GUIA DE CLASE Nº 2

UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
ASIGNATURA
: ESTADISTICA APLICADA I
PROFESORES
: ILMER CONDOR
PERIODO ACADEMICO : 2005 – I
GUIA DE CLASE Nº 2
FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA
Definición
Dada una variable aleatoria discreta X, con p(x) su función de probabilidad, diremos que la
función F es su Función de Distribución Acumulada (FDA) si se define a F como
F ( xi )  P( X 
i
x
xi ) 
j 1
j
Nota 1:
La distribución acumulada la obtenemos sumando las probabilidades de todos los valores
de X, menores o iguales al valor pedido; es decir, si X = 0, 1, 3, 4, ..., n
F(5) = P(X ≤ 5 ) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(4 ) + p(5)
Nota 2:
Si X toma los valores: x1, x2, x3, ..., xr , la forma de presentar la distribución acumulada es
0

0  p( x1)

 F ( )  p ( x2)
F ( x)   x1
 F ( x2)  p( x3)

.......
1

x  x1
x1  x  x2
2
 x  x3
3
 x  x4
x
x
En cada intervalo, X toma
un único valor:, X = xi-1
Y la probabilidad de que
tome dicho valor es
p(xi-1) = P(xi-1 ≤ x < xi)
x  xr
Nota 3:
La gráfica de la distribución acumulada es de la forma
1
F(x3)
F(x2)
F(x1)
X1
X2
X3
Xr
Propiedades de la distribución acumulada
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P1. P(k – 1 ≤ x < k) = p(k-1); ya que el único valor que toma X en ese intervalo es X = k - 1
P2. P(X < k) = P(X ≤ k -1) = F (k – 1)
k-1
k
P3. p(k) = F(k) – F(k – 1); ya que P(X ≤ k) = P(X < k) + p(k); usando P2 se despeja p(k).
Esto significa que podemos hallar el valor de la probabilidad de k; es decir, p(k) usando
las distribución acumulada, restando la acumulada de k -1 a la acumulada de k.
Veamos el siguiente ejemplo
Ejemplo 0
Si X: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; p(x) es su función de probabilidad y F(x) su distribución acumulada,
obtenga una expresión para
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
F(3) = P(X ≤ 3)
F(5) = ..........................................
F(0) = .........................................
P(X ≤ 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
P(X ≤ 5) = ..................................
P(X > 3) = .......................................
P(X > 1 ) = ...................................
P(X ≤ 0 ) = ....................................
TAREA 1: Copie estos resultados a la hoja que se les ha distribuido
Ejemplo 1
Supongamos que la variable aleatoria tiene la siguiente distribución de probabilidad
X
p(x)
0
0.10
1
0.15
2
0.20
3
0.25
4
0.20
5
0.06
6
0.04
Vamos a encontrar F(x)
0
0  0.10

0.10  0.15

0.25  0.20
F ( x)  
0.45  0.25
0.70  0.20

0.90  0.06
0.96  0.04

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x0
0  x 1
1 x  2
2 x3
3 x 4
4 x5
5 x6
x6
0
0.10

0.25

0.45
F ( x)  
0.70
0.90

0.96
1

x0
0  x 1
1 x  2
2x3
3 x4
4x5
5 x6
x6
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Ejemplo 2
Un técnico da servicio a máquinas de correspondencia en cierta ciudad. Dependiendo de la
avería, el servicio puede durar 1, 2, 3 ó 4 horas. Las distintas averías se presentan según la
x
siguiente distribución de probabilidad: p ( x )  , x = 1, 2, 3, 4. Siendo X el número de
10
horas de servicio.
a) Obtenga la distribución de probabilidad de X (p(x))
b) Obtenga la distribución acumulada de X (F(x) )
Sugerencia: En el caso a) debes encontrar la tabla de distribución, usando p(x), para cada
valor de x = 1, 2, 3, 4. Luego, tomando este resultado, debes obtener F(x).
Ejemplo 3
Una variable aleatoria X tiene la siguiente distribución acumulada:
0
1
8

