AMORTIZACION

AMORTIZACION
En general, los individuos solicitan prestamos a instituciones financieras para financiar un proyecto,
adquisición de un bien, etc.
Todo préstamo que se adquiere debe pagarse por una parte unos intereses por concepto del uso y disfrute del
capital recibido y por otra, reembolsar dicho capital en una o varias épocas, previamente acordadas.
Para determinar el pago de intereses y el control de la amortización o reembolso del capital en préstamo suele
aplicarse uno de los tres sistemas siguientes:
• Sistema Francés o de Amortización Progresiva.
• Sistema Americano o Fondo de Amortización.
• Sistema Alemán o de Amortización Constante.
Sistema Francés o de Amortización Progresiva
En este sistema el deudor se compromete a cancelar una cantidad constante (anualidad o término de la renta),
al finalizar o comenzar cada período de tiempo convenido la cantidad que se desglosará en dos partes, la
primera para cancelación de intereses y la segunda para la amortización de una parte del capital tomado en
préstamo. En consecuencia, al ser las anualidades constantes, al comenzar la amortización del capital
comenzará a disminuir la parte destinada al pago de intereses y aumentando la parte destinada a la
amortización del capital en cada período, por cuyo motivo, a este método también se le conoce con el nombre
de sistema de amortización Progresiva.
El sistema Francés o de amortización Progresiva es ampliamente aplicado en los créditos a mediano y largo
plazo.
Los principales símbolos que se emplean son los siguientes:
D = Deuda primaria pendiente de amortización
R = Término de la renta compuesto por: interés simple del período (I)
más cantidades destinada a amortización de la deuda (t). Es decir
R=t+I
I = Interés simple de la deuda pendiente de amortización,
correspondiente a un período.
t = Amortización real de la deuda correspondiente a un período.
Z = Deuda amortizada.
P = Deuda pendiente de amortización.
Para suministrar cualquier tipo de información que pueda ser requerida referente al préstamo, se acostumbra
preparar el denominado Cuadro de Amortización de una deuda.
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Por esta razón, se realizará un ejemplo en donde se prepara un cuadro de amortización.
Ejemplo:
Se compra un vehículo cuyo valor es de Bs. 12.000.000. La forma de pago es: Inicial del 30 % y el saldo
restante que es Bs. 8.400.000, se financia a través del Banco Hipotecario XXX a una tasa efectiva del 18 %
anual. Para la amortización y pago de intereses se destinarán 20 cuotas mensuales constantes vencidas.
Es necesario calcular lo siguiente:
• Valor de la anualidad R
• Preparar un cuadro de amortización.
D = 8.400.000 n = 20 meses i = 0,18 anual / 12 = 0,015 mensual
Anualidad de Amortización Real (t)
Sistema Francés
En el cuadro de amortización para obtener la anualidad de amortización real de un determinado período, es
necesario conocer la deuda pendiente de amortización al comenzar ese período. Generalmente, se conoce la
anualidad R (término o anualidad de la renta), pero no la deuda pendiente a un determinado período.
La siguiente formula nos permitirá calcular el valor de la anualidad de amortización REAL tx, en función de
la anualidad constante R (término de la renta) (Sistema Francés).
tx = R V n − x + 1
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Aplicando esta formula al ejemplo que hemos desarrollado, es decir:
Determinar la anualidad de amortización real para el período nueve(9) en un préstamo de Bs. 8.400.000,00 a
una tasa de interés anual del 18%, el cual se cancelará en 20 meses en base a cuotas vencidas de Bs.
489.264,18
tx = R V n − x + 1
Intereses de un período
Sistema Francés
En algunas ocasiones desearemos conocer a cuánto asciende los intereses de un determinado período.
La siguiente fórmula nos permitirá calcular el valor de los intereses correspondiente a un período x, en
función de la anualidad R (Sistema Francés).
Ix = R ( 1 − V n − x + 1)
Aplicando la fórmula al ejemplo que desarrollamos en el cuadro de amortización para el período nueve
tendremos lo siguiente:
Ix = R ( 1 − V n − x + 1)
Deuda Amortizada
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Sistema Francés
En la amortización de un préstamo también es importante conocer la deuda amortizada al finalizar un
determinado período.
La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda amortizada al final del período después de haber cancelado la
anualidad R (Sistema Fránces).
Aplicando la fórmula al ejemplo que desarrollamos en el cuadro de amortización para el período nueve
tendremos lo siguiente:
Deuda Pendiente de Amortización
Sistema Francés
Para conocer la deuda pendiente de amortización o deuda insoluta después de cancelar la anualidad de un
determinado período, debemos aplicar la siguiente fórmula:
Aplicando la fórmula al ejemplo que desarrollamos en el cuadro de amortización para el período nueve
tendremos lo siguiente:
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Sistema Americano − Fondo de Amortización −
Sinking Fund
En este Sistema de Amortización el deudor, durante el plazo del préstamo, abonará al acreedor el interés
simple sobre el total del capital tomado en préstamo, en los períodos de tiempo convenido y, al mismo tiempo,
deberá depositar en un fondo cantidades periódicas, las cuales junto con sus intereses, formarán el monto que
reembolsará, en su vencimiento, la totalidad del capital tomado en préstamo.
