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14. Electricidad
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Electricidad
PRESENTACIÓN
La última unidad del libro se dedica al estudio de los fenómenos eléctricos. Dada su situación,
resultará más fácil aplicar los conceptos que los alumnos han adquirido sobre
la teoría cinética de la materia o la conservación de la energía. No debemos entender
el estudio de la electricidad como algo alejado de estos dos aspectos fundamentales
de la física.
OBJETIVOS
• Adquirir unos conocimientos básicos sobre la historia de la electricidad y de los conocimientos
que las personas hemos tenido sobre los fenómenos eléctricos.
• Saber calcular la fuerza de atracción o de repulsión entre cargas eléctricas.
• Comprender cuál es la relación entre la intensidad del campo eléctrico y la fuerza ejercida
sobre una partícula cargada introducida en dicho campo.
• Aprender a resolver problemas con circuitos eléctricos teniendo en cuenta la ley de Ohm
y la ley de la conservación de la energía.
• Ser conscientes de la importancia de la electricidad en nuestros días. Verdaderamente
podríamos decir que sin la electricidad nuestro mundo sería muy diferente.
• Saber cuáles son las magnitudes de las que depende el consumo energético
de un aparato eléctrico.
CONTENIDOS
CONCEPTOS
• La electricidad en la Antigüedad y en la Edad Media. La electricidad moderna.
• La carga eléctrica. La carga es una propiedad de las partículas. Electrización.
• Fuerzas entre cargas eléctricas: ley de Coulomb. Constantes y unidades.
• Intercambio de cargas eléctricas en la Tierra.
• Aplicación de la ley de Coulomb a cuerpos extensos.
• Comparación entre la fuerza electrostática y la fuerza de gravedad.
• Campo y potencial eléctricos. El campo eléctrico. Representación de campos eléctricos.
• La energía potencial electrostática. Potencial electrostático.
• La corriente eléctrica y la ley de Ohm.
• La intensidad de corriente. La ley de Ohm.
• La resistencia eléctrica. Resistividad. Conductores, semiconductores y aislantes.
• Circuitos eléctricos.
• Transformaciones energéticas en un circuito. Efecto Joule.
• La pila voltaica. Generadores. Las pilas.
• Generadores y fuerza electromotriz.
• Ley de Ohm generalizada.
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PROGRAMACIÓN DE AULA
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PROCEDIMIENTOS, • Resolver problemas numéricos relacionados con las fuerzas eléctricas, el campo eléctrico
o el potencial eléctrico.
DESTREZAS
Y HABILIDADES
• Analizar experiencias y obtener conclusiones a partir de los fenómenos observados
durante el desarrollo de las mismas.
• Elaborar esquemas de circuitos eléctricos empleando la simbología de manera correcta.
• Resolver problemas sobre circuitos eléctricos a partir de un esquema de los mismos.
• Dibujar las líneas que describen los campos eléctricos.
• Utilizar esquemas a la hora de resolver problemas donde es necesario aplicar
la ley de Coulomb.
• Utilizar adecuadamente algunos aparatos de medida relacionados con la electricidad:
amperímetro, voltímetro, óhmetro y polímetro.
ACTITUDES
• Fomentar hábitos de ahorro de la energía eléctrica.
• Valorar adecuadamente la importancia de los avances producidos en el campo
de la electricidad.
• Valorar el trabajo de todos los científicos que han hecho posible que dispongamos
en la actualidad de un conocimiento tan completo sobre los fenómenos eléctricos.
• Adoptar hábitos seguros a la hora de manipular aparatos eléctricos.
EDUCACIÓN EN VALORES
1. Educación para la salud
El manejo de aparatos eléctricos debe ser llevado a cabo teniendo en cuenta una serie de normas,
tal y como se cita en esta unidad. Los alumnos jóvenes son valientes, pero hay que resaltar
que no hay que confundir valentía con idiotez. Los circuitos eléctricos son peligrosos (salvo aquellos
como muchos de los manejados en el laboratorio en el que el generador es una simple pila
de unos pocos voltios), por lo que debemos desconectar la corriente antes de realizar
manipulaciones en un aparato o en las instalaciones.