F ( x)   12
7
8

1
x0
0  x 1
1 x  2
2 x3
x3
Obtener:
a) P(X < 2); P(X < 0.5)
b) La función de probabilidad de X
Solución
a) Por la propiedad P2, de la distribución acumulada P(X < 2) = P(X ≤ 1) = F(1) = 1/2.
Del mismo modo, P(X < 0.5) = P(X ≤ 0) = F(0) = 1/8.
b) Observando la distribución acumulada, podemos decir que, los valores que toma X son:
0, 1, 2 y 3. Luego, usando la propiedad P3, en donde p(k) = F(k) – F(k – 1) tenemos:
Si X = 0  p(0) = F(0) – 0 = 1/8 – 0 = 1/8
Si X = 1  p(1) = F(1) – F(0) = 1/2 – 1/8 = 3/8
Si X = 2  p(2) = F(2) – F(1) = 7/8 – 1/2 = 3/8
Si X = 3  p(3) = F(3) – F(2) = 1 – 7/8 = 1/8
Luego la función de probabilidad viene dada por
X
p(x)
0
1/8
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1
3/8
2
3/8
3
1/8
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Vamos a reconstruir la distribución acumulada, a partir de la función de probabilidad
Si
Si
Si
Si
Si
X<0
0≤X<1
1≤X< 2
2≤X<3
X≥3





F(x) = 0
F(x) = P(X < 0) + p(0) = 0 + 1/8
F(x) = P(X < 1) + p(1) = 1/8 + 3/8
F(x) = P(X < 2 ) + p(2) = 4/8 + 1/8
F(x) = P(X < 3 ) + p(3) = 7/8 + 1/8
= 1/8
= 4/8
= 7/8
=1
Luego
0
1
8

F ( x)   12
7
8

1
.........
..............
.................
.................
............
Ejemplo 4
La variable aleatoria X tiene la siguiente función de distribución acumulada:
x  10
0
1
10  x  15
4
F ( x)   3
15  x  20
4
1
x  20

a) A partir de F (x), calcular: P(X  10.5); P(10.2  X  15.5);
b) Obtenga la distribución de probabilidad de X; es decir p(xi).
P(X  15.5)
Ejemplo 5
Un hombre tiene cuatro llaves en su llavero. Como está oscuro, no puede ver cuál es la
llave de la puerta de su casa, por lo que debe probar con cada una de ellas hasta encontrar la
correcta. Sea X el número de llaves que debe probar (incluyendo la correcta) hasta abrir la
puerta. Cuál es la distribución acumulada de X?
Solución:
Como tiene 4 llaves, la probabilidad de que, al elegir una, ésta sea la correcta es ..........
La probabilidad de que al probar una llave, ésta no sea la correcta es ...........
Si C es el evento “La llave es la correcta” y F es el evento “La llave es la correcta” entonces
P(C) = ....... y P(F) = ........
La llave correcta puede ser la primera, la segunda, la tercera o la cuarta que pruebe.
Si la primera que prueba es correcta, entonces X = 1; si fuera la segunda, X = 2, etc. Qué
valores toma X (es decir, cuál es el espacio rango de X): X = ........................
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Para cada valor de X = k, se debe encontrar la probabilidad p(k) = P(X = k); esto es, la
probabilidad de que la llave correcta sea la k_ésima que se prueba.
Si X = 1, representa que la primera que se prueba es la correcta, p(1) = P(X = 1) = .........
Si la segunda es la correcta ( p(2) = P(X = 2) ) entonces la primera tiene que haber fallado
y la segunda tiene que ser la correcta. Esto significa que debe ocurrir el evento compuesto
FC. Por ello debemos encontrar P(FC).
Como los eventos F y C son independientes, P(FC) = P(F)P(C) = ............
Luego P(X = 2 ) = P(FC) = P(F)P(C) = ......
Del mismo modo, P(X = 3) significa que la tercera llave probada es la correcta; en este caso
el evento compuesto es FFC, por ello debemos encontrar P(FCC) = ............
Finalmente, P(X = 4) = P(.............) =
Por tanto la distribución de probabilidad de X es
X
p(x)
Conociendo la distribución de probabilidad de X se puede encontrar F(x).




