Lab_Tp2 2do 2009-Campos y Potenciales eléctricos nuevo

FI UA
Trabajo Práctico Nº 2:
Laboratorio Física III
Campo y Potencial eléctrico
Apellidos y Nombres
UNIVERSIDAD
AUSTRAL
1) Objetivo general: El propósito de este experimento es realizar un estudio de las propiedades
del Campo eléctrico, como campo conservativo. Asimismo, se utilizarán dos métodos (uno
experimental y el otro analítico) para trazas las líneas equipotenciales de una chapa conductora y a
partir de ellas, poder determinar las líneas de campo y calcular el campo eléctrico (método de
relajación por diferencias finitas)
2) Introducción:
Las cargas eléctricas no precisan de ningún medio material para ejercer su influencia sobre otras, de
ahí que las fuerzas eléctricas sean consideradas fuerzas de acción a distancia. Cuando en la
naturaleza se da una situación de este estilo, se recurre a la idea de campo para facilitar la
descripción en términos físicos de la influencia que uno o más cuerpos ejercen sobre el espacio que
les rodea.
La noción física de campo se corresponde con la de un espacio dotado de propiedades medibles. En
el caso de que se trate de un campo de fuerzas éste viene a ser aquella región del espacio en donde
se dejan sentir los efectos de fuerzas a distancia. Así, la influencia gravitatoria sobre el espacio que
rodea la Tierra se hace visible cuando en cualquiera de sus puntos se sitúa, a modo de detector, un
cuerpo de prueba y se mide su peso, es decir, la fuerza con que la Tierra lo atrae. Dicha influencia
gravitatoria se conoce como campo gravitatorio terrestre. De un modo análogo la física introduce la
noción de campo magnético y también la de campo eléctrico o electrostático.
El campo eléctrico asociado a una carga aislada o a un conjunto de cargas es aquella región del
espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Así, si en un punto cualquiera del espacio en donde
está definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o carga testigo, se observará la
aparición de fuerzas eléctricas, es decir, de atracciones o de repulsiones sobre ella.
Todo campo físico queda caracterizado por sus propiedades. En el caso del campo eléctrico, una
forma de describir las propiedades del campo sería indicar la fuerza que se ejercería sobre una
misma carga si fuera trasladada de un punto a otro del espacio.
La representación gráfica de un campo de fuerzas se basa en sus líneas de fuerza. Estas son líneas
imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las
fuerzas al pasar de un punto a otro. En el caso del campo eléctrico, por
poseer características vectoriales, las líneas de fuerza o líneas de
campo eléctrico indican las trayectorias que seguirían las partículas
positivas si se las abandonase libremente a la influencia de las fuerzas
del campo. Algunas de sus características son:
1. El número de líneas que parten de una carga positiva o llegan a
una negativa es proporcional a la carga.
2. Las líneas se dibujan simétricamente saliendo o entrando en la
carga puntual.
3. Las líneas empiezan o terminan solamente en las cargas.
4. La densidad de líneas es proporcional a la intensidad de campo
eléctrico.
5. El campo es tangente a la línea de fuerza.
6. Las líneas de fuerza no se cortan nunca. (unicidad del campo).
Fig. 1: Líneas de campo
correspondiente a la
estructura de un dipolo
Luego, la relación entre el campo eléctrico en un determinado punto y la fuerza que soportaría una
carga testigo q, colocada en dicho punto, es:
F ( x, y, z)  q.E( x, y, z)
(1)
Trabajo y potencial eléctrico
El desplazamiento de una carga o cuerpo cargado en presencia o bajo la acción de un campo
eléctrico genera un trabajo eléctrico definido como
(2)
Fig. 2: Trabajo eléctrico determinado por el
movimiento de una carga en presencia de un
campo eléctrico.
Donde el campo eléctrico, en equilibrio
electrostático, es el resultante debido a todas las
fuentes exteriores. Además, dado que la fuerza
electrostática es de tipo conservativa, el trabajo
eléctrico está asociado a un tipo de energía
potencial denominada electrostática.
Luego, a partir de la relación entre este tipo de energía y el trabajo eléctrico, se define el potencial
electrostático en forma diferencial, como el trabajo diferencial por unidad de carga de acuerdo con:
dV  
dW
1
  F ( x, y, z ).dl   E.dl
q
q
(3)
de donde se deduce que
dV
dx
Ey  
E  V
(5)
Ex  
dV
dy
Ez  
dV
dz
(4)
es decir
Esta definición muestra que estrictamente el potencial eléctrico no está definido sino tan sólo sus
variaciones entre puntos del espacio. Por lo tanto, en condiciones de campo eléctrico nulo el
potencial asociado es constante. Suele considerarse sin embargo que el potencial eléctrico en un
punto infinitamente alejado de las cargas eléctricas es cero por lo que la (5) puede escribirse en
forma integral como:
(6)
En función de (5), es posible definir un tipo de superficie llamada equipotencial, en donde para
cualquier trayectoria incluida en dicha superficie resulta ser dV = 0. Como consecuencia de ello, las
curvas equipotenciales resultan ortogonales a las líneas de
campo eléctrico, para cada configuración de carga.
Ley de Gauss
En aquellos casos en donde la carga o configuración de cargas
presenta cierto grado de simetría, es posible conocer la
dirección y el sentido de las líneas de campo eléctrico. En tales
casos, el flujo del campo eléctrico calculado sobre una
superficie cerrada imaginaria (superficie gaussiana, Fig.3) que
encierra a dicha carga o configuración de cargas se puede
calcular de acuerdo a la Ley de Gauss como:
Fig.3: Superficie gaussiana
atravesada por las líneas de campo
Q
 E.d S  
(7)
donde Q representa la carga encerrada por la superficie gaussiana (carga puntual o distribución de
carga lineal, superficial o volumétrica). Aplicando el teorema de Gauss, la (7) se puede escribir en
forma diferencial como:
.E 