Es importante no cometer imprudencias y evitar que otros las cometan, señalizando
adecuadamente los peligros.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1. Calcular la fuerza de atracción o de repulsión entre cargas eléctricas.
2. Dibujar las líneas de fuerza del campo eléctrico creado por una o varias cargas.
3. Calcular la intensidad del campo eléctrico o el potencial eléctrico debidos a la presencia
de una o varias cargas eléctricas del mismo tipo o de tipos distintos.
4. Aplicar la teoría cinética y la ley de la conservación de la energía para explicar
algunos de los fenómenos observados en los circuitos eléctricos.
5. Resolver problemas con circuitos en los que aparecen varias resistencias y/o generadores
acoplados en serie o en paralelo.
6. Tomar medidas en circuitos eléctricos con la ayuda de un polímetro.
7. Identificar algunos materiales buenos conductores
de la corriente eléctrica.
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PROBLEMAS RESUELTOS
CARGAS, CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS
PROBLEMA RESUELTO 1
Dos cargas de 2 μC se sitúan en el eje horizontal a ambos lados del origen y a igual distancia de 3 cm.
a) ¿Cómo debe ser el signo relativo de las cargas para que haya un punto en el eje
con potencial eléctrico cero? ¿Cuál es ese punto?
b) ¿Cómo debe ser el signo relativo de las cargas para que haya un punto en el eje
con campo eléctrico nulo? ¿Cuál es ese punto?
Planteamiento y resolución
a) El potencial eléctrico es un escalar y, como tal, su valor es aditivo. Si los signos de las dos cargas son iguales,
el potencial eléctrico que generan tiene también igual signo y es imposible que su suma se cancele. Si las cargas
tienen diferentes signos generan potenciales con diferentes signo, y al sumarse pueden generar puntos de
potencial cero. El signo relativo de las cargas debe ser, por tanto, opuesto. Además, como el valor absoluto
de las cargas coincide, la simetría del sistema es un argumento para concluir que el punto buscado es el origen.
Para un punto entre las cargas, situado a distancia x (cm) de la carga positiva, el potencial es:
V =K⋅
y es igual a cero si:
Q+
Q−
(+2 ⋅ 10−6 )
(−2 ⋅ 10−6 )
+K ⋅
= 9 ⋅ 109 ⋅
+ 9 ⋅ 109 ⋅
x
x
6− x
6− x
1
1
=
→ 6 − x = x → x = 3 cm
x
6− x
El punto entre las cargas opuestas de potencial cero está entre ellas y a 3 cm de la carga positiva (y de la
negativa). Coincide, por tanto, con el origen de coordenadas.
b) El campo eléctrico es un vector y ha de sumarse vectorialmente. Si las cargas tienen diferente signo el campo
eléctrico generado por cada carga en un punto localizado entre ellas tiene igual sentido y su suma vectorial
no se anula. Y a ambos lados el campo eléctrico generado por la carga más cercana tiene módulo mayor
que el generado por la carga, de igual valor absoluto, más lejana y, aunque tengan sentidos opuestos,
tampoco se pueden cancelar.
Si las cargas tienen igual signo, a ambos lados de las cargas el campo eléctrico generado por cada carga tiene
igual sentido y su suma vectorial no se anula. Un argumento de simetría ayuda a concluir que en este caso el
campo se anula entre las cargas iguales y a igual distancia de ellas: el origen.
En efecto, el campo en un punto entre las cargas, situado a distancia x (cm) de la carga de la izquierda es:
Q+
(+2 ⋅ 10−6 ) ជ
Q+
(+2 ⋅ 10−6 ) ជ
ជ
E= K ⋅ 2 ជ
i +K⋅
(−iជ) = 9 ⋅ 109 ⋅
i + 9 ⋅ 109
(−i ) = 0 →
2
2
x
x
(6 − x )
( 6 − x )2
1
1
→ (6 − x )2 = x 2 → x = 3 cm
→ 2 =
x
( 6 − x )2
El punto coincide, por tanto, con el origen de coordenadas.
