PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA1
Lorenzo Castro Gómez2

¿Qué se entiende por variable aleatoria? La palabra aleatoria3 es difícil de definir y
se emplea en el español común en múltiples acepciones. Adoptaremos la siguiente
definición:

DEFINICIÓN. Una variable aleatoria pose cuatro propiedades:
o Adopta un solo valor específico
o No sabemos de antemano que valor adoptará
o Pero sí conocemos los valores que puede adoptar
o Conocemos la probabilidad de que adopte alguno de esos valores posibles.

DEFINICIÓN. Una variable aleatoria que adopta un número finito de valores recibe
el nombre de variable aleatoria discreta. La representamos con un diagrama muestre
todos los resultados posibles junto con sus posibilidades. El diagrama es la función
de masa de probabilidades de la variable aleatoria.
o Ejemplo: lanzar un dado de seis lados –no cargado- la probabilidad es 1/6, o
sea aproximadamente 0.1667 (16.67%), si el dado está cargado la
probabilidad no será la misma.
o La función de masa de probabilidad posee algunas propiedades simples, que
podemos describir con términos algebraicos. Sea X la variable aleatoria, sea
Xi un resultado posible de ella, sea I el conjunto de todos los resultados
posibles y sea P(Xi) la probabilidad de que el resultado Xi ocurra. Entonces
debe ocurrir que
I P(Xi) = 1
Es decir, la suma de la probabilidad de todos los resultados posibles debe ser
igual a 1, se garantiza que un resultado y solo uno ocurrirá. También puede
suceder que, P(Xi)  1

DEFINICIÓN. Una variable aleatoria capaz de asumir cualquier valor de un
conjunto recibe el nombre de variable aleatoria continua. Podemos representarla con
una gráfica que muestre la probabilidad que adoptará un valor en cualquier parte de
su rango. A esta gráfica se le conoce con el nombre de función de densidad de
probabilidades de la variable aleatoria. (es un número infinito de valores posibles)
Notas basadas en el libro de Schmidt J. Stephen. Econometría Ed. Mc Graw Hill, México 2005. Págs. (29 –
49). Nota. Es lo más básico que se debe saber sobre probabilidad, para iniciar un curso de Econometría.
2
Profesor del Departamento de Economía Agrícola, de la División de Ciencias Socioeconómicas de la
Universidad Autónoma Agraria Antonio Narro. Buenavista Saltillo, Coahuila México. 2007.
3
Según el diccionario de la Real Lengua Española, del latín aleatorius, propio del juego de dados. Adj.
Perteneciente o relativo al juego de azar, dependiente de algún suceso fortuito.
1
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
Pongamos el caso de una variable aleatoria U que puede asumir cualquier valor
entre 0 y 1, teniendo todos ellos la misma probabilidad de ser iguales. Se le conoce
como variable aleatoria uniforme.  (Ui) = 1 si 0< Ui < 1 ,  (Ui) = si Ui < 0 o Ui >
1.

DEFINICIÓN. La función empírica de la densidad de una variable aleatoria (o la
función empírica de masa de una variable discreta) es un diagrama basado en una
muestra de valores observados de los valores realizados de la variable, que muestran
el porcentaje de veces que cada uno ha sido observado si la variable es discreta o el
porcentaje de veces que ha caído en varios intervalos si es continua.

DEFINICIÓN. La función de distribución acumulada de una variable aleatoria X es
una gráfica que asocia todos los valores posibles, o el intervalo de valores posibles,
con la probabilidad de que X sea menor o igual a Xi. Todas estas funciones
presentan varias características comunes. Como se trata de probabilidades, siempre
oscilan entre 0 y 1, es decir, 0  F(Xi)  1, donde F(Xi) es la función de densidad
acumulada; además siempre son funciones crecientes. Ello se debe a que si
consideramos dos valores posibles X y Y; y X< Y, entonces la probabilidad de
obtener un valor realizado menor de Y ha de ser mayor que la de obtener otro menor
de X; todos los valores menores de X son menores de Y, aunque algunos valores
menores que Y son mayores que X. Por lo tanto, para toda función de distribución
acumulada F, si X< Y, entonces F(X)  F(Y) y la función será creciente.

