Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden

Seminario: Expresividad semántica y lógica
de segundo orden
Profesores Eduardo Alejandro Barrio y Javier Castro Albano
1er cuatrimestre de 2008
Facultad de Filosofía y Letras, UBA.
Modelos no estándar
Ignacio Ojea Quintana
1
Introducción
Desarrollamos teorías para hablar acerca de ciertos objetos en particular.
Formulamos esas teorías en un lenguaje formal y pretendemos que los únicos modelos
para ellas sean aquellos que sólo tienen a los objetos particulares de los que queremos
hablar (o son isomórficos con ellos). Éstos son nuestros modelos pretendidos o
estándar.
A partir de los trabajos de Thoralf Albert Skolem, Leopold Löwenheim y Alfred
Tarski, está probado que cualquier teoría consistente1 de primer orden tiene modelos no
estándar, es decir, modelos cuyo dominio es distinto al dominio de todos los objetos
acerca de los cuales la teoría quiere hablar. Hay al menos un sentido claro en el los dos
dominios son distintos: son conjuntos de distinta cardinalidad.
Dos grandes teorías matemáticas se ven principalmente afectadas por estos
resultados, la teoría de conjuntos y la aritmética.
1
Con o sin identidad.
2
Estructura de la exposición
Parte 1: Técnica
A)
Exposición de los principales teoremas Skolem-Löwenheim (Tarski).
B)
Exposición del principal modelo no estándar de la aritmética de Peano.
Parte 2: Consideraciones filosóficas
Señalaré algunas de las tradicionales cuestiones filosóficas surgidas respecto de
los anteriores resultados.
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A) Parte Técnica: Exposición de los principales teoremas Skolem-
Löwenheim (Tarski).
Definiciones:
(1.) Una teoría K es completa si, para toda fbf cerrada  de K, o bien |– K  , o bien
|– K   .
(2.) Una teoría K’ es una extensión de una teoría K si todo teorema de K es un
teorema de K’.
(3.) Un término cerrado es un término sin variables.
(4.) Una teoría K es una teoría scapegoat si, para cualquier fbf  (x) , con x como
única variable libre, hay un término cerrado t, tal que: |– K (x) ( x)   (t ) .
Teoremas previos:

Lema de Lindenbaum (Prop. 2.14 del Mendelson, pg. 86): Si K es una teoría
consistente, entonces hay una extensión J completa y consistente de K.

Lema 1 (2.15, pg. 87): Toda teoría consistente K tiene una extensión consistente K’
tal que K’ es una teoría scapegoat y K’ contiene una cantidad contable de términos
cerrados.

