POTENCIAL ELÉCTRICO

POTENCIAL ELÉCTRICO
Repaso de Mecánica
TRABAJO
Al desplazarse una partícula debido a una fuerza aplicada sobre ella, se está realizando un
trabajo.
En este caso, el trabajo efectuado por la fuerza sobre la partícula se define como el
producto de la magnitud de la fuerza F por la magnitud del desplazamiento (r) o distancia
recorrida. En el caso de que el desplazamiento sea en una dimensión (eje x), el trabajo es:
W  F  x (forma vectorial)
Cuyas unidades son N m
W  Fd cos (forma escalar)
Donde  es el ángulo que forma la fuerza con respecto a la dirección de movimiento.
Como F y d son magnitudes pero el ángulo puede variar de 00 a 1800, entonces el trabajo
puede ser positivo, negativo o nulo, todo dependerá del ángulo  .
El campo Eléctrico que rodea a una carga puntual o cualquier material cargado (sea una
esfera, cilindro, línea de carga, etcétera) puede describirse en función del campo eléctrico
vectorial, pero en algunos casos, es mas conveniente (y mas sencillo) trabajar con
cantidades escalares, tal es el caso del:
POTENCIAL ELÉCTRICO (V)
Para calcular la diferencia de potencial entre dos puntos A y B en un campo eléctrico, una
carga de prueba q0 se desplaza desde el punto A hasta el punto B, manteniéndola en todo
momento en equilibrio, es decir, moviéndola con velocidad constante (v = ctte) y
consecuentemente sin aceleración (a = 0), conociendo el trabajo (WAB) que tiene que
realizar el agente externo para mover la carga q0 en un campo eléctrico, la diferencia o
cambio () de potencial entre los puntos A y B se define como:
V  VB  V A 
W AB
q0
Sus unidades son unidades de trabajo (Joule) por unidad de carga (Coulomb)
Joule
J
  Volt
Coulomb C
Como el trabajo puede ser:
WAB
+
por lo tanto
VB > VA
-
por lo tanto
VB < VA
0
por lo tanto
VB = VA
Para definir el potencial eléctrico en un punto B (VB) se toma el potencial en el punto A
(VA) a una distancia infinita con respecto a B. En ese punto se considera que el potencial es
cero (VA = Vinfinito = 0). Luego entonces:
V
W
q0
Donde W es el trabajo que realiza el agente externo (no la carga fuente)
El potencial cerca de una carga (fuente) aislada positiva es positivo, debido a que el agente
externo debe realizar trabajo positivo, lo cual se muestra esquemáticamente en la siguiente
figura:
Dirección de movimiento (desde el infinito)
q+
Faplicada
q0+
Feléctrica
Donde el trabajo realizado por la fuerza aplicada para traer la carga q 0 desde el infinito
hasta el punto B es:
W  Fd cos
con  = 00
entonces
W>0
El potencial cerca de una carga (fuente) aislada negativa es negativo, debido a que el
agente externo debe realizar trabajo negativo, lo cual se muestra esquemáticamente en la
siguiente figura:
Dirección de movimiento (desde el infinito)
-
q
W  Fd cos
Feléctrica
q0+
con  = 1800 entonces
Faplicada
W<0
Como el potencial se define en función del trabajo realizado y éste a su vez se define como
el producto escalar o producto punto entre dos vectores (Fuerza y Desplazamiento) que es
un escalar, entonces el potencial eléctrico es un escalar
Al igual que el trabajo que se realiza sobre un cuerpo para moverlo desde un punto A hasta
un punto B (en campos conservativos) es independiente de la trayectoria que se sigue, así
mismo la diferencia de potencial eléctrico también es independiente de la trayectoria.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
B
C
D
I
III

II
A
b
a
Antes de analizar las trayectorias de la figura anterior, se debe comprender que la fuerza
aplicada por el agente externo es en todo momento paralela a la fuerza que ejerce la carga o
distribución de cargas, en este caso, es antiparalela. En otras palabras, la fuerza aplicada por
el agente externo no necesariamente está aplicada en la dirección de movimiento. No se
debe confundir con el caso de una fuerza gravitatoria de levantar un cuerpo
Trayectoria I
Dirección de mov.

