2. Juegos unipersonales

Tema 2: Juegos unipersonales
Resumen:
2. Juegos unipersonales
2.1. Representación básica
2.2. Juegos con información completa
2.3. Recursos limitados en juegos con información completa
2.4. Juegos con información incompleta
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Juegos unipersonales
• Juegos sin contrario (pasatiempos)
• Ejemplos:
– n-Puzzle:
- Laberinto:
1
2
6
4
8
7
3
S
5
A
– n Reinas:
• El agente es el único jugador
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Componentes que definen un problema
Problema:
– Descripción de los estados (posibles situaciones)
– Descripción de los operadores (acciones)
• determina en que condiciones (estados) se puede aplicar una acción
• determina el resultado de realizar una acción (el estado resultante)
– Función de coste que asigna un coste a cada acción ( o secuencia de
acciones)
– Descripción de la solución
• un estado objetivo (4 reinas)
• una acción (laberinto)
• una secuencia de acciones (8-puzzle)
Instanciación del problema:
– Estado meta
– Estado inicial (situación actual)
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejemplo: 8-Puzzle
Problema:
Instanciación:
Estado inicial
• Estados:
– posición de cada una de las piezas
• Acciones:
– mover pieza adyacente a la posición
del “hueco”
– de 2 a 4 operadores aplicables,
según el estado
1
2
3
7
8
4
6
5
Estado meta
• Coste:
– La aplicación de cada operador vale
una unidad
• Solución:
1
2
8
7
3
4
6
5
– secuencia de acciones que lleva de
un estado inicial al estado meta
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Representación de problemas /
búsqueda en el espacio de estados
Ejemplo con 3-Puzzle
2
1
1
3
Solución óptima
2
1
3
3
2
1
3
1
2
3
2
3
1
estado inicial
2
1
3
2
Instanciación
estado meta
2
1
3
2
3
1
2
3
3
1
2
–2–
3
1
1
2
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en espacios de estados
Espacio de estados: modelo del mundo representado por un grafo
mundo
situacion
acción y sus efectos
solución
modelo
estado
operador
plan (secuencia de
acciones); acción;
estado
representación
nodo
arco
camino; arco; nodo
Problema de búsqueda: espacio de estados + actitud del agente
actitud
estados meta
eficiencia de un plan
estado inicial
representación
conjunto de nodos
coste de un camino
nodo inicial
Objetivo: encontrar el plan más eficiente que lleve del estado inicial a un
estado meta
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Formalización del problema
• Ejemplo 3-Puzzle:
– Representación (eficiente) de estados
– Estado inicial
1,2 
0,3
 
– Estado meta
3,1 
2,0
 
 x11 , x12 
x , x 
 21 22 
– Coste de un operador: 1 para todos los operadores
– Coste de un plan: suma de los costes de los operadores
– Tipo de solución: plan
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Formalización del problema
• Ejemplo 3-Puzzle:
– Operadores:
OP1:
OP2:
OP3:
OP4:
0, x 
 y, z 
 
