Documento 265632

Representación gráfica del método iterativo para la solución de una
ecuación f(x) = 0 escrita en la forma g(x) = h(x).
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MÉTODOS DE SOLUCIÓN
En este capítulo haremos una descripción general de los métodos más usuales de
resolución de problemas en electromagnetismo. La elección de un método está
íntimamente ligada a la geometría del problema. En efecto, el empleo de métodos
analíticos está limitado a estructuras simples en las que se pueden expresar fácilmente
los límites de los dominios en un sistema de coordenada ortogonales. Para las
geometrías mas complicadas se recurre a métodos aproximados de resolución, en los
cuales es muy útil la utilización del computador.
Las ecuaciones de Maxwell pueden ser separadas en cuatro ecuaciones
independientes de primer orden, cada una de las cuales tiene la forma:
u
u
v
0
t
x
(11a)
que describe la propagación de una onda con una velocidad v = ()-1/2, en una
dirección o en sentido contrario del eje x, según sea el signo . Esta forma canónica de
las ecuaciones de Maxwell justifica la determinación unívoca de sus soluciones, si se
conoce un segmento del eje t = 0, sobre el cual estén dados los valores iniciales de las
intensidades de los campos.
Al observar estas expresiones podemos ver que corresponden al sistema CauchyRiemann, lo cual surge de manera natural al estudiar las condiciones de diferencialidad
de una función de variables complejas.
Al analizar las bases experimentales de las ecuaciones de Maxwell podemos ver
que la ecuación del potencial escalar electrostático está dada por la ecuación de Poisson,
la cual fuera de la región donde están localizadas las fuentes es equivalente a la
ecuación de Laplace.
La ecuación de Laplace surge cuando Laplace sugiere abandonar la fórmula
explícita de la fuerza de interacción a distancia planteada por Newton, como la ley de
atracción universal, y que daba una expresión más sencilla a las leyes de Kepler.
Al manipular las ecuaciones de Maxwell equivalentes a las leyes de inducción de
Faraday y circuital de Ampère, se obtienen las ecuaciones de onda, cuya solución más
simple es la onda plana, la cual ilustra muchas características importantes del campo
electromagnético, ya que a suficiente distancia de toda fuente de radiación, la onda
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electromagnética puede ser representada por una onda plana con bastante aproximación.
Esto lo hemos aplicado al estudiar la propagación, reflexión y transmisión de ondas
electromagnéticas.
La ecuación de Maxwell equivalente a la ley de inducción de Faraday para el
campo eléctrico continuo tiene carácter no rotacional (xE = 0). Esta ecuación se
satisface si el vector E es proporcional al gradiente de una función escalar, como ya se
ha visto
(-grad  = E), el potencial escalar eléctrico (r).
La ecuación del potencial se obtiene al sustituir en la ley de Gauss (div E = /) el
vector E por el gradiente negativo del potencial escalar eléctrico: div (-grad ) = /. De
esta forma se obtiene la ecuación 2 = -/, ecuación de Poisson. En el caso particular,
cuando en la región del espacio que estudiamos no hay cargas, es decir  = 0, 2 = 0;
la ecuación de Poisson se convierte en la ecuación de Laplace.
Las soluciones para el vector E o el escalar (r), obtenidas sobre la base de la
aplicación directa de las ecuaciones de Maxwell requieren del conocimiento de la
distribución de la carga eléctrica.
1

l R dV

40 R 2
(11b)
R  
1

dV

40 R
(11c)
E 


(11d)
E
Bajo ciertas condiciones podemos obtener soluciones para la ecuación de Poisson
cuando la distribución de la carga es desconocida, para luego adaptar esas soluciones a
casos particulares. Esas son soluciones formales, las cuales no son siempre posibles o
fáciles de obtener. Pero el estudio gráfico, numérico, analógico y experimental nos
permite obtener soluciones cuya exactitud depende del método utilizado. La mayoría de
estos métodos se basan en las condiciones que justifican la unicidad de las soluciones de
la ecuación de Laplace.
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11.1. Método de Gauss
En general la representación integral de la ley de Gauss es de gran utilidad
práctica para la solución de problemas en electrostática. No obstante, la integración no
puede ser efectuada hasta que no se determine la superficie Gaussiana y se conozca la
forma en la cual varía la densidad de flujo eléctrico (vector desplazamiento) D a través
de dicha superficie.
Como podemos observar, en la figura 11.1-a, el flujo neto saliente de una
superficie que encierra una carga eléctrica debe ser igual a la magnitud de dicha carga,
es decir:
d 
q
dS cos 
4R 2
(11.1a)
d 
dS' dS cos 