ACTIVIDADES
1
2
Calcula la fuerza resultante que ejercen
dos cargas situadas positivas de 1 μC situadas
en los puntos (−1 , −1) y (3 , 2) sobre una carga
de −3 μC localizada en (3 , −1).
Sol.: −16,875iជ + 30ជ
j .
Calcula:
a) La expresión del campo eléctrico
que genera una carga de 1 μC situada
612
en el origen de coordenadas en un punto
(x , 0) del eje horizontal positivo.
b) El potencial eléctrico en ese punto.
3
Dos cargas negativas están separadas 5 cm
y el valor de una de ellas es −9 μC. ¿Cuál es
el valor de la otra carga si genera el equilibrio
de fuerzas sobre otra de 3 μC situada entre
las dos y a 2 cm de ella?
Sol.: −4 μC.
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PROBLEMAS RESUELTOS
CIRCUITOS
PROBLEMA RESUELTO 2
Una asociación de resistencias en serie R1 = 3 Ωy R2 = 4 Ωse conecta
en paralelo a otra resistencia R3 = 2 Ω en un circuito con I = 0,5 A.
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es el valor de la resistencia equivalente?
¿Cuál es la diferencia de potencial en los extremos de cada resistencia?
¿Qué intensidad de corriente atraviesa cada resistencia?
¿Cuál es el valor de la energía que cada resistencia disipa en forma
de calor en cinco segundos?
3Ω
B
4Ω
C
A
2Ω
Planteamiento y resolución
a) La resistencia equivalente al sistema es:
1
1
1
1
1
1
=
+
→
=
+
→ Requiv. = 1,56 Ω
( R1 + R2 )
(3 + 4 ) Ω
2Ω
Requiv.
R3
Requiv.
b) y c) Como la intensidad de corriente que atraviesa la asociación de resistencias es I = 0,5 A, se tiene que:
V − VA
I= C
→ VC − VA = I · Requiv. = 0,5 A ⋅ 1,56 Ω = 0,78 V
Requiv.
Esta ΔV es la que hay entre los extremos de R3, y la intensidad que pasa por ella es, por tanto:
V − VA
0,78 V
I3 = C
=
= 0, 39 A
R3
2Ω
La intensidad de corriente que pasa por la otra rama es la diferencia entre la intensidad total y la intensidad
que atraviesa la tercera resistencia, 0,11 A.
Aunque la intensidad de corriente 0,11 A atraviesa las dos resistencias en serie de la primera rama, la diferencia
de potencial en esa rama se reparte entre los extremos A y B de la primera resistencia y los extremos B y C
de la segunda resistencia en la rama en la que están las dos resistencias en serie. Además:
VB − VA = I1 · R1 = 3 A ⋅ 0,11 Ω = 0,33 V; VC − VB = I2 · R2 = 4 A ⋅ 0,11 Ω = 0,44 V
Se verifica, en efecto que VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA).
d) La cantidad de energía que se transforma en calor es, para cada resistencia:
E1 = I12 ⋅ R1 ⋅ t = 0,112 A2 ⋅ 3 Ω ⋅ 5 s = 0,1815 J
E2 = I22 ⋅ R2 ⋅ t = 0,112 A2 ⋅ 4 Ω ⋅ 5 s = 0,242 J
E3 = I32 ⋅ R3 ⋅ t = 0,392 A2 ⋅ 2 Ω ⋅ 5 s = 1,521 J
ACTIVIDADES
1
Un aparato con r = 50 Ω se conecta a una fuente
que genera un potencial fijo de 12 V. Cuenta con
un fusible que se funde cuando I > 0,2 A. ¿Cuál es
el valor mínimo de la resistencia que hay que
conectar en serie al aparato para que funcione?
3
Sol.: 10 Ω.
2
Se quiere construir un solenoide enrollando
un cable de cobre alrededor de un cilindro
de porexpán de 4 cm de diámetro de manera
que R > 0,5 Ω. ¿Cuál es el número máximo de
vueltas si la sección del cable es de 0,9 mm2?
ρCu = 1,67 ⋅ 10−8 Ω⋅ m.
