INCREMENTO DE UNA FUNCION

INCREMENTO DE UNA FUNCION
La palabra incremento se entiende como el aumento del valor de una variable. El incremento Δx de una
variable x es el cambio en x cuando esta crece o decrece desde un valor x  x 1 , hasta un valor x  x 2
y se escribe  x  x 2  x 1 .
Si y=f(x), entonces y  f ( x  x )  f ( x ) , es el incremento de y para un incremento  x de x
INCREMENTO RELATIVO DE UNA FUNCION
El incremento relativo de dos variables es la razón de sus incrementos
Δ(variable dependiente)
Δ(variable independiente)
. El
y
.
x
incremento relativo de y respecto a x es
Si y=f(x), el incremento relativo de la función respecto de la variable independiente x, es la
transformación que experimenta la función por cada unidad de cambio en x.
Simbólicamente:
y f ( x  x )  f ( x )

x
x
Ejemplo: Si y=3x-1 halla el incremento relativo
Solución
y
x
Se tiene y = f(x) = 3x-1, aplicando la definición de incremento relativo se tiene:(se cambia x por x+Δx)
Δy
f(x  Δx)  f(x)
3(x  Δx)  1  3x  1
3x  3ΔΔ  1  3x  1
Eliminando corchetes



Δx
Δx
Δx
Δx

 
 
 

y 3 x  3x  1  3 x  1 3x


3
x
x
x
y
3
x
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Si y=f(x) es una función con variable independiente x , la derivada de y
respecto a x, que se representa por y’ ó f’(x) , está definida por:
f ( x )  lim
x  0
y
 f ( x  x )  f ( x ) 
 lim

x x  0 
x

, si este límite
existe.
En esta definición x permanece fijo, en tanto que Δx tiende a cero. Si el límite no existe para un valor
particular de x la función no tiene derivada en ese valor. Se acostumbra a denotar la derivada de la
función y=f(x) por:
lim
x  0
y dy
,
, y’ , f’(x) , D x ( y ) , Dx f ( x )
x dx
Ejemplo: calcula la derivada de y  x 2  5 x , utilizando la definición de derivada
Solución
 f ( x  x )  f ( x ) 
Por definición y   lim 

x
x  0 

Se calcula primero el incremento relativo
Δy
Δx

f(x  Δx)  f(x)
 x 2  2 x.x  ( x )2  5 x  5 x     x 2  5 x  
( x  x )2  5( x  x )   x 2  5 x 

  

 

 


x
x
Δx
2
Δy
x  2 x .x  ( x )2  5 x  5 x  x 2  5 x
2 x .x  ( x )2  5 x
x( 2 x  x  5 )



 2 x  x  5
x
x
x
Δx

Se aplica límite cuando Δx tiende a cero
 f ( x  x )  f ( x ) 
y   lim 
( 2 x  x  5 )  2 x  0  5
  xlim
x
x  0 
0

y   2x  5
REGLAS BASICAS DE DERIVACIÓN
Una vez conocida la definición de derivada, se pueden utilizar reglas prácticas para calcular la derivada de
diferentes funciones, setas reglas son:
1. DERIVADA DE UNA COSNTANTE: La derivada de una constante es igual a cero.

Simbolicamente: si f(x) = c, entonces f’(x)=0, siendo c una constante para todos los
valores de x
Ejemplo: y= -5 , entonces y’ = 0
2. DERIVADA DE UNA FUNCION LINEAL: la derivada de la función lineal es igual al coeficiente de
la variable.

Simbolicamente: Si f(x)=mx+b, entonces f’(x)=m, siendo m la pendiente de la recta.
Ejemplo: y = -2x+3, entonces y’=-2
3. DERIVADA DE UNA POTENCIA: La derivada de una potencia es igual a la potencia multiplicada
por la base elevada al exponente menos 1.