0, x 
 y, z 
 
 x,0 
 y, z 
 
 y, x 
0, z 
 
 x,0 
 y, z 
 
 x,0 
 y, z 
 
0, x 
 y, z 
 
 x, z 
 y,0 
 
–2–
OP4:
OP5:
OP6:
OP7:
 y, x 
0, z 
 
 y, x 
0, z 
 
 y, x 
 z ,0 
 
0, x 
 y, z 
 
 x, z 
 y,0 
 
 x, z 
 y,0 
 
 x, z 
0, y 
 
 x,0 
 y, z 
 
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.1
Problema de búsqueda / formalización:
En una mesa se encuentran dos jarras, una con una capacidad de 3 litros (llamada
Tres), y la otra con una capacidad de 4 litros (llamada Cuatro). Inicialmente, Tres
y Cuatro están vacías. Cualquiera de ellas puede llenarse con el agua de un grifo
G. Asimismo, el contenido tanto de Tres como de Cuatro puede vaciarse en una
pila P. Es posible echar todo el agua de una jarra a la otra. No se dispone de
dispositivos de medición adicionales. Se trata de encontrar una secuencia de
operadores que deje exactamente dos litros de agua en Cuatro.
a) Modele este problema como un problema de búsqueda. Con tal fin, defina
una representación eficiente de los estados, el estado inicial, el conjunto de
estados meta, los operadores con precondiciones y postcondiciones, tipo de
solución, así como el coste de cada operador.
b) Encuentre una solución al problema.
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.2
Problema de búsqueda / formalización:
Modela el problema de las Torres de Hanoi
A
B
C
Objetivo:
• Trasladar los discos de
la aguja A a B en el
mismo orden
A
Restricción:
• un disco mayor nunca
debe reposar sobre uno
de menor tamaño
–2–
B
C
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Método general de búsqueda
Arbol de búsqueda:
Método de búsqueda:
• estrategia para explorar el
espacio de estados
• en cada paso se expande un
estado
• se desarrolla sucesivamente
un árbol de búsqueda
1 2
3
1 2
3
2
1 3
2
1 3
1 2
3
1 2
3
1
3 2
1 2
3
Método general de búsqueda:
1. seleccionar nodo hoja
2. comprobar si es nodo meta
3. expandir este nodo hoja
1
3 2
–2–
1
3 2
3 1
2
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Algoritmo general de búsqueda
Elementos del algoritmo
• el árbol se representa en base a un
registro del tipo nodo
• s0 estado inicial
• abierta es una lista de nodos, con las
hojas actuales del árbol
• vacía? determina si una lista es vacía
• primero quita el primer elemento de
una lista
• ordInsertar añade un nodo a una lista,
según una función de orden
(determina el método de búsqueda)
{búsqueda general}
abierta ← s0
Repetir
Si vacía?(abierta) entonces
devolver(negativo)
nodo ← primero(abierta)
Si meta?(nodo) entonces
devolver(nodo)
sucesores ← expandir(nodo)
Para cada n∈sucesores hacer
n.padre ← nodo
ordInsertar(n,abierta,<orden>)
Fin {repetir}
• expandir devuelve los hijos de un nodo
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Conocimientos mínimos a priori de un agente
• Conocimientos mínimos a priori de un agente de búsqueda en el
espacio de estados:
– s0
Estado inicial
– expandir: s  {si1, ..., sin}
Aplica los posibles operadores a s y
devuelve todos los posibles
estados succesores
– meta?: s  verdad | falso
Compara el estado s con los estados
meta y devuelve verdad si s es un
estado meta
– c: (si, sj )  v, v∈ℵ
Coste de un operador
(
)
n −1
(
c si1 si2  sin = ∑ c sik , sik +1
)
Coste de un plan
k =1
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Estados repetidos
Problema:
• el mismo estado puede repetirse varias veces en el árbol de búsqueda
• puede generarse el mismo subárbol varias veces
Soluciones:
• ignorarlo
• evitar ciclos simples:
– no añadir el padre de un nodo al conjunto de sucesores
• evitar ciclos generales:
– no añadir un antecesor de un nodo al conjunto de sucesores
• evitar todos los estados repetidos:
– no añadir ningún nodo existente en el árbol al conjunto de sucesores
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Clasificación de métodos de búsqueda
Características:
• Completitud: se encuentra una solución si existe
• Optimalidad: se encuentra la mejor solución si hay varias
• Complejidad en tiempo: ¿cuánto se tarda en encontrar la solución?
• Complejidad en espacio: ¿cuánta memoria se utiliza en la búsqueda?
Tipos de métodos de búsqueda:
• no informados: utilizan sólo los conocimientos a priori
• heurísticos:
además utilizan información aproximada, y específica
del problema, para guiar la búsqueda
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Métodos de búsqueda para juegos unipersonales
Juegos con información completa:
– Búsqueda en amplitud y en profundidad
– Búsqueda de profundización iterativa
– Búsqueda bidireccional
Recursos limitados
–
–
–
–
–
Búsqueda voraz
Búsqueda A*
Búsqueda con subobjetivos
Búsqueda por ascenso de colinas
Búsqueda con horizonte
Juegos con información incompleta
– Búsqueda A* en tiempo real
– Búsqueda con aprendizaje del A* en tiempo real
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Tema 2: Juegos unipersonales
Resumen:
2. Juegos unipersonales
2.1. Representación básica
2.2. Juegos con información completa
Búsqueda en amplitud
Búsqueda en profundidad
Búsqueda en profundidad limitada
Búsqueda de profundización iterativa
Búsqueda bidireccional
2.3. Recursos limitados en juegos con información completa
2.4. Juegos con información incompleta
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejemplo base: 8-Puzzle
Problema:
Instanciación:
Estado inicial
• Estados:
– posición de cada una de las piezas
• Acciones:
– mover pieza adyacente a la posición
del “hueco”
– de 2 a 4 operadores aplicables,
según el estado
1
2
3
7
8
4
6
5
Estado meta
• Coste:
– La aplicación de cada operador vale
una unidad
• Solución:
1
2
8
7
3
4
6
5
– secuencia de acciones que lleva de
un estado inicial al estado meta
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en amplitud
Búsqueda en amplitud:
• inglés: breadth first search
• Estrategia:
– generar el árbol por niveles de
profundidad
– expandir todos los nodos de
nivel i, antes de expandir nodos
de nivel i+1
• Resultado:
– considera primero todos los
caminos de longitud 1, después
los caminos de longitud 2, etc.
– Se encuentra el estado meta de
menor profundidad
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Árbol de búsqueda en amplitud
(evitando ciclos simples)
1 2 3
7 8 4
6
5
Nivel 1
1 2 3
7
4
6 8 5
Nivel 2
Nivel 3
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
6 7 4
8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
8 4
6
5
7
1 2 3
7 8
6 5 4
2 3
1 7 4
6 8 5
1 2 3
7 4 5
6 8
1 2
7 4 3
6 8 5
1 3
7 2 4
6 8 5
1 3
7 2 4
6 8 5
2 3
1 8 4
7 6 5
...
...
...
...
...
...
1 2 3
8
4
7 6 5
1 2 3
8
7
6 5 4
1 2
7 8 3
6 5 4
Nivel 4
...
Nivel 5
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Algoritmo para búsqueda en amplitud
{búsqueda en amplitud}
abierta ← s0
Repetir
Si vacía?(abierta) entonces
devolver(negativo)
nodo ← primero(abierta)
Si meta?(nodo) entonces
devolver(nodo)
sucesores ← expandir(nodo)
Para cada n∈ sucesores hacer
n.padre ← nodo
ordInsertar(n,abierta,final)
Fin {repetir}
Algoritmo:
• usar el algoritmo general de
búsqueda
• añadir nuevos sucesores al final
de la lista abierta
• abierta funciona como cola
– inserción al final
– recuperación desde la cabeza
• estructura FIFO:
– siempre expandir primero el
nodo más antiguo (es decir:
menos profundo)
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Árbol de búsqueda en amplitud
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7
4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
2 3
6 7 4 1 7 4
8 5 6 8 5
1 3
7 2 4
6 8 5
... ...
... ...
1 2 3
7 4 5
6 8
1 2
7 4 3
6 8 5
... ...
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
8 4
7 6 5
1 2 3
7 8
6 5 4
1 3
7 2 4
6 8 5
2 3
1 8 4
7 6 5
1 2 3
8
7
6 5 4
1 2
7 8 3
6 5 4
1 2 3
8
4
7 6 5
Lista abierta:
1 2 3
7
4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
...
...
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
8 4
7 6 5
1 2 3
7 8
6 5 4
1 3
7 2 4
6 8 5
2 3
1 8 4
7 6 5
1 2 3
8
4
7 6 5
1 3
7 2 4
6 8 5
2 3
1 8 4
7 6 5
1 2 3
8
4
7 6 5
1 2 3
8
7
6 5 4
1 2
7 8 3
6 5 4
...
...
...
1 2 3
8
4
7 6 5
...
–2–
1 2 3
8 4
7 6 5
1 2 3
8
7
6 5 4
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
1 2
7 8 3
6 5 4
Complejidad
Complejidad en espacio:
• proporcional al número de nodos abiertos
Complejidad en tiempo:
• proporcional al número de nodos expandidos
Suponemos que en el árbol de búsqueda
• el factor de ramificación es b
• el mejor nodo meta tiene profundidad d
Mejor caso
Caso medio
0
1
d–1
d
0
0
1
...
d–2
Peor caso
1
...
d–1
d–1
d
d
d+1
d+1
...
espacio:
1+b+...+bd-1 +bd ∈ O(bd) 1+b+...+bd +bd+1/2 ∈ O(bd)
1+b+...+bd + bd+1-b ∈ O(bd)
tiempo:
1+b+...+bd-1 ∈ O(bd)
1+b+...+bd -1 ∈ O(bd)
1+b+...+bd /2 ∈ O(bd)
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Requerimientos de tiempo y memoria
Requerimientos de recursos de una búsqueda en amplitud exponencial
• factor de ramificación efectivo: 10
• tiempo: 1000 nodos/segundo
• memoria: 1000 bytes/nodo
profundidad
0
2
4
6
8
10
12
14
tiempo
nodos
(abiertos)
1
111
11.111
106
108
1010
1012
1014
1
100
11
18
31
128
35
3500
–2–
ms
ms
s
min
horas
días
años
años
memoria
100
11
1
111
11
1
111
11.111
Bytes
KB
MB
MB
GB
TB
TB
TB
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en amplitud: análisis
Ventajas:
• completo:
– siempre se encuentra un nodo meta si existe
• óptimo (para operadores de coste uno):
– siempre se encuentra el nodo meta menos profundo
Problemas:
• complejidad