(8)
donde  es la densidad volumétrica de carga. Luego, al combinar (5) y (8) se obtiene la ecuación de
Poisson, que relaciona los potenciales con las cargas de acuerdo con:
 2 .V  


(9)
Como caso particular, cuando la densidad volumétrica de cargas resulte nula (zonas del espacio
donde no hay carga neta) o cuando se aplique a una línea equipotencial, la (9) se reduce a la
ecuación de Laplace, de acuerdo con:
 2 .V  0
(9)
3) Experimental
Método de Relajación:
Este método permite resolver en forma numérica la ecuación de Laplace. En particular describiremos
brevemente su resolución para el caso bidimensional que puede realizarse usando una hoja de
cálculo. Si el problema es bidimensional, la ecuación puede escribirse como:
 2V  2V

0
x 2 y 2
(10)
Al discretizar el plano xy de modo de formar una malla bidimensional (ver Fig.1) y dado que el
potencial electrostático resulta ser una función escalar de dos variables, se procede a operar con
diferencias finitas, reemplazando las coordenadas x,y por los subíndices i,j. Recordando las
expresiones clásicas de derivación numérica:
V Vi 1, j  Vi , j V  Vi , j 1  Vi , j

h
x
h
; y
2
 V Vi , j 1  2.Vi , j  Vi , j 1

y 2
h2
(11)
(12)
Donde h resulta ser el tamaño de la discretización o
mejor dicho en este caso el tamaño de la celda unitaria
(Fig.4).
Luego la (10) puede aproximarse como:
1
Vi , j  (Vi 1, j  Vi 1, j  Vi , j 1  Vi , j 1 )
4
(10)
Fig.4: Discretización del plano xy.
Tamaño de la celda unitaria de ancho h
Al verificarse (10) por parte de la función potencial V(x,y), el valor del potencial V(I,j) en un dado
punto del plano (i,j) resulta igual al promedio del valor del potencial en los cuatro puntos vecinos
próximos. Esta propiedad utilizada en el método de relajación, permite resolver la ecuación de
Laplace, de manera que el valor de una dada celda es el promedio de sus vecinas más próximas,
excepto para aquellos puntos que tienen un potencial fijo (coincidente con el potencial de los
electrodos), cuyos valores están establecidos por las condiciones de borde y no varían.
Existen dos tipos básicos de condiciones de borde en el caso que se use un diseño experimental
como el propuesto en este experimento. Por un lado, están los valores de potencial determinados por
los electrodos (metálicos) cuyos valores son constantes, donde se aplica como condición de borde lo
que se conoce como condición de Dirichlet. Operacionalmente, esto se logra haciendo que los
valores de potencial en las celdas que definen estos bordes sean constantes. Por otro lado, están las
condiciones de borde sobre las paredes del recipiente, que son no conductoras, por lo tanto la
corriente eléctrica ( j   .E
O sea que sobre estas paredes la componente perpendicular del campo eléctrico es nula, lo cual se
traduce en1:
V
0
n
(11)
PRIMERA PARTE: Método Experimental
El objetivo de esta primera etapa es determinar en forma experimental las líneas equipotenciales,
calcular el campo eléctrico en un punto y trazar las líneas de campo.