Dos bombillas R1 = 5 Ωy R2 = 1,25 Ω asociadas
en paralelo, están conectadas en serie a una
tercera bombilla R2 = 1 Ω en un circuito
eléctrico en el que un generador mantiene
potencial constante de15 V. ¿Cuánto aumenta
la intensidad de corriente de la tercera
bombilla si se produce un cortocircuito
que puentea la asociación en paralelo?
Sol.: La intensidad se dobla: pasa de 7,5 A a 15 A.
4
Calcula la resistencia equivalente a esta
asociación de resistencias en serie y paralelo.
Sol.: 1,75 Ω.
Sol.: 107 vueltas.
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PROBLEMAS RESUELTOS
LEY DE OHM GENERALIZADA
PROBLEMA RESUELTO 3
Un motor de 50 V de fuerza electromotriz y 1 Ω de resistencia interna proporciona la corriente
para el funcionamiento de un motor de 30 V de fuerza contraelectromotriz y 0,5 Ω de resistencia interna.
Si la resistencia externa del circuito es de 5 Ω, calcula:
a)
b)
c)
d)
La intensidad de la corriente que circula.
La tensión en bornes del generador y en bornes del motor.
El rendimiento del generador y del motor.
La cantidad de calor generado en la resistencia exterior en 10 minutos de funcionamiento.
Planteamiento y resolución
a) Calculamos la intensidad de corriente mediante la ley de Ohm generalizada:
ε − ε'
50 V − 30 V
I=
=
= 3,1 A
R + r + r'
( 5 + 1 + 0 , 5) Ω
b) La tensión en bornes del generador es igual a la fuerza electromotriz de este menos la caída de tensión
producida en la resistencia interna:
VGen = ε − r ⋅ I = 50 V − 3,1 Ω ⋅ 1 A = 46,9 V
En cambio, la tensión en bornes del motor es igual a su fuerza contraelectromotriz más la caída de tensión
producida en la resistencia interna:
VMot = ε' + r' · I = 30 V + 0, 5 Ω ⋅ 3,1 A = 31,55 V
c) El rendimiento en el generador es el cociente entre la energía real suministrada y la energía teórica
si la resistencia interna hubiera sido nula, lo que equivale al cociente entre el voltaje en bornes
del generador y su fuerza electromotriz:
V
46, 9 V
Rendimiento = Gen ⋅ 100 =
⋅ 100 = 93, 8 %
ε
50 V
El rendimiento en el motor es el cociente entre la energía que aprovecha y la energía que recibe,
lo que equivale al cociente entre su fuerza contraelectromotriz y el voltaje en sus bornes:
30 V
ε'
Rendimiento =
⋅ 100 =
⋅ 100 = 95,1 %
3155
, V
VMot
d) El calor generado en la resistencia mediante efecto Joule se obtiene mediante la expresión:
Q = 0, 24 ⋅ R ⋅ I 2 ⋅ t = 0, 24 ⋅ 5 Ω ⋅ 3,12 A 2 ⋅ 600 s = 6919, 2 cal
ACTIVIDADES
1
2
614
Un generador de 40 V de fuerza electromotriz
y resistencia interna de 2 Ω está conectado
a un motor de 25 V de fuerza
contraelectromotriz y 1 Ω de resistencia
interna. Calcula:
a) La resistencia exterior que debemos poner
en el circuito para que la intensidad
que recorre el circuito sea de dos amperios.
b) La potencia útil del generador.
Sol.: a) R = 4,5 Ω; b) Pútil (gen) = 144 W.
En los bornes de un motor atravesado
por una intensidad de corriente de 2 A existe
una diferencia de potencial de 30 V y sabemos
que el rendimiento de dicho motor es de
un 75 %. Calcula su fuerza contraelectromotriz
y su resistencia interna.
Sol.: ε' = 22,5 V; r = 3,75 Ω.
3
Tres resistencias de 1, 2 y 3 Ω respectivamente
están conectadas entre sí en paralelo y en serie
con un generador de 15 V y 2 Ω de resistencia
interna. Calcula la intensidad de corriente que
atraviesa cada una de las resistencias.
Sol.: I1= 2,95 A; I2 = 1,96 A; I3 = 0,98 A.