– exponencial incluso en el mejor caso
– los problemas de espacio son aún más graves que los
problemas de tiempo
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.3
Búsqueda en amplitud:
El grafo que se muestra al lado
determina un problema de búsqueda.
Cada nodo representa un estado; los
arcos modelan la aplicación de
operadores. Suponga que A es el
estado inicial y que K y E son
estados meta
a) desarrolle el árbol de búsqueda que
genera la búsqueda en amplitud.
¿Cuál de los nodos meta se
encuentra primero?
b) indique el orden en que se
expanden los nodos
c) ponga el estado de la lista abierta
en cada paso del algoritmo
–2–
A
D
G
F
H
C
B
K
E
Z
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
W
Búsqueda en profundidad
Búsqueda en profundidad:
• inglés: depth first search
• Estrategia:
– expandir el árbol de “izquierda a
derecha” (los nodos más
profundos primero)
– si se llega a un nodo sin sucesores,
dar vuelta atrás y expandir el
siguiente nodo más profundo
• Resultado:
– el método va explorando un
“camino actual”
– no siempre se encuentra el nodo
de profundidad mínima
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Árbol de búsqueda en profundidad
(evitando ciclos simples)
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7
4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
6 7 4
8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
8 4
7 6 5
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
8
4
7 6 5
2 3
1 7 4
6 8 5
1 2 3
6 7 4
5
8
Solución óptima
1 2 3
6
4
8 7 5
1 2 3
6 7 4
8 5
1 2 3
6 4
8 7 5
1 2 3
6 4
8 7 5
3
1
6 2 4
8 7 5
...
1 2 3
8
4
7 6 5
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en profundidad
Algoritmo:
• usar el algoritmo general de
búsqueda
• añadir nuevos sucesores en la
cabeza de la lista abierta
• abierta funciona como pila
– inserción en la cabeza de la lista
– recuperación desde la cabeza
• estructura LIFO:
– siempre expandir primero el
nodo más reciente (es decir:
el más profundo)
• al guardar todos los sucesores de
un nodo expandido en abierta, se
permite la “vuelta atrás”
–2–
{búsqueda en profundidad}
abierta ← s0
Repetir
Si vacía?(abierta) entonces
devolver(negativo)
nodo ← primero(abierta)
Si meta?(nodo) entonces
devolver(nodo)
sucesores ← expandir(nodo)
Para cada n∈ sucesores hacer
n.padre ← nodo
ordInsertar(n,abierta,cabeza)
Fin {repetir}
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Árbol de búsqueda en profundidad
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7
4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
6 7 4
8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7 8 4
6 5
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
6 7 4
5
8
1 2 3
6
4
8 7 5
1 2 3
6 7 4
8 5
1 2 3
6 4
8 7 5
1 2 3
6 4
8 7 5
3
1
6 2 4
8 7 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 4
6 8 5
3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1
7 4
7 2 4 7 8 4 7 8 4
6 5 6 5
6 8 5 6 8 5
2 3 1 2 3 1
3 1 2 3 1 2
1 7 4 7 4
7 2 4 7 8 4 7 8
6 8 5 6 8 5 6 8 5
6 5 6 5
2 3 1 2 3 1
3 1 2 3 1 2
1 7 4 7 4
7 2 4 7 8 4 7 8
6 8 5 6 8 5 6 8 5
6 5 6 5
1 2 3 1 2 3
6
4 6 7 4
8 7 5 8 5
2 3
1 7 4
6 8 5
1 2 3 1 2 3
6 4 6 4
8 7 5 8 7 5
3
1
6 2 4
8 7 5
1
7
6
1
6
8
3
1
6 2 4
8 7 5
1 2 3
6 7 4
8 5
2
4
8
2
7
5
3
5
3
4
3
1
7 2 4
6 8 5
2 3
1 7 4
6 8 5
3
4
3
4
1 2 3
7 8 4
6 5
...
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
...
...
1 2 3
8
4
7 6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7
4
6 8 5
1 2 3
6 7 4
8 5
1 2 3
6 7 4
5
8
2 3
1 7 4
6 8 5
Lista abierta:
1 2 3
8
4
7 6 5
–2–
1 2 3
6 4
8 7 5
2 3
1 7 4
6 8 5
...
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
1 2 3
7 8 4
6 5
Límites de profundidad
Problema:
• si existen caminos infinitos sin nodo meta, es posible
que la búsqueda en profundidad no termine
• la búsqueda en profundidad sólo es completa:
– en el caso de árboles de búsqueda finitos
– para espacios de búsqueda finitos; si se controla nodos
repetidos en la misma rama del árbol
Solución:
• búsqueda en profundidad limitada:
–
–
–
–
inglés: depth limited search
búsqueda en profundidad con límite de profundidad d*
antes de expandir un nodo, compruebe su profundidad
expandir sólo nodos con profundidad d<d*
...
• incompleto si la profundidad del mejor nodo meta es
mayor que d*
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Árbol de búsqueda en profundidad limitada
(evitando ciclos simples)
limite d*=4
1 2 3
7 8 4
6
5
0
1
1 2 3
7 4
6 8 5
2
3
4
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7
4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
8 4
7 6 5
1 2 3
6 7 4
8 5
2 3
1 7 4
6 8 5
1 2 3
7 4 5
6 8
1 2
7 4 3
6 8 5
1 3
7 2 4
6 8 5
1 3
7 2 4
6 8 5
2 3
1 8 4
7 6 5
1 2 3
6 7 4
5
8
2
3
1 7 4
6 8 5
1 2 3
7 4 5
6
8
1
2
7 4 3
6 8 5
7 1 3
2 4
6 8 5
1 3 4
7 2
6 8 5
2
3
1 8 4
7 6 5
–2–
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
8
4
7 6 5
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en profundidad limitada: complejidad
Complejidad en tiempo:
• proporcional al número de nodos expandidos
• factor de ramificación b / límite de profundidad d* /
nodo meta con profundidad d≤d*
• mejor caso:
– d∈ O(d) (se expanden sólo los nodos del camino meta)
• peor caso:
– 1+b+...+bd*-1∈ O(bd*) (se expanden todos los nodos de prof. < d*)
Complejidad en espacio:
• sólo los nodos del camino actual y sus “vecinos” (sucesores) necesitan
almacenarse en la memoria
• lineal en la profundidad del árbol de búsqueda
– mejor caso (si se encuentra la solución): 1+b·d ∈ O(b·d)
– peor caso (si no hay solución hasta profundidad d*): 1+b·d* ∈ O(b·d*)
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en profundidad limitada: análisis
Ventajas:
• mejora significativa de la complejidad en espacio con respecto a
la búsqueda en amplitud (lineal frente a exponencial):
• completo para límites de profundidad d* adecuados
Problemas:
• no es óptima: el nodo meta que se encuentra puede no ser de
profundidad mínima
• es común que unos límites “buenos” de profundidad sólo pueden
establecerse cuando el problema ya haya sido resuelto
• en general, no se puede asegurar que la profundidad d de un nodo
meta sea d≤d*, es decir no se puede garantizar la completitud.
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.4
Búsqueda en profundidad:
El grafo que se muestra al lado determina un
problema de búsqueda. Cada nodo representa
un estado; los arcos modelan la aplicación de
operadores. Suponga que A es el estado inicial
y que K y E son estados meta
a) desarrolle el árbol de búsqueda que genera la
búsqueda en profundidad. ¿Cuál de los
nodos meta se encuentra primero?
b) indique el orden en que se expanden los
nodos
c) ponga el estado de la lista abierta en cada
paso del algoritmo
d) ¿cómo cambiaría el proceso de búsqueda si
aplicamos límites de profundidad, p.e. d*=2?
–2–
A
D
G
F
H
C
B
K
E
Z
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
W
Ejercicio 2.5
Búsqueda en profundidad (limitada):
La búsqueda en profundidad puede implementarse
fácilmente con un programa recursivo.
a) Especifique una implementación recursiva de la
búsqueda en profundidad en pseudocódigo.
b) Modifique el pseudocódigo del ejercicio a) para
incorporar límites de profundidad.
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda de profundización iterativa
• Inglés: iterative deepening search
• Idea:
– esquivar el problema de elegir d*, al probar todos los posibles límites
de profundidad
• Estrategia:
– enumerar todos los límites de profundidad d´, empezando por 0
– realizar búsqueda de profundidad limitada hasta d´
• Algoritmo:
{búsqueda de profundización iterativa}
abierta ← s0
desde d´ ← 0 hasta ∝ hacer
si búsqueda-en-prof-limitada(problema, d´) = éxito entonces
devolver(nodo-meta)
fin {desde}
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda de profundización iterativa
límite d*=1
límite d*=2
fallo
fallo
límite d*=3
éxito
...
...
–2–
...
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda de profundización iterativa: complejidad
Complejidad en espacio:
• igual que la búsqueda en profundidad: sólo se almacenan los nodos
vecinos del camino actual
• lineal en la profundidad del árbol de búsqueda: todos los casos O(b·d)
Complejidad en tiempo:
• normalmente el coste adicional es relativamente pequeño
• argumento intuitivo:
–
–
–
–
–
suponga un árbol de búsqueda de profundidad d
los nodos interiores (prof. <d) se expanden varias veces
los nodos hoja (prof. = d) se expanden sólo una vez
en un árbol de búsqueda exponencial “casi todos” los nodos son hojas
en consecuencia, para árboles de búsqueda grandes, la búsqueda de
profundización iterativa no expande “muchos más” nodos que la
búsqueda en profundidad limitada
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda de prof. iterativa: complejidad en tiempo
1 nodo
2 nodos
15 nodos
factor de ramificación =2
4 nodos
8 nodos
16 nodos
1 nodo
10 nodos
...
...
factor de ramificación =10
...
...
...
...
–2–
111 nodos
100 nodos
...
1000 nodos
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda de prof. iterativa: complejidad en tiempo
Complejidad en tiempo en el peor caso:
• nº de nodos expandidos por la búsqueda en prof. limitada hasta prof. d:
N
pl
(d ) = 1 + b + b
2
++ b
d −1
bd −1
=
b −1
• nº de nodos expandidos por la búsqueda de prof. iterativa hasta prof. d:
d
N
pi
(d ) = ∑ N ( j )
pl
j =0
=
=
=
b j −1
= ∑
j =0 b − 1
d

