Determine el período de las pequeñas oscilaciones de un trozo de alambre de radio r, densidad lineal . Ver figura. Y O X r O’ Para resolver el problema se puede utilizar la formulación lagrangiana. En ella hay que: 1. los grados de libertad del sistema, 2. elegir las coordenadas generalizadas correspondientes, 3. expresar la energía cinética y potencial en función de dichas coordenadas generalizadas 4. construir la lagrangiana 5. y resolver las ecuaciones de movimiento de Lagrange. Este sistema posee un solo grado de libertad, por lo que sólo se necesita una única coordenada generalizada que tomaremos como el ángulo , indicado en la figura Y O X CM r Como sabemos la Lagrangiana, L , viene dada por la diferencia entre la energía cinética, T , y la potencial, V . La energía cinética será la correspondiente a la rotación entorno del punto O: 1 T I o 2 2 y la potencial será: V mg l sen (1) (2) donde l es la distancia del Centro de Masas del trozo de alambre al punto de suspensión O. Por tanto, la lagrangiana vendrá dada por 1 L T V I o 2 m g l sen . 2 (3) Y la ecuación de movimiento será d L L 0; I o m g l sen =0 dt (4) Que para pequeñas oscilaciones queda como: mgl =0 Io (5) Ecuación que se corresponde con un movimiento armónico simple de período Io . mgl 2 (6) Por tanto, para dar una expresión definitiva, y más adecuada del período hemos de determinar la distancia del punto de suspensión al centro de masas y el momento de inercia del trozo de alambre respecto del punto de suspensión. Primero determinemos la posición del centro de masas. Para ello consideremos un sistema de ejes paralelos a los que se presentan para el punto O, pero centrados en O’. Si se utilizan coordenadas angulares medidas a partir del eje Y con centro en O’ tendremos para la posición y del centro de masas la expresión myCM ydm= r cos rd = r 2 2 cos d = r sen y por tanto yCM r 2 r 2sen (7) sen (8) al se la masa del alambre m 2 r . Por lo tanto, la distancia del punto de suspensión al centro de masas será sen l r 1 . (9) Finalmente hemos de determinar el momento de inercia I o . Para ello utilizaremos el teorema de Steiner: (10) I ICM md 2 Que nos da el momento de inercia respecto de un eje conocido el de un eje paralelo al mismo y que pase por el centro de masa y la distancia d entre ambos ejes. Esta expresión nos permite determinar el momento de inercia respecto del centro de 2 masas a partir del momento de inercia respecto del punto O’, I O ' mr , I CM y por tanto 2 sen 2 sen 2 IO ' m r mr 1 (11) I o I CM 2 sen 2 sen 2 mr 1 mr 1 2 2 sen sen sen mr 2 1 2 2mr 2 1 Es decir, I0 2mrl . (12) (13) De donde finalmente el período será 2 Io 2mrl 2r 2 2 . mgl mgl g (14)