Informe 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERÍA
Carlos Gómez Vasco
Fundamentos de
Mecánica
Conservación de energía y estudio de
movimientos
Lozada. Juan, Pardo. Juan, Rosas. Jhonatan.
Abstract — Along this document, we will find the analysis of the results of the
experimental practice that has as aim the conservation of energy, from the two
motions: the first one is pendulum and the second one is parabolic type. Besides, we
will evidence the function that have certain important variables in any motion as:
mass, gravity and distances.
I.
II. Keywords — Conservation, Energy, Gravity, Height, Kinetic, Mass, Motion, Parabolic,
Potential, Range.
III. Resumen — A lo largo de este documento se encontraran análisis de los
resultados de la práctica experimental que como objetivo tiene la conservación de
energía, a partir de dos movimientos: el primero es pendular y el segundo de tipo
parabólico. Además, se evidenciara la función que cumplen ciertas variables
importantes en cualquier movimiento como lo son: masa, gravedad y distancia.
IV. Palabras clave — Alcance, Altura, Cinética, Conservación, Energía, Gravedad,
Masa, Movimiento, Parabólico, Potencial.
V. Introducción
bidimensional y movimiento pendular en este caso válido afirmar
E lconmovimiento
la esfera se estudia para verificar la conservación de energía, mediante el
comportamiento que dicho cuerpo tiene.
El movimiento de la esfera se abarca desde todo punto de vista, involucrando
términos que directamente se relacionan con la conservación de la energía, es así
como el alcance horizontal, la altura tomaran protagonismo durante todo el informe
mediante la aplicación en cálculos y gráficas de dicha experimentación con el
cuerpo, finalmente se podrán visualizar las relaciones que existen entre distintas
variables que se tienen en la práctica experimental.
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VI. Objetivo general
Verificar mediante la práctica experimental y las distintas mediciones la ley de la
conservación de la energía a partir del análisis en el comportamiento de un cuerpo
que presenta dos tipos de movimiento: parabólico y pendular.
VII. Objetivos específicos

Concluir mediante la variación de la altura la consecuencia que se expresa
como variación en el alcance horizontal en el movimiento del cuerpo.

Comprender qué es la energía potencial y cinética teniendo en cuenta la
influencia que posee la ley de la conservación de la energía en el
comportamiento de un cuerpo.

Adaptar las ecuaciones conocidas de movimiento parabólico y energía para
encontrar la relación que se tiene entre altura y alcance horizontal.
VIII. Marco teórico
1. Movimiento
Es un fenómeno físico que se define como todo cambio de posición que
experimentan los cuerpos en el espacio, con respecto al tiempo y a un punto de
referencia, variando la distancia de dicho cuerpo con respecto a ese punto o sistema
de referencia, describiendo una trayectoria. Para producir movimiento es necesaria
una intensidad de interacción o intercambio de energía que sobrepase un
determinado umbral. [1]
2. Movimiento Bidimensional
Podemos definir al movimiento bidimensional cuando un cuerpo experimenta un
cambio de posición pero que el sistema de referencia se determina en 2
dimensiones, generalmente este movimiento se da por una aceleración en uno de
los ejes y velocidad constante en el otro, como es el caso de los movimientos
parabólicos o de proyectiles, pero puede describirse por velocidades constantes o
aceleradas para ambos ejes de referencia.
Si la aceleración no tiene la misma dirección de la velocidad, ésta cambiará de
dirección describiendo una trayectoria que deja de ser unidimensional. Bajo ciertas
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condiciones, el movimiento ocurre en un plano, es decir el movimiento será en dos
dimensiones y en general será un movimiento curvilíneo.
Consideremos un movimiento bidimensional en el que la aceleración se mantiene
en un mismo plano y la velocidad ya no es paralela a la aceleración.
El movimiento de una partícula se describe con su vector posición r, la velocidad v
y la aceleración a.
El vector posición de una partícula moviéndose en el plano X-Y es:
𝒓 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 [1]
Imagen 1, Muestra la trayectoria que se encuentra en el plano X-Y el cual contiene los
vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. [1]
Si se conoce el vector posición la velocidad de la partícula se puede obtener como:
𝑽 = 𝑉𝑥 𝑖 + 𝑉𝑦 𝑗 [2]
En las ecuaciones x, y, vx y vy, componentes de r y v, varían con el tiempo cuando
se ven afectadas por una aceleración.
La aceleración de la partícula en el plano estará definida por las componentes:
𝒂 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 [3]
Si el movimiento es con aceleración constante, entonces ax y ay, serán constantes y
estarán en un mismo plano.