1 d j
b
1
−
∑

b − 1  j =0

1 d j d 
∑ b − ∑1 =
b − 1  j =0
j =0 
b d +1 − b − bd + d
(
)

1  b d +1 − 1 


(
)
d
1
−
+


b − 1  b − 1 

(b − 1)2
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda de prof. iterativa: complejidad en tiempo
Coste adicional de tiempo de la búsqueda de profundización iterativa:
(d )
N pl (d )
N
pi
=
=
=
lim
d →∞
b d +1 −b −bd + d
(b −1)2
b d −1
b −1
b d +1 − b − bd + d b − 1
⋅ d
=
2
b −1
(b − 1)
(
(b −
b d b − bbd − bbdd + bdd
b
d
bd
bd
−
b
bd
 b − b d1−1 − b dd−1 + bdd

 b − 1 − d1−1 + 1d
b
b

+
1
bd
)
)
=
b d +1 − b − bd + d
b d +1 − b d − b + 1
b − b d1−1 − b dd−1 + bdd
b − 1 − b d1−1 + b1d
 b−0−0+0
b
=
=
 b −1 − 0 + 0 b −1

–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en prof. iterativa: complejidad en tiempo
Coste adicional de tiempo de la búsqueda de profundización iterativa:
• para d→∞ se obtiene:
N pi
N pl
N pi
• Ejemplo: b= 10
N
pl
=
b
b −1
=
10
9
= 1.11
• para b=10 y nodos meta profundos, la búsqueda de profundización
iterativa expande sólo un 11% más nodos que la búsqueda en
profundidad limitada
• complejidad en tiempo en el peor caso de la búsqueda de
profundización iterativa : O(bd)
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.6
Búsqueda de profundización iterativa:
El grafo que se muestra al lado determina un
problema de búsqueda. Cada nodo representa
un estado; los arcos modelan la aplicación de
operadores. Suponga que A es el estado inicial
y que K y E son estados meta
a) desarrolle la secuencia de árboles de búsqueda
generadas por la búsqueda de profundización
iterativa, indicando para cada uno de ellos el
orden en que se expanden los nodos
A
D
G
F
H
C
B
K
E
Z
b) ¿Cuál de los nodos meta se encuentra
primero?
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
W
Ejercicio 2.7
Búsqueda de profundización iterativa:
Describa características relevantes de los
espacios de búsqueda en los que el
rendimiento de la búsqueda de profundización
iterativa es mucho peor que el de la búsqueda
en profundidad estándar. Ponga un problema
ejemplo que ilustre dichas características.
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda bidireccional
Búsqueda bidireccional:
• Estrategia:
– generar dos árboles de búsqueda en
amplitud en paralelo:
• uno desde el estado inicial
• uno desde el estado meta (con
operadores invertidos)
– comprueba en cada paso si un nodo
a expandir se encuentre en los
nodos hoja del otro árbol
• Resultado:
– Si un mismo nodo es hoja en
ambos árboles, el camino a través
de él es la solución
– Se encuentra el estado meta de
menor profundidad
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Árboles de búsqueda bidireccional
(evitando ciclos simples)
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7
4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
8 6 4
7 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
8 4
7 6 5
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
8 6 4
7 5
1 2 3
8 6 4
7
5
1 2 3
8 4
7 6 5
1 2 3
8 4
7 6 5
1
3
8 2 4
7 6 5
1 2 3
8
4
7 6 5
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Algoritmo para búsqueda bidireccional
{búsqueda bidireccional}
abierta ← s0 /smeta
Repetir
Si vacía?(abierta) entonces
devolver(negativo)
nodo ← primero(abierta)
Si comprobar(nodo) entonces
nodo_m ← conectar(árboles)
devolver(nodo_m)
sucesores ← expandir(nodo)
Para cada n∈ sucesores hacer
n.padre ← nodo
ordInsertar(n,abierta,final)
Fin {repetir}
Algoritmo:
• usar el algoritmo para la búsqueda
en profundidad
• emplear el algoritmos en paralelo,
empezando por el estado inicial y
final respectivamente
• comprobar(nodo): comprueba si un
nodo está en la lista abierta del otro
árbol
• conectar(árboles): conecta los dos
árboles (por los primeros nodos hoja);
invierte el camino hasta el nodo meta
y devuelve el nodo meta
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Árboles de búsqueda bidireccional
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7
4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
8 6 4
7 5
1 2 3
7 8 4
6 5
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
8 4
7 6 5
1 2 3
8 6 4
7 5
1 2 3
8 6 4
7
5
1 2 3
8 4
7 6 5
1 2 3
8 4
7 6 5
1 2 3
8
4
7 6 5
1
3
8 2 4
7 6 5
abiertainicial
1 2 3
7
4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
3
1 2 3 1
7 2 4
7 4
6 8 5 6 8 5
3 1 2 3
1
7 2 4
8 4
6 8 5 7 6 5
1 2 3
8 4
7 6 5
1 2 3
8 4
7 6 5
1
3
8 2 4
7 6 5
1 2 3
8 6 4
7 5
1 2 3
8 6 4
7
5
1 2 3
8 4
7 6 5
1 2 3
8 4
7 6 5
1
3
8 2 4
7 6 5
1 2 3
8
4
7 6 5
–2–
1 2 3
8 6 4
7 5
abiertameta
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda bidireccional: complejidad
•
•
•
•
“Abrir dos medios árboles es menos costoso que un árbol entero”
Complejidad en espacio: proporcional al número de nodos abiertos
Complejidad en tiempo: proporcional al número de nodos expandidos
Complejidad de comprobar: constante utilizando tablas hash
Peor caso (se da si d es par)
Mejor caso (se da si d es impar)
0
0
...
(d-1)/ 2
(d+1)/ 2
(d-1)/ 2
...
d/2
d/2+1
...
d/2+1
d/2
...
0
0
espacio: 2(1+b+...+b(d-1)/2) +b ∈ O(bd) [bd/2]
2(1+b+...+b(d+1)/2 - b) ∈ O(bd) [bd/2]
tiempo: 2(1+b+...+b((d-1)/2)-1) +1 ∈ O(bd) [bd/2]
2(1+b+...+b((d+1)/2)-1 - 1) ∈ O(bd) [bd/2]
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda bidireccional: análisis
Ventajas:
• completo:
– siempre se encuentra un nodo meta si existe
• óptimo (para operadores de coste uno):
– siempre se encuentra el nodo meta menos profundo
• reduce la complejidad (en espacio y en tiempo) de forma considerable
Problemas:
• complejidad
– sigue siendo exponencial (especialmente en el espacio)
• puede ser dificil/ imposible en algunos casos:
– dificultad de calcular los predecesores de un nodo
– varios estados meta
– factor de ramificación del árbol inverso puede ser mayor
– Ejemplo: Ajedrez: estado meta “jaque mate”
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.8
Búsqueda bidireccional:
El grafo que se muestra al lado
determina un problema de búsqueda.
Cada nodo representa un estado; los
arcos modelan la aplicación de
operadores. Suponga que A es el
estado inicial y que E es estado meta
a) desarrolle los árboles de búsqueda
que genera la búsqueda bidireccional
suponiendo que todos los operadores
son inversibles.
b) ponga el estado de las dos listas
abiertas en cada paso del algoritmo
–2–
A
D
G
H
B
F
C
E
Z
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
W
Búsqueda no informada: resultados
Resultados del peor caso:
• factor de ramificación b / profundidad de la mejor solución d /
límite de profundidad d*
búsqueda búsqueda
búsqueda
búsqueda de
en amplitud en prof. bidireccional prof. iterativa
limitada
complejidad
en tiempo
O(bd)
O(bd*)
O(bd) [bd/2]
O(bd) [> que
bus. en amp.]
complejidad
en espacio
O(bd)
O(b·d*)
O(bd) [bd/2]
O(b·d)
óptimo?
(op. de coste 1)
sí
no
sí
sí
completo?
sí
sólo si
d≤d*
sí
sí
–2–
Método no
informado
preferido
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Resumen (intermedio) resolución de problemas
•
Muchos dominios se pueden representar mediante estados (situaciones) entre
los que se puede transitar realizando acciones
•
Problemas en este dominio se pueden resolver mediante una búsqueda en el
“espacios de estados”
•
Hay esencialmente 3 posibles enfoques básicos de búsqueda:
1. Búsqueda aleatoria
2. Búsqueda ordenada (los algoritmos que hemos vista hasta ahora) y
3. ¿?
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Resumen (intermedio) resolución de problemas
•
Consideramos el siguiente ejemplo:
Estado meta
Estado actual
1
3
1
7
2
4
8
6
8
5
7
2
3
4
6
5
A simple vista: ¿Cual de las 3 acciones posibles harías?
¿Por qué?
Tercera estrategia básica de búsqueda:
Búsqueda guiada (informada)
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Tema 2: Juegos unipersonales
Resumen:
2. Juegos unipersonales
2.1. Representación básica
2.2. Juegos con información completa
2.3. Recursos limitados en juegos con información completa
Heurísticas
Búsqueda voraz
Búsqueda A*
Búsqueda con subobjetivos
Búsqueda por ascenso de colinas
Búsqueda con horizonte
2.4. Juegos con información incompleta
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Problema
En determinados problemas es imposible/impracticable buscar el plan de
acciones completo.
Las razones pueden ser:
• Limitación de recursos computacionales:
– el espacio de búsqueda es demasiado grande para buscar hasta la solución (no
pueden emplear las técnicas anteriores)
– Ejemplo: Ajedrez, 24-Puzzle, ...
• Información incompleta o entornos dinámicos:
– no se conocen todos los estados posibles del problema o no se pueden predecir
los posibles efectos de acciones
– Ejemplo: laberinto, laberinto con obstáculos en movimiento
• Agentes reactivos que actúan de forma rápida o cuyo objetivo es continuo:
– es imposible encontrar un plan de acciones hasta el final, por falta de tiempo o
porque el estado objetivo es continuo
– solo hace falta una acción “buena” (no un plan de acción)
– Ejemplo: conducir un coche, agentes de control, ...
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Solución: Información heurística
1. Acotar el espacio de búsqueda:
–
–
–
–
Reducir anchura del árbol expandido: eliminar algunas ramas porque probablemente no
reflejan la solución óptima
¿Qué ramas no necesitan ser explorados?
Reducir profundidad del árbol expandido: expandir el árbol sólo hasta un determinado nivel
y elegir el nodo más prometedor
¿Cuál es el nodo más prometedor ?
2. Guiar la búsqueda:
–
–
explorar ramas prometedoras del árbol antes que otras/ expandir determinados nodos antes
que otras
¿Qué nodos hay que expandir primero?
Se requiere información adicional: información heurística
– Heurística (griego: heuriskein): “encontrar”, “descubrir”
–
–
compila conocimiento “empírico” sobre un problema / un entorno
suele reflejar una estimación o aproximación de la solución (esencialmente imperfecta)
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Heurísticas
Aplicación “fuerte”:
• la aplicación de la heurística reduce el problema
• se deja de analizar soluciones posibles pero improbables
• Objetivo:
– encontrar soluciones “buenas” (no necesariamente óptimas)
– minimizar el índice competitivo:
Coste del camino real del agente
Coste del camino óptimo
• mejorar el rendimiento de forma substancial / optimalidad y completitud no garantizados
Aplicación “débil”:
• método de búsqueda + información heurística
• la información heurística no reduce el problema sino guía la búsqueda
• Información heurística puede mejorar el rendimiento medio de un método, pero no
asegura una mejora en el peor caso
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Funciones heurísticas
Funciones heurísticas en la búsqueda en el espacio de estados:
• estiman la cercanía de un estado a un estado meta
• Posibles funciones heurísticas:
– “distancia”: coste estimado del camino de un estado al estado meta
• h :N→ℵ mide el coste real desde el nodo n hasta el nodo meta más
cercano
• h*:N→ℵ es una función heurística que estima el valor de h(n)
– similitud de un estado con el estado meta (mide la “calidad” o “utilidad”
de un estado)
– Posibilidad de un estado de pertenecer al camino óptimo
Ejemplos de funciones heurísticas:
• Laberinto: distancia en línea recta hasta la salida
• Ajedrez: número de piezas de un jugador
• Encontrar una ruta de Madrid a Bilbao en un mapa de capitales de
provincias: Sevilla no; Burgos si; Soria quizas; …
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Encontrar Funciones Heurísticas: Diseño
Estado inicial
3
1
7
2
4
6
8
5
Estado meta
• Problemas relajados:
– menos restricciones para cada operador
– h*: distancia h exacta en el problema relajado
• 8 Puzzle: una pieza puede moverse de A a B...
a) siempre
b) si B está vació
c) si A es adyacente a B
• Funciones heurísticas:
a) número de piezas descolocadas
– ha*(s0) = 4
1
2
8
7
3
4
6
5
b) suma de saltos necesarios
– hb*(s0) = 5
c) suma de las distancias de Manhattan
– hc*(s0) = 1+1+1+2=5
• Basadas en el coste del camino restante:
– valores pequeños reflejan estados buenos