Fa
Fe
WAB  F  r  F r cos  Fd cos
Donde
cos  
a
d
W A B  Fd
(donde d es la distancia recorrida o la hipotenusa del triángulo que se forma)
a
 Fa
d
Trayectoria II
WAB  WAC  WCB  Fa cos  Fb cos
Donde
  00
y   900
WAB  Fa
Trayectoria III
WAB  WAD  WDB  Fb cos  Fa cos
Donde
  900
y   00
WAB  Fa
De lo anterior se concluye lo siguiente:

Como WAD  0 los potenciales en A y D son los mismos.

Como WC B  0 los potenciales en C y B son los mismos.
Al lugar geométrico para los cuales el potencial eléctrico no cambia, se le llama:
Superficies equipotenciales
Por ejemplo, para una carga puntual, las superficies equipotenciales son esferas
concéntricas a la carga.
Campo Eléctrico
Superficies equipotenciales
Campo Eléctrico y Superficies Equipotenciales de una carga puntual
Para una lámina infinita cargada, las superficies equipotenciales son planos paralelos a la
lámina
Superficies equipotenciales
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Campo
Eléctrico
Superficies equipotenciales y campo eléctrico de una
placa cargada
El Potencial Eléctrico y el Campo Eléctrico (caso particular)
Una carga de prueba positiva q0 se mueve de A a B en un campo eléctrico uniforme E
generado por una distribución de carga. La carga es desplazada debido a la acción que
ejerce un agente externo de tal forma que en todo momento el movimiento es uniforme, es
decir, v = constante (a = 0)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
B
Fa
Fe =q0 E
dl
A
-
Para mover la carga se debe aplicar una fuerza Fa de igual magnitud pero en sentido
contrario a Fe = q0 E
WAB  F  r  F r cos  Fd cos
Donde la Fa y la dirección de movimiento forman un ángulo  = 00
WAB  Fd  q0 Ed
Y la diferencia de potencial entre el punto A y el punto B es:
V  VB  V A 
WAB  q0 Ed

  Ed
q0
q0
Relación que expresada de otra forma es:
E
VB  V A
d
Con lo cual se tienen una nueva expresión para las unidades de campo eléctrico en términos
de:
volts Newton

m
C
El Potencial Eléctrico y el Campo Eléctrico (caso general)
En el caso más general, en el cual el campo eléctrico no es uniforme y en el que el cuerpo
de prueba se mueve alo largo de una trayectoria que no es rectilínea, el agente externo debe
aplicar una fuerza Fa variable, de tal manera que en cualquier instante anule a Fe
(movimiento con v = constante; a = 0).
Fa
Trayectoria
dl

Fe
De la figura se observa que dl es el vector desplazamiento, el cual es tangente a la
trayectoria y forma un ángulo  con respecto al campo eléctrico de ese punto.
La fuerza aplicada Fa es antiparalela a la fuerza eléctrica debida al campo eléctrico, es
decir:
Fa = - Fe = - q0 E
Como se tiene un caso donde tanto F como E son variables, entonces el trabajo es igual a
una integral.
W A B   Fa  dl
B
B
B
A
A
A
WAB   - Fe  dl   q0 E  dl  q0  E  dl
Luego entonces, la diferencia de potencial viene expresada como
B
 q0  E  dl
W
A
VB  V A  AB 
q0
q0
B
VB  V A   E  dl
A
Para el caso anterior donde E es uniforme (E = constante)y la partícula se mueve en
dirección contraria al campo eléctrico, se tiene que:
E  dl  E dl cos  E dl cos1800  E dl
Y la diferencia de potencial es:
B
B
B
A
A
A
VB  V A   E  dl   - E dl  E  dl  Ed
POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL
El campo eléctrico debido a una carga puntual Q+ a una distancia d de la carga es:
E
Q
4 0 r 2
rˆ
Donde el vector unitario r̂ sale de la carga
B
B
Q
A
A
4 0 r 2
VB  V A   E  dl  
rˆ  dl
Evaluando el producto punto
rˆ  dl  rˆ dl cos
Donde es al ángulo que se forma entre el vector que sale de la carga ( r̂ ) y el vector
desplazamiento que se acerca a la carga ( dl ), es decir  = 1800, se tiene que:
rˆ  dl  rˆ dl cos1800  (1) dl (1)  dl
VB  V A   
Q
B
4 0 r
A
-dl  A
B
2
Q
4 0 r 2
dl
Pero como dl = -dr
Entonces:
VB  V A   
rB
r
Q
Q
dr


