Marcapasos neuronales

Marcapasos neuronales
En el presente trabajo se realizan simulaciones con Matlab que permiten modelar el estudio realizado por Naohiro
Koshiya y Jeffery C. Smith (Nature 400 pp 360-363,(1999)) sobre la actividad neuronal en el complejo de PreBötzinger. En particular se modela el acoplamiento entre neuronas marcapasos y neuronas “seguidoras” (ambas
generadoras del ritmo respiratorio) capaces de realizar bursting, acoplados entre si a través de sinapsis excitatorias
que sincronizan su actividad.
Introducción
Las neuronas se comunican mediante
disparos y transmisiones de los
potenciales de acción. Comúnmente, los
potenciales de acción son periódicos
como respuesta a una corriente aplicada
de suficiente magnitud. Por ejemplo, en
los modelos de Hodgkin-Huxley (H-H) y
FitzHugh-Nagumo,
una
corriente
constante
aplicada
puede
causar
repetitivos disparos de los potenciales de
acción. Muchos tipos de células exhiben
un comportamiento más complejo,
caracterizado por breves explosiones de
actividad oscilatoria entremezclada con
períodos de reposo en donde el potencial
de membrana cambia lentamente. Este
comportamiento es llamado bursting [1].
En las membranas de las células
excitables, los iones más importantes que
intervienen en las despolarizaciones de
dicha membrana son el Na+ y el K+. Sin
embargo, en ciertas células el Ca2+
interviene, modificando el curso de la
despolarización,
manteniéndola
por
períodos más prolongados (como en las
fibras cardíacas) o bien produciendo
sucesivos disparos en una misma
despolarización
de
la
membrana
(bursting).
El modelo de Hodgkin y Huxley (H-H) es
el resultado de una rica combinación de
experimentación y análisis teórico. Los
datos
fisiológicos
en
los
que
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Herrera, María; Elías Costa, Martín y Cancela, Ezequiel
fundamentaron
su
teoría
fueron
recolectados durante un breve intervalo
de tiempo en 1949. Por este trabajo
Hodgkin y Huxley obtuvieron el premio
Nobel de fisiología en 1963, y abrieron
un gran horizonte de investigación en el
que todavía se trabaja intensamente. Si
bien el modelo H-H tiene limitaciones, ha
contribuido de manera fundamental a la
modelación matemática en neurobiología.
La dinámica de las corrientes iónicas a
través de estos canales y del voltaje a
través de la membrana es modelada por
un sistema de cuatro ecuaciones
diferenciales no lineales. Una fuerte
limitación de este modelo es que no
permite dar cuenta del importante
fenómeno de bursting de potenciales de
acción, que requieren tomar en cuenta
elementos adicionales [2].
Existen en el reino animal células capaces
de disparar potenciales de acción en
forma intrínseca con una frecuencia
determinada.
A
este
tipo
de
comportamiento neuronal se lo denomina
marcapasos. Si bien estas células
presentan conexiones nerviosas con el
Sistema Nervioso Central (SNC) el ritmo
y el automatismo de los disparos de los
potenciales de acción no dependen
directamente del SNC: muchas veces el
SNC actúa coordinando y sincronizando
la frecuencia de disparos generada en el
propio marcapasos.
1
Los
marcapasos
se
observan
habitualmente en aquellas células que
deben realizar constante (o por largo
período)
y
repetidamente
alguna
actividad,
generalmente,
actividad
cinética (e.g. las fibras cardíacas
contrayéndose, neuronas en el vuelo de
las langostas)[3].
En el trabajo publicado por Naohiro
Koshiya y Jeffery C. Smith, “Neuronal
pacemaker for breathing visualized in
vitro” [4] se estudia la actividad neuronal
en el complejo de Pre- Bötzinger a partir
de la cual se supone que se generan los
movimientos
respiratorios
en
los
mamíferos. Se intenta mostrar que el
ritmo respiratorio es generado por una red
de marcapasos neuronales, capaces de
realizar bursting, acoplados entre si a
través de sinapsis excitatorias que
sincronizan su actividad.
Además
proponen que las neuronas inspiratorias,
que no poseen propiedades intrínsecas de
marcapasos pero que también forman
parte del complejo de Pre- Bötzinger, son
neuronas “seguidoras” que transmiten el
impulso rítmico a las neuronas motoras y
premotoras.