DEFINICIÓN. El valor medio de una variable discreta X se calcula con:  = I Xi *
P(Xi), donde I es el conjunto de todos los resultados posibles. El valor medio de una
variable aleatoria continua se calcula con:  = I X * P(X)dX, Con esta ecuación
calculamos el valor esperado del resultado de lanzar un dado legal, y descubrimos
que:  = 1(0.167) + 2(0.167) + 3(0.167) + 4(0.167) + 5(0.167) + 6(0.167) = 0.167 +
0.333 + 0.5 + 0.667 + 0.833 + 1 = 3.5

TEOREMA. La ley de los grandes números: supongamos que observamos varias
veces distintos valores realizados de una variable aleatoria y que calculamos el
promedio de ellos. Este promedio tenderá a aproximarse al valor esperado. Cuantas
más veces observemos la variable, más cercano será el promedio. Se puede
demostrar que esto es verdadero. Sea N el número total de veces que observamos la
variable aleatoria, y Ni sea el número de veces que observamos el resultado i.
Entonces Ni será aproximadamente igual a N * P(Xi) y el total de todas las
observaciones será  Xi * Ni = Xi * N * P(Xi). Al dividir el total entre N para
calcular el valor promedio, se obtiene Xi * P(Xi), que es la misma ecuación que el
valor esperado.

DEFINICIÓN. Para una variable aleatoria discreta la varianza 2 se calcula por
medio de 2 =  (Xi - )2 * P(Xi). Para una variable aleatoria continua la varianza
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se calcula por medio de 2 = I (X - )2 * P(X) dX. Donde P(Xi) es la probabilidad
del resultado i, como antes, y el valor medio  se calcula con la ecuación  = I Xi
* P(Xi), o  = I X * P(X)dX.

DEFINICIÓN. La desviación estándar  de una variable aleatoria es igual a la raíz
cuadrada de su varianza. La desviación estándar utiliza la raíz cuadrada para anular
la elevación al cuadrado en la ecuación de la varianza. Es por tanto, en cierto modo,
la diferencia promedio entre Xi y ; más exactamente es la raíz cuadrada de la
media del cuadrado de la diferencia. Con estas ecuaciones podemos calcular la
varianza y la desviación estándar del lanzamiento de un dado legal. El valor medio
, calculado antes, es de 3.5 y la probabilidad de cada resultado es 1/6. Por tanto, la
varianza será I (Xi – 3.5)2 (1/6), o bien (1-3.5)2 / 6 + (2-3.5)2 / 6 + (3-3.5)2 / 6 + (43.5)2 / 6 + (5-3.5)2 / 6 + (6-3.5)2 / 6 que nos da aproximadamente 2.971. La
desviación estándar es la raíz cuadrada de esta expresión, la cual es
aproximadamente 1. 708. Esto significa que debemos suponer que el dado caerá
cerca de 1.708 lejos de su valor promedio de 3.5, lo cual es más o menos correcto.

Una de las funciones de densidad de probabilidades mas usadas en econometría, es
la distribución normal, llamada también curva de campana. Es una distribución con
media 0 y una desviación estándar de 1, conocida como desviación normal
estándar, la cual esta dado por la ecuación
1
f Xi
e
X 21 2
2
En general, la función de densidad de probabilidad
de una variable aleatoria distribuida normalmente y con una media  y una
varianza 2 es
X
1
f Xi
2
21 2
e
2
Si X es una variable aleatoria que presente dicha
distribución, escribiremos X  N (, 2), donde el símbolo  indica una
descripción de la función de densidad de probabilidad de la variable X,
donde N indica que dicha función es la función normal dada por la ecuación
anterior,  y 2 son la media y la varianza de X, respectivamente. Si ocurre
que X tiene la función de distribución normal estándar, escribiremos X  N
(0, 1).