F ( x)  




x 1
1 x  2
2 x3
3 x  4
x4
Ejemplo 6
Hallar la distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria X, definida como
el número de veces que debe lanzarse una moneda hasta obtener cara por primera vez.
Solución
Cuántas veces como mínimo (en el mejor de los casos) se debe lanzar la moneda para
obtener una cara? ............... ¿Cuántas veces como máximo? ……………..
Según esto qué valores toma la variable X, en general?: ......................
Defina el evento “Se obtiene cara” y el evento “Se obtiene sello” ............... Puede ser A y B
Cuál es la probabilidad de cada uno de estos eventos? P( A ) = .......... P( B ) = ................
Qué evento debe ocurrir para obtener cara en la primera vez? ............ Con qué
probabilidad? ................
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Qué evento compuesto debe ocurrir para obtener cara por primera vez, en el segundo
lanzamiento? ......................... Con qué probabilidad? ............................
Qué evento compuesto debe ocurrir para obtener cara por primera vez, en el tercer
lanzamiento? ................................. Con qué probabilidad? .............................. Simplifique.
Qué evento compuesto debe ocurrir para obtener cara por primera vez, en el cuarto
lanzamiento? ................................. Con qué probabilidad? .............................. Simplifique.
Puede esbozar una fórmula para obtener la probabilidad de obtener cara por primera vez en
el x-ésimo lanzamiento? Cuál es? p(x) = P(X = x) = .........................
Luego la función de probabilidad es p(x) = P(X = x) = .......................
Obtenga una fórmula usando sumatoria para obtener la distribución acumulada F(x).
Ejemplo 7
Hallar la distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria X, definida como
el número de veces que debe lanzarse una moneda hasta obtener cara por tercera vez.
Solución
Cuántas veces como mínimo (en el mejor de los casos) se debe lanzar la moneda para
obtener tres caras? ...............
Qué valores toma la variable X en general?: ......................
Defina el evento “Se obtiene cara” y el evento “Se obtiene sello” ..................
Cuál es la probabilidad de cada uno de estos eventos? ....................................
Qué evento compuesto debe ocurrir cuando X = 3? .................. con qué probabilidad? .........
Qué evento compuesto debe ocurrir cuando X = 4? .................... Es el único evento que
puede ocurrir? ............ Cuál es la probabilidad de cada evento compuesto? ......................
Cuál es la probabilidad de X = 4; es decir, a qué es igual p(4) = P(X = 4) = ....................
Encuentre p(5) = P(X = 5) = .......................
Encuentre p(6) = P(X = 6) = ........................
Encuentre una fórmula para p(k) = P(X = k) = ...................
A partir de esta función encuentre la distribución acumulada de X
Ejercicio 1
TAREA 2: Escriba la solución de este ejercicio en la hoja distribuida
Una organización de consumidores que evalúa automóviles nuevos, reporta en forma
regular, el número de defectos importantes en cada automóvil examinado. Denotemos por
X el número de defectos importantes en un automóvil seleccionado al azar. Si su función de
probabilidad acumulada está dada por
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0
0.06