4 0
4 0 r 2
dr
rA r 2
rB
Donde los límites de integración son ahora: rA y rB, es decir, los vectores de posición que
localizan a los puntos A y B a partir de la carga Q
Resolviendo la integral anterior:
Q
r
B
 1

 r
  rA
dr
Q
VB  V A  

4 0 rA r 2 4 0
VB  V A  
VB  V A 
dr
Q

2

r
A
4 0 r
4 0
rB
r
r
B
Q 1  B
 1


 r
 
  rA 4 0  r  rA
Q 1 1
  
4 0  rB rA 
Si rA  
entonces:
VB 
Q
rB
y el potencial en ese punto es (como ya se mencionó anteriormente) VA = 0,
Q
4 0 d
Donde d es la distancia del centro de la carga al punto donde deseamos conocer el potencial
POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UN CONJUNTO DE CARGAS
El potencial que produce un grupo de cargas puntuales q1, q2, q3, q4,…, qi,... qn, en un punto
del espacio se calcula como sigue:
a) Calcular el potencial debido a la carga qi como si las otras cargas no estuviesen
presentes.
qi
Vi 
4 0 ri
b) Como el potencial es una magnitud escalar y no vectorial como el campo eléctrico,
estos deberán sumarse algebraicamente (esta es una de las ventajas de trabajar con
cantidades escalares)
n
1
i 1
4 0
VP   Vi 
n
qi
i 1
i
r
Donde ri es la distancia de la carga qi al punto P y qi es la carga, la cual puede ser positiva o
negativa.
Ejemplo: dos cargas puntuales de q1 = +12 x 10-9 C y q2 = -12 x 10-9 C están separadas 10
cm. Calcule los potenciales en los puntos a, b y c que se muestran en la siguiente figura.
c
10 cm
b
4 cm
6 cm
El potencial en el punto a es:
Va 
1
4 0
qi
i 1
i
r
Va  9 x109
Va  900
2

N m2
C2
1  q1 q 2 
 

4 0  ra1 ra 2 
 12x109 C (12x109 C ) 



0
.
06
m
0
.
04
m


J
C
Va  900 volts
El potencial en el punto b es:
Vb 
1
4 0
2
qi
i 1
i
r

1  q1 q2 
 

4 0  rb1 rb 2 
10 cm
a
4 cm
N m2
Vb  9 x10
C2
9
 12x109 C (12x109 C ) 



0.14m 
 0.04m
Vb  1930volts
El potencial en el punto c es:
Sin realizar cálculos y analizando la situación, podría decir cual es el potencial en el punto
c
Sugerencia: observe que tiene una carga fuente positiva y una carga fuente negativa, ambas
de la misma magnitud y que una posible carga de prueba se va a traer desde el infinito,
¿realizaría Usted trabajo para colocar la carga de prueba en el punto c?
Los cálculos son:
Vc 
1
4 0
Vb  9 x109
2
qi
i 1
i
r

N m2
C2
1  q1 q 2 
 

4 0  rc1 rc 2 
 12x109 C (12x109 C ) 