TEOREMA. Supongamos que una variable X presenta una distribución
normal con media  y una varianza 2 y que deseamos conocer la
probabilidad de que X sea menor que cierto valor X*. Entonces calcule lo
siguiente Z = X* -  /  , la probabilidad de que X sea menor que X* es igual
a la que la variable aleatoria normal estándar sea menor que Z. Ejemplo.
Supongamos que X está distribuida normalmente con una media de 25 y una
varianza de 16; supongamos además que queremos conocer la probabilidad
de que X sea menor que 19. Primero calculamos Z = X* -  /  = 19 –25
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/16 = -6/4 = - 1.5, después buscamos 1.5 en la tabla de distribución normal
estándar y observamos que su valor es de 0.0668. Por tanto, la probabilidad
de que una variable aleatoria normal estándar sea menor de – 1.5 será
6.68%, el teorema indica que la probabilidad que X sea menor de 19 también
es de 6.68%. ¿Qué significa Z? Es la diferencia entre X* y  dividida entre la
desviación estándar de X, o sea es el número de desviaciones entre X* y .

DEFINICIÓN. La función de densidad conjunta de probabilidades de dos
variables aleatorias X y Y depende de una función tal que la superficie bajo
de cualquier intervalo de valores de X y de cualquier intervalo de valores de
Y sea igual a la probabilidad de que los valores de las dos caigan dentro de
sus intervalos respectivos. Ejemplo, lanzamos dos monedas: cara cara, cara
cruz, cruz cara y cruz cruz

DEFINICIÓN. Para dos variables aleatorias discretas X y Y, con media x y
y , la covarianza de las dos variables aleatorias es: xy = IJ (Xi - x) * (Yj y) * P(Xi , Yj) donde Xi y Yj son los valores posibles de X y Y, I, y J son el
conjunto de todos los valores posibles de X y de Y, donde P(Xi, Yj) es la
función de densidad conjunta de probabilidades de X y de Y. Para dos
variables continuas la covarianza es xy = IJ (Xi - x) * (Yj - y) * P(X ,
Y)dYdX. El valor numérico de la covarianza de X y de Y depende de sus
desviaciones estándar.

DEFINICIÓN. Para dos variables aleatorias X y Y, cuyas medias son x y
y, su correlación sea: xy = xy / x y la correlación xy posee la útil
propiedad de que no depende de la escala de X ni de Y, pues siempre se
halla entre – 1 y 1.
RESUMEN.




Muchas variables económicas importantes son aleatorias: no sabemos que
valores adoptarán, pero sí conocemos todos los valores que pueden
asignársele a cada una.
El valor realizado de la variable aleatoria es el que adopta en realidad.
La función de densidad de probabilidades es una gráfica que muestra todos
los valores posibles y la probabilidad de que ocurran.
La función de distribución acumulada es una gráfica que muestra todos los
valores posibles y la probabilidad de que el valor realizado sea menor que
ellos.
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


