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INTEGRAL DE LÍNEA EN EL
CAMPO COMPLEJO
CARRERA: Ingeniería Electromecánica
ASIGNATURA: Matemática para Ingeniería Electromecánica
DOCENTES:
Ing. Norberto Claudio MAGGI
Ing. Horacio Raúl DUARTE
INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA
Matemática para Ingeniería Electromecánica
INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO
CONCEPTOS PREVIOS.
CURVA EN EL CAMPO COMPLEJO
Definición: se denomina curva en el campo complejo al conjunto de puntos del
mismo tales que verifican la siguiente expresión:
∀t a ≤ t ≤ b ; t ∈ R
z = z(t ) = x(t ) + iy(t )
Ecuación vectorial de la curva.
Representación gráfica:
y
Z
A
P
z(a)
(afijo de z)
z(t)
si t = a ; z = z( a) → el afijo es A
si t = b ; z = z(b ) → el afijo es B
B
z(b)
x
t
0
a
t
b
Ejemplos:
t + it para 0 ≤ t ≤ 1 → Curva 1
z = z(t ) = 
t + i para 1 ≤ t ≤ 2 → Curva 2

 Recta que va

 Curva 1
z(1) = 1 + i  desde ( 0, 0 ) a ( 1, 1 ) 
z(0) = 0
y
Z
(1,1)
1
C2
(2,1)
C1
1
2
x
z(1) = 1 + i  Recta que va


 Curva 2
z(2) = 2 + i  desde ( 1, 1) a ( 2, 1 ) 
Continuidad.
x = x(t ) 
z(t ) es continua en el [ a , b ] ⇔ 
 son continuas ∀t ∈ [ a , b ]
 y = y (t )
Integrales de línea en el campo complejo
-1-
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Matemática para Ingeniería Electromecánica
Esta relación establece la condición de continuidad para las funciones
 x( t ) 


 y ( t )
de
modo que la curva definida por z = x(t ) + iy(t ) sea continua.
Derivación:
La derivada de z '(t ) =
z '(t ) = lim
∆t → 0
dz(t )
se define como:
dt
z(t + ∆t ) − z(t )
∆t
Interpretación geométrica.
Pasos para obtener la derivada.
y
A
- El incremento de la función z(t ) es
∆z(t ) = z(t + ∆t ) − z(t ) = PQ
P
z(t)
∆z(t)
z'(t)
- Cociente incremental
Q
z(t+∆t)
B
x
t
a
0
t t+∆t
z(t + ∆t ) − z(t )
= vector de
∆t
igual sentido que ∆z(t ) si ∆t > 0 .
z(t + ∆t ) − z(t )
= z '(t )
∆t → 0
∆t
- Paso al límite: lim
b
Si ∆t → 0 ⇒ t + ∆t → t ⇒ Q → P por lo que las
sucesivas rectas secantes a la curva en P se
transforma en la recta tangente a la curva P .
Curva orientada: dada una C ; la misma puede ser orientada de dos maneras:
desde A hacia B ó desde B hacia A. Se conviene orientar a las curvas del plano
complejo según los valores de t crecientes en el intervalo de definición.
Curva opuesta: dada una curva C orientada en un sentido, se denomina curva
opuesta C a la misma curva pero orientada en sentido opuesto.
Curva regular: una curva definida por z(t ) = z(t ) + iy(t ) , con t perteneciente al
intervalo [ a , b ] , se dice regular en [ a , b ] si y sólo si se cumple que:
-
La derivada de z(t ) es continua para todo t ∈ [ a , b ] .
-
La derivada z '(t ) ≠ 0; ∀∈ [ a , b ] .
Integrales de línea en el campo complejo
-2-
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Matemática para Ingeniería Electromecánica
La primera condición implica que cuando
verificarse que
x '( t ) 


 y '( t )
dz(t )
= x '(t ) + iy '(t ) es continua, debe
dt
son continuas en [ a , b ] . Esto es a su vez que
 x( t ) 