0.1m
 0.1m

Vc  0 volts
¿Cuál es la razón por la cual el potencial en el punto c es nulo?
¿Cuánto será la magnitud del campo eléctrico en ese punto? ¿Será nulo también?¿Qué
dirección tendrá?
¿Se realiza trabajo para colocar una carga de prueba en el punto c?
POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS CONTINUAS
Supongamos que una distribución de carga finita se encuentra en una región en el espacio
como se muestra en la figura. Cada elemento infinitesimal de carga dq contribuye al
potencial eléctrico dV en el punto de la siguiente forma:
dV  k
dq
1 dq

r
4 0 r
Donde r es la distancia del elemento infinitesimal de carga dq al punto P. El elemento de
carga puede ser positivo o negativo. El potencial V en el punto P resultante de la
distribución continua de carga se determina mediante la integración de todos los
diferenciales dV. De esta forma, se incluyen todas las cargas.
dq1
Q
dq2
r1
r2
P
V   dV  k 
dq
1

r
4 0

dq
r
Ejemplo: segmento de varilla de longitud L que tiene una densidad lineal de carga 
Calcule el potencial eléctrico en puntos que se encuentran a lo largo de la varilla y a una
distancia d > L
y+
P
+ + + + + + + + + +
x
dq
x=L
r=d-x
d
Como es una distribución lineal de carga:
dq   dx
V   dV  k 
x  L  dx
xL
dx
dq
 k
 k 
x 0 ( d  x)
x 0 ( d  x)
r
Para resolver la integral, se hace cambio de variable
u= d-x
du =-dx
x=d
x+
V  k
xL
x 0
xL
x  L du
 du
 k 
 kln u 
x 0 u
u
x 0
V  k ln(d  x)x0
xL
V  k ln(d  L)  ln(d  0)
V  k ln(d )  ln(d  x)
 d 
V  k ln

d  x
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales se define como el trabajo
necesario para formar este sistema de cargas trayéndolas desde el infinito.
En el caso mas sencillo, supongamos que se tienen dos cargas puntuales separadas por una
distancia r.
q1
q2
r
Supóngase que se lleva a la carga q2 hasta el infinito y se le deja en reposo.
q1
q2 en el infinito
VP
r
El potencial eléctrico en el sitio original de q2 producido por q1 es:
VP  k
q1
1 q1

r 4 0 r
Ahora, si queremos traer a q2 desde el infinito (con v = constante) hasta la distancia
original, debemos realizar un trabajo, para lo cual se aplica una fuerza.
q1
VP
r
Fa
El trabajo que realiza el agente externo viene dado por:
Fe
V  VP  V 
WP
q2
Despejando el trabajo
WP  q2 V  q2 (VP  V )  q2VP
Donde se hizo uso del hecho de que el potencial en el infinito es cero.
Combinando las ecuaciones de potencial eléctrico
VP  k
q1
1 q1

r 4 0 r
y trabajo
W  q2VP
Se tiene que:
W12 
q1q2
4 0 r12
1
Recordando que el trabajo realizado por un agente externo se almacena en forma de energía
y, en este caso, se le denomina: energía potencial eléctrica (U).
U12  W12 
q1q2
4 0 r12
1
En el caso mas general, cuando el sistema consta de mas de dos cargas, el procedimiento a
seguir es el de calcular por separado la energía potencial para cada pareja de cargas y sumar
algebraicamente los resultados.
Ejemplo: Sistema de tres cargas puntuales
Tres cargas puntuales fijas, están dispuestas como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál
es la energía potencial eléctrica de dicha configuración?
Considere que:
q = 1 x 10-7C
a = 10 cm
2
- 4q
a
1
+q
a
a
U = U12 + U13 + U23
U
1  (q)(4q) (q)(2q) (4q)(2q) 



4 0 
a
a
a
U 
 10  q 2 
 
4 0  a 
U  9 x103 Joule
+2q
3
CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO ( E ) A PARTIR DEL POTENCIAL ( V )
Fa
Trayectoria



