introducción a la economía de la empresa

introducción a la economía de la empresa
cap. Iv formas de medición económica en la empresa
* Productividad
resultado de la producción
productividad = ----------------------------------------------------factores de producción utilizados
producto (resultado)
productividad de la mano de obra = ----------------------------------------------------nº de hombres o de horas/hombre
producto
productividad del material empleado = ---------------------------------material consumido
* Rentabilidad
beneficio
rentabilidad = -----------------capital
beneficio según balance
rentabilidad del balance = --------------------------------------capital según balance
beneficio de producción
rentabilidad de la explotación = --------------------------------------------------------capital necesario para la explotación
beneficio
rentabilidad de las ventas = ------------------------------- x 100
volumen de ventas
beneficio neto
rentabilidad del capital propio = ------------------------- x 100
capital propio
beneficio neto + intereses de capital ajeno + interés capital propio
rentabilidad de la empresa = -----------------------------------------------------------------------------------------------------capital propio
rentabilidad capital propio = rentabilidad de ventas x rotación capital propio
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
1
* Valor futuro
- interés compuesto
- interés simple
VF = VA x (1 + k) n
VF = VA x (1 + n + k)
k : tipo de interés
* Valor actual
VF
VA = --------------(1 + k)n
* Valor futuro de una renta
- postpagable
(1 + k) n – 1
VF = Q ----------------------k
- prepagable
(1 + k) n – 1
VF = Q ----------------------- (1 + k)
k
* Valor actual de una renta
- postpagable
1 – (1 + k) –n
VA = Q --------------------------k
- prepagable
1 – (1 + k) –n
VA = Q --------------------------- (1 + k)
k
* Valor actual de una renta perpetua
- postpagable
Q
VA = --------k
- prepagable
Q
VA = --------- (1 + k)
k
* Valor actual y futuro de una corriente de flujos desiguales
VA = Q1 (1 + k)–1 + Q2 (1 + k) –2 + … + Qn–2 (1 + k) –(n–2) + Qn–1 (1 + k) –(n–1) + Qn (1 + k) –n
VF = Q1 (1 + k) n–1 + Q2 (1 + k) n–2 + … + Qn–2 (1 + k) 2 + Qn–1 (1 + k) 1 + Qn
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
2
* Valor actual y futuro de una cantidad capitalizada durante n periodos anuales (m veces al año)
k nxm
VF = VA 1 + ------n
VF
VA = -----------------------------k nxm
1 + ------m
* Amortización de prestamos
- método francés (anualidad constante)
Ej: 2.400.000 a pagar al final de cada año, durante 3 años con un 8% de interés
1º hay que calcular la anualidad = suma de los intereses más la cuota de amortización del prestamo
P
P
P
1 – (1,08)-3
2.400.000 = ---------- + ----------- + -------------  2.400.000 = P --------------------  P = 2.400.000 / 2.5771
(1,08) (1,08)2
(1,08)3
0,08
P = 931.280 pts.
Intereses = principal * k
Principal vivo = principal – cuota de amortización
Amortización = anualidad – intereses
Año
1
2
3
Principal
2.400.000
1.660.720
862.298
Intereses
192.000
132.858
68.984
393.842
Anualidad
931.280
931.280
931.280
2.793.840
Amortización
739.280
798.422
862.298
2.400.000
Principal vivo
1.660.720
862.298
0
- método de la cuota de amortización fija (amortización constante)
Ej: 2.400.000 a pagar al final de cada año, durante 3 años con un 8% de interés
1º calculamos la cuota de amortización = 2.400.000 / 3 = 800.000 pts.
Intereses = principal * k
Principal vivo = principal – cuota de amortización
Anualidad = amortización + intereses
Año
1
2
3
Principal
2.400.000
1.600.000
800.000
Intereses
192.000
128.000
64.000
384.000
Anualidad
992.000
928.000
864.000
2.784.000
Amortización
800.000
800.000
800.000
2.400.000
Principal vivo
1.600.000
800.000
0
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
3
Se desea solicitar un crédito a cuatro años por un importe de 4 millones de u.m. en una entidad bancaria que
carga un 10% anual. Si el método de amortización es el método francés…
P
P
P
P
1 – (1,1)-4
Anualidad = 4.000.000 = ---------- + ------------ + ------------ + ------------  4.000.000 = P -------------------(1,1)
(1,1)2
(1,1)3
(1,1)4
(0,1)
P = 1.261.883 pts.
Intereses n = principal n * k
año 1 = 4.000.000 * 0.1 = 400.000
año 2 = …
Amortización n = anualidad n – intereses n
año 1 = 1.261.883 + 400.000 = 861.883
año 2 = …
Principal vivo n = principal n – cuota de amortización n
año 1 = 4.000.000 – 861.883 = 3.138.117
año 2 = …
Año
1
2
3
4
Principal
4.000.000
3.138.117
2.190.046
1.147.167
Intereses
400.000
313.812
219.004
114.717
1.047.533
Anualidad
1.261.883
1.261.883
1.261.883
1.261.883
5.047.532
Amortización
861.883
948.071
1.042.879
1.147.166
4.000.000
Principal vivo
3.138.117
2.190.046
1.147.167
0
1. el principal vivo del préstamo a final del año 3 será:
a) 2.190.045 u.m.
b) 1.147.167 u.m.
c) 1.042.879 u.m.
d) 948.072 u.m.
2. la cuota de amortización del año 3 será:
a) 2.190.045 u.m.
b) 1.147.167 u.m.
c) 1.042.879 u.m.
d) 948.072 u.m.
3. los intereses a pagar durante el cuarto año serán:
a) 114.717 u.m.
b) 219.005 u.m.
c) 400.000 u.m.
d) 397.566 u.m.