R2
R2
(11.1b)
Figura 11-1 Carga eléctrica encerrada por una superficie arbitraria
Por ejemplo, analicemos el caso de dos cargas puntuales de igual magnitud pero
de signos contrarios, como se indica en la figura 11-2.
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El teorema de la divergencia nos indica que la integral de volumen de (div D) dV
tomada en cualquier volumen V completo es igual al flujo neto de D el cual surge desde
la superficie cerrada que limita a V.
Figura 11-2 Flujo eléctrico entre dos cargas puntuales
Los flujos eléctricos provenientes de A y de B, generados por las cargas puntuales
q y –q, pasan a través de casquetes esféricos limitados por círculos que pasan por el
punto P, es decir:
A 
q 1
4
B  
q 2
4
(11.1c)
(11.1d)
La medida de un ángulo sólido  es el área del casquete esférico subtendido por
la base de un cono cuyo vértice está en el centro de la esfera, por consiguiente, la
relación entre el ángulo sólido  subtendido por un casquete esférico y el ángulo
meridional  es:  = 2(1 - cos), y el flujo total es igual a:
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 AB 
q
1   2   q cos  2  cos 1 
4
2
(11.1e)
En la figura 11-2 podemos observar las líneas del flujo constante mientras los
ángulos 1 y 2 varían. Debemos recordar que los tubos de flujo son figuras de
revolución generadas al rotar las líneas de flujo indicadas en la figura 11-1, alrededor
del eje que une las cargas puntuales.
La ley de Gauss es igualmente aplicable cuando estamos tratando campos
dependientes del tiempo. La interpretación corresponde a que el flujo eléctrico a través
de cualquier superficie cerrada en un momento dado corresponde a la carga encerrada
en ese instante de tiempo.
11.2. Método de solución con ecuaciones diferenciales
Los problemas electromagnéticos en general consisten en la resolución de
ecuaciones diferenciales de segundo orden en derivadas parciales. Significa entonces
que por cada variable habrá constantes incógnitas. Para su determinación unívoca se
debe especificar condiciones de contorno. Éstas pueden estar dadas por el valor del
parámetro físico que se quiere evaluar (potencial, campo, carga) en algún punto del
continuo espacio-tiempo donde ocurre la interacción electromagnética. O bien deben ser
impuestas de acuerdo con consideraciones físicas que tienen en cuenta las propiedades
del parámetro en cuestión.
De aquí surge la necesidad de tener un completo conocimiento de las propiedades
de los potenciales y campos electromagnéticos: continuidad, diferencialidad,
regularidad, etc.
De fundamental importancia para la solución de la ecuación diferencial es la
elección de un sistema de coordenadas adecuado, ya que ello puede simplificar
enormemente el cálculo.
La conveniencia del sistema de coordenadas queda determinada por el número de
variables independientes que pueden aparecer y por la facilidad en la aplicación de las
condiciones de contorno. En general, se elegirá el sistema de coordenadas por la forma
de los recintos donde se aplican las condiciones de contorno.
La solución de la ecuación diferencial se puede llevar a cabo por los métodos
matemáticos que supondremos conocidos o pueden ser consultados en la bibliografía
especializada. Nos limitaremos, debido al alcance y propósitos de este texto, a su
aplicación al problema electromagnético específico, pero queda claro que para poder
hacer esto se necesitan conocer los métodos de resolución de las ecuaciones en
derivadas parciales y las propiedades de sus soluciones.
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11.3. Métodos gráficos
En esta sección estudiaremos el método de los cuadrados curvilíneos. La exactitud
de esta solución depende de la destreza gráfica y de la habilidad individual al dibujar las
líneas equipotenciales y las de flujo eléctrico que conforman los cuadrados curvilíneos.
Al aplicar las reglas que gobiernan el dibujo de estas representaciones gráficas,
encontramos que éstas se basan en la ecuación de Laplace.
11.3.1. Cuadrados curvilíneos en medios dieléctricos
Las reglas que gobiernan la construcción de los cuadrados curvilíneos son:
1. Las líneas de flujo eléctrico y las superficies equipotenciales se interceptan en
ángulos rectos.
2. La superficie de un conductor es una región equipotencial.
3. Las líneas de flujo comienzan en una carga positiva y terminan en una carga
negativa. Al estar las cargas sólo presentes en los conductores, las líneas comienzan
y terminan sobre las superficies conductoras.
4. E y D son perpendiculares a las superficies conductoras.
Las reglas 1 y 3 nos indican claramente que la construcción de las líneas está
gobernada por las expresiones E = - grad  y div D = 0.
La figura 11-3 nos presenta el resultado de la aplicación del procedimiento para el
caso de un cable coaxial excéntrico. Las líneas de flujo se inician perpendiculares a la
superficie del conductor interno y se dirigen hacia el conductor externo para hacer una
intersección perpendicular sobre la superficie. Los cuadrados curvilíneos se construyen
trazando las líneas que representan las superficies equipotenciales perpendiculares a las
líneas de flujo.
En la sección del tubo de flujo indicado en la figura 11-4, en el punto Po, se puede
establecer la siguiente aproximación:
E
E
E
dl1
V
l n
(11.3.1a)
(11.3.1b)
V0
. Nn es el número de secciones V entre los dos conductores
Nn
(distancia entre equipotenciales).
donde V 
240
Figura 11-3 Cuadrados curvilíneos en un cable coaxial excéntrico
En la figura 11-4 se muestra un sector de un tubo de flujo entre dos superficies
equipotenciales. Como   es constante a lo largo de un tubo de flujo, y V es el
valor de la tensión entre dos equipotenciales adyacentes,  / V  d ll / ln =
constante. Por consiguiente, la capacitancia total por unidad de longitud es:
C
l
Q  N1  E N1