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
El valor medio es una medida de valor que una variable aleatoria debería
tomar. Sí uno observa muchas veces la variable aleatoria, el promedio de los
valores observados tenderá a aproximarse al valor promedio.
La desviación estándar es una media de cuánto se acercará una variable
aleatoria a su media; la varianza es el cuadrado de la desviación estándar.
Las variables aleatorias normales son un tipo frecuente e importante de
variables aleatoria, cuya función de densidad de probabilidades es la
conocida curva de campana.
Para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria normalmente
distribuida esté por arriba o por debajo de una variable aleatoria, usamos la
tabla de distribuciones normales que contiene la probabilidad de una
variable aleatoria normal esté a cierto número de desviaciones estándar
arriba o debajo de su valor medio.
La covarianza y la correlación de dos variables aleatorias miden la extensión
a la cual sus valores realizados tienden a crecer y disminuir, al mismo
tiempo o en sentido contrario.
PROBLEMA.
Sí lanzamos dos dados –legales- y la suma de sus resultados, es una función de masa de
probabilidades, determine:
a) ¿Qué probabilidades hay de que salga un 6, un 7, o un 8?
b) ¿Qué probabilidades hay de que salga un número mayor de 9? ¿y menor que o
igual a 5?
c) Calcule el valor medio, la varianza y la desviación estándar de esta variable
aleatoria.
d) Encuentre y elabore una gráfica de la función de distribución acumulada de la
variable aleatoria.
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LA ESTIMACIÓN4
La estimación es el proceso que consiste en datos para calcular un valor que
utilizaremos cuando necesitamos considerar la media y la varianza de una variable
aleatoria u otro número inobservable cualquiera de cuyo valor debemos hacernos
una idea. El análisis econométrico consiste esencialmente en desarrollar y aplicar
métodos eficientes para calcular las estimaciones de parámetros económicos cuyo
valor desconocemos. Si podemos estimar las funciones de distribución de esas
variables, estaremos en condiciones de aconsejar cómo tomar las decisiones.
DEFINICIÓN. Si tenemos una variable aleatoria X con media µ y varianza σ2, y
con una muestra de N observaciones de los valores realizados Xi, el estimador de
la media de X será
N
1
Xi
N
Xi
i 1
DEFINICIÓN. Dada una variable aleatoria X cuya media es µ y cuya varianza es σ 2
y con una muestra de N observaciones de valores realizados Xi, el estimador de
2
de la varianza de X será:
2
N
1
N 1
Xi
2
i 1
En general, habrá una conexión entre el intervalo de valores realizados Xi y la
varianza estimada. Cuando mayor sea el intervalo de los valores observados de Xi,
2
más grandes serán los valores de (Xi - ) y también
. Por tanto, si observamos
una dispersión más amplia de valores observados, obtendremos una gran varianza
estimada; y si observamos poca difusión, obtendremos poca varianza estimada.
Nótese que dividimos entre N – 1, no entre N. Lo hacemos porque vamos a calcular
no la diferencia entre Xi y su valor medio µ (porque no lo conocemos), sino la
diferencia entre Xi y nuestra estimación de la media .
PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES DE LA MEDIA
TEOREMA 1. El valor esperado de
la respuesta correcta.
4
es µ. Nuestro estimador nos dará en promedio
Op. Cit., págs. 56 – 75.
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TEOREMA 2. El valor esperado de una suma de términos es igual a la suma de sus
valores esperados, es decir E(A+B+C) = E(A) + E(B) + E(C).
2
TEOREMA 3. La varianza de , que se escribe como
está dada por:
2
2
N
Y su desviación estándar es
N
DISTRIBUCIÓN DEL ESTIMADOR DE LA MEDIA
TEOREMA 1. Supongamos que X tiene una distribución normal, es decir X  N (,
2). Entonces el valor promedio de
es una muestra de N observaciones de X
presentará la misma distribución, o sea  N (, 2/N). Nota se usa la tabla de
distribución normal para una mayor o menor.
TEOREMA 2. Del límite central: supongamos que una variable aleatoria X presenta
una distribución desconocida, es decir, X  (, 2), sin que su distribución sea
necesariamente normal. Entonces, el valor promedio
de una muestra de N
observaciones de X presenta una distribución aproximadamente normal, esto es, 
N (, 2/N). A un mayor número de observaciones corresponde una aproximación