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
4
cap. V la inversión en la empresa
* Métodos de análisis de proyectos de inversión
- plazo de recuperación
A
A : desembolso inicial
P = --------Q : flujos de caja constantes
Q
un proyecto de inversión será efectuable siempre que su plazo de recuperación sea inferior o igual al plazo
que establezca la dirección de la empresa; y entre diferente inversiones será preferible aquella con el menor
plazo de recuperación
- flujo de caja total por unidad monetaria comprometida
Q1 + Q2 + … + Qn
FCT = -------------------------------A
un proyecto será efectuable siempre que su flujo de caja total por unidad monetaria comprometida sea
superior a la unidad; y entre diferentes inversiones será preferible aquella con el mayor flujo
- flujo de caja medio anual por unidad monetaria comprometida
Qm
Q1 + Q 2 + … + Q n
FCMA = -----------Qm = --------------------------------A
n
un proyecto será efectuable siempre que su flujo de caja medio anual por unidad monetaria comprometida
sea superior al que marque como mínimo la empresa; y entre diferentes inversiones será preferible aquella
con el mayor flujo
- el valor actual neto
de un proyecto de inversión es la suma de actualizada de los flujos de caja que esperamos genere a lo largo
de su vida
Q1
Q2
Qj
Qn
VAN = –A + VA = –A + --------------- + --------------- + … + -------------- + … + --------------(1 + k)
(1 + k)2
(1 + k)j
(1 + k)n
* si los flujos de caja son constantes…
1
1 – --------------(1 + k)n
VAN = –A + Q ---------------------------k
* si los flujos de caja son constantes y la duración de la inversión es infinita…
Q
VAN = –A + ------K
un proyecto de inversión será efectuable siempre que su VAN sea positivo; y entre diferentes inversiones será
preferible aquella con un VAN mayor
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
5
- la tasa de rentabilidad interna
de un proyecto es la tasa de descuento que hace que su valor actual neto sea igual a cero
Q1
Q2
Qn
VAN = –A + --------------- + --------------- + … + --------------- = 0
(1 + r)
(1 + r)2
(1 + r)n
la tasa de rentabilidad interna será aquel valor de r que verifique la ecuación
* si los flujos de caja son constantes…
1
1 – --------------(1 + r)n
VAN = –A + Q ---------------------------- = 0
r
* si los flujos de caja son constantes y la duración de la inversión es infinita…
Q
Q
VAN = –A + ------- = 0  r = ------R
A
un proyecto de inversión será efectuable siempre que su tasa de rentabilidad interna r supere a su
rentabilidad requerida k; y entre diferentes inversiones será preferible aquella con una TIR mayor
- efecto de la inflación
para calcular la tasa de actualización real usaremos la siguiente expresión
ka – g
ka : tipo aparente
kr = -----------------kr : tipo real
1+g
g : tasa de inflación
el VAN con el efecto de la inflación quedará de la siguiente forma:
Q1
Q2
Qn
VAN = –A + ---------------------------- + ------------------------------ + … + -----------------------------(1 + kr) (1 + g)
(1 + kr)2 (1 + g)2
(1 + kr)n (1 + g)n
la TIR con el efecto de la inflación será aquella tasa de actualización que haga el VAN igual a 0
Q1
Q2
Qn
VAN = –A + ---------------------------- + ------------------------------ + … + ------------------------------ = 0
(1 + rr) (1 + g)
(1 + rr)2 (1 + g)2
(1 + rr)n (1 + g)n
- efecto de los impuestos
Q1 (1 – t)
Q2 (1 – t)
Qn (1 – t)
VAN = –A + ------------------- + ------------------ + … + -----------------(1 + k)
(1 + k)2
(1 + k)n
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
6
Sea un proyecto de inversión definido por los siguientes flujos de caja:
–1.000.000/453.296/852.823
La tasa de rentabilidad requerida es del 12 %
1. ¿cuál es el flujo de caja total por unidad monetaria comprometida?
a) 0,6531
b) 0,7656
c) 1,3061
d) 0,3828
Q1 + Q 2
453.296 + 852.823
T = --------------- = -------------------------------------- = 1,306119
A
1.000.000
2. ¿cuál es el flujo de caja medio anual por unidad monetaria comprometida?
a) 0,6531
b) 0,7656
c) 1,3061
d) 0,3828
T
1,306119
Qm = --------------- = ------------------ = 0,6530595
Años
2
3. ¿cuál es la TIR del proyecto?
a) 18 % anual
b) 118 % anual
c) 7,7538 % anual
d) 12,38 % anual
453.296
852.823
VAN = – 1.000.000 + ------------------- + ---------------------- = 0 
(1 + r)
(1 + r)2
 (cambio de signo) 1.000.000·(1 + r)2 – 453.296·(1 + r) – 852.823 = 0 
 453.296·(1 + r) = 1.000.000·(1 + r)2 – 852.823
453.296 ± √ 453.2962 – 4 · 1.000.000 · (–852.823)
1 + r = -------------------------------------------------------------------------------- = 1,177538  r = 0,1775 = 18 %
2 · 1.000.000
4. bajo el supuesto de que la tasa de inflación es del 5% anual, ¿cuál es la tasa de rentabilidad interna
aparente del proyecto?
a) 117,7538 % anual
b) 18 % anual
c) 7,3846 % anual
d) 12,38 % anual
ra – g
rr = ----------------  ra = g + rr · (1 + g) = 0,05 + 0,12 · (1,05) = 0,05 + 0,126 = 0,176
1+g
ra = 0,18  18 %
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
7
5. bajo el supuesto de que la tasa de inflación es del 5% anual, ¿cuál es la tasa de rentabilidad interna real
del proyecto?
a) 117,7538 % anual
b) 18 % anual
c) 7,3846 % anual
d) 12,38 % anual
ra – g
0,18 – 0,05
rr = ---------------- = --------------------- = 0,1238  rr = 12,38 %
1+g
1 + 0,05
Sean dos proyectos de inversión, A y B, que requieren unos desembolsos iniciales de 2.000 y 1.000 u.m.
respectivamente, y que generan ilimitadamente unos flujos de caja anuales constantes iguales a 1.000 u.m. la
inversión A y 600 u.m. la inversión B:
1. si el tipo de descuento es el 10 %, el VAN del proyecto A es:
a) –1.091 u.m.
b) 8.000 u.m.
c) –1.000 u.m.
d) 4.326,45 u.m.
1.000
VAN = –2.000 + -------------- = 8.000 u.m.
0,10
2. si el tipo de descuento es el 10 %, el VAN del proyecto B es:
a) –400 u.m.
b) –454,54 u.m.
c) 2.834,74 u.m.
d) 5.000 u.m.