1.Un canal de K+ activado por Ca2+ cuya
conductancia es un función creciente de
c = [Ca2+] de la forma
c
g K ,Ca  g K ,Ca
Kd  c
+
2.Un canal de K voltaje dependiente
modelado en la misma forma que el de
HH con
g K  g K n4
donde n obedece la misma ecuación
diferencial que el modelo de H-H excepto
que el voltaje está desplazado una
cantidad V*
3.Un canal de Ca2+ voltaje dependiente
de conductancia
gCa  gCa m3h
donde otra vez m y h satisfacen
ecuaciones diferenciales tipo H-H pero
con el voltaje desplazado en V´ y la
corriente de Na+ es reemplazada por la
corriente de Ca2+.
Combinando esta corriente iónicas con las
corrientes usuales de pérdidas obtenemos
Cm
En nuestro trabajo intentamos reproducir
en forma cualitativa algunos de los
resultados obtenidos por los autores del
paper
antes
mencionado.
Nos
centraremos en el modelado de la
sincronización
de
las
neuronas
marcapasos y de una marcapasos con una
seguidora.
Modelado
Partimos del modelo matemático
propuesto por Chay y Keizer (1983) [5].
Las corrientes iónicas de éste modelo son:
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dV
 g K ,Ca  g K V  VK   2 g Ca V  vCa   g L V  VL 
dt
donde Cm es la capacitancia de la
membrana.
Por último, para completar el modelo se
agrega la ecuación que regula el Ca2+
intracelular
dc
 f  k1 I Ca  k c c 
dt
donde la corriente de Ca2+ está dada por
ICa  gCa m3h(V VCa )
2
con k1 y k2 constantes.
En nuestro trabajo modelamos cada una
de las neuronas capaces de realizar
bursting haciendo una simplificación al
modelo antes mencionado, ignorando las
dinámicas de m y h, por lo tanto
utilizamos las siguientes ecuaciones
diferenciales no lineales:
dn
 n (V )  n (V )  n
dt
Cm
g c

dV
  I Ca (V )   g K n 4  K ,Ca V  Vk   g L V  VL 
dt
Kd  c 

Figura 1. Potencial de acción en función del tiempo de
una neurona realizando bursting.
dc
 f (k1 I Ca (V )  kc c)
dt
donde la corriente de Ca2+ es
I Ca  gCa m (V )3 h (V )(V  VCa )
Las variables de nuestro modelo son
entonces, el potencial de membrana V, la
concentración de calcio intracelular c y la
proporción de canales abiertos n. De esta
forma el sistema queda separado en un
subsistema rápido (ecuaciones de V y n) y
una ecuación lenta para c.
Figura 2. Concentración de calcio intracelular de una
neurona que realiza bursting. Comparando con la figura
1 es posible ver que el momento del bursting coincide
con el aumento de la concentración de Ca2+ intracelular,
mientras que el período de reposo coincide con la
disminución de [Ca2+].
Una vez que introducimos este modelo en
el Matlab (Apéndice A) realizamos las
simulaciones para distintos parámetros y
condiciones iniciales.
En la figura 1 mostramos las oscilaciones
de bursting para una única neurona
marcapasos y en la figura 2 sus
respectivas
variaciones
de
concentraciones de calcio en función el
tiempo.
En estas figuras se puede observar que el
período en que el potencial hace bursting
coincide con el aumento de la
concentración de Ca2+ intracelular,
mientras que el período de reposo
coincide con la disminución de c. Por otro
lado, al mirar las figuras 1 y 2 se aprecia
claramente la separación de escalas
temporales ya que V varía muy
rápidamente en comparación a c.
Luego de comprender el funcionamiento
de una neurona, procedimos a acoplarla,
por medio de una sinapsis eléctrica, con
otra neurona marcapasos idéntica. Para
ello
modificamos
las
ecuaciones
agregando un término de corriente
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proporcional a la diferencia de potencial.
Éste término está dado por
I acopl  K (V2  V1 )
donde V1 y V2 son los potenciales de
membrana de las neuronas conectadas y
K es la conductividad.
En la figura 3 se muestra el
comportamiento de dos neuronas
desacopladas con condiciones iniciales
distintas.
