito en el interior, cuando r tiende a
cero se tiene:





Vi r  0   limr 0 A 0  B0 lnr   C' 0   D' 0  lnr    A nr n  Bnr -n Cn cosn  Dn senn
n=1


 cantidad f inita,
se tienen los valores de los coeficientes:
B0  0 ,
D'0  0 ,
BnCn  BnDn  0 para toda n,
con esto la expresión para el potencial eléctrico en el interior queda como:

Vi r,   A 0  C' 0    A nr n Cn cosn  Dn senn .
n=1
(132)
Al aplicar las condiciones de frontera de la superficie esférica, de la ecuación 128,
obtenemos:

E 0Rsen   nBnR -n  Cn senn  Dn cosn
n=1

 C' 0  nA nRn  Cn senn  Dn cosn,
n=1
linealmente independientes, se derivan las relaciones:
C' 0  0 ,
E 0R  B1C1R 1   A 1 C1 R ,
B n CnR -n  A n CnR n para n  2 , y
B nDnR -n  A nDnR n para n  1;
y de la ecuación 130, tenemos:
(133)



 0  E 0 cos    nBnR - n -1Cn cosn  Dn senn
n =1




    nA nRn -1Cn cosn  Dn senn ,
n =1

de donde se obtienen las relaciones:
  0E 0   0B1C1R 2  A 1 C1 ,
  0Bn CnR -n-1  A n CnR n-1 para n  2 , y
  0BnDnR -n-1  A nDnRn-1 para n  1.
(134)
A partir de las relaciones indicadas en 133 y 134 se obtienen los valores para las
constantes:
B1C1  E 0R 2
  0
,
  0
2 0
,
  0
B n Cn  A n Cn  0 para n  2 , y
B nDn  A nDn  0 para n  1.
A 1 C1  E 0
Con esto, las funciones de potencial eléctrico resultantes para el interior y el exterior son,
respectivamente:
Vi r,   A 0  E 0
2 0
r cos ,
  0
Ve r,   V0  E 0r cos  E 0R 2
   0 1
r cos ;
  0
(135)
(136)
de donde, al agrupar en términos de las funciones seno y coseno de n, que son
linealmente independientes, se derivan las relaciones:
Ei  E 0
E e  E 0 ˆi  E 0
2 0
ˆi ,
  0
  0 R2
cosrˆ  senˆ .
  0 r 2
(137)
(138)
Es decir que el campo eléctrico es uniforme en el interior, mientras que el campo en el
exterior es el campo uniforme original más un campo asociado con la polarización del
material. En la figura 9 se muestran las líneas de campo eléctrico y las líneas
equipotenciales correspondientes.
Y/R
X/R
Figura 9. Líneas de campo y equipotenciales en el interior
y exterior de un cilindro dieléctrico.
Dependencia en las Tres Coordenadas Cilíndricas.
La Ecuación de Laplace en función de las coordenadas cilíndricas es:
 2 V r, , z  
1   V  1  2 V  2 V
 2  0.
r

r r  r  r 2  2
z
(139)
Considerando como solución mediante el método de separación de variables, con el
potencial en la forma:
Vr, , z   f1r f2 f3 z ,
(140)
al sustituir en la Ecuación de Laplace tenemos:
1 d  df1 r  
1 d2 f2 
 1 d2 f3 z 

  2 ,
r
 2
rf1 r  dr  dr  r f2  d2
f3 z  dz 2
(141)
siendo b2 una constante de separación. La parte de la ecuación que corresponde a la
coordenada Z:
d2 f3 z 
dz 2
  2 f3 z   0 ,
(142)
tiene como solución:
f3 z  Aez  Be-z .
(143)
Por otra parte, los términos de la ecuación correspondientes a las coordenadas r y , se
pueden escribir como:
d  df1 r  
1 d2 f2 
 n2 ,
r
   2r 2  
f1 r  dr  dr 
f2  d 2
r
(144)
siendo n2 una segunda constante de separación. Con esto las ecuaciones separadas
para cada variable son, para :
d2 f2 
d 2
 n 2 f2   0 ,
(145)
con solución:
f2   Cein  De-in  C cosn  Dsenn ;
(146)
y para r, se tiene la ecuación:
r
d  df1 r  
r
   2r 2  n 2 f1 r   0 ,
dr  dr 


