GUIA DE CLASE Nº 4

UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
ASIGNATURA
: ESTADISTICA APLICADA I
PROFESORES
: ILMER CONDOR
PERIODO ACADEMICO : 2005 – I
GUIA DE CLASE Nº 4
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Hemos dicho que una variable aleatoria X es continua si su espacio rango, X, es un
conjunto infinito.
Dijimos también que su espacio rango se representa por un intervalo.
Por ejemplo:
Supongamos que X representa, en promedio, el peso de un niño al nacer. En este no es
posible determinar todos los elementos del espacio rango (los valores de X). Sólo podemos
decir que dicho peso está entre 1.80 Kg y 3.60 Kg. Según esto, la variable aleatoria X tiene
por espacio rango el conjunto X = { x / 1.8 ≤ X ≤ 3.6 }.
Función de densidad de probabilidad de X
Sea X es una variable continua con X su espacio rango. Diremos que f es la función de
densidad de probabilidad de X si se cumple las siguientes condiciones:
i) f(x) ≥ 0  x  X
.
ii) 0 ≤ f(x) ≤ 1
iii)



f ( x)dx  1
Observaciones:
1. A la función de densidad se le conoce también como función de cuantía
2. Dada la función de densidad de una variable, dicha función debe cumplir las tres
condiciones
3. Si X  (a, b) entonces

b
a
f ( x)dx  1
En efecto:
Si X  (a, b) entonces X = { x / a ≤ X ≤ b }. Según esto,
xa
0

f ( x)   f ( x)
0

a xb
xb
Usando la tercera condición, tenemos:



a
b

b

a
b
a
f ( x)dx   0dx   f ( x)dx   0dx   f ( x)dx  1
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4. P(a ≤ X ≤ b) = P( a < X ≤ b) = P( a ≤ X < b) = P( a < X < b) =

b
a
f ( x)dx
En otras palabras, no interesa si el intervalo es abierto o cerrado.

P(X > c) = 
5. P(X < a) =
6.
a


c
f ( x)dx
f ( x)dx
Gráfica de la función de densidad
La siguiente es la gráfica de la función de densidad de probabilidad de una variable
b
a
Ejemplo 0
Si X es una variable aleatoria continua con una función de densidad f definida por
0  x 1
2 x
f ( x)  
en otros casos
0
Obtenga
a) Verifique que f sea la función de densidad de X sobre 0 < X < 1
b) Obtenga las siguientes probabilidades:
 P(X < 0)
 P(X < ½)
 P(X ≤ ½)
 P(X > 1/3)
 P(X >1/2 / X < 2/3)
c) Obtenga la gráfica de la función de densidad, f
Solución
a) Para que f sea la función de densidad de X, que está definida en 0 < X < 1, debemos
verificar que se cumpla las condiciones anteriores.
Como es fácil de ver, si 0 < x < 1  0 < 2x < 2  0 < f(x) < 2. Y como en otros
casos, f(x) = 0; entonces f(x) ≥ 0.
Se debe cumplir también que
1
 2xdx debe ser igual a 1.
0
Resuelva la integral y verifique que es igual a 1.
b) Usando el criterio de la tercera observación, resuelva las siguientes preguntas:
 P(X < 0 ) = ..................................................
 P(X < ½) = ..................................................
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


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P(X ≤ ½) = ..................................................
P(X > 1/3 ) = ..................................................
P( X  1 / 2  X  1 / 3)
P(X > ½ / X < 1/3) =
 ....................................
P( X  1 / 3)
c) Graficar f(x) = 2x, 0 < x < 1 es lo mismo que graficar y = 2x sobre (0, 1).
2
1
Ejemplo 1
Verifique si las funciones dadas son funciones de densidad de probabilidad de X
1
,0  x  2
6

1
a) f ( x)   ( x  1) ,2  x  4
6
otros
0


x

e
b) f ( x)  

0

1
c) f ( x)  

0
  x  0
otros
1
1
x
2
2
en otros
,
3
 (1  x ²)
d) f ( x)   4

0
,1  x  1
otros
Solución
En primer lugar se debe probar que f(x) ≥ 0. Compruebe que esto se cumple en cada uno
de los casos.
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
Veamos si


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f ( x)dx  1 también en cada caso
a) Complete la siguiente ecuación y al resolver debe obtener 1.