600
VAN = –1.000 + ----------- = 5.000 u.m.
0,10
3. la tasa de rentabilidad interna del proyecto A es:
a) 2 por uno anual
b) –0,5 por uno anual
c) 0,5 por uno anual
d) 1 por uno anual
Q
1.000
r = ------- = ------------ = 0,5
A
2.000
4. la tasa de rentabilidad interna del proyecto B es:
a) –0,4 por uno anual
b) 1,667 por uno anual
c) 0,667 por uno anual
d) 0,6 por uno anual
Q
600
r = ------- = ------------ = 0,6
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
8
A
1.000
5. si el tipo de descuento es el 45 %, ¿qué proyecto de inversión es preferible según el criterio del VAN?
a) el proyecto A
b) el proyecto B
c) los dos proyectos son indiferentes
d) ninguno de los dos proyectos es rentable
1.000
600
VANa = –2.000 + ----------- = 222,22 u.m.
VANb = –1.000 + ----------- = 333,33 u.m.
0,45
0,45
6. si el tipo de descuento es el 70 %, ¿qué proyecto de inversión es preferible según el criterio del VAN?
a) el proyecto A
b) el proyecto B
c) los dos proyectos son indiferentes
d) ninguno de los dos proyectos es rentable
1.000
600
VANa = –2.000 + ----------- = –571,42 u.m.
VANb = –1.000 + ----------- = –142,86 u.m.
0,7
0,7
Sean dos proyectos de inversión, A y B, definidos por los siguientes flujos de caja:
A: –1.000/700/1.400
B: –1.400/1.300/1.300
1. si el tipo de descuento es el 10 %, el VAN del proyecto A es:
a) 909,09 u.m.
b) 146.000 u.m.
c) 793,39 u.m.
d) 1.100 u.m.
700
1.400
VAN = –1.000 + ------------------ + ------------------- = 793,39 u.m.
(1 + 0,1)
(1 + 0,1)2
2. si el tipo de descuento es el 10 %, el VAN del proyecto B es:
a) 141.600 u.m.
b) 963,64 u.m.
c) 1.200 u.m.
d) 856,20 u.m.
1.300
1.300
VAN = –1.400 + ------------------ + ------------------- = 856,20 u.m.
(1 + 0,1)
(1 + 0,1)2
3. la tasa de rentabilidad interna del proyecto A es:
a) 2,1 por uno anual
700
1.400
b) 1,58 por uno anual
VAN = –1.000 + -------------- + -------------- = 0
c) 1,1 por uno anual
(1 + r)
(1 + r)2
d) 0,58 por uno anual
700 ± √ 7002 – 4 · 1.000 · (–1.400)
700 + 2.467,8
 1 + r = -------------------------------------------------------- = ----------------------------  r = 1,58 – 1 = 0,58
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
9
2 · 1.000
2.000
4. la tasa de rentabilidad interna del proyecto B es:
a) 0,8 por uno anual
1.300
1.300
b) 1,8 por uno anual
VAN = –1.400 + --------------- + --------------- = 0
c) 0,53 por uno anual
(1 + r)
(1 + r)2
d) 1,53 por uno anual
1.300 ± √ 1.3002 – 4 · 1.400 · (–1.300)
1.300 + 2.995
1 + r = -------------------------------------------------------------- = --------------------------  r = 1,53 – 1 = 0,53
2 · 1.400
2.800
5. si el tipo de descuento es el 45 %, ¿qué proyecto de inversión es preferible según el criterio del VAN?
a) ninguno de los dos proyectos es rentable
b) el proyecto B
c) el proyecto A
d) los dos proyectos son indiferentes
700
1.400
VANa = –1.000 + ------------------ + ------------------- = 148,63 u.m.
(1 + 0,45)
(1 + 0,45)2
1.300
1.300
VANb = –1.400 + ------------------ + ------------------- = 114,86 u.m.
(1 + 0,45)
(1 + 0,45)2
6. si el tipo de descuento es el 70 %, ¿qué proyecto de inversión es preferible según el criterio del VAN?
a) ninguno de los dos proyectos es rentable
b) los dos proyectos son indiferentes
c) el proyecto A
d) el proyecto B
700
1.400
VANa = –1.000 + ------------------ + ------------------- = –103,81 u.m.
(1 + 0,7)
(1 + 0,7)2
1.300
1.300
VANb = –1.400 + ------------------ + ------------------- = –185,47 u.m.
(1 + 0,7)
(1 + 0,7)2
Sean dos proyectos de inversión, A y B, definidos por los siguientes flujos de caja:
A: –50.000/65.000
B: –100.000/120.000
1. si el tipo de descuento es el 7 %, el VAN del proyecto A es:
a) 10.747,66 u.m.
b) 10.044,54 u.m.
c) 110.747,66 u.m.
d) –27.508,65 u.m.
65.000
VAN = –50.000 + ----------------- = 10.747,66 u.m.
(1 + 0,07)
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
10
2. si el tipo de descuento es el 7 %, el VAN del proyecto B es:
a) 11.354,7 u.m.
b) 12.149,53 u.m.
c) –29.411,76 u.m.
d) 212.149,53 u.m.
120.000
VAN = –100.000 + ------------------ = 12.149,53 u.m.
(1 + 0,07)
3. la tasa de rentabilidad interna del proyecto A es:
a) 1,3 por uno anual
b) –0,3 por uno anual
c) 0,3 por uno anual
d) 0,7692 por uno anual
65.000
65.000
VAN = –50.000 + ---------------- = 0  r = ---------------- – 1 = 0,3
(1 + r)
50.000
4. la tasa de rentabilidad interna del proyecto B es:
a) –0,2 por uno anual
b) 1,2 por uno anual
c) 0,833 por uno anual
d) 0,2 por uno anual
120.000
120.000
VAN = –100.000 + ---------------- = 0  r = ----------------- – 1 = 0,2
(1 + r)
100.000
5. si el tipo de descuento es el 0,35 por uno, ¿qué proyecto de inversión es preferible según el criterio del
VAN?
a) el proyecto A
b) el proyecto B
c) los dos proyectos son indiferentes
d) ninguno de los dos proyectos es rentable
65.000
VANa = –50.000 + ------------------- = –1.851,85 u.m.