(147.a)
conocida como la Ecuación de Bessel, que en ocasiones es escrita en la forma:
r2
d2 f1 r 
dr
2
r
df1 r 
  2r 2  n 2 f1 r   0 .
dr


(147.b)
La solución de la Ecuación de Bessel tiene como solución general una combinación lineal
de las funciones de Bessel, Jn(br), y las funciones de Neumann, Nn(br),
f1r    En Jn r   FnNn r .
(148)
n
Las funciones de Bessel se pueden expresar en forma de serie:
Jn r  
 1s

r
 s! n  s!  2 
n + 2s
,
s =0
(149.a)
o de manera integral:
Jn r  

1
cosn  rsend .
 0
(149.b)
Las funciones de Bessel oscilan pero no son periódicas, mientras que su amplitud
decrece como r-1/2. La figura 10 muestra la gráfica de algunas de las funciones de Bessel.
Las funciones de Bessel con n negativo son dependientes de las funciones con n
positivo, y satisfacen la relación de recurrencia:
J- n r    1 Jn r  , con n entero.
n
(150)
Otra relación de recurrencia en términos de derivadas de las funciones es:


d r -nJn r 
 r -nJn+1r  .
dr
(151)
Figura 1. Gráfica de las funciones de Bessel: J0(r) a J2(r).
Cuando se trabaja con las funciones de Bessel para ajustar a las funciones a las
condiciones de frontera, supongamos en un radio R, los valores en los cuales las
funciones son cero son importantes. En la tabla III se muestran algunos de los valores de
r para los cuales las funciones de Bessel J0(r) a J5(r) se anulan.
Las funciones de Bessel son ortogonales, y esto se expresa considerando a las
funciones con un argumento de anp, la p-ésima raíz del la función n-ésima de Bessel,
como, Jn(anp r/R), de tal manera que:
0 si p  q ,
  np r    nq r 

 Jn  R Jn  R rdr   R 2  Jn+1  np
 2 
0


R
  2 si p = q .
Número de
cero
1
2
3
4
5
J0(r)
J1(r)
J2(r)
J3(r)
(152)
J4(r)
2.4048
3.8317
5.1356
6.3802
7.5883
5.5201
7.0156
8.4172
9.7610
11.0647
8.6537
10.1735
11.6198
13.0152
14.2725
11.7915
13.3237
14.7960
16.2235
17.6160
14.9309
16.4706
17.9598
19.4094
20.8269
Tabla I. Ceros de funciones de Bessel.
J5(r)
8.7715
12.3386
15.7002
18.9801
22.2178
Por otra parte, las funciones de Neumann están definidas en términos de las
funciones de Bessel, para n entero, como:
Nn r  
1  Jn r 
n J- n r  
  1
.

  n
n 
(153.a)
Sustituyendo a las funciones de Bessel en forma de serie (ecuación 149.a), se tiene a las
funciones de Neumann
Nn r  
1
r
2Jn r ln  

2
 1s  r  2s +n Fs  Fs  n  n -1 n  s  1!  r  2s +n  ,

 s!  2  
s = 0 s! s  n!  2 
s =0


(153.b)
siendo

1
 1
Fs      
 ,
i
i =1  s + i
(154)
la función Digamma, con  la constante de Euler-Macheroni, cuyo valor es de
0.577215664901... . En la ecuación 153.b se pone de manifiesto la dependencia
logarítmica de las funciones de Neumann, por lo que cualquier problema que tenga una
condición para que la solución sea finita en el origen hará que los términos de las
funciones de Neumann en la solución 148 desaparezcan. La figura 11 muestra algunas
de las funciones de Neumann.
Figura 2. Gráfica de las funciones de Neumann N0(r) a N2(r).
La solución general de la Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas es
entonces:


Vr, , z   Aez  Be-z Cn cosn  DnsennEnJn r   FnNn r .