más adecuada. Nota. No importa la distribución de la variable aleatoria X; ni
siquiera es necesario conocerla.
TEOREMA 3.
Supongamos que X es una variable aleatoria distribuida
normalmente con una media µ y con una varianza desconocida σ2. Entonces el
estadístico t de la probabilidad de que sea menor que un valor dado X* se calcula
mediante:
x
t
2
Y t es una variable aleatoria que sigue la distribución t.
TEOREMA 4. Los grados de libertad (gl) del estadístico t están dados por el
número de observaciones (N) de la muestra que generó el valor de esté, menos el
número de parámetros estimados para calcular el estadístico. Para estimar una
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media los grados de libertad son N – 1, porque el cálculo de
estimado de
requiere un valor
.
INTERVALOS DE CONFIANZA
DEFINICIÓN. Un intervalo de confianza de porcentaje Q es la escala de valores
que µ podría asumir por lo cual, la probabilidad de observar un valor medio al
menos tan cercano de µ como
TcP
no es mayor que Q. puede calcularse mediante:
,
TcP
Donde p = (1-Q) /2 es la probabilidad de que
este fuera del intervalo de
P
confianza en un lado particular, y Tc es el valor crítico de la probabilidad p del
número apropiado de grados de libertad.
Consultar: las distribuciones de los cuadrados de variables aleatorias normales.
a) Para la distribución chi cuadrada χ2
b) Para la distribución F
RESUMEN.
 Estimación es el proceso de utilizar una muestra de datos para obtener
valores estimados para los parámetros desconocidos de un modelo
estadístico.
 El estimador de la media de una variable aleatoria es el valor promedio
de una muestra de valores realizados de la variable.
 El estimador de la media generalmente ofrece la respuesta correcta y
podemos calcular su varianza y su desviación estándar. Cuanto más
grande sea la muestra, menores serán las varianzas y la desviación
estándar.
 Si una variable aleatoria presenta una distribución normal, también la
presentará el estimador de su media.
 Aun cuando una variable aleatoria no tenga una distribución normal, el
estimador de su media sí la tendrá. A un mayor tamaño de la muestra
corresponde un resultado más exacto (teorema del límite central).
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 El teorema de límite central nos permite calcular la probabilidad de
obtener valores particulares del estimador, consultando la tabla de
distribución normal.
 En cualquier muestra de datos algunas suposiciones sobre el valor
verdadero de la media hacen probable el estimador observado; otras lo
hacen improbable.
 El intervalo de confianza es el conjunto de todos los valores posibles de
la media verdadera que tienen, al menos una, posibilidad porcentual de
producir el estimador observado.
 La suma de los cuadrados de las variables aleatorias normales estándar
toma la distribución chi cuadrada (χ2). Si las variables aleatorias
normales no son estándar, pero conocemos su varianza, podemos
transformarlas y las variables transformadas adoptan la distribución χ2 .
Si no conocemos la varianza, podemos transformarla mediante la
varianza estimada; entonces, las variables transformadas adoptan la
distribución F. Las distribuciones χ2 y F están relacionados del mismo
modo que las distribuciones normal y t lo están.
PRUEBA DE HIPÓTESIS5
1. HIPÓTESIS NULA
Para entender cómo se convierte una hipótesis económica en una hipótesis econométrica, es
preciso conocer la estructura de esta última. La hipótesis econométrica consta de dos partes:
un parámetro del modelo económico y un valor que adoptaría en caso de que la hipótesis
económica fuese verdadera (o, a veces, falsa).
DEFINICIÓN. La hipótesis nula, que escribimos H0, es una hipótesis econométrica
con la forma
H0 : µ = k
Es decir, algún parámetro µ de un modelo económico asume exactamente un
determinado valor k.
DEFINICIÓN. La hipótesis alterna, que se escribe HA, es una hipótesis
econométrica que esperamos sea verdadera si la hipótesis nula no lo es. Adopta
cualquiera de varias formas:
HA : µ ≠ k
o
HA : µ > k
o bien
HA : µ < k
o posiblemente otras formas dependiendo de los valores de µ permitidos por el
modelo económico subyacente.
5
Op. Cit., págs.. 80 - 93
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Nótese que la hipótesis nula contiene una igualdad: se prevé que el parámetro µ adapte
exactamente cierto valor k, no otro cualquiera. Por el contrario, la hipótesis alterna no