2
0
........dx  ....................dx
b) Al resolver
0
 e dx debe obtener como resultado, 1.
x

c) Verifique que el resultado sea 1
d) Proceda como en los casos anteriores.
Abra el archivo VaContinuas.xls, vaya a la hoja VaCont y haciendo uso de los botones
observe la gráfica de dos de las funciones de densidad, vistas líneas arriba.
Del mismo modo, vaya a la hoja Ejemplo b y d. Modifique los valores de los límites del
Espacio rango de la función y luego haga clic en el botón Graficar.
Ejemplo 2
Considere la siguiente función
kx , 0  x  2

f ( x )  k ( 4  x ) , 2  x  4
0
, otros casos

Hallar un valor de k para que f sea una función de densidad de probabilidad
Sugerencia
Aplique la segunda condición y al igualar a 1, resuelva la ecuación despejando k.
Ejemplo 3
Suponga que X es una variable aleatoria cuya función de densidad está representada por la
siguiente figura
1/
2
0
1
2
3
1
a) Si P( 13  x  a)  , det er min ar el valor de a
2
1
b) Calcule P(  x  2)
2
Solución
Ante todo debemos encontrar la función de densidad de X.
Como la gráfica de la función está formado por dos segmentos de recta, la función está
definida de una manera en el intervalo (0, 1) y de otra en el intervalo (1, 2).
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Como por matemática tenemos y = f(x) es la ecuación de una recta, encuentre la ecuación
de la recta que pasa por los puntos (0, ½) y (1, 1/2)
Del mismo modo, encuentra la recta que pasa por los puntos: (1, ½) y (3, 0).
Luego proceda a completar la siguiente definición de f
0  x 1
..............

f ( x)  .............
1 x  2
.............
otros casos

Ejemplo 4
Una estación gasolinera recibe provisión semanalmente. Las estadísticas anteriores
sugieren que la función de densidad de probabilidad de las ventas semanales X, medidas
en miles de galones, se aproxima a la función cuya gráfica se muestra en la siguiente
figura
(2,1)
1
y=-x + 3
y=x-1
0
1
2
3
a) Obtenga la función de densidad de X
b) Evalúe P(3/2 < X < 5/2 )
Solución
a) Complete la siguiente definición de f para dar respuesta a esta pregunta
1 x  2
......................

f ( x)  .....................
2 x3
.......
otros

b) Evalúe esta probabilidad usando probabilidad condicional
Ejemplo 5
Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por
, x  10

0
f ( x)   ( x 10 )
, x  10

e
a) Hallar k tal que X sea igualmente probable de ser mayor que k o menor que k.
b) Encuentre el valor de r tal que la probabilidad de que X sea menor que r, sea 0.05.
Solución
Caso a): El que tenga que ser igualmente probable mayor que k (X > k) con, menor que k
(X < k) significa que debemos hacer que P(X> k) = P(X < k)
Usando complemento en el primer miembro y pasando a integrales, resuelva la ecuación.
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Caso b) En este caso se dice que P(X < r ) = .................
Resuelva la ecuación pasando a integrales y luego despeje r para encontrar su valor.
Ejemplo 6
Supongamos que la variable aleatoria X representa la resistencia al corte de ensayos de
punto de soldadura, cuya función de densidad de probabilidad viene dada por
 x
,
0  x  500
 250,000

1,000  x
f ( x)  
,
500  x  1,000
 250,000
0
,
otros


Determinar el valor de a, tal que P(X < a ) = 0.50 y el de b, tal que P(X < b ) = 0.90.
Solución
Obtención del valor de a:
A qué es igual P(X < a)?.
a
500
a 1000 x
x
x
dx  0.5 ó 
dx  
dx  0.5
Será 
0 250,000
0
500 250,000
250,000
Si evaluamos la primera integral desde 0 hasta 500 encontraremos que P(0 <X<500)=0.5
Entonces P(X < a) = 0.5 debe implicar que el valor de a esté en el intervalo (0, 500).
De manera que debe resolver la primera integral para hallar el valor de a:
............................... ............................... ...............................
................................. ............................... ...............................
Obtención del valor de b:
Tomando en cuenta el razonamiento anterior, para hallar b debemos resolver la segunda
integral.
............................... ............................... ...............................
................................. ............................... ...............................
Ejercicio 1
Una misilera antiaérea lleva tres misiles que deben ser disparados contra una línea férrea
que se extiende paralela a la costa. Si un misil cae a menos de 40 metros de la vía, ésta
quedará suficientemente destruida impidiendo el flujo normal de los trenes. La densidad de
impacto de un proyectil viene dada por la función
100  x
 10,000