 y ( t )
son
continuas en [ a , b ] .
La segunda condición implica que el vector tangente a la curva en cada uno de
sus puntos debe existir (no ser nulo). El módulo de dicho vector es:
z '(t ) =
2
2
[ x '(t )] + [ y '(t )]
≠0
Curva simple: una curva definida por z(t ) = z(t ) + iy(t ) con t ∈ [ a , b ] , se dice
simple si y sólo si siendo t1 y t2 puntos pertenecientes al intervalo [ a , b ] (es
decir a < t1 < t2 < b ), se verifique z(t1 ) ≠ z(t2 ) . Esto significa que la curva ó arco
no se corta a sí mismo. Una curva simple se denomina arco simple o arco de Jordan.
Curva cerrada: una curva definida por z(t ) = z(t ) + iy(t ) con t ∈ [ a , b ] , se dice
cerrada si se verifica que: z( a) = z(b ) . Una curva simple cerrada se denomina curva
de Jordan.
Ejemplo 1:
Sea la curva C definida: z(t ) = a.cos t + i.a.sen t ; 0 ≤ t ≤ 2π
z(0) = a 
 ⇒ C es cerrada
z(2π ) = a 
Puede probarse que es simple: para cualquier valor de t , interior al intervalo
[0, 2π ] , la curva no tiene los mismos valores.
z(t1 ) ≠ z(t2 ) ∀t1 , t2 0 < t1 < t2 < 2π
x '(t ) = − a.sen t
Es regular: z '(t ) = − a.sen t + i.a.cos t 
 y '(t ) = a.cos t
son continuas, lo que
cumple con la primera condición.
Luego: z '(t ) =
2
2
( − a.sen t ) + ( a.cos t ) = a2 ( cos2 t + sen 2 t ) = a > 0 ; por lo tanto
z '(t ) es no nulo para todo t ∈ [ a , b ] , lo que cumple con la segunda condición.
La curva es regular, cerrada y simple: es una curva de Jordan.
Integrales de línea en el campo complejo
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y
Z
a
Circunferencia de centro ( 0, 0 ) y radio a ,
orientada según los valores de t crecientes.
x
t
2π
0
Ejemplo 2:
z(t ) = z0 + a.cos t + i.a.sen t ; 0 ≤ t ≤ 2π
y
Z
Circunferencia de centro z0 y radio a
a
z0
x
Ejemplo 3:
Curva simple
no cerrada
Curva no simple
no cerrada
Curva simple
cerrada
Curva no simple
cerrada
También suelen denominarse contorno, o arco regular a trozos, a los arcos
formados por un número finito de arcos regulares con extremos comunes.
INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO
Sea f ( z) = w una función analítica en un dominio D incluido en el plano
complejo. Sea w = f ( z) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) continua en el dominio D , por lo que:
u =u( x , y ) 


 v = v( x , y ) 
son continuas ∀ ( x , y ) ∈ D .
Consideremos una curva C (también llamada
y
Z
contorno) definida por:
C
C : z(t ) = x(t ) + iy(t ); a ≤ t ≤ b
Seguimos el siguiente procedimiento:
z2
z1
a) Dividimos la curva C en n arcos mediante la
z0
consideración
z1 , z2 , z3 ,..., zn− 1
de
puntos sobre
z( a) = z0 ;
la
z(b ) = zn
zn-1 z=zn
z3
x
misma:
t
0
Integrales de línea en el campo complejo
a
b
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zk
zk*
b) Designamos a cada arco así formado con ∆zk .
∆zk
∆zk = zk − zk − 1 ; con 1 ≤ k ≤ n .
zk-1
c) En cada uno de los arcos elegimos arbitrariamente un punto
que denominamos zk* y en él calculamos la imagen dada por
w = f ( z) ,
f ( zk* ) , el cual existirá por ser f ( z) analítica ∀z ∈ D .
d) Efectuamos el producto f ( zk* ) ⋅ ∆zk en cada arco.
e) Calculamos la suma de los productos anteriores para los n arcos:
n
Sn = ∑ f ( zk* ) ⋅ ∆zk
k =1
n
f) Si existe el lim Sn = lim ∑ f ( zk* ) ⋅ ∆zk ; a dicho límite se lo denomina integral de
n →∞
n →∞
k =1
línea de la función f ( z) = w sobre la curva C desde z0 a z . La curva C es la
trayectoria de integración.
En símbolos:
C
∫
z
z0
n
f ( z).dz = lim Sn = lim ∑ f ( zk* ) ⋅ ∆zk
x →∞
x →∞
∆zk → 0 k = 1
∆z k → 0
Integral
curvilínea
ó
integral
de
contorno de f sobre C .
Así como en el caso de integrales de una sola variable pueden interpretarse
como el valor de un área, o de un volumen en el caso de funciones de dos
variables, no es posible dar una interpretación análoga geométrica o física para
las integrales en el campo complejo.
Así como las integrales reales se definían sobre intervalos de la recta real, se
definen integrales de funciones complejas de variable compleja sobre curvas en
el plano complejo.
Si la trayectoria C es una curva cerrada, se simboliza:
C
∫
f ( z).dz
Cálculo mediante integrales reales.
Consideremos la función f ( z) como una función de dos variables reales:
f ( z) = u( x , y ) + iv( x , y )
Integrales de línea en el campo complejo
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Si z = x + iy , entonces zk* = x k* + iy k* , y ∆zk = ∆xk + i∆y k .
f ( zk* ) = u ( x k* , y k* ) + iv ( x k* , y k* ) ; y la sumatoria Sn :
n
n
k =1
k =1
Sn = ∑ f ( zk* ) ⋅ ∆zk =∑  u ( x k* , y k* ) + iv ( x k* , y k* )  ⋅ [ ∆x k + i∆y k ]
y
Z
∆zk = zk − zk − 1