Allí se observa que cada
neurona tiene la misma frecuencia pero
no se encuentran sincronizadas. Luego de
conectarlas el comportamiento es
cualitativamente diferente (figura 4):
podemos observar que rápidamente las
neuronas se sincronizan, teniendo ambas
la misma frecuencia y fase. Lo mismo
sucede con las concentraciones del calcio
(figuras 5 y 6)
Figura 4. Potenciales de acción en función del tiempo
para dos neuronas idénticas acopladas mediante una
sinapsis eléctrica de conductividad K=0.01 mS.
Figura 5. Concentraciones de calcio de dos neuronas
idénticas no acopladas con condiciones iniciales
distintas.
Figura 3. Potenciales de acción de dos neuronas
idénticas desacopladas realizando bursting, con
condiciones iniciales diferentes.
Figura 6. Concentraciones de calcio de dos neuronas
que se encuentran acopladas. Si bien sus condiciones
iniciales son diferentes, a partir de los 15 s
aproximadamente los comportamientos son semejantes.
El segundo objetivo de nuestro trabajo es
analizar el comportamiento de las
neuronas
“seguidoras”.
Para
ello
probamos dos modelos diferentes: el
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primero consiste en acoplar el modelo de
una neurona marcapasos, capaz de
realizar bursting, con un típico modelo de
H-H (Apéndice B) para la neurona
seguidora. En cambio en el segundo caso
(Apéndice C), el modelo que utilizamos
para la neurona seguidora fue igual que
para la primera neurona pero con
diferente capacidad de membrana.
En la figura 7.a y 7.b presentamos las
simulaciones para el acoplamiento del
primer caso. En estas puede observarse
que
dependiendo del valor de la
conductividad K , el comportamiento de
la neurona seguidora cambia: en (a) el
potencial permanece en reposo, mientras
que en (b) dispara en forma continua. En
ambos casos no se observa sincronización
entre las neuronas. Esto no se
corresponde con lo observado en el
experimento del paper, por lo tanto
descartamos este modelo.
Fig 7b. Primer intento de modelado del acople
marcapasos-seguidora. Potenciales de acción de la
neurona marcapasos (en azul) y de la neurona seguidora
modelada con H-H (en verde). En este caso el valor de
la conductividad es K=0.04. Se observa que la neurona
seguidora dispara continuamente aunque la neurona
marcapasos no haya disparado aún (compárese la escala
de tiempo con la figura 7a).
En el segundo caso, el modelo que
propusimos reflejó las características
principales del comportamiento biológico
de ambas neuronas. En la figura 8.a se
observan los potenciales de la neurona
marcapasos haciendo bursting y de la
neurona seguidora desacoplada, la cual es
incapaz de disparar potenciales de acción
por sí misma. En cambio en las figuras
8.b y 8.c se muestran ambas neuronas
acopladas con dos constantes de
acoplamiento diferentes. En ambos casos
la neurona “seguidora” se sincroniza con
la marcapasos.
Fig 7a. Primer intento de modelado del acople
marcapasos-seguidora. En azul se observa una neurona
realizando bursting (marcapasos) y en verde una
neurona modelada con H-H (seguidora). Las neuronas
están acopladas por una conductividad K=0.03. No se
observa respuesta de la seguidora al estímulo de la
neurona marcapasos.
Fig 8a. Potenciales de acción de dos neuronas
desacopladas: en azul la marcapasos y en verde la
seguidora. Ambas se modelaron con las mismas
ecuaciones diferenciales pero parámetros diferentes.
Para la primera se utilizó una capacidad de membrana
de Cm=1F y para la segunda Cm=0.5F.
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sí lo hace. El acople de este modelo con
el de una neurona capaz de realizar
bursting simula una estimulación
tetánica, dependiendo de los valores que
toma K en Iacopl.
Al acoplar por medio de una sinapsis
eléctrica dos neuronas idénticas, ambas
realizando bursting, se observó que luego
de un transitorio, éstas se sincronizan.
Fig 8b. Potenciales de acción en función del tiempo
para una neurona marcapasos acoplada con una neurona
seguidora. Ambas modeladas con las mismas
ecuaciones diferenciales y capacidades Cm=1F y
Cm=0.5F. La constante de acoplamiento usada es
K=0.01 mS.
Fig 8c. Idem figura 8b pero con constante de
acoplamiento K=0.005 mS.