100  x
f ( x)  
 10,000
0


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,
 100  x  0
,
0  x  100
,
otros
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donde X representa la desviación en sentido perpendicular a la vía. Si se lanzan los tres
proyectiles, hallar la probabilidad de que la vía férrea quede suficientemente destruida.
Ejercicio 2
El tiempo (en días) que una empresa constructora tarda en colocar los cimientos de un
moderno edificio de 500 metros cuadrados, se define como una variable aleatoria continua
cuya función de densidad de probabilidad viene dada por
1
, 0  x  100

f ( x)   k

0 , otros casos
i) Hallar el valor de k para que f sea reconocida como una función de densidad de X
ii) Cuál es la probabilidad de que el tiempo máximo requerido sea de 60 días.
iii) Cuál es la probabilidad de que se tarde por lo menos 70 días?
iv) Según el proyecto la empresa constructora está obligada a completar el 80% de los
cimientos en 90 días. Cumple la empresa con el proyecto?
Ejercicio 3
Una gasolinera tiene dos bombas que pueden bombear cada una hasta 10 mil galones de
gasolina por mes. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable
aleatoria X (expresada en unidades de diez mil galones), con una función de densidad de
probabilidad dada por
0  x 1
x ,

f ( x )  2  x , 1  x  2
0 ,
otros

a) Hallar la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8000 y 12000 galones en un
mes
b) Si se sabe que la gasolinera ha bombeado más de 10000 galones en mes en particular,
cuál es la probabilidad de que haya bombeado más de 15000 galones durante un mes?
Ejercicio 4
Una manera de obtener predicciones económicas es utilizar un enfoque de consenso. Esto
consiste en obtener la predicción de un gran número de analistas; el promedio de esos
pronósticos es la predicción de consenso. Supóngase que las predicciones individuales
acerca de la tas principal de interés en el mes de Enero de 1996, de todos los analistas
económicos es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad dada por
2

3 x
f ( x)  

0
0  x 1
otros
Si se selecciona aleatoriamente a un analista
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a) Cuál es la probabilidad de que su predicción respecto a la tasa de interés sea mayor que
9%?
b) Cuál es la probabilidad de que su predicción sea menor que 16%?
Ejercicio 5
Las ventas diarias (excluyendo los sábados) de un restaurante pequeño siguen un modelo
de comportamiento definido por una variable aleatoria X (expresada en dólares), cuya
función de densidad de probabilidad viene dada por
 1

f ( x)   2000

0
500  x  2500
otros
a) En un día dado, cuál es la probabilidad de que las ventas excedan 900 dólares?
b) El restaurante requiere ventas diarias de por lo menos 800 dólares para cubrir sus
gastos, cuál es la probabilidad de que en un día dado el establecimiento no cubra los
gastos?
Ejercicio 6
Debido a la eficiente labor de publicidad desarrollada por una aerolínea de bandera
nacional, la demanda de clientes se ha incrementado considerablemente a tal punto que la
gerencia de operaciones se encuentra preocupada por el tiempo de vuelo entre Lima y el
Cuzco. Si el tiempo de vuelo entre esas dos ciudades se define según la siguiente función
de densidad de probabilidad
1
180  x  200

f ( x)   20

otros
0
a) Qué porcentaje de vuelos tardará entre 84 y 96 minutos?
b) Si sólo el 5% de vuelos llega retrasado, cuál es el tiempo máximo para que un vuelo
no llegue retrasado?
DISTRIBUCIÓN ACUMULADA de una variable continua
Definición
Sea X una variable aleatoria continua. Diremos que F es la función de Distribución
Acumulada de X si
F(x) = P( X ≤ x) =

x

f (t )dt
Observaciones
1. El uso de una nueva variable t, es puramente formal y cumpliendo con la ortodoxia
matemática. No podemos evaluar a f(x) y teniendo a x como límite de la integral.
2. Como en el caso de la función de densidad, los límites de la integración se deben tomar
en cuenta según el problema. No siempre los intervalos empiezan en -.
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3. Si buscamos F(k) entonces debemos recordar que F(k) = P(X ≤ k) =