Lema 2 (2.16, pg. 89): Si J es una teoría scapegoat completa y consistente,
entonces J tiene un modelo M cuyo dominio es el conjunto D de términos cerrados
de J.
Teorema: Toda teoría consistente K tiene un modelo contable (de cardinalidad  0 ).
Prueba:
-
Por el Lema 1, K tiene una extensión consistente K’ que es una teoría scapegoat y
contiene una cantidad contable de términos cerrados.
-
Por el Lema de Lindenbaum, K’ tiene una extensión completa y consistente J que
tiene los mismos símbolos que K’ (por como está hecha la demostración).
-
J es también una teoría scapegoat (K’ era una teoría scapegoat, luego |–
K'
(x) ( x)   (t ) para cualquier fbf  (x) ; pero J es una extensión de K’, luego
|– J (x) ( x)   (t ) para cualquier fbf  (x) , luego J es una teoría scapegoat).
-
Por el Lema 2, J tiene un modelo M cuyo dominio es el conjunto contable de
términos cerrados de J.
4
-
J es una extensión de K’, que es una extensión de K; luego, todo teorema (y
axioma) de K es un teorema (o axioma) de J. Luego, si M es un modelo de J, M
hace verdaderos a todos los axiomas de J, luego hace verdaderos a todos los
axiomas de K, luego M es un modelo de K.
Teorema: Para cualquier número cardinal m   0 , cualquier teoría consistente K
tiene un modelo de cardinalidad m.
Como sabemos por el teorema anterior, sabemos que K tiene un modelo de cardinalidad
 0 , luego, necesitamos probar que si n y m son dos números cardinales tales que
n  m y si K tiene un modelo de cardinalidad m, entonces K tiene un modelo de
cardinalidad n.
Prueba:
-
Sea M un modelo de K con un dominio D de cardinalidad m.
-
Sea D’ un conjunto de cardinalidad n que contenga a D.
-
Podemos extender M a un modelo M’ con dominio D’ con el siguiente artilugio:
Sea c un elemento fijo de D; estipulamos que todos los elementos de D’-D se
comporten como c. Ejemplo: Se f M ( Aj n )  B j n y f M ' ( Aj n )  (B j n )' . Luego, para
cualesquiera d1 ,...,d n en D’, ( B j n )' se da para ( d1 ,...,d n ) si y sólo si B j n se da para
( u1 ,...,u n ), donde ui  d i si d i  D y ui  c si d i  D’-D. De modo análogo, se
establece la interpretación de las letras funcionales. Las constantes de individuo
conservan la misma interpretación que en M.
-
Por inducción en el número de conectivas y cuantificadores en una fbf  se puede
mostrar que  es verdadera en M si y sólo si  es verdadera en M’.
Estos teoremas pueden ser extendidos a teorías con identidad2.
2
El principal recurso técnico para lograr esa extensión es agregar un conjunto de constantes de
individuo d ,...,d de la cardianlidad que se necesite y agregar los axiomas d  d , para cada i  j.
1
n
i
j
5
Demostración de los Lemas

Lema de Lindenbaum (Prop. 2.14 del Mendelson, pg. 86): Si K es una teoría
consistente, entonces hay una extensión J completa y consistente de K.
Como las expresiones de un lenguaje L son contables, hay una lista 1 ,2 ,... de todas
las fbf cerradas de K.
Defino inductivamente una secuencia de teorías T0 ,T1 ,T2 ,...de la siguiente manera: (1)
T0 =K. (2) Sea Tn ya definida; si |– Tn  n 1 , entonces Tn1  Tn . Si no es el caso de que |–
Tn
 n 1 , entonces Tn1  Tn   n1 .

Sea T= Ti .
i 0
Para probar que T es consistente, alcanza con probar que todas las Ti son consistentes,
porque una prueba de una contradicción en T, como involucra solo un numero finito de
axiomas, es también una prueba de contradicción en alguna Ti 3.
Probamos la consistencia de las Ti por inducción. (1) T0 =K consistente. (2) Hipótesis:
Ti es consistente. Luego, si Ti = Ti 1 , Ti 1 es consistente. Si son distintas, entonces no es
el caso de que |– Ti  i 1 . Por un Lema (2.12, pg. 85), si agregamos  i 1 como axioma,
mantenemos la consistencia, luego Ti 1 es consistente.
Para probar que T es completa, notemos que si  es una fbf cerrada, entonces
 =  j 1 para algún j  0.
Ahora bien, o bien |– Tj  j 1 o bien |– Tj 1  j 1 , si no es el caso de que |– Tj  j 1 ,
entonces  j 1 es un axioma de T j 1 . Luego, o bien |– T  j 1 o bien |– T  j 1 .

Lema 1 (2.15, pg. 87): Toda teoría consistente K tiene una extensión consistente K’
tal que K’ es una teoría scapegoat y K’ contiene una cantidad contable de términos
cerrados.
Agreguemos a K un conjunto contable de constantes individuales { b1 , b2 ,...} y
llamemos a la nueva teoría K 0 .
K 0 es consistente, porque cualquier prueba de contradicción en K 0 puede ser llevada
adelante en K reemplazando las apariciones de bi por variables.
Sea F1( xi ) , F2( xi ) , …, Fk ( xik ) , … una enumeración de todas las fbf de K 0 .
1
2
3
Éste es el nucleo conceptual de la demostración del Teorema de Compacidad, que más tarde utilizaré
para otros fines.
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Tomemos una nueva secuencia de constantes de individuo b j1 , b j2 ,... tals que cada b jk no
aparezca en ninguna de las fbf F1( xi ) , F2( xi ) , …, Fk ( xi ) , … y sea distinto de
k
1
2
b j1 , b j2 ,..., b jk 1 .
Sea (S k ) (xik )Fk ( xik )  Fk (b jk ) .
Sea K n ={ K 0 }  { ( S1 ) , (S 2 ) ,…, (S n ) }