Las cantidades que el deudor cancelará al acreedor durante el plazo del préstamo, cubrirán únicamente los
intereses del préstamo, el cual será reembolsado, a su vencimiento, con el monto formado por las cantidades
ingresadas al fondo de amortización.
Este sistema tiene muy poca aplicación práctica, pues el deudor, pocas veces cumple con el compromiso de
depositar en el fondo de amortización las cantidades periódicas que formarán el monto para reembolsar el
préstamo.
En este sistema nos encontramos con dos tipos de tasas, generalmente diferente, las cuales distinguiremos por:
i = tasa de interés que produce el fondo de amortización.
r = tasa de interés del préstamo.
Anualidad para formar el Fondo y cancelar intereses.
El principal problema con que nos encontramos en este sistema será del determinar la correspondiente
anualidad que, desglosada en dos partes, cancele los intereses correspondientes del préstamo y forme el fondo,
el cual, en la época de vencimiento, reembolse monto del préstamo.
La siguiente fórmula nos proporcionará la anualidad R, la cual cancelará el interés simple del préstamo,
correspondiente a un período t, que formará el fondo de amortización (sistema americano).
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Ejemplo:
Se obtiene un préstamo de Bs. 6.500.000,00 para ser reembolsado en 6 años a una tasa efectiva anual del 15%
con cancelación de intereses por anualidades vencidas. Se exigen depósitos por anualidades vencidas que
formarán Bs. 6.500.000,00 al finalizar el plazo del préstamo. El fondo produce una tasa efectiva anual del
12%.
D = 6.400.000,00 r = 0,15 i = 0,12 n = 6
6
Comprobación:
Sabemos que: t = R − D r por lo tanto
t = 1.775.967,11 − 6.500.000(0,15)
t = 1.775.967,11 − 975.000
t = 800.967,11
Determinemos si con anualidades vencidas de Bs. 800.967,11 a una tasa de 12% en 6 años, formaremos un
monto de Bs. 6.500.000 el cual servirá para reembolsar el préstamo.
Aplicando la fórmula:
Deuda en función de Anualidad R
Sistema Americano
La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda que podemos contraer en función de la anualidad R, tasa del
préstamo, tasa del fondo y tiempo (sistema americano).
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Ejemplo:
Determinar que capital podemos tomar en préstamo durante 6 años, a una tasa anual efectiva de 15%, si
disponemos de anualidades de Bs. 1.775.967,11 para la cancelación de los intereses periódicos anuales y
formación de un fondo de amortización que produce una tasa anual efectiva del 12%.
R = 1.775.967,11 r = 0,15 i = 0,12 n = 6
Cuadro para Fondo de Amortización de Préstamo
Sistema Americano
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Para poder seguir la situación del fondo de amortización se suele preparar un cuadro que representa la
formación de una renta de imposición. Este es muy simple, pero requiere mucho cuidado para su preparación.
Como ejemplo prepararemos el cuadro de amortización del ejercicio que hemos desarrollado en los puntos
anteriores.
Cuadro de un Fondo de Amortización , para el reembolso de un préstamo por Bs. 6.500.000 concedido el
01/03/2000 con vencimiento el 01/03/2006. Intereses del préstamo: 15% anual. Intereses del Fondo: 12%
anual efectivo. Anualidades vencidas.
Intereses
sobre
Desembolsos el Préstamo
Fechas
Anual "R"
15% anual
01/03/2001 1.775.967,11 975.000,00
01/03/2002 1.775.967,11 975.000,00
01/03/2003 1.775.967,11 975.000,00
01/03/2004 1.775.967,11 975.000,00
01/03/2005 1.775.967,11 975.000,00
01/03/2006 1.775.967,11 975.000,00
Totales
10.655.802,66 5.850.000,00
Anualidad
Intereses sobre Total
Destinada al
Fondo
800.967,11
800.967,11
800.967,11
800.967,11
800.967,11
800.967,11
4.805.802,66
El Fondo
12% anual
−
96.116,05
203.766,03
324.334,01
459.370,14
610.610,61
1.694.196,86
Abonado al
Fondo
800.967,11
897.083,16
1.004.733,14
1.125.301,12
1.260.337,25
1.411.577,72
6.499.999,52
Valores del
Fondo
800.967,11
1.698.050,27
2.702.783,42
3.828.084,54
5.088.421,79
6.499.999,52
Sistema Alemán o Amortización Constante
El deudor se compromete a cancelar cantidades variables (anualidades o términos de la renta), al finalizar o
comenzar cada período de tiempo convenido (generalmente lapsos equidistantes). Cada cantidad se desglosará
en dos partes, la primera CONSTANTE e igual a la enésima parte del capital tomado en préstamo, se aplicará
a la amortización del mismo; la segunda, VARIABLE, se aplicará a la cancelación de intereses sobre el saldo
del préstamo.