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda voraz
Búsqueda voraz:
• Inglés: greedy search
• Idea:
– emplear una función heurística h* para
guiar la búsqueda (heurística débil)
– minimizar el coste estimado para llegar
a la meta
• Estrategia:
– Entre las hojas del árbol de búsqueda,
seleccionar el nodo que minimice h*(n)
• Algoritmo:
– mantener la lista abierta ordenada por
valores crecientes de h*
– insertar nuevos nodos en abierta según
sus valores h*
–2–
{búsqueda voraz}
abierta ← s0
Repetir
Si vacía?(abierta) entonces
devolver(negativo)
nodo ← primero(abierta)
Si meta?(nodo) entonces
devolver(nodo)
sucesores ← expandir(nodo)
Para cada n∈sucesores hacer
n.padre ← nodo
ordInsertar(n,abierta,h* )
Fin {repetir}
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda voraz (evitando ciclos simples): Ejemplo 1
3
1
7 2 4
6 8 5
función heurística: ha*
1 2 3
7
4
6 8 5
*
ha = 3
1 2 3
7 4
6 8 5
*
ha = 3
ha* = 3
1 2 3
6 7 4
8 5
*
ha = 3
2 3
1 7 4
6 8 5
ha* = 4
ha = 3
1 2 3
6 7 4
5
8
ha* = 3
1 2 3
6
4
8 7 5
1 2 3
6 7 4
8 5
ha = 4
ha* = 3
1 2 3
6 4
8 7 5
1 2 3
6 4
8 7 5
3
1
6 2 4
8 7 5
*
...
1 2 3
8
4
7 6 5
ha* = 4
1 3
7 2 4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6 5
ha* = 4
ha* = 5
1 3
7 2 4
6 8 5
ha* = 5
1 2 3
8 4
7 6 5
*
1 2 3
8
4
7 6 5
camino óptimo
ha* = 4 ha* = 4
ha* = 0
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda voraz (evitando ciclos simples): Ejemplo 2
AS
Ejemplo (“mínimo local de h* ”):
AS
• Nodo inicial:
h* = 1
A
• Nodo meta:
S
A
h* = 2
S
h* = 2
A
S
A
S
h* = 3
A
S
h* = 3
• h*: distancia de Manhattan
S
A
A
h* = 4
S
h* = 2
AS
h* = 1
...
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda voraz: complejidad
Depende de la función heurística:
• d profundidad de la mejor solución, b factor de ramificación efectivo
• si h*(n)=h(n):
–
–
–
–
la búsqueda “va directamente a la solución”
caso irreal, ya que significa que se conozca la solución
complejidad en espacio: O(d·b)
complejidad en tiempo: O(d)
• otros casos:
– complejidad en espacio y en tiempo puede ser mayor que en la búsqueda
por amplitud (si la función heurística es mala)
• OJO: hay que contar la complejidad de calcular h*
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda voraz: análisis
Análisis:
• en general, la búsqueda voraz sufre los mismos problemas que la
búsqueda en profundidad
– no es óptima (ejemplo 1)
– no es completa (ejemplo 2)
• sin embargo, suele encontrar una solución aceptable de forma rápida
Comentarios:
• para asegurar la completitud habría que evitar todos los estados repetidos
• el método es óptimo:
– si la función heurística devuelve siempre el coste exacto del camino:
para todo n: h*(n)=h(n)
– en aquellos espacios de estados, en los que el coste de un nodo n es
independiente del camino por el que se ha llega hasta él (p.e.: n-Reinas)
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.8
Búsqueda voraz: 8-Puzzle
a) Aplica la búsqueda voraz al problema presentado en el ejemplo 1. Utiliza
en este caso la función heurística hc*.
b) Compara la solución encontrada y el árbol expandido con la del ejemplo 1.
¿Qué función heurística es mejor? ¿Por qué?
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.9
Nótese:
• dado que el coste de cada operador es 0,
el camino por el cual se llega a un nodo
no importa, siempre que al final se
encuentre un nodo meta (ninguna reina
esta amenazada)
Problema de las 5 reinas:
• 5 reinas en un tablero 5x5
• estados: casillas de las 5 reinas
• meta?: ninguna reina amenazada
• op.: mover una reina a otra casilla
de su misma fila
• coste: el coste de cada op. es cero
• estado inicial:
a) encuentre una heurística h* para el problema
de las 5 reinas
b) resuelve el problema aplicando la búsqueda
voraz con dicha heurística h*
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda A*
Idea:
• emplear información heurística para guiar la búsqueda (heurística débil)
• minimizar el coste estimado total de un camino en el árbol de búsqueda
• combinar
– el coste para llegar al nodo n (se conoce exactamente: g), y
– el coste aproximado para llegar a un nodo meta desde el nodo n
(estimado por la función heurística h* )
Función heurística de A*:
– f (n) = g(n)+h(n): coste real del plan (camino) de mínimo coste que
pasa por n
– f *(n) = g(n)+h*(n): estimación de f
Estrategia A* :
• entre las hojas del árbol de búsqueda, elegir el nodo de valor f * mínimo
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
El Algoritmo A*
{búsqueda A*}
abierta ← s0
Repetir
Si vacía?(abierta) entonces
devolver(negativo)
nodo ← primero(abierta)
Si meta?(nodo) entonces
devolver(nodo)
sucesores ← expandir(nodo)
Para cada n∈sucesores hacer
n.padre ← nodo
ordInsertar(n,abierta, f *)
Fin {repetir}
Algoritmo A* :
• se basa en la búsqueda general
• almacenar el valor g de cada nodo
expandido
• mantener la lista abierta ordenada
por valores crecientes de f *
• insertar nuevos nodos en abierta
según sus valores f *
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda A* (evitando ciclos simples): Ejemplo 1
función heurística:
f* =1+3=4
f*
f*
=2+3=5
=3+3=6
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
6 7 4
8 5
1 2 3
6 7 4
5
8
1 2 3
6
4
8 7 5
1 2 3
6 4
8 7 5
...
1 2 3
8
4
7 6 5
3
1
7 2 4
6 8 5
f*(n)=g(n)+ha*(n)
f*
f* = 0+4=4
1 2 3
7
4
6 8 5
=2+4=6
2 3
1 7 4
6 8 5
1 3
7 2 4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
f*
f* =3+4=7
f*
1 2 3
7 8 4
6
5
=3+2=5
=5+0=5
f* =1+5=6
f* =1+5=6
f* =2+3=5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
8 4
7 6 5
f* =4+1=5
1 2 3
4
8
7 6 5
1 3
7 2 4
6 8 5
2 3
1 8 4
7 6 5
f* =3+4=7
f* =5+2=7
camino encontrado
en búsqueda voraz
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda A* (evitando ciclos simples): Ejemplo 2
AS
f* =0+1=1
Ejemplo (“mínimo local de h* ”):
AS
• Nodo inicial:
• Nodo meta:
A
A
S
f*=4+3=7
S
S
f*=2+3=5
A
A
f* =3+4=7
f*=6+1=7
A
S
f*=1+2=3
S
A
S
f* =2+3=5
S
f*=3+2=5
f* =3+2=5
AS
AS
f*=4+1=5
f*=4+1=5
A
f*=5+2=7
A
f*=1+2=3
A
S
• h*: distancia de Manhattan
S
A
S
A
A
S
A
f*=7+0=7
S
f*=5+2=7
S
A
S
f*=5+2=7
f*=5+2=7
A
S
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Optimalidad y completitud de A*
A* es optimo y completo si:
– h* es optimista: para todos los nodos ni: h*(ni) ≤ h(ni)
– para todos los nodos ni: h*(ni) ≥0
– El coste de todas las acciones es mayor que 0 (para todos los nodos
hijos ni de cualquier nodo nj: c(nj, ni)>0)
f*
f *(nm2)
f
*(n
Nodo meta no óptimo: g(nm2)>g(nm1)
Mejor nodo meta:
f *(nm1)=h*(nm)+g(nm1)=g(nm1)=f(nm1)
m1)
Camino infinito:
Tiene que cruzar f*(nm1) an algún punto
ninicial
nm
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Calidad de las Funciones Heurísticas
Definición:
Sean h1* y h2* dos funciones heurísticas optimistas.
h1* es más informada que h2*, si para todo nodo n se cumple que
h1*(n ) ≥ h2*(n )
Ejemplo:
• en el 8-puzzle, hc* es más informada que ha*
– las piezas bien colocadas no cuenta en ha* ni en hc*
– la distancia Manhattan de cada pieza descolocada es al menos 1
– en consecuencia, en toda posible configuración n del 8-puzzle la suma de
las distancias es igual o mayor que la suma de piezas descolocadas
– para todas las configuraciones n se cumple hc*(n ) ≥ ha*(n )
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Complejidad de A*
El número de nodos expandidos por A* depende de la calidad de h*:
• Para dos funciones heurísticas h1* y h2* :
– Si h1* es más informada que h2*, entones A*(h1* ) expande el mismo número o menos
nodos que A*(h2* )
• La complejidad es más baja si h* es más informada:
– si h*(n) = h(n) para todos los nodos n:
• información completa: complejidad lineal (sin contar la complejidad de
computar h*!)
• calcular h*(n) suele equivaler a resolver el problema completo
– si h*(n) = 0 para todos los nodos n:
• A* degenera a la búsqueda por amplitud
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Resultados experimentales
Comparación experimental:
• número de nodos expandidos en el problema del 8-puzzle
• varias profundidades d de la solución
• media sobre 100 instancias del problema
d
prof. iterativa
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
10
112
680
6.384
47.127
3.644.035
—
—
—
—
—
—
A*(ha)
6
13
20
39
93
227
539
1.301
3.056
7.276
18.094
39.135
–2–
A*(hc)
6
12
18
25
39
73
113
211
363
676
1.219
1.641
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.10
Algoritmo A* :
A
Suponga el juego de las torres de Hanoi con el
estado inicial que se presenta al lado. El objetivo
consiste en pasar la torre bien a la aguja B o bien
a la aguja C. Se filtren todos los estados repetidos
y equivalentes (dos estados se consideran
equivalentes, si están los mismos discos en la
aguja A mientras que los discos de las agujas B y
C están intercambiadas).
A
B
B
C
C
a)Defina una función heurística para este
problema.
b)Desarrolle el árbol de búsqueda que genera el
algoritmo A*, incluyendo los valores de g, h *, y f
* de cada nodo. Indique el orden en que se
expanden los nodos.
A
B
C
c)¿Su función heurística es optimista? Argumente
su respuesta.
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por Subobjetivos
Idea:
• reducir la anchura del árbol al subdividir el problema en varios problemas
más pequeños
• determinar una secuencia de estados intermedios i1,i2,...,in que “muy
posiblemente” están en el camino óptimo
• realizar búsquedas con un método base (amplitud, prof., prof. iterativa, ...)
desde el estado inicial s0 a i1, de i1 a i2,…, e de in al estado meta sm
• se aplica la heurística para elegir los estados intermedios
Ejemplo 8-Puzzle: obtener filas correctas
3
1
7 2 4
6 8 5
s0
estado inicial
1 2 3
8
4
? ? ?
1 2 3
? ? ?
? ? ?
i2
i1
estados intermedios
–2–
1 2 3
8
4
7 6 5
sm
estado meta
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por subobjetivos (evitando ciclos simples)
Método base: búsqueda en amplitud
camino de s0 a i1:
s0
i1
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
7
4
6 8 5
1 3
7 2 4
6 8 5
–2–
1 3
7 2 4
6 8 5
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por subobjetivos (evitando ciclos simples)
camino de i1 a i2:
1 2 3
7
4
6 8 5
i1
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7 4
6 8 5
3
1
7 2 4
6 8 5
2 3
1 7 4
6 8 5
1 2 3
6 7 4
8 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2
7 4 3
6 8 5
1 2 3
7 4 5
6 8
1 3
7 2 4
6 8 5
1 3
7 2 4
6 8 5
3
2
1 7 4
6 8 5
1 2 3
6 7 4
8
5
1 2 3
7 8
6 5 4
1 2 3
8 4
7 6 5
2
1
3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 4 5
6
8
7 1 3
2 4
6 8 5
1 3 4
7 2
6 8 5
2 7 3
4
1
6 8 5
...
1 2 3
8
7
6 5 4
2 3
1 7 4
6 8 5
...
1 2 3
4
6
8 7 5
1 2 3
6 7 4
8 5
...
...
...
1 4 2
3
7
6 8 5
1 2
7 8 3
6 5 4
...
2 3
1 8 4
7 6 5
1 2 3
8
4
7 6 5
i2=sm
–2–
1 2
7 4 3
6 8 5
1 2 3
5
7
6 4 8
7 1 3
2
4
6 8 5
1 2 3
7 4 5
6 8
7 1 3
6 2 4
8 5
1 3 4
7
2
6 8 5
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
1 3 4
7 2 5
6 8
Búsqueda por subojetivos: complejidad
• Complejidad en espacio: proporcional al número de nodos abiertos
• Complejidad en tiempo: proporcional al número de nodos expandidos
• En general se obtiene una mejora de la complejidad respecto a los
métodos de búsqueda no informados que se usan como base
– basado en: la suma de varias búsquedas pequeñas es más eficiente que una
búsqueda global
– depende de la selección inicial de los subojetivos
– condición necesaria para una mejora: los caminos entre los pares de
subojetivos están “más cortos” que la solución global
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por subojetivos: Ejemplo complejidad
General:
método base: búsqueda en amplitud; factor de ramificación efectivo:
b; profundidad de la mejor solución: d; x subojetivos intermedios;
profundidad de los caminos mínimos entre los subobjetivos: d’
Ejemplo:
b=3; d=20; x=4; d’=5 (el camino encontrado tiene una longitud de 25)
General
Bús. prof.
Bús. subob.
mejor caso: - tiempo:
bd −1
b −1
d +1
b
−1
- espacio:
b −1
bd ' − 1
( x + 1) *
b −1
b d '+1 − 1
( x + 1) *
b −1
Ejemplo
Bús. prof.
Bús. subob.
1.743.392.200
605
5.230.176.601
1820
b d +1 − 1
peor caso: - tiempo:
−1
b −1
 b d '+1 − 1 
( x + 1) * 
− 1
 b −1