necesariamente es una igualdad; puede ser una desigualdad. ¿Por qué? Porque podemos
predecir un valor para nuestro estimador solo si tenemos presente un valor especifico
para µ. Si nuestra idea de este valor es errónea, no sabremos qué valores podría adoptar .
La hipótesis nula nos da un valor especifico para µ. La estrategia para probarla será la
entonces la siguiente:
1. Suponga que la hipótesis nula sea verdadera, es decir, que µ = k.
2. Calcule la distribución de
basándose en la hipótesis anterior.
3. Pruebe si la muestra nos da un valor para
calculamos.
que sea probable con la distribución que
4. Si el valor obtenido para es muy poco probable, rechazaremos la hipótesis nula;
si es probable, no la rechazaremos.
2. PRUEBA DE LA HIPÓTESIS NULA
Para probar la hipótesis nula tenemos que poder calcular un para estimar el valor de µ y
debemos conocer su varianza, pues solo así sabremos si está próximo al valor k al que
debería acercarse según la hipótesis nula. Y la varianza se calcula con
2
k 1 k
N
El cual nos indica cuan cercana esperemos que la fracción muestral de empleados esté de k,
el supuesto valor verdadero.
3. DECISIÓN DE RECHAZAR O NO LA HIPÓTESIS NULA
DEFINICIÓN. El nivel de significancia de una prueba es la probabilidad de observar
una muestra que nos hará rechazar la hipótesis nula si ésta es verdadera.
DEFINICIÓN. El valor p del resultado de una prueba es el nivel de significancia donde
empezamos a rechazar la hipótesis nula. A un nivel más alto la rechazamos; a un nivel
más bajo no lo haremos.
DEFINICIÓN. La región de rechazo de una hipótesis es el conjunto de todos los valores
del estadístico de la prueba que nos obligará a rechazar la hipótesis nula.
4. TAMAÑO Y LA POTENCIA DE LAS PRUEBAS
DEFINICIÓN. Se llama error de tipo I a rechazar una hipótesis nula verdadera. El
tamaño de una prueba es la probabilidad de que rechacemos la hipótesis nula cuando es
verdadera.
DEFINICIÓN. Se llama error tipo II a no rechazar una hipótesis nula falsa. La potencia
de una prueba es la probabilidad de que rechacemos la hipótesis nula cuando es falsa,
esto es, la probabilidad de que no cometamos un error de tipo II.
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RESULTADOS POSIBLES DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS
Hipótesis nula verdadera: µ = Hipótesis nula falsa: µ ≠
k
k
No rechazar la hipótesis Decisión correcta
Decisión
incorrecta:
nula
Error de tipo II
Rechazar hipótesis nula
Decisión incorrecta: Error de Decisión correcta.
tipo I
5. PRUEBAS CON ESTIMACIONES DE LA VARIANZA
TEOREMA. Si X y Y son dos variables aleatorias con la misma varianza σ2 y si
estimamos su varianza con la muestra de N y las observaciones de M, respectivamente,
2
entonces la proporción de las estimaciones de su varianza,
F con N – 1 grados de libertad en el denominador.
2
X
Y
, adopta la distribución
6. REPASO
a. A fin de probar una hipótesis económica debemos transformarla en una
hipótesis econométrica basada en un modelo económico, en que la primera
indica un valor particular de uno o más parámetros del modelo. Después los
estimamos y comprobamos si el valor estimado coincide con la hipótesis
econométrica.
b. La hipótesis nula establece que los parámetros adoptan el valor indicado por la
hipótesis económica. La hipótesis alterna establece que no es así, sino que
adopta algún otro valor o serie de valores. Suponemos que la hipótesis nula es
correcta y luego verificamos si los datos apoyan nuestra suposición. Si no la
apoyan la rechazamos, y esto nos deja sólo la hipótesis alterna. Cuando los datos
son congruentes con la hipótesis nula, no la rechazamos.
c. El nivel (o tamaño) de significancia, de una prueba es la posibilidad de que
rechacemos una hipótesis nula verdadera. La potencia de la prueba es la
probabilidad de que la rechacemos si es incorrecta.
d. La región de rechazo de una prueba es el intervalo de los valores estimados del
parámetro en cuestión que nos hará rechazar la hipótesis nula.
e. La prueba de una cola sitúa la región de rechazo enteramente en una cola de la
distribución del estimador. Una prueba de dos colas sitúa parte de la región en
ambas colas. Recurriremos a una prueba de una cola cuando estemos seguros de
que la hipótesis nula, si es correcta, lo será exclusivamente en una dirección. De
lo contrario utilizamos una prueba de dos colas.
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