Sea K  = { K 0 }  {K i } .
i 0
Para demostrar la consistencia de K  nos alcanza con probar la que todas las K n son
consistentes, y esto se hace por inducción (desde ya que no es circunstancia para
hacerlo).

Lema 2 (2.16, pg. 89): Si J es una teoría scapegoat completa y consistente,
entonces J tiene un modelo M cuyo dominio es el conjunto D de términos cerrados
de J.
Definimos:

(ai ) M  ai .

( f k ) M (t1 ,...,tn )  ( f k ) (t1 ,...,tn ) .

n
n
( Ak ) M   t1 ,...,tn  tales que que |– j Ak (t1 ,...,tn ) .
n
n
Tenemos que mostrar ahora, para cualquier fbf  , que:
(B) |– j  si y solo si |= M  .
La prueba es por inducción sobre el número de conectivas de  .
(1) Si  es una fórmula atómica Ak n (t1 ,...,tn ) , B se sigue directamente de la definición
de ( Ak n ) M .
(2) Supongamos que B se da para todas las fbf con menos de q conectivas y
cuantificadores. La estrategia es separar en casos y considerar cada una de las
posibilidades. Procederé aquí dando solo el ejemplo del primer caso:
a)  es   . Si  es verdadera en M,  es falsa en M y por hipótesis inductiva,
no-|– j  . Dado que J es completa y que  es cerrada, |– j   , esto es, |– j  .
Si  no es verdadera en M, entonces  es verdadera en M. Por lo tanto, |– j  .
Dado que J es consistente, no-|– j   , esto es, no-|– j  .
b)  es    .
7
c)  es (xm )
a. Si  es una fórmula cerrada.
b. Si  no es una fórmula cerrada.
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B) Parte Técnica: Modelos no estándar de la aritmética de Peano.
Axiomas de Peano:
(P1) 0 es un número natural.
(P2) Si x es un número natural, entonces s(x) es un número natural.
(P3) 0 no es el sucesor de ningún número.
(P4) Si dos números tienen el mismo sucesor, entonces son el mismo número.
(P5) Si P es una propiedad que puede poseer o no cualquier número natural, y si (1) 0
tiene la propiedad P y (2) si x tienen la propiedad P, entonces s(x) tiene la propiedad P;
entonces todos los números naturales tienen la propiedad P.
Formalización del principio de inducción matemática como axioma esquema:

 (0)  ((x)( ( x)   ( s( x)))  (x) ( x)) , para cualquier fbf  (x) de la teoría.
Demostración de que hay Modelos no estándar de la Aritmética de Peano:
Teorema previo, Compacidad: Dado un conjunto infinito  de oraciones, si todo
subconjunto finito de ese conjunto tiene modelo, entonces  tiene modelo.
Sean:

N un modelo estándar de la aritmética.

Th(N) el conjunto de oraciones verdaderas en N.

c una constante nueva.

Para cada n  N sea Gn la oración “n < c”.