5.230.176.600
1815
d +2
b
−1
- espacio:
−b
b −1
 b d '+2 − 1


( x + 1) * 
− b 
 b −1

15.690.529.801
5450
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por subojetivos: análisis
Análisis:
• Es completo si:
– El método base es completo, y
– Los subobjetivos están en (por lo menos) un camino que lleva del estado
inicial a la meta
• Es óptimo si:
– El método base es óptimo, y
– Los subobjetivos están en este orden en el camíno mínimo desde el estado
inicial a la meta
Comentarios:
• Es posible utilizar búsquedas heurísticas como método base (p.e. búsqueda
voraz)
• Es posible modificar el método para realizar búsquedas jerárquicas:
– Aplicar la búsqueda a distintos niveles jerárquicas
– Por ejemplo: buscar un camino (en coche/barco) desde Madrid a Buenos Aires
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.11
Problema de las 5 reinas:
Resuelve el problema de las 5 reinas (del ejercicio 2.9) con la búsqueda por subobjetivos
a) Utilizando como estado inicial el estado descrito en el ejercicio 2.9, define una serie
de estados intermedios.
b) Realiza los árboles de la búsqueda por subobjetivos, utilizando como método base la
búsqueda por profundidad limitada. Determina un limite de profundidad adecuado.
c) Analizar los árboles obtenidos y el árbol del ejercicio 2.9, para comparar la
complejidad de los dos métodos.
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas (hill climbing)
• Idea subyacente:
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Realizar siempre la acción más prometedora
– Expandir el árbol sólo un nivel y realizar la acción hacía el “mejor” nodo
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
Repetir:
1. percibir estado
2. expandir nodo
3. elegir nodo más prometedor
4. realizar acción
Fin repetir
Solución óptima
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Algoritmo búsqueda por ascenso de colinas
{búsqueda ascenso de colinas}
Repetir
h*: función heurística que estima la
nodo ← percibir(entorno)
distancia al nodo meta más cercano
Si meta?(nodo) entonces
percibir(entorno): devuelve el estado
actual del problema
devolver(positivo)
evaluar(n,h*): calcula el valor de la
sucesores ← expandir(nodo)
función heurística h* para el nodo n
Si vacia?(sucesores) entonces
– debería comprobar si n es nodo meta
– en este caso debería devolver el mínimo
devolver(negativo)
*
valor posible
mejor ← arg min evaluar ( n, h )
acción(n,m):devuelve la acción que lleva
n∈sucesores
de n a m
a ←acción(n,mejor)
ejecutar(a, entorno): efectúa la acción a
ejecutar(a, entorno)
en el entorno
Fin {repetir}
Algoritmo:
•
•
•
•
•
[
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
]
Búsqueda por ascenso de colinas: Ejemplo
Función heurística: ha* (piezas descolocadas)
3
1
7 2 4
6 8 5
ha* = 3
*
ha = 3
1 2 3
7 4
6 8 5
*
ha = 3
1 2 3
4
7
6 8 5
ha = 3
2 3
1 7 4
6 8 5
ha = 4
ha* = 3
1 2 3
6 7 4
5
8
1 2 3
7 4
6 8 5
ha* = 3
ha* = 3
1 2 3
6
4
8 7 5
1 2 3
6 7 4
8 5
*
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
6 7 4
8 5
*
ha* = 4
1 3
7 2 4
6 8 5
1 2 3
7
4
6 8 5
ha* = 3
1 2 3
6 7 4
8 5
ha* = 3
–2–
ha* = 4
3
1
7 2 4
6 8 5
ha* = 5
1 3
7 2 4
6 8 5
ha* = 5
ha* = 4
¡No se evitan ciclos simples!
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas: Ejemplo (cont.)
Función heurística: ha* (piezas descolocadas)
1 2 3
6
4
8 7 5
ha* = 3
ha* = 4
*
1 2 3
8 6 4
7 5
2 3
1 6 4
8 7 5
ha = 3
1 2 3
6 4
8 7 5
1 2 3
6 4
8 7 5
1 2 3
6 4
8 7 5
ha* = 2
1 2 3
8 6 4
7 5
ha* = 2
1 2 3
8 6 4
7
5
1 2 3
6
4
8 7 5
ha* = 4
3
1
6 2 4
8 7 5
*
ha = 4
1 2 3
6 7 4
5
8
ha* = 3
ha* = 3
ha* = 1
1 2 3
8
4
7 6 5
ha* = 0
1 2 3
8 6 4
7 5
ha* = 2
¡No es la solución óptima!
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas: complejidad
• Proporcional al número de nodos abiertos/expandidos
• d profundidad de la mejor solución, b factor de ramificación efectivo
• Complejidad en espacio:
– O(b) solo se mantiene en memoria los hijos de un nodo
• Complejidad en tiempo:
– depende de la función heurística
– hay que contar la complejidad de calcular h*
– si h*(n)=h(n):
• la búsqueda “va directamente a la solución”
• caso irreal, ya que significa que se conozca la solución
• complejidad en tiempo: O(d)
– otros casos:
• puede ser mayor que en la búsqueda por amplitud (si la función heurística es
mala)
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas: análisis
Análisis:
• Suele obtener buenos resultados en algunos casos, especialmente:
– si no hay ciclos
– la función heurística es muy buena
• En general, no se puede asegurar optimalidad ni completitud
• No se puede evitar ciclos simples
• Si h* es ideal (h*=h), entonces es óptimo y completo
• Se puede conseguir completitud:
– Si el conjunto de posibles estados es finito
– Si se guardan todos los estados a los que se ha ido en el pasado:
• cada vez que se llega a un estado repetido, se elige una acción que no
se ha elegido anteriormente
• pero, para eso hay que guardar todo el árbol y la ganancia en
complejidad se pierde
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda por ascenso de colinas: comentarios
Comentarios:
• Aplicable en entornos inaccesibles o dinámicos
– Ejemplos: Laberinos, Robot moviéndose en un entorno real, …
• Útil en tareas de optimización, donde se quiere mejorar el estado continuamente
– Ejemplo: Controlar los parámetros de procesos industriales
Posibles modificaciones:
• Se podría evitar ciclos simples guardando el último estado conocido
• Buscar un camino completo:
– Realizar el algoritmo “off line”
– Solo simular las acciones pero no efectuarlas en el entorno
– No intercalar la búsqueda con el ciclo percepción/acción
– No es posible en entornos inaccesibles o dinámicos
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.12
Búsqueda por ascenso de colinas
Al lado se muestra el plano de una habitación. El agente (A) tiene que encontrar un
camino a la salida (S). En cada acción, el agente puede moverse a un cuadro adyacente
(no diagonal), si no existe un obstáculo que lo impida. El agente conoce todo el plano
de antemano.
a) Resuelve el problema mediante la búsqueda por
ascenso de colinas (evitando ciclos simples).
b) Resuelve el problema mediante la búsqueda
voraz (evitando ciclos simples).
c) Suponiendo que se evitan ciclos simples, ¿Qué
diferencias hay entre estos dos métodos?
d) ¿Qué ocurre (en ambos métodos) si no se evitan
los ciclos simples?
–2–
S
A
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte
• Idea subyacente:
– la primera acción de un plan que lleva a un nodo con una evaluación heurística
óptima, tiene una buena probabilidad de pertenecer al camino óptimo
– Reducir profundidad del árbol expandido (“on line search”)
– Expandir el árbol hasta un nivel k (horizonte) y realizar la acción hacía el “mejor”
nodo en el nivel k
– Repetir el ciclo percepción/acción de forma continua
• Algoritmo general:
– Percibir el estado actual s
– Aplicar un método de búsqueda no informado hasta el nivel k y nodos metas.
– Sea H el conjunto de nodos hoja hasta el nivel k:
*
*
• Utilizar h* para determinar el “mejor” nodo hoja n*∈H: n ← arg min[h (n)]
n∈H
– Ejecutar la primera acción a* en el camino que lleva a n*
– Repetir hasta que el agente se encuentra en un estado meta
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte: Ejemplo
método base: búsqueda en profundidad limitada
estado actual =
3
1
7 2 4
6 8 5
horizonte k = 3
filtrando ciclos simples
h*=ha* (piezas descolocadas)
3
1
7 2 4
6 8 5
1 2 3
7
4
6 8 5
1 2 3
7 4
6 8 5
2 3
1 7 4
6 8 5
k=3 h *=4
a
1 2 3
6 7 4
8 5
ha*=3
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7 8 4
6 5
ha*=4
1 2 3
7 8 4
6 5
ha*=2
1 2 3
7 4
6 8 5
1 2
7 4 3
6 8 5
ha*=6
–2–
1 2 3
7 4 5
6 8
ha*=5
1 3
7 2 4
6 8 5
1 3
7 2 4
6 8 5
7 1 3
2 4
6 8 5
1 3 4
7 2
6 8 5
7 1 3
2
4
6 8 5
ha*=5
7 1 3
6 2 4
8 5
ha*=5
1 3 4
7
2
6 8 5
ha*=6
1 3 4
7 2 5
6 8
ha*=7
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte: Ejemplo
método base: búsqueda en profundidad limitada
estado actual =
1 2 3
7
4
6 8 5
1 2 3
7
4
6 8 5
horizonte k = 3
filtrando ciclos simples
h*=ha* (piezas descolocadas)
1 2 3
7 4
6 8 5
k=3
1 2 3
7 8 4
6
5
1 2 3
7 4
6 8 5
3
1
7 2 4
6 8 5
2 3
1 7 4
6 8 5
1 2 3
6 7 4
8 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2
7 4 3
6 8 5
1 2 3
7 4 5
6 8
1 3
7 2 4
6 8 5
1 3
7 2 4
6 8 5
3
2
1 7 4
6 8 5
1 2 3
6 7 4
8
5
1 2 3
7 8
6 5 4
1 2 3
8 4
7 6 5
2
1
7 4 3
6 8 5
1 2 3
7 4 5
6
8
7 1 3
2 4
6 8 5
1 3 4
7 2
6 8 5
ha*=5
ha*=6
ha*=5
ha*=3
ha*=5
ha*=1
–2–
ha*=6
ha*=5
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte: Ejemplo
método base: búsqueda en profundidad limitada
estado actual =
1 2 3
7 8 4
6
5
horizonte k = 3
filtrando ciclos simples
h*=ha* (piezas descolocadas)
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8 4
6 5
1 2 3
7 8
6 5 4
1 2 3
8 4
7 6 5
1 2 3
8
7
6 5 4
k=3
1 2 3
7 8 4
6
5
ha*=5
1 2
7 8 3
6 5 4
1 2 3
8
4
7 6 5
ha*=6
ha*=0
–2–
1 2 3
7
4
6 8 5
2 3
1 8 4
7 6 5
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte: complejidad
• Proporcional al número de nodos abiertos/expandidos
• b factor de ramificación efectivo, k limite de profundidad
• Método base: búsqueda en profundidad limitada
• Complejidad en espacio:
– (k*b)+1∈ O(b*k) (solo se mantiene el camino explorado y sus vecinos en
la memoria)
• Complejidad en tiempo:
– el encontrar un nodo meta y su profundidad depende de la función
heurística
– hay que contar la complejidad de calcular h*
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte: complejidad
Complejidad en tiempo:
• si se encuentra una solución con profundidad d≤k :
– igual que en la búsqueda en profundidad limitada:
– mejor caso: d∈ O(d)
– peor caso: 1+b+...+bk-1∈ O(bk)
• si se encuentra una solución con profundidad d>k :
– primero hay que realizar d-k búsquedas en profundidad limitadas
completos
– en el siguiente paso se encuentra la solución en la profundidad k
– mejor caso: (d − k )(1 + b + b +  + b
2
k −1
(b k − 1)
) + k = (d − k )
+k
b −1
– peor caso: (d − k + 1)(1 + b + b +  + b
2
–2–
k −1
(b k − 1)
) = (d − k + 1)
b −1
∈ O(d ⋅ b k )
∈ O(d ⋅ b k )
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte : análisis
Análisis:
• En general, no se puede asegurar optimalidad ni completitud
– depende de la función heurística
• Si h* es ideal (h*=h), entonces es óptimo y completo
• La búsqueda por ascenso de colinas es un caso especial de la búsqueda
con horizonte (horizonte = 1)
• Aumentar el horizonte k:
– permite evitar ciclos de longitud k o menor
– se trata mejor el caso en los que varias acciones tienen el mismo valor
heurístico (ver ejemplo)