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EXPERIENCIA EN EL AULA
ELECTRICIDAD
1. Construcción de un electroscopio
Material
Objetivo
• Una botella de cristal con tapón
de corch0.
• Un trozo de alambre.
• Pan de oro; en su defecto, papel de plata.
Construir
un electroscopio.
• Tela de lana
(o piel de gato).
• Varilla de vidrio
(o un bolígrafo).
PROCEDIMIENTO
1. Atraviesa el tapón de corcho de la botella con el alambre.
2. En el lado exterior gira el alambre a modo de cáncamo.
3. Raspa con un cuchillo el anillo de alambre que has formado por si está barnizado.
4. En el lado interior moldea el cable para hacer un anzuelo.
5. Sobre este anzuelo coloca, en equilibrio, una pequeña tira de pan de oro
y cierra la botella.
6. Ahora frota con la pieza de lana (o la piel de gato) la varilla y después apoya la varilla
sobre el alambre de tu electroscopio. ¿Qué ocurre?
En efecto, al frotar la varilla con la piel de gato se acumula carga en la varilla que pasa
al alambre del electroscopio, y de ahí al pan de oro. La repulsión electrostática de las cargas
que se distribuyen en el pan de oro compensan, y superan, el peso, y los extremos se elevan.
2. Conductividad y resistencias
Material
Objetivo
• Generador de tensión
o pilas.
• Cables.
Observar cómo la resistividad
de una resistencia varía
con la temperatura.
• Dos parejas de resistencias
iguales entre sí.
• Hielo.
PROCEDIMIENTO
1. Monta dos circuitos iguales con resistencias R1 y R2 asociadas en serie en ambos circuitos.
2. En uno de los circuitos cubre la resistencia R1 con hielo. Después de unos minutos compara, poniendo la mano sobre
ellas, la resistencia R2 de ambos circuitos, ¿cuál está más caliente?
R1
R2
R1
R2
En efecto, la resistividad de un material disminuye con la temperatura, y al enfriar la primera resistencia
disminuye su valor. Entonces, la intensidad que recorre el circuito aumenta y, por tanto, el calor dispersado
por la segunda resistencia (I2 ⋅ R2 ⋅ t) aumenta también.
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EXPERIENCIA DE LABORATORIO
ELECTRICIDAD
Asociaciones en serie y en paralelo
Material
Objetivo
•
•
•
•
Comprobar cómo se distribuye la tensión
en una asociación en serie y cómo se distribuye
la intensidad de corriente en una asociación
en paralelo.
Un generador de tensión.
Cables.
Dos resistencias.
Un multímetro.
PROCEDIMIENTO
1. Monta un circuito con las dos resistencias asociadas en serie.
R2
R1
2. Coloca los bornes del multímetro para medir la diferencia de potencial entre los extremos de cada resistencia
y mide también la diferencia de potencial en los extremos de la asociación de resistencias. Es muy importante
que recuerdes que el multímetro se conecta EN PARALELO cuando se mide diferencia de potencial.
V
V
V
3. Monta un circuito con las dos resistencias asociadas en paralelo.
4. Coloca los bornes del multímetro para medir la intensidad de corriente que atraviesa cada resistencia
y mide también la intensidad de corriente que atraviesa el circuito. Es muy importante que recuerdes
que el multímetro se conecta EN SERIE cuando se mide intensidad de corriente.
A
A
A
CUESTIONES
616
1
Suma las diferencias de potencial obtenidas para cada resistencia en serie. ¿Coincide con la diferencia
de potencial medida para la asociación de resistencias?
2
Suma las intensidades de corriente para cada resistencia en paralelo. ¿Coincide con la intensidad
de corriente medida para la asociación de resistencias?
3
Cuando el multímetro se conecta para medir diferencias de potencial, ¿cómo debe ser su resistencia
interna para que no altere la medida, grande o pequeña? Razona la respuesta.
4
Cuando el multímetro se conecta para medir intensidad de corriente, ¿cómo debe de ser su resistencia
interna para que no altere la medida, grande o pequeña? Razona la respuesta.