 

d 1
V  N n  V N n l n
(11.3.1c)
Para obtener cuadrados curvilíneos, Nl representa el número de tubos paralelos del
flujo entre las superficies conductoras y Nn representa el número de secciones V en
serie entre las superficies conductoras. ll = ancho de un tubo de flujo, y ln = distancia
entre equipotenciales adyacentes.
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Figura 11-4 Celda mostrando sector de un tubo de flujo entre dos superficies
equipotenciales
11.3.2 Solución con cuadrados curvilíneos en medios conductores
Supongamos que el dieléctrico del cable coaxial mostrado en la figura 11-3 es
reemplazado por un medio conductor homogéneo de conductividad , y que una
corriente continua fluye entre las dos superficies conductoras. Nuestro primer objetivo
es señalar que bajo estas condiciones la ecuación de Laplace es válida en un medio
conductor, y por consiguiente, con las condiciones de contorno bien establecidas
podemos obtener los resultados adecuados para un problema bien planteado. Sabemos
que en caso de cargas en movimiento uniforme .J = 0. La ley de Ohm nos indica que J
=  E, pero como E = - , .(-) = 0; es decir:
2  0
(11.3.2a)
Por lo tanto podemos substituir el tubo de flujo eléctrico en el caso del medio
dieléctrico por un tubo de flujo de corriente en el caso del medio conductor. En esta
forma obtenemos:
J
I
 E
l1d
R0 
V
I

1  l n

d  l1
(11.3.2b)