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda online y optimización
La búsqueda online (horizonte/ascenso de colinas) es aplicable a problemas
de optimización.
Problema de optimización:
• El objetivo es encontrar el mejor estado según una función objetivo
• No necesariamente se busca un estado exacto, sino uno que se acerca al máximo
al objetivo
• El camino para llegar al estado buscado puede ser irrelevante (coste 0)
• Ejemplos: juegos lógicos y de configuración, n-Reinas
Funciones heurísticas para problemas de optimización:
• Funciones que estimen el coste del camino hasta el nodo meta más próximo
(todos los que hemos visto hasta ahora)
• Funciones que miden la calidad de un nodo respecto a la función objetivo
• Muchas funciones heurísticas estiman las dos cosas a la vez
• A veces es más fácil definir una heurística que estime la “calidad” de los nodos
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda online y optimización: El juego de las
cifras
El juego de las cifras:
• Combinar una serie de CIFRAS mediante las operaciones de suma y
multiplicación de tal forma que el resultado se acerca lo máximo a un
número dado (EXACTO).
• Ejemplo:
CIFRAS:
6
2
5
25
EXACTO:
420
• El objetivo consiste en encontrar una secuencia de operaciones, que
aplicadas sobre (algunas de) las cifras de entrada, y sobre los resultados
intermedios, permiten obtener un número lo más próximo a EXACTO.
Cada cifra se puede utilizar sólo una vez.
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda online y optimización: El juego de las
cifras
• Formalización del problema:
– Representación (eficiente) de estados:
(<último resultado>,<lista de los números disponibles todavía>)
–
–
–
–
–
Estado inicial: (0,[6,2,5,25])
Estado meta: (x,y) tal que x es lo más cerca posible de 420
Operadores: aplicar la suma/multiplicación
Coste de un operador: 0
Tipo de solución: estado
• Se puede resolver el problema con un método de búsqueda no informado
usando como estado meta (420,y), pero ¿Que pasa si no hay ninguna
solución exacta?
• Mejor utilizar la búsqueda online:
– Función heurística: h*((x,y))=|420-x|
• mide la similitud del estado al objetivo, no mide el coste del camino restante
– Modificar los algoritmos:
• se termina cuando el estado elegido como más prometedor tiene un valor de h*
mayor que el estado actual
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte: El juego de las cifras
método base: búsqueda en profundidad limitada
estado actual = (0,[6,2,5,25])
horizonte k = 2
(6,[2,5,25])
(8,[5,25])
(6+2)
(31,[2,5])
(6+25)
(11,[2,25]) (12,[5,25])
(6+5)
(6*2)
(150,[2,5]) (30,[2,25])
(6*25)
(6*5)
(0,[6,2,5,25])
(2,[6,5,25])
(8,[5,25])
(2+6)
h*=420
(5,[6,2,25])
(27,[6,5])
(2+25)
(25,[6,2,5,25])
(11,[2,25]) (30,[6,2])
(5+6)
(5+25)
(7,[6,25]) (12,[5,25]) (7,[6,25]) (30,[2,25])
(2+5)
(2*6)
(5+2)
(5*6)
(50,[6,5]) (10,[6,25]) (125,[6,2]) (10,[6,25])
(2*25)
(2*5)
(5*25)
(5*2)
(31,[5,2])
(25+6)
(27,[6,5])
(25+2)
(30,[6,2]) (150,[5,2])
(25+5)
(25*6)
(50,[6,5]) (125,[6,2])
(25*2)
(25*5)
h*=270
k=2
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte: El juego de las cifras
método base: búsqueda en profundidad limitada
estado actual = (6,[2,5,25])
horizonte k = 2
(8,[5,25])
(31,[2,5])
(6,[2,5,25])
h*=414
(11,[2,25])
(12,[5,25])
(150,[2,5])
(30,[2,25])
(13,[25])
(8+5)
(36,[2])
(31+5)
(36,[2])
(11+25)
(37,[5])
(12+25)
(152,[5])
(150+2)
(55,[2])
(30+25)
(40,[25])
(8*5)
(33,[5])
(8+25)
(200,[5])
(8*25)
(155,[2])
(31*5)
(33,[5])
(31+2)
(62,[5])
(31*2)
(275,[2])
(11*25)
(13,[25])
(11+2)
(22,[25])
(11*2)
(300,[5])
(12*25)
(17,[25])
(12+5)
(60,[25])
(12*5)
(300,[5])
(150*2)
(155,[2])
(150+5)
(750,[2])
(150*5)
(750,[2])
(30*25)
(32,[25])
(30+2)
(60,[25])
(30*2)
h*=120
k=2
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte: El juego de las cifras
método base: búsqueda en profundidad limitada
estado actual = (12,[5,25])
horizonte k = 2
(37,[5])
(12,[5,25])
h*=408
(300,[5])
(17,[25])
(60,[25])
(185,[])
(37*5)
(1500,[])
(300*5)
(425,[])
(17*25)
(1500,[])
(60*25)
(42,[])
(37+5)
(305,[])
(300+5)
(42,[])
(17+25)
(85,[])
(60+25)
h*=5
k=2
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte: El juego de las cifras
método base: búsqueda en profundidad limitada
estado actual = (17,[25])
horizonte k = 2
(17,[25])
(42,[])
h*=403
( 425,[])
h*=5
k=2
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda con horizonte: El juego de las cifras
método base: búsqueda en profundidad limitada
estado actual = (425,[])
horizonte k = 2
(425,[])
k=2
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.13
Búsqueda online para optimización: Juego de las cifras
• La búsqueda online para optimización (parando cuando no se obtiene ninguna
mejora) es muy útil en problemas de optimización con un número infinito de
estados.
• Aplica la búsqueda por ascenso de colinas a la siguiente instanciación del juego de
las cifras:
CIFRAS: 2, 3, 5, 7, 8
EXACTO: 163
• En este caso, se usan los operadores suma, resta, multiplicación y división. Solo se
puede aplicar un operador si el resultado es entero positivo. Cada cifra se puede
utilizar varias veces.
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Tema 2: Juegos unipersonales
Resumen:
2. Juegos unipersonales
2.1. Representación básica
2.2. Juegos con información completa
2.3. Recursos limitados en juegos con información completa
2.4. Juegos con información incompleta
Búsqueda en tiempo real
Búsqueda A* con aprendizaje en tiempo real
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Características de problemas con información
incompleta
• Entorno:
–
–
–
–
secuencial (acciones se efectúan de forma secuencial)
discreto (número finito de acciones en cada estado)
determinista (resultados de las acciones son estados definidos)
accesible (se puede percibir el estado actual y comprobar si es estado meta)
• Agente:
– Es capaz de percibir el estado en el que se encuentra
– Conoce las acciones que puede aplicar en el estado actual
• Pero no conoce los estados sucesores de un estado hasta que no ha probado las
acciones correspondientes (no puede prever los estados resultantes de las aciones)
– Tiene un objetivo (estado meta)
– Suposiciones:
• Las acciones son deterministas (el resultado de una acción, aunque no es
previsible, está claramente definido y no cambia)
• El agente puede reconocer siempre un estado que ha visitado anteriormente
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Conocimientos mínimos a priori de un agente
• Conocimientos mínimos a priori de un agente de búsqueda en el
espacio de estados:
– s0
Estado inicial
– acciones: s  {a1, ..., an}
Devuelve una lista de acciones
permitidas en el estado s
– meta?: s  verdad | falso
Compara el estado s con los estados
meta y devuelve verdad si s es un
estado meta
– c: (si, a, sj )  v, v∈ℵ
Coste del operador a para ir de si a sj
solo se puede aplicar si se conoce sj
(
)
n −1
(
c si1 si2  sin = ∑ c sik , ak , sik +1
)
Coste de un plan
k =1
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejemplo base: Laberinto
Problema:
Instanciación:
Estado inicial
• Estados:
S
– posición del agente en el laberinto
• Acciones:
– el agente (A) se puede mover a una
posición adyacente si no hay un
obstáculo
A
• Coste:
– La aplicación de cada operador vale
una unidad
• Solución:
– se busca un camino (más corto) a la
salida (S)
Estado meta
A
S
• Suposición:
– el agente no conoce el laberinto
– es capaz de recordar estados
visitados anteriormente
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda (en profundidad) en tiempo real
Idea:
• Realizar una búsqueda en profundidad creando un mapa del problema
• Se crea sucesivamente el grafo del problema de búsqueda guardando
el grafo en memoria
• Si se llega a un estado que ya se ha llegado antes, se explora otros
caminos no explorados
• Si se llega a un estado en el que se han explorado todas las acciones se
vuelve (físicamente) atrás
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en tiempo real
Algoritmo:
• G: es el grafo etiquetado y dirigido del
problema que se genera al explorar el
espacio; inicialmente vacío
• ha: es una lista de los estados recorridos,
necesario para realizar una vuelta atrás
• añade(s,G): añade el nodo s al grafo G
y añade sus acciones como arcos
“abiertos”
• conecta(sa,a,s,G): conecta el arco con
etiqueta a del nodo sa al nodo s
• sa y a: estado anterior y última acción
• arc_ab[s]: lista de arcos “abiertos” de s
• Primero(l): devuelve el primer elemento
de una lista y lo quita de la lista
• percibir(entorno) y realizar(a): percibe
el estado actual y realizar la acción a
{búsqueda en profundidad en TR}
sa=null
Repetir
s ← percibir(entorno)
Si meta?(s) entonces devolver(parar)
Si nuevo?(s) entonces añade(s,G)
Si sa no es nulo entonces
conecta(sa,a,s,G)
añade sa al principio de ha
Si vacio?(arc_ab[s]) entonces
Si vacio?(ha) entonces devolver(parar)
En caso contrario
a ← acción que va de s a Primero(ha)
sa ←nulo
En caso contrario a ← Primero(arc_ab[s])
sa ←s
entorno ← realizar(a)
Fin {repetir}
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en tiempo real: Ejemplo
Movimientos del agente
S
S
A
S
A
ar
grafo G
S
de
ab A
A
iz
ar
S
A
A
ab
AS
S
ab
ha
A
S
ar
AS
A
ab
A
iz
S
A
S
ar
vuelta atrás
S
A
A
ab
AS
S
ab
ar
S
A
de
A
S
A
S
S
ar
iz
S
A
de
A
Orden de realizar los movimientos
si hay varias posibilidades:
- arriba, abajo, izquierda, derecha
S
S
A
S
A
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en tiempo real: Ejemplo
Movimientos del agente
S
S
A
S
A
ar
grafo G
S
de
ab A
S
A
iz
ar
S
A
A
AS
S
ab
ab
A
S
ar
S
A
de
A
S
de
A ar
S
A
A
A
ar
S
A
A
ab
ar
S
A
ab
S
A
de
ar
S
A
ab
ar
iz
S
A
de
iz
A
S
A
Orden de realizar los movimientos
si hay varias posibilidades:
- arriba, abajo, izquierda, derecha
S
S
ar
A
S
AS
S
A
ab
ar
A
S
S
A
AS
ab
iz
S
ha
S
S
A
S
A
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en tiempo real: Ejemplo
S
Árbol expandido:
A
S
A
S
A
S
A
A
AS
A
S
S
A
S
• Exploración por profundidad
• No se evitan ciclos
• Tratamiento de estados repetidos:
– si hay un estado repetido se
realiza la acción que no se ha
probado todavía
– si no hay acciones sin probar
vuelve atrás
S
S
A
A
S
A
S
A
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en tiempo real: Ejemplo
Camino del agente el el laberinto:
• los números en rojo indican el camino del agente
A
iz
S
de
A
ab
2
S
A
ab
6
S
5
ar
A
1 ab
7
ar 8 iz
de 3
9
S
A
AS
S
S
12
ar
S
A
4
ar
A
ab
ab
iz
11
ar
S
A
de 10
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en tiempo real: Analisis
Complejidad:
•
•
•
•