Conclusiones
El modelo presentado nos permitió
estudiar el comportamiento de las
interacciones sinápticas de neuronas en
una red neuronal.
La simulación del acople sináptico de una
neurona capaz de hacer bursting con una
neurona típica según el modelo Hodgkin
y Huxley no fue capaz de mostrar
sincronicidad entre ambas neuronas. Más
aún, no se observó que la segunda
neurona fuese capaz de reproducir
bursting. Según este modelo, no cualquier
neurona es capaz de generar bursting, a
pesar de estar acoplada a una neurona que
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En cambio, al acoplar dos neuronas
capaces de realizar bursting pero una de
ellas con parámetros tales que no presente
oscilaciones espontáneas, se observa que
ésta última sigue el estímulo de la
neurona que sí posee una frecuencia
propia (marcapasos). Entonces logramos
reproducir el resultado del paper que
muestra que ciertas neuronas se apagan
luego de aplicar una droga que inhibe las
condiciones sinápticas: al aplicar la
droga, la comunicación entre la neurona
marcapasos y la seguidora se pierde;
observando que ésta última deja de
disparar su potencial de acción.
Referencias
[1] Keener J., Sneyd J. (2001).
Mathematical Physiology pp 190.
Springer-Verlag.
[2] J. Rinzel,Y.S. Lee. (1987). Dissection
of a model for neural parabolic bursting
pp 653-675.
[3] Fisiología – R. Berne, M Levy, 1992.
Mosby-Year Book de España, S.A.
[4] Koshiya Naohiro, Smith Jeffery.
(1999) Nature 400 pp 360-363.
[5] Keener J., Sneyd J. (2001).
Mathematical Physiology pp 117-135.
Springer-Verlag.
6
Apéndice A: Bursting de una neurona
function y = f(t,x)
f = 0.007;
k1=0.0275;
kc=0.00545;
kd=1;
gkca=0.02*(x(1)/(kd+x(1)));
gl=0.012;
gk=3*x(3)^4;
Vk=-75;
Vl=-40;
Vca=100;
Veq= 0;
Vp=50;
Ves=30;
Cm=.5;
am=0.1*(25-(x(2)-Veq+Vp))/(exp((25-(x(2)-Veq+Vp))/10)-1);
bm=4*exp(-(x(2)-Veq+Vp)/18);
ah=0.07*exp(-(x(2)-Veq+Vp)/20);
bh=1/(exp((30-(x(2)-Veq+Vp))/10)+1);
an=0.01*(10-(x(2)-Veq+Ves))/(exp((10-(x(2)-Veq + Ves))/10)-1);
bn=0.125*exp(-(x(2)-Veq+Ves)/80);
minf=am/(am+bm);
hinf=ah/(ah+bh);
gca=3.2*minf^3*hinf;
Ica=gca*(x(2)-Vca);
%--------------------------------------------------------y(1)= f*(-k1*Ica-kc*x(1)); % Concentración de calcio
y(2)= -(1/Cm)*((gkca + gk)*(x(2)-Vk)+gca*(x(2)-Vca)+gl*(x(2)-Vl)) ;% Potencial de membrana
y(3)= an*(1-x(3))-bn*x(3) ;% Canales n
y=y';
Apéndice B: Acople Bursting – HH
function y = f(t,x)
f = 0.007;
k1=0.0275;
kc=0.02;
kd=1;
gkca=0.02*(x(1)/(kd+x(1)));
gl=0.012;
gk=3*x(3)^4;
Vk=-75;
Vl=-40;
Vca=100;
Veq= 0;
Vp=50;
Ves=30;
Cm=.5;
am=0.1*(25-(x(2)-Veq+Vp))/(exp((25-(x(2)-Veq+Vp))/10)-1);