Simbólicamente: si f (x)  x n , entonces f  (x)  n.x n - 1
Ejemplo: y  x 5 , entonces y   5 x
5 1
 5x 4
* Observación: Recuérdese que algunas funciones pueden reescribirse con el objeto de ser
derivadas como una potencia, tal es el caso de
1
x
n
m
 x  n y que n x m  x n
4. DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCION: La derivada de una constante por una
función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
Simbólicamente: Si f(x)=c.g(x), entonces f’(x)=c. g’(x)
Ejemplo: y  10x 7 ,entonces y   10(7 x
7 1
)  70x 6
DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES
Función
Derivada
f(x)= a
f’(x)=) = ax●lna
f(x) = ex
f’(x)= ex
x
f(x) = logax
f’(x)=
f(x) = lnx
f’(x)=
1
x  ln a
1
x
f(x) = senx
f’(x)=cosx
f(x) = cosx
f’(x)=-senx
f(x)= tanx
f’(x)=sec2x
f(x)= cotx
f’(x)=-cosc2x
f(x)=secx
f’(x)=secx.tanx
f(x)= coscx
f’(x)=-coscx.cotx
ALGEBRA DE DERIVADAS
1. DERIVADA DE UNA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES: La derivada de una suma o resta
de funciones es igual a la suma o resta de las derivadas de cada una de las funciones.
Simbólicamente:
Si f(x) y g(x), tienen derivadas y F(x) = f(x)
± g(x), entonces F ( x )  f ( x )  g ( x )
Ejemplo: F(x) = senx+lnx
Solución
Se observa que F(X) está formada por dos funciones , llamemos f(x) = senx y g(x)= lnx, de manera
1
x
que f’(x)= cosx
y g’(x)=
Como F(x) = f(x)
+ g(x), entonces
F ( x )  f ( x )  g ( x ) reemplazando
F ( x )  cos x 
1
x
2. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES: la derivada del producto de dos funciones
es igual a la derivada de la primera función por la segunda, más la primera por la derivada de la
segunda.
Simbólicamente:
Si f(x) y g(x), tienen derivadas y F(x)=f(x)*g(x), entonces F  (x)  f  (x)  g(x)  f(x)  g (x).
Ejemplo: Calcular F’(x) , si F(x) = F ( x )  5x 3 . cos x
Sea f(x) = 5x3 , entonces f’(x)= 15x2
Como F(x) = f(x)●g(x)
Solución
y g(x) = cosx, entonces g’(x)=-senx
F  (x)  f  (x)  g(x)  f(x)  g (x). reemplazando las derivadas
F  (x)  15x 2 . cos x  5 x 3 ( s enx)
F ( x )  15x 2 cos x  5 x 3 s enx
3. DERIVADA DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES: La derivada del cociente de dos funciones es
igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función
del numerador por la derivada de la función del denominador, dividido por el cuadrado de la
función del denominador.
Simbólicamente: si F ( x ) 
Ejemplo: si F ( x ) 
x3
f ( x )  g( x )  f ( x )  g ( x )
f (x)
, entonces F ( x ) 
g( x )
g( x )2
, hallar F’(x).
ex
Solución
3
Sea f(x) = x , su derivada f’(x)=3x
2
y
g(x) =
ex, su derivada g’(x)= ex
f (x)
, entonces
g( x )
f ( x )  g( x )  f ( x )  g ( x )
F ( x ) 
, reemplazando
g( x )2
Como F ( x ) 
F ( x ) 
3 x 2 .e x  x 3 .e x
e 
x 2

3x 2 e x  x 3 e x
e 2x
DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS: REGLA DE LA CADENA


Para calcular la derivada de una función compuesta f  g ( x )  f g( x ) , es conveniente considerar a f
como la función externa y a g como la función interna. De esta manera la derivada de la función
compuesta es la derivada de la función externa (calculada en la función interna) multiplicada por la
derivada de la función interna (o derivada interna).


Simbólicamente: Si g es una función tal que existe g’, y f es tal que existe f  g( x ) , entonces la función
compuesta f  g , tiene por derivada f  g ( x )  f  g( x )  g( x ) . Este resultado se le conoce como
regla de la cadena.
Ejemplo: calcular F’(x), para F ( x )  s en( x 3 )
Solución
Se observa que F(x) es una función compuesta F ( x )  f  g ( x )  f g( x ) , cuya función interna es x3
3
y función externa seno, para lo cual se considera g(x) = x






y f g( x )  s en g( x ) , de manera que al
derivar estas funciones se tiene:
f  g( x )  cosg( x ) Luego como
g ( x )  3x 2
F ( x )  f  g ( x )  f g( x ) , al derivar por regla de la cadena
F ( x )  f  g ( x )  f  g( x )  g( x ) , reemplazando
F ( x )  cosg( x )  3 x 2
, pero g(x)  x 3
F ( x )  cos (x 3 )  3 x 2
F ( x )  3 x 2 cos (x 3 )
DERIVACION IMPLICITA
Algunas funciones no se encuentran escritas en forma explícita, es decir y=f(x), si no que están en forma
implícita, donde no se sabe si y es función de x ó si x de y, como por ejemplo: x2y-3xy=3y2+1
Para derivar una función que está en forma implícita, se siguen los siguientes pasos:
1. Se deriva a cada uno de los términos a ambos lados de la ecuación primero respecto a x , luego
respecto a y, teniendo en cuenta que cada vez que se derive respecto a y se deja indicado.
2. Se agrupan los términos de tal manera que se pueda despejar la derivada respecto a y , para ello
deben trasladarse términos.
3. Simplificar la expresión resultante del paso anterior para la expresión de la derivada
Ejemplo: calcula y’, para la función x 2 y 3  5x 3  2y 2  3xy
Solución
Se deriva cada término primero con respecto a x ,luego respecto a y
2xy 3  3x 2 y 2 y   15x2  4yy   3y  3xy 
y es 3x 2 y 2 y  ), luego se tiene
y
3x 2 y 2 y  - 4yy  - 3xy   3y  15x 2  2xy 3
2
y (3x y
y 
(la derivada de x 2 y 3 , respecto a x 2xy 3 y respecto a
2
- 4y - 3x)  3y  15x
3y  15x 2  2xy 3
3x 2 y 2 - 4y - 3x
2
 2xy
3
(trasponiendo hacia la izquierda los términos y’)
factorizando por factor común y’)
(despejando y’)