∆zk = ∆x k + i∆y k
zk
yk
∆ zk
yk-1
zk-1
xk-1
x
xk
Podemos expresar:
n
Sn = ∑ u ( x k* , y k* ) ∆x k − v ( x k* , y k* ) ∆y k  + i
k =1
Tomando límite para n → ∞ ;
C
∫
z
z0
f ( z).dz =C
máx
n
∑ u ( x
k =1
*
k
, y k* ) ∆y k + v ( x k* , y k* ) ∆x k 
∆x k → 0
∆zk → 0 ⇒ 
resulta:
∆y k → 0
z
∫ ( u + iv ) ( dx + idy )
z0
Cálculo mediante integrales ordinarias de variable real.
Debe considerarse que C puede expresarse paramétricamente:
x(t )
C : z(t ) = x(t ) + iy(t ) ⇒ C : 
con a ≤ t ≤ b
 y (t )
(pág. 1)
La integral se expresa como:
b
C
∫ f ( z).dz = ∫ {u [ x(t ), y(t )] + iv [ x(t ), y(t )]} ⋅ [ dx(t ) + idy(t )]
C
a
En forma abreviada puede expresarse:
C
∫
z
z0
b
f ( z).dz = ∫ f [ z(t )] ⋅
a
d
[ z(t )] ⋅ dt
dt
Esquemáticamente:
x → t
w = f ( z) ⇒ w → z 
y → t
x → t
dz ⇒ dz → z 
y → t
El cálculo de una integral curvilínea de una función compleja de variable
compleja puede reducirse al cálculo de una integral definida de una función de
una sola variable t .
Integrales de línea en el campo complejo
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Ejemplo 1: calcule la integral
C
∫ f ( z).dz = ∫
C
1+ i
0
z.dz ; a lo largo de las trayectorias:
a) C : segmento de recta que une los puntos ( 0, 0 ) y ( 1, 1 ) .
b) C : definida z(t ) = t + it 2 ; 0 ≤ t ≤ 1
a)
y
x( y ) = t ; dx = dt
La curva C puede expresarse como: 
 y(t ) = t ; dy = dt
Z
(1,1)
i
0≤t≤1
C
z(t ) = t + it
(0,0)
x
1
dz = dx + idy = dt + idt
t
0
C
∫
1
1+ i
0
z.dz = ∫
( 1,1 )
0
1
1
( x + iy )( dx + idy ) = ∫0 ( t + it )( dt + idt ) = ( 1 + i ) ∫0 ( t + it ).dt =
1
t2
t2 
1 1 1 1 1
1
= (1 + i)  + i  = (1 + i) + i  =  −  + i  +  = i
2 0
2 2 2 2 2
2
2
b)
y
x( y ) = t ; dx = dt
La curva C puede expresarse como: 
2
 y(t ) = t ; dy = 2t.dt
Z
(1,1)
i
0≤t≤1
C
z(t ) = t + it 2
(0,0)
x
1
dz = dx + idy = dt + i 2t.dt
t
0
C
∫
1+ i
0
1
z.dz = ∫
( 1,1)
0
1
1
( x + iy )( dx + idy ) = ∫0 ( t + it 2 ) ( dt + i 2t.dt ) = ∫0 ( t + it 2 ) ( 1 + i 2t ) .dt =
1
 t2
2 
1
1
= ∫ ( t + i 2t + it − 2t ) .dt = ∫ ( t + i 3t − 2t ) .dt =  + it 3 − t 4  = + i − = i
0
0
4 0 2
2
2
1
2
2
3
1
2
3
Propiedades de la integral de línea.
Propiedad de linealidad: la integral de línea de una combinación lineal de
funciones es igual a la combinación lineal de las integrales en el mismo orden.
z
C
∫ [ a. f ( z) + b. f
z0
1
2
z
z
z0
z0
( z)] .dz = a.C ∫ f 1 ( z).dz + b.C ∫ f 2 ( z).dz
Esta propiedad se demuestra sobre la misma base que se verifica para la
integración en el campo real.
Integrales de línea en el campo complejo
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Propiedad aditiva respecto de la trayectoria de integración.
y
Z
C2
C1
z2
C
z2
∫
z0
f ( z).dz =
C1
∫
z1
z0
f ( z).dz +
C2
∫
z2
z1
f ( z).dz
si se verfica que: C = C 1 + C 2
z1
z0
x
Cambio de orientación de la trayectoria de integración.
Al cambiar el sentido de orientación de la curva o trayectoria de integración, la
integral compleja cambia de signo, manteniendo el mismo valor del módulo.
y
Z
C
z
C
∫
z
z0
z0
f ( z ).dz = − −C ∫ f ( z ).dz
z
-C
z0
x
Acotación del módulo de la integral.
Observación: si una función f ( z) es analítica a lo largo de una curva C ,
entonces está acotada sobre la misma.
u( x , y ) 