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Si la particula se mueve con velocidad inicial v0, esta velocidad estará determinada
por:
𝑽0 = 𝑉0𝑥 𝑖 + 𝑉0𝑦 𝑗 [4]
Aplicando las ecuaciones cinemáticas a las componentes de la velocidad v para
cualquier instante t con aceleración constante:
𝑉𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡[5]
𝑉𝑥 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦 𝑡 [6]
Reemplazando estas expresiones en la ecuación de la velocidad (ecuación [4]):
𝑽0 = (𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡)𝑖 + (𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦 𝑡)𝑗 [7]
Lo que significa que la velocidad de una partícula en un instante t es igual a la suma
del vector velocidad v0 inicial y la velocidad adicional, at, que adquiere en el tiempo
t. De la misma forma remplazando en la ecuación, 𝑟 = 𝑟0 + 𝑣0 𝑡 + (1⁄2)𝑎𝑡 2 [8], las
posiciones o coordenadas x, y de una partícula que se mueve con aceleración
constante con sus componentes [1]:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑥0 𝑡 + (1⁄2)𝑎𝑥 𝑡 2 [9]
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑦0 𝑡 + (1⁄2)𝑎𝑦 𝑡 2 [10]
r = (x + vx0 t + ½ ax ) i + (y + vy0 t + ½ ay ) j [11]
r = (x0 i + y0 j) + (vx0 i + vy0 j) t + ½ (a i + a j)𝑡 2 [12]
3. Movimiento de proyectiles
Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial
de
dirección arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano. Un
proyectil es un objeto al cual se le ha aplicado una velocidad inicial y se ha dejado
en libertad para que realice un movimiento bajo la acción de la gravedad. Los
proyectiles que son afectados por la fuerza de gravedad de un planeta siguen una
trayectoria curva muy simple que se conoce como parábola. Para describir el
movimiento es útil separarlo en sus componentes horizontal y vertical.
El movimiento de un proyectil es un ejemplo clásico del movimiento en dos
dimensiones con aceleración constante. Un proyectil es cualquier cuerpo que se
lanza o proyecta por medio de alguna fuerza y continúa en movimiento por inercia
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propia. Un proyectil es un objeto sobre el cual la única fuerza que actúa es la
aceleración de la gravedad.
Galileo realizó un experimento con dos objetos: impulsó uno horizontalmente desde
una mesa y dejó caer otro cuerpo desde el borde verticalmente. Al dejar caer un
cuerpo A verticalmente = 0 y lanzando horizontalmente en el mismo instante un
objeto B con una velocidad horizontal (v0), Galileo Galilei comprobó que ambos caen
al mismo tiempo; es decir tardan lo mismo en llegar al suelo. [2]
Imagen 2, Representación del experimento realizado por Galileo Galilei. [2]
La componente vertical del movimiento de un proyectil que describe una
trayectoria curva es exactamente igual que el movimiento de un objeto en caída
libre. El movimiento del proyectil de una pelota que se deja caer, tiene una
componente vertical en la dirección de la gravedad terrestre, el proyectil se acelera
hacia abajo. El aumento de la rapidez en la dirección vertical hace que el objeto
recorra distancias cada vez mayores a intervalos de tiempos iguales. Es interesante
notar que la componente horizontal del movimiento de un proyectil es totalmente
independiente de la componente vertical. Cada uno de ellas actúa de manera
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independiente. Sus efectos combinados producen toda la gama de trayectorias
curvas que describen los proyectiles. [2]
Imagen 3, representa las trayectorias del proyectil en cada una de sus componentes, (eje
y a la izquierda y eje x a la derecha). [2]
La altura vertical y el alcance horizontal de un proyectil dependen de su
velocidad inicial y su ángulo de proyección. Se obtiene la altura máxima cuando la
proyección es vertical hacia arriba 90º y la distancia horizontal máxima cuando el
ángulo de proyección es de 45º.
Se puede obtener la misma distancia horizontal, o alcance para dos ángulos de
proyección diferentes. Esto es verdad para todos los pares de ángulos que suman
90º.
Un objeto lanzado al aire a un ángulo de 30º, por ejemplo, tocará tierra tan lejos
como si hubiera sido lanzado a la misma velocidad a un ángulo de 60º. Sin embargo,
es obvio que el objeto lanzado a mayor ángulo permanece en el aire más tiempo.
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Imagen 4, Representación de trayectorias para diferentes ángulos. [2]
Lanzamiento Horizontal.