(1 + 0.35)
120.000
VANb = –100.000 + ------------------- = –11.111,11 u.m.
(1 + 0.35)
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
11
6. si el tipo de descuento es el 0,07 por uno, ¿qué proyecto de inversión es preferible según el criterio del
VAN?
a) el proyecto A
b) el proyecto B
c) los dos proyectos son indiferentes
d) ninguno de los dos proyectos es rentable
65.000
VANa = –50.000 + ------------------- = 10.747,66 u.m.
(1 + 0.07)
120.000
VANb = –100.000 + ------------------- = 12.149,53 u.m.
(1 + 0.07)
La empresa Examinasa, está considerando realizar una inversión que exige un desembolso inicial de
1.000.000 de u.m. Los flujos de caja previstos son de 300.000 u.m. anuales durante siete años. Si no existiera
inflación y la tasa de rentabilidad requerida fuera del 10 %:
1. ¿cuál sería el VAN del proyecto de inversión?
a) 460.526 u.m.
b) 534.738 u.m.
c) –398.375 u.m
d) 233.877 u.m.
1
1 – -----------------(1 + 0,1)7
0,486841…
VAN = –1.000.000 + 300.000 ------------------------------- = – 1.000.000 + 300.000 -----------------------0,1
0,1
2. ¿cuál sería el plazo de recuperación descontado de la inversión?
a) 4 años y 4 meses
b) 3 años y 4 meses
c) 3 años y 9 meses
d) 5 años
1.000.000
P = ------------------- = 3,33  3 años y 4 meses
300.000
3. ¿cuál sería el VAN de la inversión si la duración se supusiera ilimitada?
a) –727.273 u.m.
b) 2.000.000 u.m.
c) –700.000 u.m.
d) 567.453 u.m.
300.000
VAN = –1.000.000 + ------------------- = 2.000.000 u.m.
0,1
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
12
4. ¿cuál sería la TIR de la inversión si la duración se supusiera ilimitada?
a) –0,7 por uno
b) 0,7 por uno
c) 0,3 por uno
d) 0,5 por uno
300.000
300.000
VAN = –1.000.000 + --------------- = 0  r = ------------------- = 0,3
r
1.000.000
5. ¿cuál sería el VAN de la inversión si la duración se supusiera ilimitada y existiera una tasa de inflación
anual y acumulativa del 5%?
a) –727.273 u.m.
b) 2.000.000 u.m.
c) 935.484 u.m.
d) 800.000 u.m.
1
1 – -----------------(1 + 0,05)
0,2893186…
VAN = –1.000.000 + 300.000 ------------------------------- = – 1.000.000 + 300.000 -----------------------0,05
0,05
6. ¿cuál sería la TIR de la inversión si la duración se supusiera ilimitada y existiera una tasa de inflación
anual y acumulativa del 5%?
a) 0,2381 por uno
b) 0,7 por uno
c) 0,3 por uno
d) 0,2 por uno
0,1 – 0,05
kr = ------------------ = 0,04762
1 + 0,05
Un proyecto de inversión requiere un desembolso inicial de 20 millones de euros durante dos años, en el
primero de los cuales genera un cobro de 30 millones de € y de 40 millones en el segundo. Además precisa
de un pago de 10 millones de € en el primer año y otro de 20 millones de € en el segundo. La tasa de
rentabilidad requerida es del 12 %:
1. el plazo de recuperación del proyecto es:
a) doce meses
b) seis meses
c) ocho meses
d) nueve meses
30.000.000 – 10.000.000
P = ----------------------------------------- = 1 año
20.000.000
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
13
2. el valor actual neto de la inversión es:
a) 15,71 millones de €
b) 11,89 millones de €
c) 13,80 millones de €
d) 20,75 millones de €
20.000.000
20.000.000
VAN = –20.000.000 + --------------------- + -------------------- = 13.801.020,4 millones de €
(1 + 0,12)
(1 + 0,12)2
3. la TIR del proyecto es:
a) 41,42 % anual
20.000.000
20.000.000
b) 50 % anual
VAN = –20.000.000 + --------------------- + -------------------- = 0
c) 61,80 % anual
(1 + r)
(1 + r)2
d) 12,25 % anual
1
1
0 = –1 + ------------- + ----------------  0 = 1·(1 + r)2 – (1 + r) – 1  1 + r = (1 + r)2 – 1
(1 + r)
(1 + r)2
1 ± √12 – 4·1·(–1)
1 + 2,2360
1 + r = --------------------------------- = -------------------- = 1,6180  r = 0,6180 = 61,80 %
2·1
2
4. bajo el supuesto de que la tasa de inflación durante los dos años que dura la inversión es del 6% anual,
¿cuál es la tasa de rentabilidad interna aparente del proyecto?
a) 41,42 % anual
b) 61,80 % anual
c) 47 % anual
d) 53 % anual
La tasa de rentabilidad interna aparente sería la TIR
5. y ¿cuál es la tasa de rentabilidad interna real del proyecto?
a) 53 % anual
b) 47 % anual
c) 41,42 % anual
d) todas las respuestas anteriores son falsas
0,618 – 0,06
kr = ---------------------- = 0,5264  53 %
1 + 0,06
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
14
cap. Vii financiación
* fondo de maniobra
FM = activo circulante – créditos de provisión
ó
FM = recursos permanentes – activo fijo
* los ratios financieros
- 1º se refiere a la liquidez y relaciona al activo disponible y realizable con el pasivo exigible a corto plazo
A. disponible + A. realizable
R = -------------------------------------------Pasivo exigible a corto plazo
- 2º se refiere a la solvencia de la empresa y el grado de endeudamiento de la misma
Recursos propios
R = ---------------------------Recursos ajenos
- 3º se refiere a la cobertura de las inmovilizaciones técnicas con recursos propios
Recursos propios
R = ----------------------------------Inmovilizados técnicos
- 4º se refiere a la rapidez con la que se cobran las ventas a créditos, indicamos el nº de rotaciones de la
cuenta de clientes a lo largo del año
Ventas (a crédito)
365
R = -------------------------------------- ; --------- = período medio de cobo
Saldo medio cta. Clientes
R
- 5º indica la rotación del stock de mercancías
Volumen ventas
365
R = ------------------------------------- ; --------- = período medio de rotación
Stock medio P. Total
R
- 6º indica el rendimiento de los inmovilizados técnicos
Vol. ventas
R = --------------------------Inmovilizaciones
- 7º indica la velocidad de rotación de los fondos propios de la empresa
Vol. ventas
Vol. ventas
R = --------------------------R = ----------------------------Recursos propios
Recursos totales
- 8º nos da la rentabilidad del capital propio
Beneficio neto
R = --------------------------Recursos propios
- 9º da la rentabilidad de las ventas
Beneficio
R = -------------------introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
15
Vol. ventas
- 10º y 11º relacional el activo total (como conjunto de inversiones productivas) con el beneficio y con el
volumen de ventas
Beneficio
Vol. ventas
R = -------------------R = --------------------Activo total
Activo total
En la siguiente tabla se recoge en millones de u.m. el balance de situación de la empresa IEESA. La cifra
anual de ventas ha sido de 30 millones de u.m.