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APLICACIONES
ELECTRICIDAD
CIENCIA Y TÉCNICA
Interruptor diferencial (plomos)
Un interruptor diferencial es un dispositivo que se coloca en las instalaciones
eléctricas con el fin de cortar la corriente cuando se produce una pérdida de
intensidad de corriente en un circuito.
Es un sistema muy eficiente de seguridad en los hogares porque evita la exposición prolongada a la corriente eléctrica cuando un cuerpo humano se
introduce como elemento en el circuito (un niño que introduce los dedos u
objetos punzantes en un enchufe, un
adulto manipula un aparato eléctrico
mal aislado...).
El interruptor diferencial está formado por dos bobinas (hélices de hilo
conductor) iguales y paralelas sobre
una barra imantada.
Cuando el circuito funciona correctamente las bobinas actúan como un
electroimán y generan campos magnéticos iguales y opuestos sobre la
barra, que no se mueve.
Pero cuando se produce una caída en
la intensidad de corriente en el sistema
eléctrico, la intensidad de corriente que
vuelve es menor y los campos magnéticos que generan las bobinas son diferentes. La barra imantada se mueve,
desplaza los interruptores y se corta
el circuito.
En las instalaciones domésticas se colocan interruptores diferenciales de
alta sensibilidad que actúan cuando
la caída en la intensidad de corriente es de 30 mA, asegurando la integridad física del ciudadano ante un calambrazo.
¿Es la electricidad un riesgo para la salud?
La electricidad puede ser peligrosa para el cuerpo humano y provocar múltiples accidentes, en algunos casos mortales. El factor que determina el riesgo sobre el hombre
es la intensidad de corriente y, cuando la corriente es alterna, también la frecuencia.
Los efectos que generan las diferentes intensidades de corriente se tabulan según:
Intensidad
Consecuencias
I < 1 mA
Imperceptible.
2 mA ≤ I < 3 mA
Hormigueo.
3 mA ≤ I < 10 mA
Contracción involuntaria.
10 mA ≤ I < 50 mA
Los músculos implicados en la respiración sufren calambres.
Riesgo de muerte por asfixia.
50 mA ≤ I < 500 mA
Fibrilación ventricular (contracciones frecuentes
e irregulares del corazón).
I > 500 mA
Quemaduras internas.
Riesgo de muerte por parálisis de centros nerviosos.
Estos valores son aproximados: la trayectoria que sigue la corriente en el cuerpo o
el tiempo de exposición a la corriente son factores que influyen en los efectos. Son
especialmente peligrosas las situaciones en las que los órganos vitales, como el corazón o el encéfalo, están en la trayectoria de la corriente; y las situaciones en las
que la resistencia de la piel (que es la parte del cuerpo que más resistencia opone
al paso de la corriente) es baja porque es delgada y está mojada.
La resistencia que opone el cuerpo humano al paso de la corriente eléctrica también depende de cada persona. El factor más importante es el órgano de la piel: si
la piel es gruesa ofrece mayor resistencia que si es fina o está mojada. Pero también es importante el estado de ánimo, pues una situación de estrés o una actitud
nerviosa reduce la resistencia. Los umbrales entre los que se mueve la resistencia
del cuerpo son 1000 Ω para los cuerpos con baja resistencia y 10 000 Ω para los
cuerpos que ofrecen mucha resistencia al paso de la corriente eléctrica. Lo habitual
es que el valor sea 3000 Ω.
Bobina
Interruptor
I1
Barra
imantada
Carga
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I2
Bobina
Interruptor
Interruptor diferencial.
CUESTIONES
1
Calcula la intensidad de corriente que atraviesa a una persona «muy conductora» afectada
por una corriente de 230 V. ¿Es peligrosa esta situación?
2
Calcula la intensidad de corriente que atraviesa a una persona «poco conductora» afectada
por una corriente de 230 V. ¿Qué efecto sufre?
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CURIOSIDADES Y ANÉCDOTAS
ELECTRICIDAD
HISTORIA DE LA CIENCIA
James Clerk Maxwell
James Clerk Maxwell (1831-1879) nació en Edimburgo, Escocia, en una familia de clase media. Comenzó sus estudios universitarios en la Universidad
de Edimburgo y continuó en Cambridge hasta su graduación. Fue profesor
de Filosofía Natural en el Mariscal College de Aberdenn y en el King’s College de Londres.