k

f ( x)dx
4. Como F(a) = P(X ≤ a) y F(b) = P(X ≤ b), si se trata de evaluar P(a ≤ X ≤ b) podemos
hacer uso de la distribución acumulada. Observe el siguiente esquema.
P(X≤a)
P(X>b)
b
a
P(X≤b)
Vemos que P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)
5. Por ello es que cada vez que busquemos P(X > r) y se dispone de la función
acumulada, F, podemos usarla haciendo P(X > r) = 1 – P(X ≤ r) = 1 – F(r).
6. Finalmente no olvides que P(a≤X≤b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤X < b) = P(a < X < b)
Teorema
Sea X una variable aleatoria continua sobre el intervalo (a, b). Sea F su distribución
acumulada. Si f es su función de densidad de probabilidad entonces
dF ( x )
f ( x) 
a<x<b
dx
Nota:
Esto quiere decir que si se conoce la función acumulada de la variable, para hallar su
función de densidad es suficiente derivar la función acumulada respecto de x.
Ejemplo 7
Si X es una variable aleatoria continua con una función de densidad f definida por
0  x 1
2 x
f ( x)  
en otros casos
0
Obtenga la función de distribución acumulada de X.
Solución
Vamos a proceder siguiendo el mismo esquema utilizado en el caso de las variables
discretas cuando tuvimos que encontrar F.
De acuerdo a la función,
Si x < 0  F(x) = P(X ≤ 0) = 0 (la función de densidad es 0, cuando x < 0)
Si 0 < x < 1  F(x) = P(X≤ 0) +
Si x ≥ 1  F(x) = P(X < 1) +


1

x
0
x
2t ² 
f (t )dt  0 
  x²
2 0
0dt = 1 + 0 = 1
Luego, la función de distribución acumulada será
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0

F ( x)   x ²
1

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x0
0  x 1
x 1
Ejemplo 8
Sea X una v.a. continua con su función de densidad de probabilidad definida por
2

, 0  x 1
3 x
f ( x)  

otros
0
a) Obtener la función de distribución acumulada de X
b) Usando F, obtener P(X < 1/2 )
c) Si se sabe que X es mayor que 1/2, ¿cuál es la probabilidad de que sea menor que3/4 ?
Use F para evaluar esta probabilidad.
Solución
Caso a): Procederemos como en el ejemplo anterior:
Si X < 0  F(x) = ..........................................
Si 0 < X < 1  F(x) = P(X < 0) + ........................
Si X ≥ 1  F(x) = P(X < 1) + ...............................
Luego presente la respuesta como se dio en el ejemplo anterior.
Caso b): Como P(X < 1/2 ) = F(1/2); encuentre el valor de 1/2 en F. Y eso es P(X<1/2)
Caso c): Esto es probabilidad acumulada: Según la pregunta, debemos encontrar:
P(X .......) / P(.........) = ..........................................
Ejemplo 9
Los gastos de viajes semanales (en miles de dólares) que el personal de ventas de la
Empresa SIMULA, justifica cada semana, es una variable aleatoria cuya función de
distribución acumulada está dada por
x0

0
F ( x)  
2
x x0

1  e
a) Qué porcentaje de vendedores gastan semanalmente menos de 500 dólares?
b) El tirano del jefe ha ofrecido unas vacaciones de dos semanas a quien justifique gastos
que se encuentren en el 15% inferior. Si Ud. ha gastado 312 dólares, conseguirá unas
vacaciones?
c) Obtenga la función de densidad de probabilidad de X
Solución
a) Según la pregunta, debemos encontrar P(X < 0.5). Como P(X < 0.5) = F(0.5) entonces
F(0.5) = .....................
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b) Sea G mi gasto. Para que G esté por debajo del 15% se debe cumplir que P(X < G) <
0.15. Si al resolver P(X < G) = 0.15 se encuentra G por debajo de 312 dólares,
entonces conseguiré las vacaciones.
Como P(X < G ) = 0.15 se debe hallar el valor de G. Use P(X < G ) = F(G) = 0.15
El valor de G = ..........................
Consigue vacaciones o no?
c) Derivemos la función acumulada: f(x) = ..............................................
Ejercicio 7
La variable aleatoria continua X tiene por función de acumulada de probabilidad a
, x0
0
 2

F(x) =  x
0 x2
4
x2
1

Se hacen dos determinaciones independientes de X.
a) Encuentre la función de densidad de probabilidad de X
Usando la función de distribución acumulada F, resuelva las siguientes preguntas:
b) Cuál es la probabilidad de que ambas determinaciones sean mayores que uno?.
c) Si se han hecho tres determinaciones independientes, cuál es la probabilidad de que
exactamente dos sean mayores que uno?
ESPERANZA DE UNA VARIABLE CONTINUA
Definición
Sea X una variable aleatoria continua cuya función d densidad es f. Diremos que E(X) es
la Esperanza de X tal que