G= {Gn }
nN
Prueba:
Consideremos ahora el conjunto de oraciones S = Th(N)  G.
Cada subconjunto finito F de S tiene un modelo: basta con tomar N y asignar c = k 
N, donde k > n para cada n tal que Gn  F, y tenemos un modelo de F.
Por el teorema de compacidad, S tiene un modelo M.
Por el teorema de Löwenheim-Skolem antes demostrado, hay un modelo contable M
que es un modelo de S. Pero Th(N)  S, y por tanto todos los teoremas de Th(N) son
teoremas de S, por lo que M también es un modelo de Th(N).
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Algunos teoremas acerca de los modelos no estándar de la aritmética:
Teorema 1: Si M es un modelo no estándar de la aritmética, entonces hay un
subconjunto S del dominio de M que es isomorfo a N.
Teorema 2: Sea c  M un elemento no estándar. Entonces existen elementos c-n, c+n
 M, para cada n  N.
Prueba: (x)( x  0  (y)( y  1  x))  Th(N), por lo tanto c-1  M, y c-2, c-3, etc.
Por otro lado, (x)(y)( x  1  y)  Th(N), por lo tanto c+1  M, y c+2, c+3, etc.
Descripción intuitiva de la estructura de los modelos no estándar de la aritmética:
Por el Teorema 1, sabemos que N  M (o al menos un conjunto isomorfo a N).
Por la demostración anterior, sabemos que habrá elementos c, c’, … que sean mayores a
todos los elementos de N.
Por el Teorema 2, sabemos que si hay un elemento c no estándar, entonces habrá
infinitos c’>c e infinitos c”<c.
N
0
1
2
3
...
...
-3*
-2*
-1*
0*
1*
2*
3*
M
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Consideraciones filosóficas
Una de las maneras más interesantes de interpretar estos resultados es como lo
hizo el mismo Skolem. Sorprendentemente, concluyó diferentes moralejas de la
existencia de modelos no estándar en el caso de la teoría de conjuntos y en el caso de la
aritmética.
En el caso de la teoría de conjuntos, Skolem hace en [Skolem 1929] la siguiente
observación:
“One recognizes here again, as with the earlier review of the Löwenheim Theorem, that
there is no possibility of introducing something absolutely uncountable except by
means of pure dogma”
Por absolutamente incontables entendía conjuntos que son incontables no
relativamente a un modelo, sino en el “universo real” estudiado por las matemáticas no
formalizadas (intuitivas).
En el caso de la aritmética, basta notar el nombre de su artículo de 1934: “Sobre
la imposibilidad de caracterizar la secuencia de números mediante una cantidad finita o
infinita contable de enunciados involucrando solamente variables numéricas”. Para
Skolem, los modelos no estándar muestran, en el caso de la aritmética, una limitación
para el enfoque formalizado: el fracaso en determinar completamente los modelos
pretendidos.
Otra alterna alternativa es la adoptada por Abraham Robinson, que
considerando tanto a los modelos estándar como no estándar como ficciones últiles,
logró dar cuenta de modo preciso de la idea de infitesimales, a través del uso de
modelos no estándar semejantes al de los números reales.
Haim Gaifman en (2003) rescata al final de su artículo, en una línea cercana a la
de Robinson, algunas virtudes de investigar los modelos no estádar:
(1) Los Modelos no estándar son estructuras matemáticamente interesantes.
Principalmente porque comparten varias propiedades de primer orden con los modelos
estándar, pero son muy estructuralmente diferentes a ellos.
(2) Se han usado muy poco para establecer propiedades de sistemas deductivos. Por
ejemplo, se puede fácilmente demostrar con ellos que la “induction fija” no es
suficiente para definir la exponenciación.
(3) Fueron usados para encontrar resultados, o nuevas pruebas iluminadoras, en otras
ramas de la matemática (el trabajo de Gromov en la teoría de grupos, el trabajo de
Keisler en probabilidad).
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(4) Los trabajos de A. Robinson.
(5) Pueden servir como guía heurística para el comportamiento “in the infinite” (SIC).
Bibliografía:
-
Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic, Londres, Chapman y Hall,
1997, 4ª edición.
Haim, Gaifman. En: Nonstandard Models of Arithmetic and Set Theory, ed. A.
Enayat and R. Kossak, The Contemporary Mathematics Series, Am. Math. Soc.
publications, 2003, pp. 1-22.
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