 v( x , y ) 
En efecto, si w = f ( z) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) es analítica en C ⇒ 
son
continuas para todo z ∈ C .
2
2
M ∈ El módulo de f ( z) es: f ( z) = u ( x , y )  +  v ( x , y )  ≤ M ; 
M > 0
son números reales
Si una función f ( z) es analítica sobre una curva C , y si la longitud de la curva
es L , la integral curvilínea de f ( z) está acotada por el producto M.L , siendo
M la cota de f ( z ) y L la longitud de la curva C .
 f ( z) ≤ M → cota de la función
C
∫ f ( z).dz ≤ M.L ; con L = longitud de C

Demostración:
n
La integral fue obtenida de una sumatoria: Sn = ∑ f ( zk* ) ⋅ ∆zk ; por lo tanto:
k =1
Sn =
n
n
n
k =1
k =1
k =1
∑ f ( zk* ) ⋅ ∆zk ≤ ∑ f ( zk* ) ⋅ ∆zk = ∑ f ( zk* ) ⋅ ∆zk
Integrales de línea en el campo complejo
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Si f ( z) es analítica ⇒ f ( z) ≤ M .
f ( z) está acotada sobre la curva C .
En consecuencia:
n
n
k =1
k=1
Luego: Sn ≤ ∑ M. ∆zk = M ∑ ∆zk ; donde
n
∑ ∆z
k
= longitud de la poligonal
k =1
sobre la curva C .
n
Cuando pasamos al límite n → ∞ :
∑ ∆z
k
= L , la longitud de la curva C .
k =1
n
lim Sn = lim ∑ f ( zk* )∆zk =
x →∞
x →∞
C
∆zk → 0 k = 1
∆zk → 0
∫ f ( z).dz ≤ M.L
Teorema de la integral de Cauchy (Teorema de Cauchy-Goursat)
Si f ( z ) es una función analítica en un dominio D del plano complejo,
simplemente conexo, y C es una curva simple regular cerrada contenida en D ;
entonces:
C
∫
C : curva orientada en sentido positivo
f ( z).dz = 0
R : recinto simplemente conexo encerrado por C
Si f ( z) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) es analítica en D , la integral curvilínea es:
C
∫
f ( z).dz =C ∫ u.dx − v.dy + i
C
∫ v.dx + u.dy
Por ser f ( z ) continua en D , las funciones u ( x , y ) y v ( x , y ) son continuas en D .
Las derivadas parciales de primer orden:
δu δu δv δ v
;
;
;
son continuas en D .
δx δy δx δy
El Teorema de Green en el plano nos permite reescribir la integral de la
siguiente manera:
C
 δv δu 
δu δ v 
−
−
.dx.dy + i ∫∫ 
−