0.19

0.39
F ( x)  
0.67
0.92

0.97
1

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x0
0  x 1
1 x  2
2 x3
3 x4
4 x5
5 x6
x6
Utilizando la función F(x), calcule las siguientes probabilidades:
a) P(X = 2) =
b) P(X > 2) =
c) P(2  X  5) =
d) P( 2 < X < 5) =
Sugerencia: Recuerde que, en cada intervalo, X toma un único valor; y que para encontrar
p(x) se debe restar, la acumulada del valor (x -1), a la acumulada de dicho valor, F(x), esto
es
p(x) = F(x) – F(x-1)
Abra el archivo VaDiscretas.xls y haga clic en la hoja Acumulada, compruebe la
obtención de la distribución de probabilidad y la gráfica de ambas distribuciones.
Ejercicio 2
Un jugador que tiene $ 700, juega con un dado, usando la siguiente regla: En la primera
tirada, apuesta $ 100 a los números pares y desiste si gana. Si pierde, apuesta $ 200 a los
números pares y desiste si gana. Si pierde de nuevo, apuesta sus últimos $ 400 a los
números pares en la tercera tirada. El juego con un dado duplica la apuesta al ganador.
Hallar la distribución de probabilidad acumulada de X de la ganancia neta del jugador.
ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VARIABLE DISCRETA
Puesto que la ocurrencia de un valor de una variable X es más probable cuando p(x) está
muy cerca de 1 y es muy poco probable cuando p(x) está muy cerca de cero, entonces
podríamos usar la probabilidad de su ocurrencia para “predecir” el valor que puede tomar,
antes de realizar el experimento, en este caso podríamos que dicho valor era lo que se
esperaba que ocurriera. De manera que, conociendo la distribución de probabilidad de una
variable, podemos conocer el valor que se espera que tome antes de realizar el experimento.
Esto es lo que se conoce como la esperanza matemática de una variable aleatoria.
Definición
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Sea X una variable aleatoria discreta (v.a.d.), con p(x) su función de probabilidad. Diremos
que E(x) es la Esperanza Matemática de X y la definiremos como

E ( X )   p( xi )  p( x1)  p( x1)  p( x1)  .... p( xn)  ...
i 1
Interpretación
La esperanza matemática es el valor que se espera que tome la variable aleatoria cuando se
realiza un determinado experimento y se define dicha variable.
Observaciones
1. Por ser el valor que se espera que tome, la esperanza de X se conoce también como el
valor esperado de la variable.
2. A la Esperanza de X se llama también Media de X y se representa como   E ( X )
X
3. La esperanza de una variable no es un valor que toma la variable; es el valor que se
espera tome (aunque nunca lo tome). Es el valor teórico de que se espera que ocurra.
4. A diferencia de la media aritmética que es el promedio real, la media de X es el
promedio teórico de la variable.
5. La esperanza de una variable puede ser positiva o negativa; mayor o menor que 1.
Verdadero/Falso
Positiva
Negativa
Puede tomar valores positivos o negativos
Propiedades de la Esperanza de una variable aleatoria
1. Si X es una constante su esperanza es la misma constante; es decir, E(K) = K
2. La esperanza de una constante por una variable es igual a la constante por la esperanza
de la variable; es decir, E(KY) = K E(Y).
3. De las dos propiedades anteriores, P(C + KY) = K + K E(Y).
Nota:
En capítulos posteriores fundamentaremos estas propiedades.
Ejemplo 1
Una agencia de alquiler de automóviles recibe 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 autos que le devuelven cada
día, con probabilidades 1/6, 1/6, 1/3, 1/12, 1/6, 1/12, respectivamente. Encuentre la media
del número de automóviles devueltos.
Solución
Sugerencia:
Primero obtenga la distribución de probabilidad completando la siguiente tabla. Luego,
usando la definición de E(X), obtenga su valor.
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X
p(x)
Recuerde que E(X) = X1p(x1) + X2p(x2) + X3p(x3) + …. + Xnp(xn)
E(X) = …………………………………..
Ejemplo 2
Lo siguiente, representa la distribución de probabilidad de X, la demanda diaria de cierto
producto. Calcule la demanda diaria esperada.
X
1
2
p(x)
X
0.1
0.1
3
4
5
0.3
0.3
0.2
E(X) = …………………………………………
Ejercicio 1
La demanda diaria de un producto es –1, 0, 1, 2, con probabilidades 1/5, 1/10, 2/5, 3/10,
respectivamente. Una demanda de –1 implica que se devuelve una unidad. Encuentre la
demanda esperada de dicho producto.
Ejemplo 3
TAREA 3: Escriba la solución de este ejemplo en la hoja distribuida
La probabilidad de que una persona venda parte de una propiedad con una ganancia de $
3,000 es 3/20; la probabilidad de que la venda y obtenga una ganancia de $ 1,500 es 7/20;
la probabilidad de que salga a mano, 7/20 y la probabilidad de que pierda $ 1,500 es 3/20.
Cuál es su ganancia esperada?
Solución
Los valores que toma X son: ......................................................
Las probabilidades para cada valor son: .........................................................
Complete la siguiente tabla
X
p(x)
Obtenga E(X) = ......................................................................................................
La ganancia esperada de dicha persona es .....................
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VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Definición
Dado X una variable aleatoria discreta y p(xi) su función de probabilidad, diremos que
V(X) es la varianza de X y la definiremos como
V(X) = E [X – E(X) ]²
Teorema
Si X es una v.a.d. y V(X) es su varianza entonces
V ( X )  E( X ²)  [ E( X )]²
Interpretación
La varianza de una variable es la diferencia cuadrática de la diferencia entre el valor real de
la variable y el valor teórico (valor esperado) de la misma.
Observaciones
1. La varianza de una variable es siempre
Verdadero/Falso
Positiva
Negativa
2. Del teorema podemos obtener: E(X²) = ...........
3. La varianza de X se obtiene sumando el producto de ............................
Propiedades
1. La varianza de una constante es 0; es decir, V(K) = 0
2. La varianza de una constante por una variable es igual al cuadrado de la constante por la
varianza de la variable; es decir, V(KX) = K²V(X)
3. Usando las dos propiedades anteriores, V(C + KX) = K² V(X)
Definición de la desviación estándar
Si V(X) es la varianza de una variable X, diremos que
Estándar de la variable.