Una partícula se proyecta horizontalmente en el vacío desde un punto 0 con
velocidad. Si la tierra no ejerciera ninguna atracción sobre la partícula, y se supone
nula la resistencia del aire, la partícula se movería en el vacío y en tiempos t 1, t2,
t3,… ocuparía posiciones tales como A, B, C, D, y el movimiento sería rectilíneo
uniforme de velocidad constante. Sin embargo como la partícula está sometida a la
atracción gravitatoria, a la vez que se mueve horizontalmente, cae verticalmente
con aceleración constante - y al final de los tiempos indicados, las posiciones de
la partícula son, respectivamente, A', B',C',D'. La curva que une a estos puntos
corresponde a una parábola.
Imagen 5, representación de la trayectoria de un partícula. [2]
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Ecuaciones de la velocidad
La componente horizontal de la velocidad vx será de magnitud constante a
través de todo el recorrido e igual a v0. Esto se debe a que el movimiento en esta
dirección es con velocidad constante. En toda la trayectoria la componente
horizontal (vx) será la misma velocidad inicial. 𝑣𝑥 = 𝑣0 [13]
La componente vertical en un instante de tiempo cualquiera, viene dada por:
𝑣𝑦 = 𝑔. 𝑡 [14].
La magnitud de la velocidad resultante V, viene dada en módulo por la expresión:
𝑉 2 = 𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 [15].
Para determinar la dirección del vector, es decir el ángulo a que forma con el eje
x, basta con aplicar la relación trigonométrica:
𝑣
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑣𝑥 ) [16]
𝑦
Ecuaciones del desplazamiento
La ecuación de desplazamiento horizontal (X) en módulo, es la misma del
movimiento rectilíneo uniforme puesto que la rapidez en ese sentido es constante.
El desplazamiento vertical (y) en módulo se calcula como si el cuerpo se moviese
en caída libre. El desplazamiento total (d) en módulo viene dado por el cuadrado de
la distancia en ambas componentes es igual al desplazamiento al cuadrado.
El tiempo de vuelo es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento
hasta tocar el suelo. Y viene dado por:
2𝑦
𝑡𝑣 = √ 𝑔 [17]
El alcance horizontal (R) es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo. La
ecuación para calcular el alcance horizontal, pero con t = tv.
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Ecuación de la Trayectoria
La idea consiste en demostrar que la trayectoria del proyectil es parabólica.
En efecto, el desplazamiento horizontal para un cierto tiempo t viene dado por:
𝑥 = 𝑣0 . 𝑡 [18]
donde:
𝑋
𝑡=𝑣
0
Por otra parte, el desplazamiento vertical al mismo tiempo t es:
1
𝑦 = ℎ. − 𝑔. 𝑡 2 [19]
2
𝑥 2
1
Sustituyendo la ecuación 18 en la 19: 𝑦 = ℎ. − 2 𝑔 (𝑣 )
0
Como, y g son constantes se pueden sustituir lo que está dentro del paréntesis por
k, adoptando la expresión la forma siguiente: 𝑦 = ℎ. −𝑘. 𝑥 2
Por lo tanto las coordenadas (x, y) que determinan la posición de la partícula en el
plano serán:
1
(𝑥, 𝑦) = ( 𝑣0 . 𝑡 , ℎ − 𝑔. 𝑡) [20]
2
4. Conservación de la energía
La ley de la conservación de la energía nos dice que la energía no se puede crear
ni destruir; se puede transformar de una forma a otra, pero la cantidad total de
energía nunca cambia. Esto significa que no podemos crear energía, es decir, por
ejemplo: podemos transformarla de energía cinética a energía potencial y viceversa.
𝑃𝑖 + 𝑈𝑖 = 𝑃𝑓 + 𝑈𝑓 𝐸𝑖 = 𝐸𝑓
La energía cinética y la energía potencial son dos ejemplos de las muchas formas
de energía. La energía mecánica considera la relación entre ambas. La energía
mecánica total de un sistema se mantiene constante cuando dentro de él solamente
actúan fuerzas conservativas.
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4.1.
Fundamentos de
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Fuerzas conservativas
Las fuerzas conservativas tienen dos propiedades importantes
Si el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve entre cualesquiera dos
puntos es independiente de la trayectoria seguida de la partícula.
El trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de cualquier trayectoria
cerrada es cero.
4.2.