Fig.5: Esquema del
dispositivo utilizado
en el laboratorio para
trazar las líneas
equipotenciales y de
campo.
Materiales
-
1
Cuba de plástico transparente
Dos electrodos de aluminio
Voltímetro digital
Fuente de C.C.
Agua
Dos Hojas de Papel milimetrado
Cables de conexión y una punta de prueba
Esta condición de contorno se denomina de Neumann. Operacionalmente, esta condición de contorno se logra haciendo
que los valores de las celdas que definen los bordes del recipiente sean iguales a los valores de las celdas contiguas
interiores. Por ejemplo, si la pared izquierda del recipiente coincide con el eje y, cuyas celdas están caracterizadas por los
índices (i, j=0), el valor del potencial sobre esta pared Vi,j=0 =Vi,j=1, con lo que se satisface la condición (14).
Al conectarse el circuito (Fig.5) en el medio interpuesto entre los electrodos (agua potable) se
estacionan los campos, uno de carácter escalar, EL POTENCIAL ELECTRICO y otro de carácter
vectorial, EL CAMPO ELECTRICO.
1-
El potencial eléctrico se determina experimentalmente mediante una punta de prueba,
buscando en el medio (agua) puntos de igual potencial. Se determinarán líneas
equipotenciales de 2V, 4V, 6V, etc, hasta llegar a 10V, agregando las trazas de los electrodos
que corresponden a las equipotenciales de 0V y de 12V. Los puntos se identifican con el
auxilio del papel milimetrado donde se leen las coordenadas de cada uno. Estos puntos de
igual potencial deben ser 5 como mínimo para cada línea equipotencial. Los valores de las
coordenadas y el potencial se ordenan en un cuadro como el indicado, y se representan en la
2da hoja milimetrada donde se unirán, con una línea continua, los puntos de igual potencial.
Volt
Lectura Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
Coordenada
Cm
Cm
Cm
Cm
Cm
Cm
Cm
Cm
X
2
Y
X
4
Y
X
6
Y
X
8
Y
X
10
Y
X
12
Y
X
14
2-
Y
Para el cálculo y representación del vector campo eléctrico en un punto es necesario hacer
breves consideraciones teóricas.
La determinación del campo lo haremos eligiendo un punto perteneciente a una equipotencial
determinada experimentalmente (para comprobar la perpendicularidad) y en una zona donde el
campo sea aproximadamente uniforme (menor error al tomar  V por dV y l por dl )
Dado que E  V y teniendo en cuenta la expresión cartesiana del gradiente
V 
dV
dV
i
j
dx
dy
Se pueden obtener las componentes ortogonales del vector campo eléctrico
E x i  E y j  (
dV
dV
i
j)
dx
dy
Es decir:
Ex  
dV
dx
Ey  
dV
dy
El modulo será
E  Ex 2  E y 2
y la dirección y el sentido queda determinado
calculando el ángulo theta: (Fig.6)
  Arctg (
Ey
Ex
)
de manera que los signos de Ey y Ex nos indicarán el
cuadrante al que pertenece E.
Fig.6: Componentes del campo
eléctrico y su relación con su módulo
En la práctica utilizaremos las expresiones
aproximadas (Fig.7)
 Ex 
Vx
x
 Ey 
Vy
y
y
Se debe poner atención a los signos de los
cuatro incrementos para obtener la
correcta orientación de