X
 V (X ) es la Desviación
Definición del Coeficiente de Variación
El Coeficiente de Variación se define como el cociente entre la Desviación Estándar y la
Media o valor esperado; es decir,
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CV ( X ) 


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X
X
Interpretación:
El coeficiente de variación mide el grado de variabilidad de una variable respecto a su
media. Por lo general se mide en forma porcentual.
Nota:Para hallar la desviación estándar o coeficiente de variación, siga este secuencia:
Primero
: Obtenga la media de X; es decir E(X)
Segundo
: Obtenga la media de X²; es decir, E(X² )
Tercero
: Obtenga la varianza; es decir, V(X) = E(X²) – {E(X)]²
Cuarto
: Obtenga la desviación σX; es decir, la raíz cuadrada de V(X).
Quinto
: Obtenga el coeficiente de variación, CV(X) = σ / μ
Ejemplo 4
Obtenga la varianza y la desviación estándar de la variable del Ejemplo 1.
Solución
La distribución de probabilidad del Ejemplo 1 es la siguiente.
X
p(x)
0
1/6
1
1/6
2
1/3
3
1/12
4
1/6
5
1/12
Primero : E(X) = 0(1/6) + 1(1/6) + 2(1/3) + 3(1/12) + 4(1/6) + 5(1/12) = 13/6
Segundo: E(X²) = 0²(1/6)+1²(1/6)+2²(1/3)+3²(1/12)+4²(1/6)+5²(1/12) = 84/12 = 7
Tercero: La varianza es V(X) = E(X²) – [E(X)]² = 7 – (13/6)² = 83/36 = 2.3055556
Cuarto : La desviación estándar es σX = 1.5184056
Ejemplo 5
Obtenga la varianza y la desviación estándar de la variable del Ejemplo 2
Solución
Primero : E(X) =
Segundo: E(X² ) =
Tercero : La varianza es V(X) =
Cuarto : La desviación estándar es σX =
Ejemplo 6
Suponga que la demanda efectiva de un periódico particular en un quiosco tiene por
función de probabilidad:
X
p(x)
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0
0.1
10
0.1
20 30
0.2 0.3
40
0.1
50
0.2
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El dueño del quiosco compra cada ejemplar a S./ 1.15; los vende a S./ 1.50 y obtiene un
reembolso de S./ 0.50 por cada ejemplar no vendido. Si el dueño decide pedir 60 ejemplares
a la distribuidora y se define la variable Y como la ganancia neta obtenida, encuentre la
ganancia neta esperada y su desviación estándar.
Solución
Sea X: Número de periódicos vendidos
Puesto que debemos encontrar la ganancia neta esperada; esto es, el valor esperado de la
Ganancia Neta, primero debemos encontrar la forma de definir como una nueva variable la
Ganancia Neta.
Sea Y: La Ganancia Neta.
Cómo la podemos definir? Por lo que sabemos ganancia es igual a Ingresos menos Costos.
Según esto, veamos el problema:
Cada periódico cuesta: ......... soles
Cada periódico se vende a: ................. soles
Por cada periódico no vendido se reembolsa: ......... soles
Como se compra 60 periódicos, el costo total es: ............... soles
Si se vende X periódicos, se obtiene como ingreso: ..............soles
La ganancia neta, Y será (ingresos menos costos): Y = ........................................ soles
Simplificando la ecuación de Y, tenemos: Y = ..........................................
Ahora debemos encontrar la esperanza de Y. Esto lo hacemos tomando esperanza a Y
E(Y) = E(...................................)
Aplicando propiedades de esperanza, tenemos: E(Y) = ................ - ..............
Para encontrar su valor primero debemos encontrar: ....................... que es igual a .............
Luego E(Y) =
Interpretación:
Si se compra 60 periódicos a 1.15 soles y se vende a 1.50 soles, la ganancia neta que se
espera obtener será igual a ................ soles.
Esto significa que ..............................................................................................................
Ahora abra el archivo Quiosco.xls que está en el disco duro y responda a las siguientes