0
90
Fe=qE
dl
l
E
Er = │E│cos 

V-2 V
V-V
V V+V V+2V
-r
r
E
Gráficamente es sencillo conocer a E si conocemos la familia de superficies equipotenciales
ya que E es perpendicular a ellas.
El equivalente matemático (para conocer E) es de la siguiente forma:
La figura muestra una familia de superficies equipotenciales y el campo eléctrico E en un
punto P. El campo eléctrico es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa por ese
punto.
Supongamos que la carga de prueba q0 se mueve desde P a lo largo de la trayectoria
marcada por dl hasta el equipotencial V + V
El trabajo realizado por el agente que proporciona la fuerza Fa es q0V
W = q0V
El trabajo también se puede calcular mediante:
W  Fa  l
Donde Fa es la fuerza que debe ejercer el agente externo sobre la carga para contrarrestar a
la fuerza eléctrica q0 E
W  Fe  dl  -q0 E  l
El producto punto entre E y l es:
E  l  E l cos
Donde el ángulo que forma el campo eléctrico con respecto a la dirección de movimiento es

o

Luego entonces
E  l  E l cos(   )
Además, en la expresión anterior se tiene que cos () = -cos 
E  l   E l cos
Sustituyendo en la expresión para el trabajo
W  -q0 E  l  -q0 (El cos )
W  q0 E l cos
Por otro lado, se tiene que:
W  q0 V
Igualando las dos últimas expresiones para el trabajo
q0 E l cos  q0 V
o bien
( E cos ) l  V
Pero (E cos  es la componente del campo eléctrico sobre la trayectoria y es contraria a la
dirección de movimiento l, es decir
E cos r = -El
Sustituyendo dicha componente
 El l  V
Se tiene que la componente del campo sobre la dirección de movimiento es:
El  
V
l
Y en el límite diferencial
El  
dV
dl
Donde el signo negativo indica que E apunta en la dirección en que disminuye el potencial
eléctrico V
Ejemplo: campo eléctrico debido a un dipolo
La figura muestra un punto P en el campo de un dipolo que se encuentra en el origen de un
sistema xy. Si el punto P se encuentra a una gran distancia del origen. Encuentre el
potencial en ese punto (r>>a) y, a partir de éste, el campo eléctrico.
P
r1
r
+q
a
a


-q
2
V  Vi  V1  V2 
i 1
V 
q 1 1
  
4 0  r1 r2 
V
q  r2  r1 


4 0  r1 r2 
Si r >> 2a
Entonces
r2
1  q (q) 
 

4 0  r1
r2 
r2 – r1
r2 – r1 ≈ 2a cos 
(no son vectores, es como si r1 fuese un hilo que lo movemos hasta
colocarlo encima de r2 )
r2 r1≈ r2
y el potencial es:
V
2aq cos
p cos

2
4 0 r
4 0 r 2
Donde
p= 2aq (momento dipolar)
que se representa en la siguiente figura como:
P
y+
r

y

x
x+
r  (x2  y 2 )
1
cos 
y
2
(x2  y 2 )
1
2
El valor Ey se obtiene derivando con respecto a esta variable y considerando a x como
constante
V
p
y
4 0 ( x 2  y 2 ) 32
Ey  
V
p  
y

y
4 0  y  ( x 2  y 2 ) 32





Regla para derivar: la de abajo por la derivada de la de arriba, menos la de arriba por la
derivada de la de abajo, todo entre la de abajo elevado al cuadrado
1
3
( x  y )  y ( x 2  y 2 ) 2 (2 y )
p
2
Ey  
2
4 0
(x  y 2 )3
2
Ey  
p
4 0
2
3
2
x2  2y2
(x  y )
2
2
5
2
Ex  
V
p  
y


x
4 0  x ( x 2  y 2 ) 32

Ex  
5
3
( )(x 2  y 2 ) 2 (2 x)
4 0 2
Ex 
py
3p
xy
4 0 ( x 2  y 2 ) 5 2