Fue Maxwell quien desarrollo la teoría
cinética de los gases y la física estadística con Boltzmann; y relacionó la temperatura de un cuerpo con la energía
cinética de sus moléculas.
Pero la aportación más conocida de
Maxwell son sus leyes electromagnéticas en las que probó que electricidad
y magnetismo son dos manifestaciones de un mismo fenómeno físico.
Códigos de colores y resistencias
El tamaño de las resistencias de los circuitos es muy pequeño y apenas hay sitio
para escribir sus valores en ellas. Sin embargo, los ohmios que resisten cada una
son decisivos para el funcionamiento de los aparatos eléctricos, y los técnicos que
las sustituyen cuando no funcionan lo hacen por otras de igual valor.
Para distinguir el valor de una resistencia se ha creado un código de colores que
se dibuja como anillos alrededor de ellas.
El código consiste en tres bandas que indican, respectivamente, dos cifras significativas de la resistencia y el orden de magnitud. Y una cuarta banda, ligeramente
apartada de las otras, que indica el margen de error en la magnitud.
A veces, cuando se necesita mayor precisión, se imprimen cinco bandas y las tres
primeras corresponden a cifras significativas.
Valor banda
Orden de magnitud
Negro
0
0
Marrón
1
1
±1 % (F)
Rojo
2
2
±2 % (G)
Naranja
3
3
ជ ⋅ Eជ= 0
∇
Amarillo
4
4
ជ ⋅ Bជ= 0
∇
Verde
5
5
±0,5 %
∂E
ជ ⋅ Bជ= μ ជ
∇
J + εμ
∂t
Azul
6
6
±0,25 %
Violeta
7
7
±0,10 %
Gris
8
8
±0,05 %
Blanco
9
9
ជ ⋅ Eជ=
∇
ρ
ε
Color
Valor como tolerancia
Oro
±5 % (J)
Plata
±10 % (K)
(Ninguna)
±20% (M)
Así, una resistencia con una primera banda verde, una segunda marrón, una tercera naranja y una última banda verde es una resistencia con 5 y 1 como cifras
significativas, 3 como orden de magnitud y representa un factor multiplicador
de 103 = 1000; y un error del 0,5 %, es decir (51 000 ± 255) Ω.
CUESTIONES
618
1
¿Cuál es el valor de la siguiente resistencia?
2
Describe las bandas de colores que aparecen sobre una resistencia de una resistencia (990,0 ± 9,9) kΩ.
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BANCO DE DATOS
ELECTRICIDAD
Variación de la resistividad con la temperatura
La resistividad de un material depende, en general, de la temperatura. En muchos casos, la variación sigue la siguiente
expresión, válida para un tango de temperaturas no demasiado amplio:
ρ(T ) = ρ0 ⋅ (1+ α ⋅ T )
Sustancia
Plata
Cobre
Bronce
Oro
Aluminio
Magnesio
Wolframio
Níquel
Latón
Hierro
Cinc
Platino
Estaño
Plomo
Manganina
Constantán
Grafito
Acero
Mercurio
Nicromo
Resistividad, ρ (Ω⋅ m, a 20 °C)
Coeficiente de temperatura de la resistividad,
α(°C−1) [en torno a 20 °C]
1,55 ⋅ 10−8
0,0038
1,70 ⋅ 10
−8
0,0039
−8
1,8 ⋅ 10 - 5,6 ⋅ 10
−8
≈0,0010
2,22 ⋅ 10
−8
0,0034
2,82 ⋅ 10
−8
0,0039
4,5 ⋅ 10
−8
5,65 ⋅ 10
−8
6,40 ⋅ 10
−8
−8
0,00425
0,0045
0,0060
−8
7 ⋅ 10 - 9 ⋅ 10
8,90 ⋅ 10
9,3 ⋅ 10
0,0020
−8
0,0050
−8
0,0038
10,60 ⋅ 10
−8
0,0039
11,50 ⋅ 10
−8
0,0044
−8
0,0043
−8
0,00000
−8
0,0001
−8
−0,0005
−8
0,0050
−8
0,00088
22 ⋅ 10
43 ⋅ 10
50 ⋅ 10
60 ⋅ 10
72 ⋅ 10
95 ⋅ 10
−8
100 ⋅ 10
0,0004
Efectos de la corriente eléctrica en el ser humano
Intensidad
Efectos en el organismo
0 - 0,05 mA
Umbral de percepción se sitúa en torno a 0,05 mA.