Activo
Tesorería
15
Relizable
37
Existencias
25
Activo fijo neto
38,25
Total Activo
115,25
Pasivo
Pasivo a corto plazo 19,25 (ajeno)
Prestamos a l/p
15 (ajeno)
Capital social
50 (propio)
Reservas
31 (propio)
Total Pasivo
115,25
1. el ratio que indica la velocidad de rotación del capital propio:
a) 2,7
b) 0,3125
c) 0,3704
d) 2,3650
Vol. Ventas
30
R = --------------------------- = --------- = 0,3704
Recursos propios
81
2. el grado de endeudamiento de la empresa es:
a) 0,0292
b) 2,2833
c) 2,3650
d) 0,4228
Recursos propios
81
Ge = ------------------------------- = ------------- = 2,3650
Recursos ajenos
34,25
3. el fondo de maniobra es:
a) 38,75 millones de u.m.
b) 19 millones de u.m.
c) 57,75 millones de u.m.
d) 62 millones de u.m.
FM = activo circulante – créditos provisión
FM = (tesorería + realizable + existencias) – pasivo a corto plazo
FM = 15 + 37 + 25 – 19,25 = 57,75
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
16
cap. Xii adquisición y renovación de equipos
* métodos de amortización
- método lineal
A = V o – Vr
A : base amortizable, Vo : valor inicial, Vr : valor residual
ai = A / n
ai : cuota periodo i, n : tiempo
- método de los números crecientes
2i
A = I (ó Vo) – Vr
ai = ---------------- · A
n (n + 1)
truco (ej. 4 años)
i
ai
--------- -----------1
1/10
a1 = 1/10 · A
2
2/10
a2 = 2/10 · A
3
3/10
a3 = 3/10 · A
n= 4
4/10
a4 = 4/10 · A
--------10
- método de los números decrecientes
2n
A = I (ó Vo) – Vr
ai = ---------------- · A
n (n + 1)
truco (ej. 7 años)
i
ai
--------- -----------1
7/28
a1 = 7/28 · A
2
6/28
a2 = 6/28 · A
3
5/28
a3 = 5/28 · A
4
4/28
a4 = 4/28 · A
5
3/28
a5 = 3/28 · A
6
2/28
a6 = 2/28 · A
n= 7
1/28
a7 = 1/28 · A
--------28
- método del tanto fijo sobre una base decreciente
Vr 1 / n
t = 1 – ----------Vo
ai = t · Vo (1 – t)i – 1
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
17
La empresa Aprobado S.A. acaba de adquirir un camión nuevo por el que ha pagado 400.000 euros y por el
que espera recibir 50.000 euros cuando lo venda dentro de cuatro años:
1. la cuota de amortización anual bajo el método lineal es:
a) 87.500 €
b) 100.000 €
c) 40.000 €
d) 95.000 €
A = Vo – Vr = 400.000 – 50.000 = 350.000
ai = A / n = 350.000 / 4 = 87.500 €
2. la cuota de amortización del primer año bajo el método de los números decrecientes es:
a) 140.000 €
b) 35.000 €
c) 40.000 €
d) 160.000 €
4 años  n = 10  n1 = 4/10
ai = A · ni = 350.000 · 4/10 = 140.000 €
3. la cuota de amortización del primer año bajo el método de los números crecientes es:
a) 140.000 €
b) 35.000 €
c) 40.000 €
d) 160.000 €
4 años  n = 10  n1 = 1/10
ai = A · ni = 350.000 · 1/10 = 35.000 €
4. la cuota de amortización del cuarto año bajo el método del tanto fijo sobre una base decreciente es:
a) 10.803,8 €
b) 50.000 €
c) 15.846,2 €
d) 34.089,6 €
50.000 1 / 4
t = 1 – ----------------- t = 1 – 0,59460355750136053335874998528024 = 0,405396…
400.000
a4 = t · 400.000 · (1 – t)4 – 1 = 0,405396 · 400.000 · (1 – 0,495396)3 = 34.089,6 €
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
18
cap. Xiii gestión de stocks
* decisiones sobre el inventario
CT coste total = coste de adquisición + coste propio del inventario + coste de gestión del pedido
CA coste de adquisición = precio de compra del producto (P) · demanda o consumo del producto (D)
CP coste propio del inventario = coste de mantenimiento del producto por unidad y tiempo (Cp) · el stock
medio (Q/2)
CG coste de gestión de pedido = coste del pedido (Cg) · demanda total (D) / volumen del pedido (Q)
Q
D
 CT = P·D + CP · ------ + CG · -------2
Q
 el volumen optimo de pedido que representa el menor coste:
2·Cg·D
Q = √ --------------CP
Sea una empresa dedicada a la distribución de vinos. El número de botellas que consume anualmente es de
100.000, siendo el precio medio de cada una de 20 €, debiendo pagar 2 € por cada pedido habitual que hace a
su bodeguero. El coste de almacenamiento de una botella durante un año es de 2,5 €.
Demanda D = 100.000
Coste gestión Cg = 2 €
Coste mantenimiento Cp = 2,5 €
Precio P = 20 €
1. ¿cuál es el volumen óptimo del pedido en u.f. según el modelo de Wilson?
a) 400 u.f.
2·Cg·D
2·2·100.000
b) 500 u.f.