bm=4*exp(-(x(2)-Veq+Vp)/18);
ah=0.07*exp(-(x(2)-Veq+Vp)/20);
bh=1/(exp((30-(x(2)-Veq+Vp))/10)+1);
an=0.01*(10-(x(2)-Veq+Ves))/(exp((10-(x(2)-Veq + Ves))/10)-1);
bn=0.125*exp(-(x(2)-Veq+Ves)/80);
minf=am/(am+bm);
hinf=ah/(ah+bh);
gca=3.2*minf^3*hinf;
Ica=gca*(x(2)-Vca);
gNa=120;
gK=36;
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gL=0.36;
VNa=115;
VK=-12;
VL=10.6;
An=0.01*((10-x(4))/(exp((10-x(4))*0.1)-1));
Bn=0.125*exp(-x(4)/80);
Am=0.1*((25-x(4))/(exp((25-x(4))*0.1)-1));
Bm=4*exp(-x(4)/18);
Ah=0.07*exp(-x(4)/20);
Bh=1/(1+exp((30-x(4))*0.1));
K=0.35;
%--------------------------------------------------------y(1)= f*(-k1*Ica-kc*x(1)); % Concentración de calcio
y(2)= -(1/Cm)*((gkca + gk)*(x(2)-Vk)+gca*(x(2)-Vca)+gl*(x(2)-Vl))
y(3)= an*(1-x(3))-bn*x(3) ;% Canales n
;% Potencial de membrana
y(4)=-( gNa*x(6).*x(6).*x(6).*x(7).*(x(4)-VNa)+ gK*x(5).*x(5).*x(5).*x(5).*(x(4)-VK)+gL*(x(4)VL)+K*((x(4)-53.613)-x(1)))/Cm; %Potencial postsinaptico%
y(5)=An*(1-x(5))-Bn*x(5); %Subunidad n%
y(6)=Am*(1-x(6))-Bm*x(6); %Subunidad m%
y(7)=Ah*(1-x(7))-Bh*x(7); %Subunidad h%
y=y';
Apéndice C: Acople Bursting – Bursting
function y = f(t,x)
f = 0.007;
k1=0.0275;
kc=0.02;
kd=1;
gkca=0.02*(x(1)/(kd+x(1)));
gl=0.012;
gk=3*x(3)^4;
Vk=-75;
Vl=-40;
Vca=100;
Veq= 0;
Vp=50;
Ves=30;
Cm=.5;
am=0.1*(25-(x(2)-Veq+Vp))/(exp((25-(x(2)-Veq+Vp))/10)-1);
bm=4*exp(-(x(2)-Veq+Vp)/18);
ah=0.07*exp(-(x(2)-Veq+Vp)/20);
bh=1/(exp((30-(x(2)-Veq+Vp))/10)+1);
an=0.01*(10-(x(2)-Veq+Ves))/(exp((10-(x(2)-Veq + Ves))/10)-1);
bn=0.125*exp(-(x(2)-Veq+Ves)/80);
minf=am/(am+bm);
hinf=ah/(ah+bh);
gca=3.2*minf^3*hinf;
Ica=gca*(x(2)-Vca);
Cm2=1;
gkca2=0.02*(x(4)/(kd+x(4)));
gk2=3*x(6)^4;
Am=0.1*(25-(x(5)-Veq+Vp))/(exp((25-(x(5)-Veq+Vp))/10)-1);
Bm=4*exp(-(x(5)-Veq+Vp)/18);
Ah=0.07*exp(-(x(5)-Veq+Vp)/20);
Bh=1/(exp((30-(x(5)-Veq+Vp))/10)+1);
An=0.01*(10-(x(5)-Veq+Ves))/(exp((10-(x(5)-Veq + Ves))/10)-1);
Bn=0.125*exp(-(x(5)-Veq+Ves)/80);
Minf=Am/(Am+Bm);
Hinf=Ah/(Ah+Bh);
gca2=3.2*Minf^3*Hinf;
Ica2=gca2*(x(5)-Vca);
K=0.01;
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%--------------------------------------------------------y(1)= f*(-k1*Ica-kc*x(1)); % Concentración de calcio
y(2)= -(1/Cm)*((gkca + gk)*(x(2)-Vk)+gca*(x(2)-Vca)+gl*(x(2)-Vl))
y(3)= an*(1-x(3))-bn*x(3) ;% Canales n
;% Potencial de membrana
y(4)=f*(-k1*Ica2-kc*x(4)); % Concentración de calcio post
y(5)=-(1/Cm2)*((gkca2 + gk2)*(x(5)-Vk)+gca2*(x(5)-Vca)+gl*(x(5)-Vl)+K*(x(5)-x(2)))
de membrana post
y(6)=An*(1-x(6))-Bn*x(6); % Canales n post
;% Potencial
y=y';
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