n número de estados posibles; b factor de ramificación
en espacio: espacio requerido para el grafo G y la lista ha
– peor caso: (n-1)(b+1)+(n-1)b=2nb+n - 2b -1∈O(nb)
en tiempo: número de movimientos del agente
– peor caso: O(nb)
en el peor caso b=n y la complejidad en tiempo y espacio podría ser
O(n2)
• O(n2) puede ser un problema, especialmente respecto al espacio
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda en tiempo real: Analisis
Completitud:
•
es completo: en espacios finitos y si de todos los nodos a que se puede
llegar existe un camino al nodo meta
Optimalidad:
•
•
No es óptimo
Índice competitivo del agente (coste camino real/coste camino óptimo)
– puede ser infinito si hay acciones irreversibles o el espacio es infinito
– puede ser arbitrariamente largo si todas las acciones son reversibles y el
espacio es limitado
•
Ningún algoritmo puede evitar callejones sin salida en todos los
espacios de estados
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.14
Búsqueda en profundidad en tiempo real:
Considera el laberinto dibujado abajo. A es el agente cuyo objetivo es llegar a S. M es
un monstruo que come el agente si llega a el.
a) Realiza la búsqueda por profundidad en tiempo real. Si en un estado hay varios
acciones sin explorar, elige las acciones en el siguiente orden: izquierda, arriba,
derecha, abajo. Dibuja el grafo que genera el agente e indica sus movimientos.
b) Realiza la búsqueda por profundidad en tiempo real. Si en un estado hay varios
acciones sin explorar, elige las acciones en el siguiente orden: derecha, arriba,
izquierda, abajo. Dibuja el grafo que genera el agente e indica sus movimientos.
c) Suponiendo un coste de cada movimiento de 1, calcula el índice competitivo del
agente para ambos casos y compáralos.
M
S
A
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda A* con aprendizaje en tiempo real
Problema:
• La búsqueda en profundidad en tiempo real es esencialmente ciega:
– El agente intenta caminos al azar y evita caminos ya explorados
• Se podría utilizar funciones heurísticas:
– para explorar las acciones más prometedoras primero
– Pero, ¿Qué heurística se puede usar si no se conoce mucho del problema?
Idea: generar información heurística “sobre la marcha”
• Crear el mapa del problema y aprender al mismo tiempo los valores de h* para cada
estado (y durante varias búsquedas sucesivas)
• Inicialmente, se inicializa h*(s) = 0 para todos los nodos s
• Después de realizar una acción en el estado sa se actualiza h*(sa) al coste mínimo para
ir de sa al estado meta, según lo que se sabe en este momento
• Estando en un estado s, se elige aquella acción permitida b que lleva a un estado s’ tal
que h*(s’)+c(s,b,s’) es mínimo
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda A* con aprendizaje en tiempo real
Algoritmo:
• G: es el grafo etiquetado y dirigido del
problema que se genera al explorar el espacio;
inicialmente vacío; contiene un valor h* para
cada nodo
• añade(s,G): añade el nodo s al grafo G y
añade sus acciones como arcos “abiertos”;
inicializa h*(s) a 0
• conecta(sa,a,s,G): conecta el arco con
etiqueta a del nodo sa al nodo s
• sa y a: estado anterior y última acción; son
variables globales
• estado[s,b]: estado al que se llega del estado
s con la acción b (puede ser no definido)
• funcion costo (s,s’,b):
{calcula el coste estimado para ir de s al
nodo meta más cercano a través de s’ }
Si nodefinido?(s’) entonces devolver 0
en otro caso devolver c(s,b,s’)+H[s’]
{búsqueda con aprendizaje en TR}
sa=null
Repetir
s ← percibir(entorno)
Si nuevo?(s) entonces añade(s,G)
Si sa no es nulo entonces
conecta(sa,a,s,G)
h*[sa] ←
min
b∈acciones(s a )
(costo(sa , estado[s a ,b], b))
Si meta?(s) entonces devolver(parar)
a ← acción b de acciones(s) que minimiza
costo(s,estado[s,b],b)
entorno ← realizar(a)
sa ←s
Fin {repetir}
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Coste estimado mínimo para ir de un estado a la
meta
Elegir acción desde s: Actualizar h* de s:
Caso 1: (s tiene acciones sin explorar)
coste=?
coste=6
s4
h*=1
h*=2
coste=7
s
coste=3
coste=3
s3
s1
Caso 2: (s ha explorado todas las acciones)
s2
h*=3
s3
coste=?
coste=3
s3
h*=3
h*=1
s
coste=3
s2
h*=3
h*(s)←0
coste=6
coste=6
coste=3
h*=2
s1
h*=2
h*(s)←5
s1
s4
h*=1
h*=2
coste=7
s
coste=3
s2
coste=3
s3
h*=2
coste mínimo esperado =0
h*=3
coste=6
s1
h*=1
s
coste=3
s2
h*=2
coste mínimo esperado=5
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda A* con aprendizaje en tiempo real:
Ejemplo
Movimientos del agente
S
S
A
ar
e=0
S
A
S
A
ab A
e=0
A
ab
e=0
S
de
e=0
AS
S
ab
e=0
grafo G
iz0 0
AS
A
ar
e=0
A
ab
S
ar
e=0
iz
e=0
ar
01
S
A
A
ab
S
00 1
ab
S
A
ar
S
• Orden de realizar los movimientos
si hay varias posibilidades:
- arriba, abajo, izquierda, derecha
• e es el costo estimado de la acción
para ir a la meta
A
001
de
ar
iz
S
A
00 0
de
• en rojo los valores de h*
• el coste de cada acción es 1
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda A* con aprendizaje en tiempo real:
Ejemplo
Movimientos del agente
S
S
A
ar
e=0
S
A
S
A
ab A
e=0
A
de
e=0
ab
e=0
ab
e=0
S
AS
S
grafo G
iz0 0
ar
e=0
A
S
A
de
e=1
ar
01
ar
e=0
S
A
A
ab
S
A
S
de
e=0
A ar
e=0
0
ab
ab
iz
e=0
S
S
A
AS
12 movimientos
A
S
A
S
ar
S
A
00 1
00
ab
ab
S
A
ar
e=0
ar
S
• Orden de realizar los movimientos
si hay varias posibilidades:
- arriba, abajo, izquierda, derecha
• e es el costo estimado de la acción
para ir a la meta
A
001 1
de
ar
iz
S
A
00 01
de
iz
ar
S
A
00
• en rojo los valores de h*
• el coste de cada acción es 1
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda A* con aprendizaje en tiempo real:
Analisis
Aprendizaje de h*:
• los valores de h* aprendidos sirven para nuevas instanciaciones del
problema:
– el estado meta tiene que ser el mismo
– el estado inicial puede ser distinto
•
después de un número suficiente de búsquedas sucesivas con el mismo
estado meta, h* converge a h
– se convierte en una estimación exacta del coste de un nodo a la meta
Problemas:
• En situaciones donde el estado meta puede cambiar, los valores de h*
aprendidos no sirven para nuevas búsquedas
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Nueva búsqueda (con h* aprendido; mismo estado
meta /otro estado inicial)
Movimientos del agente
S
A
AS
AS
iz
e=0
de
e=0
A
grafo G
S
02
ar
e=1
A
de
S
S
ab
e=2
de
e=1
A
A iz
iz A
e=2 ar
A
e=0
e=2
S
A
S
S
ar
e=1
A de
e=2
S
S
de A
e=3
A
ab
e=3
A ar
e=2
ar
S
A
A
ab
S
A
1 12
011
ab
ab
S
A
S
A
ar
e=1
S
ar
A
ar
S
A
ab
ab
13
ab
e=0
S
0
S
S
S
S
A
AS
S
ab
e=2
A
iz0 1 2
123
de
S
A
1 12 2
• Condiciones: igual que antes (sólo cambia el estado inicial)
–2–
ar
iz
de
iz
ar
S
A
01 12
16 movimientos
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Nueva búsqueda (con h* aprendido; mismo estado
meta / estado inicial que antes)
Movimientos del agente
S
A
AS
AS
iz
e=3
de
e=4
A
grafo G
S
24
ar
e=3
A
de
S
S
ab
e=3
A
S
de
e=3
A ar
S
A
e=2
S
A
AS
S
ab
e=4
A
iz2 3 4
0
ab
ab
S
A
ar
e=1
ar
3
S
A
A
ab
ar
S
A
de
11
ab
ar
iz
S
A
23
S
A
233
ab
8 movimientos
3
S
ar
de
iz
ar
S
A
22
• Condiciones: igual que antes
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Nueva búsqueda ( búsqueda inicial con h*
aprendido)
Movimientos del agente
S
S
A
S
A
ar
e=4
ab A
e=5
S
A
ab
e=1
S
de
e=4
S
A
grafo G
4
A
A
iz4
S
de
e=3
de
S
A
AS
0
ab
ab
S
ar
e=2
A
6 movimientos
(comparado con los 12
de la primera búsqueda)
ar
35
S
A
A
ab
S
S
A
3 44
de
11
ab
ar
iz
S
A
33
S
A
3
ab
ar
ar
de
iz
ar
S
A
22
• Condiciones: igual que antes
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Búsqueda A* con aprendizaje en tiempo real:
Analisis
Complejidad:
•
espacio: la misma que en la búsqueda en profundidad en tiempo real: O(n•b)
(para guardar el grafo)
•
tiempo:
–
–
inicialmente igual que en la búsqueda en profundidad en tiempo real: O(n2) (peor
caso)
mejora con el tiempo al ser la función heurística h* cada vez más exacta
Completitud:
•
es completo: en espacios finitos y si de todos los nodos a que se puede llegar
existe un camino al nodo meta
Optimalidad:
•
•
No se es óptimo
Se convierte en óptimo, cuando h*(n)=h(n) para todos los nodos n
Problemas:
•
•
Los requerimientos de espacio son importantes, especialmente para problemas
con un número grande de estados distintos
Ejemplo: el 8-Puzzle tiene 9!/2=181440 estados (15-Puzzle: 1013estados)
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
Ejercicio 2.15
Búsqueda A* con aprendizaje en tiempo real:
Imagínate el siguiente escenario. Un agente tiene que realizar una carrera de la ciudad A a la
ciudad B (ver mapa de carreteras con ciudades y kilómetros). La peculiaridad de la carrera
consiste en que el agente no conoce el mapa. Una vez que el agente llega a una ciudad, se le
dice el nombre de esta ciudad, las carreteras que salen y la longitud de la carretera que
acaba de recorrer.
55
G
O
a) Aplique el algoritmo de búsqueda A* con
Z
71
aprendizaje en tiempo real a este problema. Si 75
151
no hay ningun criterio mejor, el agente prefiere
A
S
carreteras que van al norte y luego
99
140
F
sucesivamente los que van al este, sur y oeste.
118
80
R
b) Repite la misma búsqueda con los valores de la
T
97
211
función heuristica aprendido anteriormente.
181
P
c) Que cambiaría si, al llegar a una ciudad nueva,
101
146
no sólo se le dice al agente las carreteras que
M
salen, sino también los kilómetros que hay
138
75
hasta la siguiente ciudad para cada una de estas
120
D
C
carreteras (pero no a que ciudades se llegan).
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf
B
Ejercicio 2.16
Aprendizaje de la función heurística en problemas con información
completa:
El mecanismo de aprendizaje puede aplicarse igual si se conoce el grafo
de antemano (problemas con información completa). De hecho, una vez
que se haya obtenido el grafo completo, se hace eso. Además, en vez de
inicializar los valores de la función heurística a 0, se puede utilizar como
valores iniciales los de una función heurística conocida.
a) Implemente el algoritmo de aprendizaje para el 8-puzzle. Para inicializar los
valores de la función heurística para cada estado utiliza la función hc*.
b) Genere 100 estados iniciales aleatorios y busque una solución con el algoritmo
implementado, y aprendiendo (mejorando) la función heurística a lo largo de estas
100 búsquedas. Utilice como estado meta el estado meta utilizado en los ejemplos.
c) Genera un gráfico que indica el número de movimientos realizados en cada
búsqueda en función del número de búsquedas realizados anteriormente. Comenta
este gráfico.
–2–
Fundamentos de Inteligencia Artificial
3º Ing. Sup. Inf