Fuerzas no conservativas
La propiedad más importante para clasificar una fuerza como no conservativa es
cuando esa fuerza produce un cambio en la energía mecánica, definida como la
suma de la energía cinética y potencial. El tipo de energía asociada a una fuerza no
conservativa puede ser un aumento o disminución de la temperatura. [3]
5. Energía Cinética
La energía cinética es la energía que un objeto posee debido a su movimiento. La
energía cinética depende de la masa y la velocidad del objeto según la ecuación:
𝐸𝑐 = 1/2𝑚𝑣2
Donde a es la aceleración de la masa m y d es la distancia a lo largo de la cual se
acelera. Las relaciones entre la energía cinética y la energía potencial, y entre los
conceptos de fuerza, distancia, aceleración y energía, pueden ilustrarse elevando
un objeto y dejándolo caer.
Cuando el objeto se levanta desde una superficie se le aplica una fuerza vertical. Al
actuar esa fuerza a lo largo de una distancia, se transfiere energía al objeto. La
energía asociada a un objeto situado a determinada altura sobre una superficie se
denomina energía potencial. Si se deja caer el objeto, la energía potencial se
convierte en energía cinética. [4]
6. Energía Potencial
La energía potencial es el tipo de energía mecánica asociada a la posición o
configuración de un objeto. Podemos pensar en la energía potencial como la
energía almacenada en el objeto debido a su posición y que se puede transformar
en energía cinética o trabajo.
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El concepto energía potencial, U, se asocia con las llamadas fuerzas
conservadoras. Cuando una fuerza conservadora, como la fuerza de gravedad,
actúa en un sistema u objeto; la energía cinética ganada (o pérdida) por el sistema
es compensada por una pérdida (o ganancia) de una cantidad igual de energía
potencial. Esto ocurre según los elementos del sistema u objeto cambia de posición.
Una fuerza es conservadora si el trabajo realizado por ésta en un objeto es
independiente de la ruta que sigue el objeto en su desplazamiento entre dos puntos.
Otras fuerzas conservadoras son: la fuerza electrostática y la fuerza de restauración
de un resorte.
Se define la energía potencial como:
𝑈 = 𝑚𝑔ℎ
Donde m es la masa del objeto, g es la aceleración de gravedad y h es la altura del
objeto. Así que según la pelota cae, su energía potencial disminuye por virtud de la
reducción en la altura. [5]
IX. Materiales








Cuchilla.
Calculadora.
Esfera.
Regleta de 100 cm.
Papel carboncillo.
Tabla.
Soporte de lanzamiento.
Hilo.
X. Metodología







Se determinaron papeles de trabajo para la práctica con el fin de garantizar orden y la
culminación de la misma.
Se definieron las variaciones de altura para el experimento.
Se realizó el montaje del soporte en el sitio asignado para el desarrollo de la práctica.
Con base en la guía se procedió a realizar las mediciones de altura.
Posteriormente se realizaron las tablas indicadas en la guía.
Luego de haber estimado los datos se procedió a hacer las gráficas que indicaban para
la práctica.
Teniendo en cuenta las tablas y gráficas se hicieron los cálculos necesarios para hallar
los valores requeridos.
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XI. Cálculos realizados
𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒑𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 =
∆% =
𝟒(𝟑𝟓) −(𝟏𝟒𝟎.𝟓𝟗 )
𝟒 (𝟑𝟓 )
𝟒𝑯 − 𝑷
∗ 𝟏𝟎𝟎
𝟒𝑯
∗ 𝟏𝟎𝟎 = −𝟎. 𝟒𝟐%
XII. Tablas
Variación altura
Altura
Altura 2
Alcance horizontal
(H ± 0,1 cm)
( h ± 0,1 cm)
( x ± 0,1 cm)
35.0 cm
30.0 cm
64.6 cm
35.0 cm
28.0 cm
62.5 cm
35.0 cm
26.0 cm
60.4 cm
35.0 cm
24.0 cm
58.1 cm
35.0 cm
22.0 cm
55.2 cm
35.0 cm
20.0 cm
52.8 cm
35.0 cm
18.0 cm
50.2 cm
35.0 cm
16.0 cm
47.3 cm
35.0 cm
14.0 cm
44.0 cm
35.0 cm
12.0 cm
40.6 cm
Tabla 1. Variación de la altura y consecuencia en el alcance máximo.