Ex
Ey
y
Fig.7: Variaciones finitas del potencial
para el cálculo del campo eléctrico
3- Para el trazado de las líneas de campo se deberán tener en cuenta las siguientes
propiedades
- Las líneas de campo son líneas continuas que tienen su origen en las cargas positivas y
terminan en cargas negativas.
- Son líneas imaginarias dibujadas de tal modo que su dirección (la de su tangente) en cada
punto es la dirección del campo en dicho punto.
- Cortan ortogonalmente a las superficies equipotenciales (en nuestro caso a las trazas o líneas
equipotenciales)
- Las trazas de los electrodos en el plano que se representa el campo son líneas equipotenciales
- Se conviene dibujar un número limitado de líneas de fuerza con el criterio que su densidad en
una región sea la medida de la intensidad de campo en dicha región
En el trabajo práctico se empleará el método de los cuadrados
curvilíneos que se forman entre dos líneas equipotenciales
continuas y dos líneas de campo cuya separación deberá ser
igual a la separación de las anteriores (Fig.8).
Prácticamente se procede así:
1- Se interpolan a ojo las líneas equipotenciales
intermedias 1V, 3V, 5V, etc. (Se dibujan en punteado)
2- Se comienza el trabajo desde la parte central de uno
de los electrodos (desde el punto de máximo gradiente
para los electrodos convexos o mínimo para los
cóncavos).
l entre las
3- Se mide la minima distancia
equipotenciales de 0V, 2V en el primer caso o la
máxima en el segundo caso.
4- Desde el pie de esa distancia se lleva sobre la
equipotencial de 0V, l 2 a cada lado con un compás
y se determinan 2 puntos.
Fig.8: Líneas de campo y equipotenciales
ajustadas a condiciones de contorno
5- Desde cada uno de esos dos puntos se traza una perpendicular a la primera equipotencial
(0V) hasta cortar la equipotencial de 1V, luego desde este punto una perpendicular a la
perpendicular de 2V hasta cortar la de 3V y así sucesivamente hasta llegar
perpendicularmente a la equipotencial de 12V.
6- Las restantes líneas a cada lado de las dos primeras ya trazadas deben separarse de la
anterior una distancia de tal manera de formar cuadrados curvilíneos.
7- Para comenzar el trazado es conveniente el electrodo que no presente angulosidades.
8- Las envolventes de las líneas quebradas obtenidas son las líneas de campo.
SEGUNDA PARTE: Método Numérico
Solución numérica de la ecuación de Laplace: método de las diferencias finitas
Mediante la ayuda de una hoja de cálculo (Excell) se realizan iteraciones hasta que los valores de las
celdas no cambian o hasta que su variación es menor que un valor prefijado, digamos del 0.1%, de
acuerdo al siguiente procedimiento:
-
Ir a Herramientas >> Opciones >> Pestaña Calcular , tildar la opción “Iteración” y usar 10000
iteraciones.
Elegir una celda cualquiera y apretar “=+(”, seleccionar todas las celdas separándolas por un
“+”, cerrar el paréntesis y dividir todo por 4 ,“)/4”
Copiar la formula (Ctrl C + Ctrl V) en un cuadro de no menos de 50x50
A las celdas del Borde borrar la formula y apretar “=” y seleccionar la celda de adentro de el
cuadro.
Armar la configuración que se les pidió, dándole a las celdas que necesiten un potencial de
1000000
Apretar F9
Seleccionar el cuadro entero e ir a Insertar>> Grafico>> Superficie y Graficar las 2 superficies
en colores en hojas nuevas.
Tener en cuenta que el grafico nos va a mostrar bandas equipotenciales, si uno quiere encontrar las
líneas equipotenciales en las opciones de escala del grafico hay que disminuir la “Unidad Mayor”
4) Recomendaciones para la redacción del informe
Siguiendo las pautas dadas en el modelo de informe, se pide en particular para este trabajo hacer las
siguientes consideraciones en la introducción teórica:
Entre los conceptos centrales se citan:
 Campo y Potencial eléctrico, Trabajo electrostático, líneas equipotenciales y de campo,
consideraciones del modelo empleado, sistema de referencia, ecuaciones, aproximaciones,
medios conductores y dieléctricos, Ley de Gauss y ecuaciones de Poisson y Laplace.
Responder la mayor cantidad de preguntas posibles e incluir las respuestas directamente (sin escribir
las preguntas) en el cuerpo del informe en la sección que se considere pertinente. Las preguntas son
las siguientes:
 Porqué es necesario medir el campo eléctrico de una chapa cargada, en forma indirecta, a
través del potencial que se genera? ¿En qué unidades mide el campo y el potencial eléctrico?
 Porqué se dice que el campo eléctrico es un campo conservativo?
 Qué relación encuentra entre el concepto de una superficie equipotencial habría que medir y
el concepto matemático de una diferencial total exacta?
 Cómo afectan a las mediciones las condiciones de borde del recipiente, al ser este último no
conductor?
5) Cierre del informe
Utilizando los pasos establecidos para la solución numérica de la ecuación de Laplace, se propone
elegir alguno de los siguientes ejemplos para resolverlo con el método de las diferencias finitas
Encuentre la distribución de potencial de las siguientes configuraciones bidimensionales utilizando el
método de relajación con una planilla de cálculo. Grafique la función potencial V[x,y] en 3D y las
líneas equipotenciales de cada configuración.