Q = √ -------------- = √ ------------------- = 400
c) 1789 u.f.
Cp
2,5
d) 283 u.f.
2. ¿cuántos pedidos se deben efectuar al año?
a) 353 pedidos
b) 56 pedidos
nº pedidos = D / Q = 100.000 / 400 = 250
c) 200 pedidos
d) 250 pedidos
3. ¿cuál es el stock medio en u.f.?
a) 250 u.f.
b) 200 u.f.
stock medio = Q / 2 = 400 / 2 = 200
c) 895 u.f.
d) 142 u.f.
4. ¿cuál es el coste total del inventario?
a) 2.001.060 €
Q
D
b) 2.002.348 €
CT = P·D + Cp ------- + Cg -------- = 20·100.000 + 2,5·200 + 2·250 = 2.001.000
c) 2.001.000 €
2
Q
d) 2.001.025 €
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
19
cap. Xxiv decisiones
* Los árboles de decisión
Una empresa está valorando la posibilidad de construir una nueva planta, las posibilidades son construir una
planta grande, una mediana o no construir ninguna. Se estima que existe un 40% de probabilidad de que el
mercado sea favorable y un 60% de que sea desfavorable. Si se construye una planta grande y el mercado es
favorable, el beneficio será de 200.000 €, mientras que si es desfavorable la pérdida será de 90.000 €. Si
construye una planta mediana y el mercado es favorable, el beneficio será 120.000 € y si es desfavorable, la
pérdida será de 25.000 €. Si se decide no construir el beneficio será nulo.
1. el resultado asociado a la decisión de “construir una planta grande” es:
a) 80.000 €
b) 26.000 €
c) –54.000 €
d) 84.000 €
V = 200.000·0,4 – 90.000·0,6 = 26.000
2. el resultado asociado a la decisión de “construir una planta mediana” es:
a) 48.000 €
b) –15.000 €
c) 33.000 €
d) 62.000 €
V = 120.000·0,4 – 25.000·0,6 = 33.000
3. ¿qué alternativa proporciona el mayor valor monetario esperado?
a) construir una planta grande
b) construir una planta mediana
c) no construir
d) las tres alternativas proporcionan un valor monetario esperado negativo
Si la probabilidad de que el mercado sea favorable fuera del 60% y de que sea desfavorable 40%:
4. el resultado asociado a la decisión de “construir una planta grande” sería:
a) 80.000 €
b) 26.000 €
c) –54.000 €
d) 84.000 €
V = 200.000·0,6 – 90.000·0,4 = 84.000
5. el resultado asociado a la decisión de “construir una planta mediana” sería:
a) 48.000 €
b) –15.000 €
c) 33.000 €
d) 62.000 €
V = 120.000·0,6 – 25.000·0,4 =
6. ¿qué alternativa proporciona el mayor valor monetario esperado?
a) construir una planta grande
b) construir una planta mediana
c) no construir
d) las tres alternativas proporcionan un valor monetario esperado negativo
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
20
Un empresario se plantea el problema de tener que elegir entre dos alternativas de producción que
designaremos como “producción grande” y “producción pequeña”. La decisión debe mantenerse durante los
próximos dos años, en cada uno de los cuales podrían darse dos posibles estados de mercado: demanda baja
o demanda alta. La probabilidad de que se dé una demanda baja durante el primer año es del 30%. Por otra
parte la probabilidad de que en el segundo año se mantenga el mismo estado de demanda que en el primer
año es del 75%. Los desembolsos iniciales son de 30 y 10 millones de € para la producción grande y para la
pequeña respectivamente. Los flujos netos de caja (en millones de €) al final de cada año en las cuatro
combinaciones posibles son:
Demanda
Alta
Baja
Grande
100
–50
Producción
Pequeña
10
35
El tipo de descuento adecuado al proyecto es del 10%
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
21
1. el valor asociado al nudo 4 es:
a) 50,57
b) 112,56
c) 35,88
d) ninguno de los anteriores
V = 143,55·0,75 + 19,58·0,25 = 112,56
2. el valor asociado al nudo 5 es:
a) –85,78
b) 112,56
c) –23,8
d) ninguno de los anteriores
V = 7,19·0,25 – 116,77·0.75 = –85,78
3. el valor asociado al nudo 6 es:
a) 50,57
b) 112,56
c) 12,51
d) ninguno de los anteriores
V = 7,35·0,75 + 28,01·0,25 = 12,51
4. el valor asociado al nudo 7 es:
a) 50,57
b) 45,57
c) 12,51
d) ninguno de los anteriores
V = 30,08·0,25 + 50,75·0,75 = 45,57
5. el valor asociado al nudo 2 es:
a) –26,28
b) 53,05
c) –85,78
d) ninguno de los anteriores
V = 112,56·0,7 – 85,78·0,3 = 53,05
6. el valor asociado al nudo 3 es:
a) 35,65
b) 53,05
c) 22,43
d) ninguno de los anteriores
V = 12,51·0,7 + 45,57·0,3 = 22,43
7. la decisión óptima según el criterio del VAN es:
a) producción grande
b) producción pequeña
c) no existe una decisión óptima
d) las dos alternativas son indiferentes
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
22
* Criterios de decisión
- Laplace o de Bayes (de igual verosimilitud)
Se suman los pagos de cada alternativa y se dividen por el número de estados de la naturaleza posibles, y se
elige aquella alternativa que tenga mayor resultado medio
- Maximax u optimista
Se trata de elegir la alternativa que ofrezca el máximo resultado, sin tener en cuenta las pérdidas que puedan
derivarse de que se presentara otra situación o estado de la naturaleza
- Wald (pesimista) - maximin
Se trata de elegir el mejor resultado en los estados de naturaleza en que nos sea desfavorable
- Hurwicz
Hay que considerar un coeficiente de optimismo que puede tomar cualquier valor entre 0 y 1. Si llamamos α