preguntas usando la hoja Ejemplo 6:
a) Cuál es el ingreso que se obtiene si se vende 40 periódicos? (observe el valor de Y
para X = 5)
b) ¿Cuántos periódicos conviene vender: 30, 40 ó 50?
c) Cuál es la ganancia neta esperada?
d) Cuál sería la ganancia neta esperada si cada periódico se vende a 2.0 soles?
e) A cuánto se debe vender cada periódico si no se desea ganar ni perder? Aproximad.
TAREA 4: En la hoja distribuida ponga lo siguiente:
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La definición de Y (como ecuación)
E(Y)
Respuestas a d) y e)
Ejemplo 7
Se asegura un diamante de US $ 50,000 por su valor total, pagando una prima de D dólares.
Si la probabilidad de un robo en un año dado es 0.01. Qué prima debería cobrar la
compañía de seguros si espera ganar US $ 1,000?
Solución
Variables que debemos tomar en cuenta:
D: Prima que debe cobrar la compañía de seguros
X: Ganancia de la compañía de seguros
Respecto a los datos:
Valor del diamante: 50,000
Si no hay robo, la ganancia de la compañía es D; es decir, X = D.
La probabilidad de que no haya robo es 0.99
Si hay robo, la ganancia de la compañía es D – 50,000; es decir X = D – 50,000. La
probabilidad de que haya robo es 0.01.
Si X es la ganancia de la compañía de seguros, qué es $ 1,000? .............................
La distribución de probabilidad de la variable Ganancia (X) es
X
p(x)
Según esto, E(X) = ..................................................................................................
Simplificando, reemplazando E(X) y luego despejando D, obtenemos D = ..................
Ejemplo 8
De acuerdo con las más recientes tablas de mortalidad, la probabilidad de que un ciudadano
muera en su vigésimo año de vida es de 0.00178. Una compañía privada de seguros de vida
ofrece 10,000 dólares por año y le vende a un joven de 19 años, una póliza por 100 dólares.
Es decir, que la compañía paga 10,000 dólares a los beneficiarios si el joven asegurado
muere surcando sus 20 años. Si el joven no muere, la compañía retiene o gana los 100
dólares.
a) Cuál es el beneficio esperado de la compañía al vender una póliza de éstas
b) Cuál es la desviación estándar de la ganancia de la compañía?
Solución
De acuerdo a los datos y usando el mismo criterio del ejemplo anterior, tenemos:
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Valor de la póliza
Prima que cobra la compañía
Probabilidad de que el joven muera
Probabilidad de que no muera
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: $ 10,000
: $ 100
: 0.00178
: .................
Según esto:
Sea X la variable definida como
: La ganancia de la compañía de seguros
Si el Joven no muere, la ganancia de la compañía es ................... (la prima)
Si el joven muere, la ganancia de la compañía es ......................... (la prima menos la póliza)
La distribución de probabilidades de X es
X
p(x)
Abra el archivo Quiosco.xls y vaya a la hoja Ejemplo 8. Cuál debe ser la prima que debe
cobrar la compañía de seguros si espera obtener una ganancia de 100.168 dólares?
Ejercicio 2
Un cliente potencial para una póliza de seguro por US $ 20,000 tiene una casa en un área
que, de acuerdo con los datos históricos, puede sufrir una pérdida total en un año, con una
probabilidad de 0.001 y una pérdida del 50%, con una probabilidad de 0.01. Qué prima
tendría que cobrar la Compañía de Seguros por una póliza anual, para salir a mano con
todas las pólizas de US $ 20,000 de este tipo, ignorando todas las pérdidas parciales?
Solución
Prima que debe cobrar: ...................
Valor de la póliza de seguro: ...................
Sea X la variable definida como: .........................................................