 ; resistencia de una celda

(11.3.2c)
242
La resistencia total entre las superficies conductoras es:
Nn
1 Nn

N1 d N1
(11.3.2d)
R  R0
y su inverso la conductancia total es igual a:
G
N1
d
Nn
(11.3.2e)
Con la ecuación (11.3.1c) obtuvimos la capacitancia total para el conductor
coaxial excéntrico. Al comparar esta expresión con la (11.3.2d), por analogía, y para
configuraciones idénticas podemos establecer la siguiente relación:
C 

G 
(11.3.2f)
Analogía que se basa en las siguientes relaciones generales:
C
Q
 E  dS
 a
Vab
  E  dl
b
(11.3.2g)
G
I
 E  dS
 a
Vab
  E  dl
(11.3.2h)
b
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11.4. Método de imágenes
(a)
(b)
Figura 11-5a y b Imagen de una carga puntual frente a un plano conductor
Figura 11-6 Esquema geométrico de la carga imagen
La figura 11-5a muestra un esquema de las líneas de fuerza entre una carga
puntual Q y las cargas inducidas en un plano conductor. Para obtener una solución
rigurosa a este problema, tendríamos que resolver la ecuación de Poisson sujeta a las
condiciones de contorno en el plano conductor, es decir:
244
2   


(11.4a)
En condiciones electrostáticas la tensión V es igual al potencial escalar eléctrico
. V = 0 en x = 0, y el campo eléctrico puede obtenerse de -V = E y las cargas
inducidas de q = Dn Esto implica que q = (-V/xx = 0). El resolver el problema de
esta forma requiere de cierta cantidad de labor matemática. Afortunadamente, este tipo
de problema se puede resolver fácilmente mediante el método de imágenes, que se
aplica a problemas con contornos planos o esféricos. Si examinamos la figura 11-5b que
muestra el campo eléctrico debido a dos cargas puntuales del mismo valor pero de
signos contrarios, advertiremos que el campo eléctrico es normal al plano bisector
perpendicular. El plano bisector es un plano de potencial cero debido a que equidista de
las dos cargas. Esto significa que podemos insertar a lo largo del plano una lámina
metálica sin perturbar el campo eléctrico ya que las condiciones de contorno para la
lámina metálica se satisfacen automáticamente. En realidad podríamos insertar láminas
curvadas adecuadamente, y los potenciales apropiados a lo largo de cualquier superficie
equipotencial indicadas como líneas de puntos en la figura 11-5b, sin que el campo
eléctrico perciba su presencia. La parte superior de las figuras 11-5a y 11-5b son
idénticas, ambas tienen las mismas equipotenciales y las mismas líneas de campo
eléctrico. Por lo tanto, podemos reemplazar el problema de la figura 11-5a por su
equivalente mostrado en la figura 11-5b, que es mucho más simple. En esto reside el
valor del método de imágenes. De acuerdo con la geometría, naturaleza de los medios y
distribución de las cargas podemos siempre encontrar una solución adecuada sin
dificultad.
11.5. Método de iteración numérica
En esta sección describiremos un método numérico de solución de la ecuación de
Laplace aplicable a la determinación de potenciales cuando sus valores en los contornos
del recinto son conocidos. Para su determinación unívoca se deben especificar las
condiciones de contorno. Estas pueden estar dadas por el valor del parámetro físico en
algún sitio del recinto, o bien deben ser impuestas de acuerdo con consideraciones
físicas que tienen en cuenta las propiedades del parámetro en cuestión.
La solución numérica se basa en la propiedad que establece que el potencial en un
punto es determinado por el promedio de los potenciales existentes alrededor de ese
punto.
La ecuación de Laplace
 2  2