Variación altura con x2
Altura
Altura 2
Alcance horizontal
(H ± 0,1 cm)
( h ± 0,01 cm)
35.0 cm
30.0 cm
4173.160 cm2 ± 0.002 cm2
35.0 cm
28.0 cm
3906.250 cm2 ± 0.002 cm2
35.0 cm
26.0 cm
3648.160 cm2 ± 0.002 cm2
35.0 cm
24.0 cm
3375.610 cm2 ± 0.002 cm2
35.0 cm
22.0 cm
3047.040 cm2 ± 0.003 cm2
35.0 cm
20.0 cm
2787.840 cm2 ± 0.003 cm2
35.0 cm
18.0 cm
2520.040 cm2 ± 0.003 cm2
35.0 cm
16.0 cm
2237.290 cm2 ± 0.003 cm2
35.0 cm
14.0 cm
1936.000 cm2 ± 0.003 cm2
35.0 cm
12.0 cm
1648.360 cm2 ± 0.003 cm2
Tabla 2. Variación de la altura y consecuencia en el alcance máximo al cuadrado.
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XIII. Gráficas
y = 140,59x - 24,447
R² = 0,9996
Comportamiento del cuerpo
4500
Alcance horizontal al cuadrado
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Altura h ( h ± 0,01 cm)
Gráfica 1. Comportamiento del cuerpo, alcance horizontal (x2) vs altura variable (h).
Nota: Cabe aclarar que la incertidumbre del alcance horizontal al cuadrado esta expresado
en la tabla 2 ya que cada dato tiene una incertidumbre diferente.
XIV. Análisis de resultados
La masa del movimiento se vuelve independiente al estudio de la fórmula final del
movimiento en el alcance máximo, pero tiene un papel clave dentro de la parte de
la conservación de la energía, teniendo en cuenta que existe una altura constante y
a su vez una pequeña diferencia entre las alturas secundarias a las cuales se lanza
el cuerpo es posible ver la relación que existe entre las dos dimensiones del
movimiento o sea en x y y. En la gráfica se muestra dicha relación anteriormente
mencionada mediante ello se evidencia la comprobación de la ecuación x2 = (4H) h
es así como se involucran variables como gravedad, velocidad y tiempo que se ven
reflejados en las simples mediciones de alcance horizontal y altura variable.
En la gráfica del experimento se encuentra que la pendiente es 4 veces la altura fija
pero en los cálculos realizados asimismo se asemeja que existe una pequeña
desviación que hace que la altura H de por encima del valor estimado en 0.59 cm
dando a su vez una diferencia porcentual negativa de -0.42% hecho que hace
pensar en las incertidumbres de las medidas pues los valores se acomodan dentro
de esta incertidumbre. De esta manera se comprueba la certeza de la relación y se
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verifica la ley de la conservación de la energía mecánica mediante la combinación
de 3 ecuaciones de movimiento parabólico y energía.
XV. Conclusiones
1. Se evidencio la relación que existe entre las dos dimensiones que tiene el
movimiento del cuerpo (esfera) diferenciándose dos movimientos en el
comportamiento un movimiento pendular y otro movimiento parabólico, esta
relación nos permitió verificar la conservación de la energía mediante la
combinación de varias ecuaciones conocidas de temas como energía y
movimiento de una partícula.
2. Mediante la práctica experimental y el análisis de dichos datos obtenidos se
pudo comprender el papel que cumplen variables como: la masa, la gravedad,
la altura y alcance horizontal en dicho comportamiento, asimismo se pudo
comprender la relación que hay entre los datos y que a su vez son
características primordiales dando en términos gráficos cuatro veces la altura
constante.
3. Interpretando lo descrito anteriormente se demostró el buen desarrollo de la
práctica como ejecución y aplicación de conocimientos adquiridos a lo largo
de la materia, asimismo el excelente manejo que se le dan a las mediciones
y/o datos obtenidos a tal punto de tener un R cuadrado de 0.99 dentro del
proceso de regresión lineal, lo que involucra el buen manejo de las
incertidumbres y toma de datos a lo largo de la práctica y a su vez teniendo
resultados dentro del rango de incertidumbre.
XVI. Publicaciones
Este informe se encuentra publicado en la página web: http://tatanrosas.jimdo.com/unal
XVII. Referencias
[1] SDA, SDP, Movimiento bidimensional http://yesseralfaro.files.wordpress.com/2009/01/10movimiento-bidimensional1.pdf.
[2] Fundación
Educativa
Héctor
A.
García,
SDA,
Movimiento
de
proyectiles
http://www.proyectosalonhogar.com/Enciclopedia_Ilustrada/Ciencias/Movimiento_proyectiles.h
tm
[3] Elba M. Sepúlveda,
SDP,https://sites.google.com/site/timesolar/energia/leyconservacionenergia
[4] Elba M. Sepúlveda, SDP, https://sites.google.com/site/timesolar/energia/energiacinetica
[5] Elba M Sepúlveda, SDP, https://sites.google.com/site/timesolar/energia/energiapotencial
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