n
(155)
Ejemplo 3. Determinar el potencial eléctrico en el interior de un cilindro de radio R y
longitud L, el cual tiene un potencial V0 en la tapa superior, y cero en el resto de la
superficie.
Solución 3. Las condiciones de frontera en este caso se refieren al potencial en las tapas
y el la superficie lateral, dadas por:
(a)
En z = 0, el potencial eléctrico es:
V r, ,0   0 ,
(b)
En z = L, el potencial eléctrico es:
Vr, ,L   V0 ,
(c)
(156)
En r = R, el potencial eléctrico es:
(157)
V R, , z   0 ,
(d)
(158)
Además, el potencial eléctrico debe de ser finito para cualquier punto en el
interior, lo que significa que los términos de las funciones de Neumann no deben
aparecer.
Al aplicar la condición de frontera 156 a la parte correspondiente a la variable Z de
la solución tenemos que
B  A ,
por lo que la dependencia en esta variable se puede rescribir como:


f3 z  A ez  e-z  2Asenhz .
La condición para el potencial en la superficie cilíndrica, corresponde a una
condición para los valores del argumento, R, tal que las funciones de Bessel sean nulas,
esto es que
nm 
nm
,
R
siendo nm la m-ésima raíz de la n-ésima función de Bessel. El aspecto de la solución de
la Ecuación de Laplace hasta este punto es:
V r, , z  


  nm r 
 z
senh nm Cnm cosn  Dnm senn .
R 
 R 
  Jn 
n=0 m=1
(159)
La aplicación de la condición de frontera para z = L (ec. 157), conduce a la
expresión:
 
 r
 L
V r, ,L     Jn  nm senh nm Cnm cosn  Dnm senn  V0 ,
 R 
n=0 m=1  R 
(160)
a partir de la cual se determinan los valores para los coeficientes Cnm y Dnm, de la
siguiente manera. Multiplicando por
cosp
e integrando en  desde 0 hasta 2, dada la independencia lineal de las funciones
armónicas, solo queda el término del cos(n ) con n = p del lado izquierdo; mientras que
del lado derecho la integración es nula, por lo que los valores de los coeficientes de las
funciones cos(n) son nulos, excepto para n = 0, los que no se tienen determinados aún.
De manera análoga, al multiplicar por
senp
e integrar, resulta que todos los coeficientes de las funciones sen(n) son nulos.
Entonces, la forma de la solución, bajo la condición para z = L, es:

  0m r 
 L
senh 0m   V0 .

R 
 R 
 C0m J0 
m=1
(161)
Multiplicando por
  0q r 

rJ0 

 R 
e integrando en r desde 0 hasta R, dada la independencia lineal de las funciones de
Bessel (ec. 152), se tiene los valores de los coeficientes
C 0m 
2V0
R
R 2 J1  0m  senh
0
 R 
2
  0m r 
dr .
R 
rJ0 
  0m L   
(162)
Para evaluar la integral consideramos la relación de recurrencia 151 con n = -1,
rJ0 r   
drJ-1r 
.
dr
La función de Bessel con n = -1, se escribe en términos de la de n = 1 a partir de la
relación de recurrencia 150,
J-1r   J1 r  ,
de tal manera que la integral de la ecuación 162 resulta:
 R
  0m r 
 rJ0  R dr    0m
0
R
 R
 
  0m
 R
 
  0m
 R2


 0m







2  0m
 uJ0 udu
0
2  0m

0
duJ1 u
du
du
2

 uJ1 u0



J1  0m  .


0m
Por lo tanto los coeficientes son:
C0m 
2V0
 L
 0m J1  0m senh 0m 
 R 
;
y el potencial eléctrico:
Vr, , z 


2V0
 L
m=1
 0m J1  0m senh 0m 
 R 
 r
 z
J0  0m senh 0m  .
R


 R 
(163)
La solución no depende de la coordenada , como es de esperarse dada la simetría
alrededor del eje Z. La figura 12 muestra la gráfica de las líneas equipotenciales,
considerando solo los primeros 5 ceros de la función de Bessel J 0(r), con L = 2, y R = 1.
Figura 3. Gráfica de líneas equipotenciales en el cilindro.