0
x 2 y 2
(11.5a)
245


a
c
 
   
x
x
P0 
  P0 
x 2
x  x 
h
(11.5b)
2
V  V0 

a 1
x
h 

V0  V3 

c
x
h 
(11.5c)
Substituyendo (11.5c) en (11.5b) obtenemos:
V  V3  2V0
 2
P  1
2 0
x
h 2
(11.5d)
de manera similar obtenemos:
V  V2  2V0
 2
P  4
2 0
y
h 2
(11.5e)
Substituyendo los resultados obtenidos en (11.5d) y (11.5e) en la ecuación
(11.5a), obtenemos:
V0 
V1  V2  V3  V4
4
(11.5f)
Este resultado nos indica que el potencial V0 es el promedio de los potenciales
existentes alrededor del punto P0. La exactitud de este resultado depende de la magnitud
de h (tamaño de las rejillas). El valor exacto se obtiene cuando h  0. Los valores
iniciales de los potenciales en las esquinas interiores de las rejillas deben ser estimados
y efectuando cómputos iterativos obtendremos la solución final.
11.6. Método de variables complejas
Un método muy general de resolver problemas de campos bidimensionales se
basa en la teoría de las funciones de variables complejas. La función Z = x + jy =
r[(cos + jsen)], o a veces más convenientemente escrita como Z = r[exp(j)], y la
función W = (u + jv), o también, más convenientemente escrita W = [exp(j)]. De
forma tal, que W = f (Z).
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Tanto la parte real como la parte imaginaria de estas funciones analíticas de
variables complejas satisfacen a la ecuación de Laplace, y pueden, en consecuencia, ser
utilizadas convenientemente para representar funciones potenciales de un campo
electrostático bidimensional.
En un problema en el cual una de la dos variables, u o v, es escogida como la
función potencial, la otra será proporcional a la función flujo. Por ejemplo, supongamos
que u representa la función potencial de un problema específico. La intensidad del
campo eléctrico será:
E  l x
u
u
 ly
x
y
(11.6a)
El diferencial total de v expresado en función de las variables “x” y “y” es:
dv 
v
v
dx 
dy
x
y
(11.6b)
La condición de Cauchy-Riemann nos permite escribir, que:
u
u

dx  dy   E y dx  E x dy 
y
x


 dv   D y dx  D x dy

 dv 
(11.6c)
Figura 11-7 Función flujo 
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En la figura 11-7 se puede observar el flujo d entre las curvas v y v + dv, con la
dirección positiva señalada por la flecha, es decir:  d  dv
(11.6d)
Como la relación funcional f(Z) fija un valor de W para una función dada, un
punto (x,y) en el plano Z determina un punto (u,v) en el plano W. Como la función f(Z)
es analítica, la derivada dW/dZ en un punto es independiente del cambio en dZ en ese
punto, es decir, que podemos escribir:
dW
M exp  j   dW  M exp  j dZ
dZ
(11.6e)
Por la regla del producto de cantidades complejas, la magnitud de dW es M veces
la magnitud de dZ y el ángulo de dW es igual a  más el ángulo de dZ. Por lo tanto, una
región infinitesimal en la vecindad de un punto W es similar a una región infinitesimal
en la vecindad de un punto Z y está aumentada por el factor M y rotada en un ángulo .
Por consiguiente, dos curvas que se intercepten en un ángulo  en el plano Z, sus
correspondientes curvas transformadas en el plano W se interceptan con el mismo
ángulo (transformación conforme), como se indica en la figura 11-8.
Plano W
Plano Z
Figura 11-8
Un ejemplo ilustrativo lo representan los problemas relacionados con la
determinación del campo en la zona cercana a ángulos en medios conductores. En estos
caso se puede considerar la siguiente relación funcional:
W  Zp  r exp j
p
o
248
u  r p cos p

v  r p sen p
(11.6f)
La representación del campo en el plano W es uniforme. Las equipotenciales en el
plano W se transforman en el plano Z haciendo v = constante. Esto significa que v es
una solución de la ecuación de Laplace que permite ajustar las constantes de forma tal
que las líneas de v representen las equipotenciales correspondientes al problema
planteado.
Si v es asignada como la función potencial, la forma de las curvas es evidente por
inspección. Para  = 0, v = 0; para  = /p, v = 0. Para dos planos semi-infinitos a
potencial cero se interceptan a un ángulo  = /p.
La forma de las curvas de u y de v constantes dentro de esta abertura angular dan
la configuración del campo en la región cercana al extremo del ángulo del medio
conductor, como se puede apreciar en los gráficos de la figura 11-9.
Figura 11-9 Campo en la cercanía a las esquinas de medios conductores
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