a este coeficiente, para elegir la alternativa de mayor resultado tenemos que coger el máximo de la
alternativa y el mínimo de dicha alternativa y hallarlo mediante la siguiente formula:
Alternn = α·Maxn + (1 – α)·Minn
- Savage (matriz de pesares) - minimax
Tenemos que construir una nueva matriz llamada de pesares siguiendo varios pasos:
1º Examinamos la primera columna del original y cogemos el mejor resultado, vamos rellenando la nueva
matriz restando a todos los resultados ese mejor resultado, así sucesivamente con cada columna
y 2º A continuación elegiremos el peor resultado en los estados de la naturaleza en que nos sea favorable
Supongamos cuatro alternativas sujetas a cuatro posibles situaciones o estados de la naturaleza y cuyos
resultados mostramos en la siguiente matriz de pagos. Constante de Hurwicz = 0,4
S1
4
2
0
2
A1
A2
A3
A4
- laplace
A1 = 4+4+0+2 / 4 = 2,5
A2 = 2+2+2+2 / 4 = 2
A3 = 0+8+0+0 / 4 = 2
A4 = 2+6+0+0 / 4 = 2
- wald
A1 = 0
A2 = 2
A3 = 0
A4 = 0
- savage
A1
A2
A3
A4
S1
0
2
4
2
S2
4
6
0
2
S3
2
0
2
2
S4
0
0
2
2
S2
4
2
8
6
S3
S4
0
2
2
2
0
0
0
0
- maximax
A1 = 4
A2 = 2
A3 = 8
A4 = 6
- hurwicz
A1 = 4·(0,4) + 0·(0,6) = 1,6
A2 = 2·(0,4) + 2·(0,6) = 0,8 + 1,2 = 2
A3 = 8·(0,4) + 0·(0,6) = 3,2
A4 = 6·(0,4) + 0·(0,6) = 2,4
A1 = 4
A2 = 6
A3 = 4
A4 = 2
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
23
Supongamos cuatro alternativas sujetas a cuatro posibles situaciones o estados de la naturaleza y cuyos
resultados mostramos en la siguiente matriz de pagos. Constante de Hurwicz = 0,1
A1
A2
A3
A4
- laplace
A1 = 10+3+5 / 3 = 6
A2 = 5+8+9 / 3 = 7,33
A3 = 1+9+15 / 3 = 8,33
A4 = 2+16+3 / 3 = 7
- wald
A1 = 3
A2 = 5
A3 = 1
A4 = 2
- savage
A1
A2
A3
A4
S1
0
5
9
8
S2
13
8
7
0
S1
10
5
1
2
S2
S3
3
5
8
9
9
15
16
3
- maximax
A1 = 10
A2 = 9
A3 = 15
A4 = 16
- hurwicz
A1 = 10·(0,1) + 3·(0,9) = 3,7
A2 = 9·(0,1) + 5·(0,9) = 5,4
A3 = 15·(0,1) + 1·(0,9) = 2,4
A4 = 16·(0,1) + 2·(0,9) = 3,4
S3
10
6
0
12
A1 = 13
A2 = 8
A3 = 9
A4 = 12
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
24
cap. Xxii la programación lineal
Para fabricar una nueva crema, la empresa Cremita S.A. necesita incorporar, al menos, 80 gr. de la sustancia
A y 100 gr. de la sustancia B, por cada kilogramo de crema. Estas sustancias pueden obtenerse a través de la
materia prima X, que cuesta 25 € cada kg., y a partir de la materia Y, que cuesta 30 € por kg. De cada kg. de
materia X se obtienen 40 gr. de sustancia A y 20 gr. de sustancia B, mientras que de cada kg. de materia Y se
obtienen 20 gr. de materia A y 50 gr. de materia B.
X
Y
A
40 gr.
20 gr.
80gr./kg.
B
20 gr.
50 gr.
100 gr./kg.
€
25
30
MinC = 25X + 30Y  MinC = 25·1,25 + 30·1,5 = 76,25
40X + 20Y ≥ 80
20X + 50Y ≥ 100
20X – 30Y = –20  2X – 3Y = –2  X = 3Y – 2 /2
Sust. X  4·(3Y – 2/2) + 2Y = 8  6Y – 4 + 2Y = 8  8Y = 12  Y = 1,5
Sust. Y  X = 3Y – 2 /2  X = 4,5 – 2/2  X = 2,5 /2  X = 1,25
1. ¿cuántos kilos de materia Y debe utilizar para minimizar el coste de un kilogramo de crema solar?
a) 1,25 kg.
b) 1,5 kg.
c) 2 kg.
d) ninguna de las respuestas anteriores es cierta
2. ¿cuántos kilos de materia X debe utilizar para minimizar el coste de un kilogramo de crema solar?
a) 1,25 kg.
b) 1,5 kg.
c) 2 kg.
d) ninguna de las respuestas anteriores es cierta
3. ¿cuál es el mínimo coste en el que puede incurrir la empresa al fabricar un kilogramo de crema solar?
a) 80 €
b) 100 €
c) 76,25 €
d) ninguna de las respuestas anteriores es cierta
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
25
Una empresa productora de alimentos para animales necesita proporcionar, como parte integrante de su
producto, tres vitaminas con requisitos mínimos que debe cumplir. Las vitaminas se pueden obtener en
diferentes cantidades de la materia prima A, que cuesta 9 € el kg. Igualmente, se pueden obtener de la
materia prima B, que vale 7 € el kg. Ahora bien, la materia prima A contiene 15 unidades de la vitamina 1, 20
unidades de la vitamina 2 y 15 unidades de la vitamina 3. La materia prima B contiene 10 unidades de la
vitamina 1, 5 unidades de la vitamina 2 y 25 unidades de la vitamina 3. Las necesidades mínimas que debe
cumplir el producto terminado son 60 unidades de la vitamina 1, 40 unidades de la vitamina 2 y 75 unidades
de la vitamina 3. Se desea determinar la combinación ideal de materias primas para minimizar los costes.
Vitamina 1
Vitamina 2
Vitamina 3
€
MinC = 9A + 7B
20A + 5B ≥ 40
15A + 10B ≥ 60
15A + 25B ≥ 75
Materia A
15
20
15
9
Materia B
10
5
25
7
60
40
75
5A – 5B = –20  A = B – 4
15·(B – 4) + 10B = 60  15B – 60 + 10 B = 60  25 B = 120  B = 4,8
A = 4,8 – 4  A = 0,8
MinC = 9·0,8 + 7·4,8 = 40,8
15B = 15  B = 1
15A + 25·1 = 75  15A = 50  A = 3,33
MinC = 9·3,33 + 7·1 = 37
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
26
El jefe de producción de una empresa dedicada a la fabricación de muebles tiene que decidir al llegar una
mañana a su trabajo, cuántas sillas y cuántas banquetas se han de fabricar ese día. Su decisión final en
relación con el número de unidades a fabricar ha de tender a la realización del máximo beneficio posible.