E ( X )   xf ( x)dx

Nota:
Observe que la esperanza de X se calcula integrando al producto de la variable por la
función de densidad, en todo su recorrido.
Como en el caso discreto, μX = E(X)
Propiedades
Las mismas propiedades dadas para la esperanza en el caso discreto se cumplen en este
caso. Por ello diremos que
a) E(C) = C
b) E(KX) = KE(X)
c) E(a+bX) = a + bE(X)
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Ejemplo 10
Si X es una variable aleatoria continua cuya función de densidad viene dada por
1
,0  x  2
6

1
f ( x)   ( x  1) ,2  x  4
6
otros
0


a) Obtenga la esperanza de X.
b) Obtenga también la esperanza de X²
Solución
Usando la definición, tenemos
2 1
4 1
E ( X )   x dx   x ( x  1)dx  .....................................................
0
2
6
6
En el caso de E(X²), tenemos
2
4
1
1
E ( X ²)   x ² dx   x ² ( x  1)dx  ....................................................
0
2
6
6
Ejemplo 11
El porcentaje de alcohol (100X) en cierto compuesto puede ser considerada como una
variable aleatoria, en donde X, 0 < X < 1, tiene la siguiente función de densidad:
f ( x)  20
3
x (1  x),
0  x 1
a) Encuentre una expresión para la función de distribución acumulada de X y grafíquela
2
3
b) Calcular P( X  )
c) Supóngase que el precio de venta del compuesto anterior depende del contenido de
alcohol. Específicamente, si 13  X  23 el compuesto se vende en C1 dólares/galón, de
otro modo, se vende en C2 dólares/galón. Si el costo es C3 dólares/galón, encuentre la
distribución de probabilidad de la utilidad neta por galón y obtenga una expresión para
la utilidad esperada.
Solución
x
a) Obtenga F(x): F(x)=  20t 3 (1  t )dt = ....................................................
0
b) Use el resultado anterior para evaluar P(X ≤ 2/3) = F(2/3) = .......................
c) Según los datos:
El Costo = .............
Si 13  X  23 entonces Pvta. = .........
Si X<1/3 ó X > 2/3 entonces Pvta. = ............
Sea Y la variable definida como la Utilidad. En este caso U = Pvta. – Costo
Luego
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1
2
.........
3  x  3
U 
1
........... x  3 , x 
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2
3
La utilidad esperada la obtendremos hallando E(U) = .......................................
Ejercicio 8
Supongamos que el diámetro de un cable eléctrico, digamos X, es una variable aleatoria
continua con su función de densidad definida por f(x) = 6x(1-x) , 0  x  1.
a)
b)
c)
d)
Verifique que f es efectivamente la función de densidad de probabilidad de X
Obtener una expresión para F, la distribución acumulada de X
Determinar un número b tal que P( X < b ) = 2 P(X > b)
Calcular P(X  ½ / 13  X  23 ).
Ejercicio 9
Encuentre la función de distribución acumulativa de X
i)
kx

f ( x )  k ( 4  x )
0

0 x2
2 x4
otros
ii)
kx

f ( x )  k ( 2 a  x )
0

0 xa
a  x  2a
otros
Ejercicio 10
Sea X una variable aleatoria con función de densidad definida por
1

0 x
x ,
2

1

f ( x)  5 x  2 ,
 x 1
2

,
otros
0


Hallar E[X] y E[(X – 4 )²]
Ejercicio 11
Un consultor financiero cobra mensualmente honorarios fijos de $ 100 más una comisión
del 5% sobre el beneficio que su empresa obtiene por gestiones de consultoría que realiza.
El beneficio que la empresa recibe mensualmente (en miles de dólares) se define como una
variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad viene dada por
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x  2

f ( x )  4  x
0

2 x3
3 x4
otros
a) ¿Cuánto de utilidad espera obtener el consultor?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el consultor obtenga utilidades superiores a $ 280?
Ejercicio 12
Una estación de gasolina recibe provisión semanalmente. Los datos recogidos en épocas
pasadas sugieren que la función de densidad de probabilidad de las ventas semanales, X,
medidas en miles de galones, se aproxima a la función cuya gráfica se muestra en la
siguiente figura:
a) Encuentre el promedio de ventas semanales
b) Supongamos que el administrador de la estación tiene un sueldo básico de 1200 soles
por semana. Tiene también una bonificación de 50 soles por cada millar de galones
C
0
1
2
2.5
vendidos semanalmente. ¿Cuál será el ingreso total que espera tener el administrador
por semana?
Ilmer Cóndor
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