La probabilidad de una pérdida total es .........................
La probabilidad de una pérdida del 50% es ...................
Para salir a mano la compañía de seguros debe ganar: ..................
En una pérdida total la compañía deberá pagar: .................
En una pérdida del 50% la compañía deberá pagar: ...............
Si no hay ninguna pérdida la compañía deberá pagar: ...............
La compañía gana, en una pérdida total: ....................... Esto significa que X = ....................
La compañía gana en una pérdida del 50%: .................. Esto significa que X = ....................
La compañía gana cuando no hay pérdida: .................... Esto significa que X = ....................
Luego la distribución de probabilidad de la ganancia, X, es
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X
p(x)
Como para salir a mano se debe cumplir que E(X) = 0,
Obtenga E(X) = ...................
Igualando a 0 y despejando la prima, se obtiene D = ................
Esto significa que la compañía de seguros deben cobrar ............... como prima para no
ganar ni perder; es decir, para salir a mano.
Ejercicio 3
Los accidentes registrados por una compañía de seguros de automóviles, aportan la
siguiente información: La probabilidad de que un automovilista asegurado tenga un
accidente automovilístico es de 0.15. Si ocurre un accidente, el daño al automóvil
representa el 20% de su valor de mercado con una probabilidad de 0.80, un 60% de su valor
de mercado con una probabilidad de 0.12 y representa una pérdida total con una
probabilidad de 0.08. Cuál tendría que ser el valor de una prima que tendrá que cobrar la
compañía para un automóvil que vale $ 4000 para que su ganancia esperada sea 0?
Solución
Sea D la prima que debe cobrar la compañía de seguros
Sea X la variable definida como la ganancia de la compañía
Valor del automóvil: ....................
La probabilidad de que el asegurado tenga un accidente es: .........................
La probabilidad de que el asegurado no tenga un accidente es: .........................
Si tiene accidente
sufre un daño del 20% del valor con probabilidad ...................
sufre un daño del 60% del valor con probabilidad ...................
sufre una pérdida total (100%) del valor con probabilidad .................
Puesto que si no hay accidente la ganancia es la prima que se cobra; es decir, X = D y si
hay accidente, la ganancia es la prima menos lo que debe pagar la compañía, X = D – daño.
De acuerdo al siguiente diagrama, obtenga los valores que toma X (ganancia).
Luego la distribución de probabilidad es
X
p(x)
El valor esperado de X es: ..........................................................................................
Como la ganancia neta esperada debe ser 0, entonces hacemos E(X) = 0
Al resolver la ecuación se obtiene D = ......................
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X = .....................
Pérdida: 800
0.80
0.12
0.08
X = .....................
Pérdida: 2,400
0.15
Pérdida: 4,000
X = .....................
0.85
Pérdida: 0
X = .....................
TAREA 5: Escriba la distribución de probabilidad en la hoja distribuida
Ejercicio 4
Un representante de una industria considera la opción de contratar una póliza de seguros
para cubrir las posibles pérdidas de comercialización de un nuevo producto. Si el producto
resulta ser un completo fracaso, el represente cree que sufrirá una pérdida de US $ 80,000.
Si solo resulta ser de un éxito moderado, se sufrirá una pérdida de US $ 25,000. Los
actuarios de los seguros determinaron basándose en encuestas de mercado y en otra
información disponible, que la probabilidad de que el producto resulte ser un completo