Para construir las sillas y las banquetas disponemos de 156 palos, 64 tablas y 140 listones. Para construir una
silla es necesario 4 palos, 8 tablas y 5 listones. Para construir una banqueta es necesario 3 palos, 1 tabla y 4
listones. El precio de cada palo es de 5 €, el de cada tabla 3 € y el de cada listón 9 €.
Palos 5 €
Tablas 3 €
Listones 9 €
€
Sillas(C)
4
8
5
89/100
Banquetas(S)
3
1
4
54/58
156
64
140
MaxBo = 11C + 4S
4C + 3S ≤ 156
76 + 3C
8C + 1S ≤ 64
3C – 3S = –76  S = ----------------5C + 4S ≤ 140
3
76 + 3C
8C + ----------------- = 64  24C + 76 + 3C = 192  27C = 116  C = 4,29  C = 4
3
76 + 3C
76 + 3·4,29
88,87
S = -----------------  S = ----------------------  S = ---------------  S = 29,62  S = 30
3
3
3
MaxBº = 11·4 + 4·30 = 164
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
27
cap. Xxiii el pert
En un grafo pert, la flecha de una actividad parte de un nudo que tiene una oscilación de 5, y tiene su destino
en un nudo que tiene una oscilación de 4. El tiempo last del nudo de destino es 10, el tiempo early del de
origen es 3 y la actividad dura 1.
1. ¿cuánto vale su holgura independiente?
a) 6
b) 2
HI = Ed – Lo – D = 6 – 8 – 1 = –3
c) –3
d) 0
2. ¿cuánto vale su holgura total?
a) 6
b) 2
HT = Ld – Eo – D = 10 – 3 – 1 = 6
c) –3
d) 0
3. ¿cuánto vale su holgura libre?
a) 6
b) 2
HL = Ed – Eo – D = 6 – 3 – 1 = 2
c) –3
d) 0
En un grafo pert, la flecha de una actividad parte de un nudo que tiene una oscilación de 3, y tiene su destino
en un nudo que tiene una oscilación de 2. El tiempo last del nudo de destino es 41, el tiempo early del de
origen es 20 y la actividad dura 10.
1. ¿cuánto vale su holgura independiente?
a) 14
b) 12
HI = Ed – Lo – D = 42 – 23 – 10 = 9
c) 9
d) 11
2. ¿cuánto vale su holgura total?
a) 14
b) 12
HT = Ld – Eo – D = 44 – 20 – 10 = 14
c) 9
d) 11
3. ¿cuánto vale su holgura libre?
a) 14
b) 12
HL = Ed – Eo – D = 42 – 20 – 10 = 12
c) 9
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
28
d) 11
Se dispone de la siguiente información sobre las actividades necesarias para desarrollar el proyecto aprobado
Actividades
A
B
C
D
E
Duración
2
3
5
3
1
Actividades precedentes
A
B, E
D
Numerando los nudos de izquierda a derecha y de arriba a bajo:
1. el tiempo early del nudo 2 es:
a) 4
b) 2
c) 3
d) 0
2. el tiempo early del nudo 3 es:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
3. el tiempo last del nudo 3 es:
a) 4
b) 9
c) 6
d) 3
4. el tiempo last del nudo 4 es:
a) 17
b) 7
c) 5
d) 4
5. la oscilación del nudo 3 es:
a) 1
b) 6
c) 5
d) 0
6. el camino crítico está formado por las actividades:
a) D, E, C
b) A, B, C
c) A, B, D
d) D, B, E
7. la duración del proyecto es de:
a) 14 días
b) 9 días
c) 10 días
d) 7 días
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
29
Un proyecto está formado por cuatro actividades: la actividad A, que tiene una duración de 2 días, la
actividad B, que dura 3 días, la C, que dura 10 días y la D, con 8 días de duración. La actividad A precede a la
B y a la C y ambas preceden a la D.
1. la holgura total de la actividad A vale:
a) 2
b) 1
c) 0
HT = Ld – Eo – D = 2 – 0 – 2 = 0
d) 3
2. la holgura libre de la actividad B vale:
a) 0
b) 7
c) 10
HL = Ed – Eo – D = 12 – 2 – 3 = 7
d) 1
3. la holgura libre de la actividad C vale:
a) 0
b) 7
c) 10
HL = Ed – Eo – D = 12 – 2 – 10 = 0
d) 1
4. la holgura total de la actividad B vale:
a) 0
b) 7
c) 10
HT = Ld – Eo – D = 12 – 2 – 3 = 7
d) 1
5. la holgura total de la actividad C vale:
a) 0
b) 7
c) 10
HT = Ld – Eo – D = 12 – 2 – 10 = 0
d) 1
6. la holgura independiente de la actividad D vale:
a) 0
b) 4
c) 20
HI = Ed – Lo – D = 20 – 12 – 8 = 0
d) 1
7. la duración del proyecto es:
a) 23 días
b) 20 días
c) 13 días
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
30
d) ninguna de las respuestas anteriores es cierta
En un grafo pert, la flecha de una actividad parte de un nudo que tiene una oscilación de 5, y tiene su destino
en un nudo que tiene una oscilación de 4. El tiempo last del nudo de destino es 10, el tiempo early del de
origen es 37 y la actividad dura 1
1. ¿cuánto vale su holgura independiente?
a) 6
b) 2
HI = Ed – Lo – D = 6 – 8 – 1 = –3
c) –3
d) 0
2. ¿cuánto vale su holgura total?
a) 6
b) 2
HT = Ld – Eo – D = 10 – 3 – 1 = 6
c) –3
d) 0
3. ¿cuánto vale su holgura libre?
a) 6
b) 2
HL = Ed – Eo – D = 6 – 3 – 1 = 2
c) –3
d) 0
introducción a la economía de la empresa (ejercicios prácticos)
31