La cantidad destinada a la amortización real del préstamo es constante. En cada período se amortizará una
parte del préstamo, con lo cual disminuirán los intereses y la cantidad destinada a la cancelación de los
mismos también disminuirá y en consecuencia las anualidades o términos de la renta serán VARIABLES.
Este sistema también se le denomina: amortización real CONSTANTE.
La siguiente fórmula nos permitirá calcular la anualidad de amortización real:
El valor de la primera anualidad de amortización de capital y pago de intereses: R1 será igual a:
R1 = t1 + I1
Ejemplo:
Se obtiene un préstamo por Bs. 9.600.000,00 a tasa efectiva del 12% anual, el cual se amortizará en base a 8
anualidades de amortización real vencida iguales y consecutivas.
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D = 9.600.000 m = 1 n = 8 i = 0,12
Intereses del primer año serán:
I1 = D1 = 9.600.000(0,12) = Bs. 1.152.000,00
La anualidad de amortización real será:
R1 = t1 + I1 R1 = 1.200.000 + 1.152.000
Cuadro de Amortización
Sistema Alemán
Comienzo
Anualidad
Amortización Periodo
Deuda
Amortizada
al Final del
Periodo
Disponible
Período
12% anual
Período
9.600.000,00 2.352.000,00
1.200.000,00
1.152.000,00 1.200.000,00
8.400.000,00
8.400.000,00 2.208.000,00
1.200.000,00
1.008.000,00 2.400.000,00
7.200.000,00
7.200.000,00 2.064.000,00
1.200.000,00
864.000,00
3.600.000,00
6.000.000,00
6.000.000,00 1.920.000,00
1.200.000,00
720.000,00
4.800.000,00
4.800.000,00
4.800.000,00 1.776.000,00
1.200.000,00
576.000,00
6.000.000,00
3.600.000,00
3.600.000,00 1.632.000,00
1.200.000,00
432.000,00
7.200.000,00
2.400.000,00
2.400.000,00 1.488.000,00
1.200.000,00
288.000,00
8.400.000,00
1.200.000,00
1.200.000,00 1.344.000,00
1.200.000,00
144.000,00
9.600.000,00
Deuda al
1
2
3
4
5
6
7
8
Totales
Intereses del
14.784.000,00 9.600.000,00
Deuda
Amortizada al
Final del
Periodo
0,00
5.184.000,00 9.600.000,00
Intereses de un Determinado Periodo
Sistema Alemán
La siguiente fórmula nos proporcionará el valor de los intereses de un determinado período en función de la
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deuda inicial y de la anualidad de amortización real (sistema Alemán).
IX = [ D − (x − 1) t1]i
Si calculamos los intereses correspondientes al período seis, tendremos lo siguiente:
D = 9.600.000 t1 = 1.200.000 x = 6 i = 0,12
I6 = [ 9.600.000 − (6 − 1) 1.200.000]0,12
I6 = [ 9.600.000 − (5) 1.200.000]0,12
I6 = [ 9.600.000 − 6.000.000]0,12
I6 = [ 3.600.000]0,12
I6 = Bs. 432.000
Valor de la Anualidad `R' de un Determinado Periodo
Sistema Alemán
La siguiente fórmula nos proporcionará el valor de la anualidad variable RX para un determinado período en
función de la deuda inicial y de la anualidad de amortización real (sistema Alemán).
RX = t1 + [ D − (x − 1) t1]i
Si calculamos los intereses correspondientes al período seis, tendremos lo siguiente:
D = 9.600.000 t1 = 1.200.000 x = 6 i = 0,12
R6 = 1.200.000 + [ 9.600.000 − (6 − 1) 1.200.000]0,12
R6 = 1.200.000 + [ 9.600.000 − (5) 1.200.000]0,12
R6 = 1.200.000 + [ 9.600.000 − 6.000.000]0,12
R6 = 1.200.00 + [ 3.600.000]0,12
R6 = 1.200.00 + 432.000
R6 = Bs. 1.632.000
Deuda Amortizada
Sistema Alemán
La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda amortizada al finalizar un determinado período en función de
la anualidad de amortización real (sistema Alemán).
Recordemos que, en el sistema alemán, la anualidad de amortización real es CONSTANTE.
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ZX = x t1
Si calculamos los intereses correspondientes al período seis, tendremos lo siguiente:
D = 9.600.000 t1 = 1.200.000 x = 6
Z4 = 6(1.200.000)
Z4 = Bs. 7.200.000
Deuda Pendiente de Amortización
Sistema Alemán
La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda pendiente de amortización al finalizar un determinado
período, en función de la deuda inicial y la anualidad de amortización real (sistema Alemán).
PX = D − xt1
Si calculamos los intereses correspondientes al período seis, tendremos lo siguiente:
D = 9.600.000 t1 = 1.200.000 x = 6
P4 = 9.600.000 − 6(1.200.000)
P4 = 9.600.000 − 7.200.000
P4 = Bs. 2.400.000
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