.dx.dy
R
R δx
δy 
 δx δy 

∫ f ( z).dz = ∫∫
Pero, de acuerdo a las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
δu δ v
=
;
δx δy
δu
δv
=−
δy
δx
los integrandos de estas dos integrales dobles son cero en todo R .
Si f ( z ) es analítica y f '( z ) es continua en D :
C
∫
y
Z
f ( z).dz = 0
C
R
x
D
Integrales de línea en el campo complejo
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La orientación de la curva C no tiene importancia para el valor de la integral.
C
∫ f ( z).dz = − ∫ f ( z).dz = 0
−C
Nota: Goursat fue el primero en demostrar que la condición de continuidad de
f '( z) se puede omitir.
Consecuencias del teorema de la integral de Cauchy.
La integral curvilínea de f ( z) (analítica en el dominio D ) entre dos puntos
cualesquiera de un dominio simplemente conexo, es independiente de la
trayectoria que une aquellos puntos.
y
Z
C1
z1
-C2
z0
C1
∫
z1
z0
∫
f ( z).dz =C2
z1
z0
f ( z).dz
C2
x
D
Las curvas C 1 y C 2 no se intersectan, salvo en los puntos extremos z0 y z1 .
Tomemos una trayectoria cerrada y simple C , formada por C 1 y por C 2
orientadas en sentido opuesto.
C = C 1 + ( −C 2 ) , la integral a lo largo de C es:
C
∫
f ( z).dz =C1
0 =C 1
∫
z1
z0
∫
z1
z0
f ( z).dz + −C2
f ( z).dz + −C2
∫
z0
z1
z0
z0
z1
f ( z).dz = 0 , por el Teorema de Cauchy-Goursat.
f ( z).dz ⇒C1
pero: − −C2 ∫ f ( z).dz =C2
z1
∫
∫
z0
z1
∫
z1
z0
z0
f ( z).dz = − −C2 ∫ f ( z).dz
z1
f ( z).dz ; por lo que:
C1
∫
z1
z0
f ( z).dz =C2
∫
z0
z1
f ( z).dz
Caso de contornos cerrados simples.
y
C1
z1
Z
C3
C3
z0
C3
C2
∫
z1
∫
z1
z0
z0
f ( z).dz =C1
f ( z).dz =C2
∫
z1
∫
z1
z0
z0
f ( z).dz 
z1

 C1 ∫z f ( z).dz =C2
0
f ( z).dz 

∫
z1
z0
f ( z).dz
x
Esto constituye el Principio de Deformación de la Trayectoria. La integral de línea
entre dos puntos fijos de un dominio D , simplemente conexo, efectuada sobre
una curva que los une no altera su valor si la curva sufre una deformación
Integrales de línea en el campo complejo
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continua, manteniendo sus extremos fijos y siempre que al producirse tal
deformación, la curva no contenga puntos del plano donde f ( z) deje de ser
analítica.
Generalización del Teorema de la Integral de Cauchy a dominios
múltiplemente conexos
Sea C una curva simple cerrada y sean C j ( j = 1, 2,..., n) un número finito de
contornos simples cerrados dentro de C , tales que las regiones interiores a cada
C j no contengan puntos en común. Sea R la región cerrada formada por todos
los puntos dentro de C , salvo los puntos interiores a cada C j . Denotaremos por
Q a toda la frontera orientada de R formada por C y todos los contornos C j ,
recorridos de modo que los puntos interiores queden a la izquierda de Q. Si
f ( z) es analítica en todo R :
Q
∫ f ( z).dz = 0
D1
y
E
F
Z
D
G
D2
C1
B
Dominio doblemente conexo D
H
M
C
A
C
Fronteras 
C 1
x
y DE
, el dominio queda dividido
Al unir las fronteras con dos trayectorias AB
en dos dominios simplemente conexos, de modo que en cada uno de ellos
podemos aplicar el Teorema de la Integral de Cauchy.
D1 y D2 dominios simplemente conexos:
f ( z) analítica en D1
AME
∫
+ ED
∫ + DHB
∫ + BA
∫ =0
f ( z) analítica en D2
AB
∫
+ BGD
∫ + DE
∫ + EFA
∫ =0
Sumando las ecuaciones anteriores miembro a miembro, observamos que las
integrales de las trayectorias que unen los puntos E con D y A con B se
anulan por tener sentido opuesto, con lo que nos que nos queda:
∫ + EFA
∫ + DHB
∫ + BGD
∫ =0
AME
f
(
z
).
dz
f
(
z
).
dz
C
−
C
1 ∫
∫
⇒
C
∫
f ( z).dz −C 1 ∫ f ( z).dz = 0
Teorema de la Integral de Cauchy en
dominios múltiplemente conexos
Integrales de línea en el campo complejo
- 11 -
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Dominios n-conexos.
D1
y
Z
Cj
C2
C
∫
f ( z).dz −C1
∫
f ( z ).dz −C2
∫
f ( z ).dz = 0
C
C1
x
C
∫
de donde se obtiene:
n−1
Generalización del Teorema de Cauchy para dominios
n-conexos.
f ( z).dz = ∑ C j ∫ f ( z).dz
j =1
Ejemplo 1:
Calcule la integral
z0
y
C1
i
C2
z0
dz
a través de las trayectorias C1 ; C 2 ; C 3 ; C 4 y C 5 .
z +1
2
Puede afirmarse que:
z1
C3
C1
x
dz
=C
+1 5
2
∫z
∫z
dz
=C
+1 2
2
∫z
dz
; puesto que en el recinto R1 ,
+1
2
f ( z) es analítica.
C5
-i
∫z
∫
z1
Z
C4
C4
C
dz
por lo mismo; pero las trayectorias cerradas que encierran
+1
2
puntos como z = i y z = −i , donde f ( z) no es analítica (por no ser continua) no
permiten aplicar el Teorema de la integral de Cauchy.
Ejemplo 2:
Calcule la integral
y
C1
0 1 2
-3i
2
z = 0