fracaso o un éxito moderado son 0.01 y 0.05, respectivamente. Qué prima tendría que
cobrar la compañía de seguros por la póliza para solo cubrir los gastos suponiendo que el
representante estuviera dispuesto a no considerar cualquier otra posible pérdida?
Ejercicio 5
La siguiente figura muestra la gráfica de la función de probabilidad de la v.a. X
a) Obtenga la función de cuantía de X
b) Calcule el coeficiente de variación de X
15/30
0
9/30
1
2
5/30
1/30
X
3
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Ejercicio 6
Una empresa invirtiendo en el sector industrial ganará 7 millones de dólares con
probabilidad 0.9 y perderá 2 millones con probabilidad 0.1. Invirtiendo en el sector agrícola
ganaría 6 millones de dólares si se construye un determinado reservorio, pero si no se
construye, perdería 2 millones. La probabilidad de que se construya el reservorio es 0.6. a)
Cuál sector es el más favorable a la empresa para la inversión. Justifique. b) Cuál debe ser
la probabilidad de construir el reservorio para que sea indiferente el sector donde se
invierta?
Ejercicio 7
Si el rango de una variable aleatoria es {1, 2, ..., 20}, cuál de las siguientes respuestas
puede ser la varianza de X?:
a) 0
b) 9
c) –10
d) 20
e) Sólo b y d
Ejercicio 8
Sea X una variable aleatoria discreta , pruebe, mediante la definición de valor esperado:
a) E[5X] = 5 E[X]
b) E[X-4] = E[X] – 4
c) V[2X] = 4 V[X]
Solución al caso a)
i 
E[5 X ]   (5 xi ) p( xi )  5 x1 p( x1)  5 x2 p( x2)  ..... 5 x p( x)
i 1
i 
 5( x1 p( x1)  x2 p( x2)  ..... x p( x))  5 xi p( xi )
i 1
 5E[ X ]
Sugerencia para c): Primero encuentre E[2X] y E[2X²] luego encuentre V[2X]
Ejercicio 9
TAREA 6: Escriba la solución a este ejercicio en la hoja distribuida
Determine la Verdad o Falsedad de cada uno de los siguientes incisos:
a) Si X es una variable aleatoria con media 4 y desviación estándar 2 entonces E(23X)=10 y la varianza de 2 – 3X es 12
b) Si la desviación estándar de X es 10 y la media es 40, entonces el coeficiente de
variación de 2X + 10 es 20%
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c) Sea Y = 2X + 1, donde X es una variable aleatoria discreta con media 30 y desviación
estándar 5. Según esto, el coeficiente de variación de Y es superior al 50%(altamente
disperso).
Ejercicio 10
Se lanza una moneda hasta que salga cara. Encuentre el número esperado de tiradas.
Ejercicio 11
Se lanza un dado hasta que salga 4 ó 5. Calcular el número esperado de lanzamientos.
Ejercicio 12
Una fábrica de televisores utiliza un cierto tipo de componente electrónico en el montaje de
televisores a color. Cada televisor requiere 6 de estos componentes. Un componente
defectuoso no puede ser detectado hasta que el televisor ha sido totalmente montado. El
costo de detección, reparación y reposición de un componente defectuoso es de $ 15. El
fabricante ha estado comprando estos componentes en lotes de 100 a dos diferentes
proveedores. El costo de compra por lote al proveedor A es de $ 100, en tanto que el costo
del mismo lote al proveedor B es de $ 120. Basados en experiencias anteriores, las
calidades comparadas de los lotes comprados a los dos proveedores son:
PROVEEDOR A
Nro. Estimado de componentes
defectuosos por lote
1
2
3
5
Proba
bilid.
0.30
0.25
0.20
0.10
PROVEEDOR B
Nro. Estimado de componentes
defectuosos por lote
1
2
3
Proba
bilid.
0.60
0.30
0.10
A qué proveedor debe comprar los componentes electrónicos?
Ejercicio 13
A, B y C cortan un mazo de naipes sucesivamente en ese orden. El primero que saque
corazón, gana S./ 74 soles. Las extracciones se hacen con reposición. Determinar la
esperanza de cada jugador.
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