Teor´ıa de Aut´ omatas y Lenguajes Formales / Aut´ omatas y Lenguajes Formales

U.R.J .C. –
Ingenierı́a Técnica en Informática de Sistemas
Ingenierı́a Informática
Teorı́a de Autómatas y Lenguajes Formales /
Autómatas y Lenguajes Formales
Febrero 2007
1er. Parcial
Normas :
La duración del examen es de 1 hora y 45 minutos.
Todos los ejercicios se entregarán en hojas separadas.
El examen tipo test cuenta hasta 2.5 puntos sobre la nota total.
1. (a) (2 puntos) Obten una gramática formal del tipo 2 que genere el siguiente lenguaje:
L = {an bm cp |n ≥ 0, m ≥ 1, p ≥ n + m}.
Solución:
Una posible solución podrı́a ser la siguiente:
G = ({S, B, C}, {a, b, c}, S, P ) con P = {S ::= aSC|B, B ::= bBC|bC, C ::=
cC|c}
(b) (1 puntos) Dado la siguiente gramática:
G = ({S, A, B, C, D}, {a, b, c}, S, P) ,
donde P son las producciones siguientes :
S ::= bCA
CB ::= BC
C ::= cC | c
A ::= BCA | aD
bB ::= bb
CaD ::= C
Convierta esta gramática en una gramática equivalente en estructura de frases.
Solución:
Una posible solución podrı́a ser la siguiente:
G = ({S, A, B, C, D}, {a, b, c}, S, P) ,
donde P son las producciones siguientes :
S ::= bCA
CB ::= CX
Y X ::= BX
bB ::= bb
A ::= BCA | BC
CX ::= Y X
BX ::= BC
C ::= cC | c
Página 1 de 5
Examen Teorı́a de Autómatas y Lenguajes Formales - 1er. Parcial (cont.)
2. (2.5 puntos) Demuestra (aplicando métodos vistos en clase) si los lenguajes, definidos
por los siguientes elementos, son iguales o no.
A = ({0, 1}, {p, q, r, s, t, u}, f, p, {r, s})
f 0 1
→p q p
q r s
*r r s
*s t u
t r s
u t u
E = (0 + 1 + 000∗ 0)∗ (0(0 + 1 + 00∗ 1))
Solución:
A = ({0, 1}, {p, q, r, s, t, u}, f, p, {r, s})
f 0 1
→p q p
q r s
*r r s
*s t u
t r s
u t u
Como podemos observar, este autómata es finito determinista, por lo tanto, procederemos a minimizarlo para obtener el autómata finito determinista mı́nimo (y
único) que reconoce ese lenguaje.
Q/E0 = {{r, s}, {p, q, t, u}}
Q/E1 = {{r}, {s}, {p, u}, {q, t}}
Q/E2 = { {r} , {s} , {p, u}, {q, t}} = Q/E1 = Q/E
|{z} |{z} | {z } | {z }
C
D
A
B
Renombrando obtenemos el autómata finito determinista mı́nimo:
Amin = ({0, 1}, {A, B, C, D}, fmin , A, {C, D})
Página 2 de 5
Examen Teorı́a de Autómatas y Lenguajes Formales - 1er. Parcial (cont.)
fmin 0 1
→A B A
B C D
*C C D
*D B A
Ahora, obtendremos un autómata finito no determinista a partir de la expresión
regular. Este autómata puede ser el siguiente:
Aer = ({0, 1}, {p, q, r, s, t, u, v, w, x}, fer , p, {x})
fer
0
→p {q,r}
q {u}
r {s}
s {t}
t {q}
u {v,x}
v {w}
w
*x
1
{q}
λ
{q}
{p}
{t}
{s}
{x}
{x}
{w}
{v}
Ahora, obtendremos un autómata finito determinista:
ferf d
→{p,q}
{p,q,r,u}
*{p,q,r,s,t,u,v,w,x}
*{p,q,x}
0
{p,q,r,u}
{p,q,r,s,t,u,v,w,x}
{p,q,r,s,t,u,v,w,x}
{p,q,r,u}
1
{p,q}
{p,q,x}
{p,q,x}
{p,q}
Si renombramos, nos queda:
Aerf d = ({0, 1}, {p, q, r, s}, ferf d , p, {r, s})
ferf d 0 1
→p q p
q r s
*r r s
*s q p
Página 3 de 5
Examen Teorı́a de Autómatas y Lenguajes Formales - 1er. Parcial (cont.)
Podemos comprobar que este autómata es mı́nimo:
Q/E0 = {{r, s}, {p, q}}
Q/E1 = { {r} , {s} , {p} , {q} } = Q/E0 = Q/E
|{z} |{z} |{z} |{z}
C
D
A
B
Después de renombrar, su tabla de transiciones queda de la siguiente manera:
Aerf d = ({0, 1}, {A, B, C, D}, ferf d , A, {C, D})
ferf d 0
→A B
B C
*C C
*D B
1
A
D
D
A
Como podemos comprobar, los autómatas mı́nimos Amin y Aerf d son iguales, por
lo tanto, hemos demostrado que los lenguajes que representan la expresión regular
y el autómata finito dado es el mismo.
3. (2 puntos) Sea L ⊆ {a}∗ el lenguaje definido por la siguiente igualdad:
L :=
(
am
)
n
X
i, n≥0 .
m=
i=0
Demuestra que el lenguaje L no es regular.
Solución:
En primer lugar, basta observar que tenemos la siguiente igualdad:
n (n+1)n o
L= a 2 n≥0 .
Supongamos que L es un lenguaje regular. Entonces cumple el Lema de Bombeo
para los lenguajes regulares. Sea N ∈ N la constante de dicho lema. Definamos
(N +1)N
≥ N . Por lo
la palabra x := a 2 . Se tiene que x ∈ L, y además |x| = (N +1)N
2
tanto, existe una descomposición de la forma x = uvw verificando las propiedades
siguientes :
Página 4 de 5
Examen Teorı́a de Autómatas y Lenguajes Formales - 1er. Parcial (cont.)
i) |uv| ≤ N .
ii) |v| > 0.
iii) uvi w ∈ L, para todo i ≥ 0.
Por las propiedades i) y ii) se tiene que v = aj para cierto natural j verificando
0 < j < N + 1. Por la propiedad iii), se tiene que uv2 w ∈ L. Ahora bien,
(N +1)N
uv2 w = a 2 +j . Veamos que este exponente no se puede poner de la forma
(r+1)r
para algún r ≥ 0.
2
(N + 1)N
(N + 1)N
(N + 2)(N + 1)
(N + 1)N
<
+j <
+N +1=
.
2
2
2
2
Por tanto, uv2 w 6∈ L.
En ambos casos llegamos a una contradicción, y esta contradicción parte de suponer que L es regular. Por tanto, concluı́mos que L no es regular.
Página 5 de 5