Ceros del denominador  z = 3i

 z = −3i
x
C2
dz
=C
2
+ 9) 2
∫ z (z
2
dz
en C : 1 ≤ z ≤ 2
2
+ 9)
∫ z ( z
Z
3i
C
C
dz
−C
2
+ 9) 1
∫ z (z
2
dz
= 0 ; pues el interior es analítico en
2
+ 9)
∫ z (z
2
todos los puntos de la corona con frontera.
B = C2 + C1
Integrales de línea en el campo complejo
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INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA
Matemática para Ingeniería Electromecánica
Fórmula de la Integral de Cauchy
Sea f ( z) una función analítica en un dominio D , y C una curva enteramente
contenida en D , con orientación positiva. Si z0 es cualquier punto interior a C ,
entonces se verifica:
y
f ( z0 ) =
f ( z)
1
⋅C ∫
⋅ dz
2π i
z − z0
Z
z0
C
x
D
Esta fórmula nos dice que si se cumplen las condiciones anteriores, los valores
f ( z) en puntos interiores a C
de la función
quedan completamente
determinados por los valores f ( z) en la curva C . Al escribir la fórmula anterior
de la forma:
f ( z)
C
∫ z − z
⋅ dz = 2π i ⋅ f ( z0 )
0
puede usarse para calcular el valor de ciertas integrales sobre contornos (curvas
simples cerradas).
Ejemplo 1:
Calcule
C
∫
ez
⋅ dz siendo C :
z−1
y
z−1 = 2
Si hacemos f ( z) = e z → analítica ∀z → analítica
Z
en C y su interior, la integral resulta:
r=2
1
3
2
x
C
∫
ez
⋅ dz = 2π i  e z  z = 1 = 2π ei
z−1
C
Ejemplo 2:
Calcule
C
∫
ez
⋅ dz siendo C :
z+1
z =3
z2 + 1 = ( z + i )( z − i )
Integrales de línea en el campo complejo
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INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA
Matemática para Ingeniería Electromecánica
(1) Se hace f ( z) =
y
Z
C
i
ez
→
(z + i) C
∫
ez ( z + i )
⋅ dz ;
(z − i)
la función no es analítica en el interior de C , no
r=3
x
-i
puede usarse la fórmula de Cauchy.
ez
(2) Se hace f ( z) =
→
(z − i) C
∫
ez ( z − i )
⋅ dz ;
(z + i)
la función tampoco es analítica en el interior de C .
No puede utilizarse la fórmula de Cauchy en ninguno de los dos casos.
Ejemplo 3:
Si cambio el contorno de integración a C : z − i = 1 ,
y
ez
y
puede hacerse f ( z) =
(z + i)
Z
C
r =1
i
z0 = i → f ( z) es ahora analítica en el interior de C
x
-i
C
∫
ez ( z + i )
 ez 
ei
2
π
i
⋅ dz = 2π i 
=
= π ei

z
−
i
z
+
i
2
i
( )

 z =i
Ejemplo 4:
Calcule
y
Z
C
-i
1
2 3
∫ ( z
2
z.dz
en C : z = 2
− 9)( z + i)
La función integrando no es analítica en
r =2
i
-3
C
z = 3; z = −3; z = −i
x
Haciendo f ( z) =
z
y z = −i → esta f ( z) es
( z − 9) 0
2
analítica en el interior de C .
C
∫
f ( z)
⋅ dz =C
( z − z0 )
z ( z2 − 9 )
∫ ( z + i )
i
π
 z 
⋅ dz = 2π i  2
= 2π i ⋅
= −

10
5
 z − 9  z =− i
Fórmula de la integral de Cauchy extendida a dominios múltiplemente
conexos.
Sea f ( z) una función analítica en un dominio D doblemente conexo y z0 un
punto interior del mismo. Sean, además, C y C 1 las fronteras de dicho dominio.
Se verifica entonces:
f ( z0 ) =
1
⋅C
2π i
f ( z)
∫ z − z
0
⋅ dz −
1
2π i
f ( z)
C1
∫ z − z
Integrales de línea en el campo complejo
⋅ dz
0
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INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA
Matemática para Ingeniería Electromecánica
Consideremos una curva simple cerrada C 0 que
encierra a z0 y que no intercepte a las curvas C y
y
C
Z
C 1 . De esta manera, la función
en el nuevo dominio triconexo de fronteras C ,
z
C1
f ( z)
es analítica
z − z0
0
x
C 1 y C 0 ; por lo que podemos aplicar la
generalización del Teorema de Cauchy a
dominios n-conexos.
f ( z)
C
∫ z − z
⋅ dz −C1
0
f ( z)
∫ z − z
⋅ dz −C0
0
f ( z)
∫ z − z
⋅ dz = 0
0
Pero este último término:
f ( z)
C0
∫ z − z
⋅ dz = 2π i. f ( z0 ) ; de modo que:
0
f ( z)
C
∫ z − z
⋅ dz −C1
0
f ( z0 ) =
f ( z)
∫ z − z
⋅ dz = 2π i. f ( z0 ) ; ordenando concluimos:
0
f ( z)
1 
⋅ dz −C1
 C ∫
2π i 
z − z0
f ( z)
∫ z − z
0

⋅ dz − 

Para dominios n-conexos:
y
D1
Z
C1
Cj
C2
z0
f ( z0 ) =
C
n

f ( z)
f ( z)
1 
⋅
dz
−
⋅ dz 
 C ∫
∑
Cj ∫
2π i 
z − z0
z − z0
j =1

x
Derivadas de funciones analíticas.
Puede demostrarse que si una función es analítica en un punto z0 , sus
derivadas de todos los órdenes existen, y son analíticas en dicho punto.
Propiedad fundamental.
Sea f ( z) una función analítica en un dominio D . Admite por lo tanto derivadas
de todos los órdenes en D , que son a su vez funciones analíticas en dicho
dominio. El valor de dichas derivadas puede calcularse con la siguiente
expresión:
Integrales de línea en el campo complejo
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INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA
Matemática para Ingeniería Electromecánica
y
f '( z0 ) =
f ( z)
1
⋅C ∫
⋅ dz
2
2π i
( z − z0 )
f ''( z0 ) =
2
⋅C
2π i
Z
z0
C
f ( z)
∫ ( z − z )
3
⋅ dz
0
………………………………….. generalizando
x
f ( n) ( z0 ) =
n!
⋅C
2π i
f ( z)
∫ ( z − z )
n+1
⋅ dz ;
( n = 0, 1, 2,...)
0
Bibliografía
1. CHURCHILL, R., BROWN, J. Variable compleja y aplicaciones. 7º Edic.
Mc Graw-Hill. 2004.
2. KREYZSIG, E. Matemáticas avanzadas para ingeniería. Limusa-Wesley.
1967.
3. SPIEGEL, M. Variable compleja. Mc Graw-Hill. 1991.
Integrales de línea en el campo complejo
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