0,05 - 10 mA
Percepción de calambre. Se aprecian movimientos musculares.
10 - 25 mA
Agarrotamiento de miembros. Dificultad para soltar los objetos. Contracción muscular.
La presión arterial aumenta y la respiración se dificulta.
25 - 40 mA
Irregularidad en el ritmo cardiaco. Se producen quemaduras. Si el tiempo de exposición
supera los 4 s se produce asfixia.
40 - 100 mA
Irregularidad acusada en el ritmo cardiaco. Se producen quemaduras más intensas.
Si el tiempo de exposición supera los 4 s se produce asfixia.
1 000 mA
Fibrilación y parada cardiaca. Las quemaduras ocasionadas son muy graves y el riesgo
de muerte es considerable.
1-5A
Quemaduras muy graves. La parada cardiaca ocasionada conlleva un alto riesgo de muerte.
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FICHA 1
AMPLIACIÓN sin soluciones
LEY DE COULOMB
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
1. EJERCICIO RESUELTO
Tenemos dos cargas iguales y positivas de 1 μC cada una situadas en los puntos (0 , 2) y (1 , 0).
¿Cuál es la fuerza que ejercen sobre otra carga idéntica a las anteriores y situada en el origen
de coordenadas?
SOLUCIÓN
La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de ordenadas sobre el origen
es vertical y está dirigida hacia abajo:
2
q1 ⋅ q
1⋅ 10−6 C ⋅ 1⋅ 10−6 C
9 N⋅m
ជ
⋅
F1 = K ⋅ 2 (−iជ) = 9 ⋅ 10
(−iជ) = −2, 25 ⋅ 10−3 ជ
jN
d1
22 m2
C2
La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de abscisas sobre el origen
es horizontal, dirigida hacia la izquierda:
q2 ⋅ q
N ⋅ m2 1⋅ 10−6 C ⋅ 1⋅ 10−6 C
ជ
ជ) = 9 ⋅ 109
⋅
F2 = K ⋅
(−i
(−iជ) = −9 ⋅ 10−3 ជ
jN
d22
C2
12 m
+1 μC
Fជ2
+1 μC
Fជ1
ជ
F
La fuerza resultante de la suma vectorial de estas fuerzas es:
j N− 2,25 ⋅ 10−3 ជ
jN
Fជ= Fជ1 + Fជ2 = −9 ⋅ 10−3 ជ
Que forma un ángulo con el eje horizontal positivo:
−2, 25 ⋅ 10−3
α = arc tg
= 194° 2'
−9 ⋅ 10−3
Y su módulo resulta:
F ⏐ = (−2, 25 ⋅ 10−3 )2 + (−9 ⋅ 10−3 )2 = 9, 3 ⋅ 10−3 N
⏐ជ
1
¿Cuál es la constante dieléctrica relativa de un medio en el que 2 cargas de 5 μC separadas una distancia
de un metro, se repelen con una fuerza de 0,1 N?
SOLUCIÓN
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AMPLIACIÓN sin soluciones
FICHA 1
LEY DE COULOMB
NOMBRE:
2
5/8/08
CURSO:
FECHA:
Tenemos tres cargas A, B y C cuyos valores son de 2 μC, −3 μC y 4 μC, respectivamente. Están alineadas
ocupando B la posición intermedia. La separación entre A y B es de 30 cm, mientras que la separación
entre B y C es de 40 cm. Calcula la fuerza que sufre la carga B debido a la presencia de las cargas A y C.
SOLUCIÓN
3
¿A qué distancia deben estar dos cargas iguales de 3 μC cada una para que entre ellas se produzca
una repulsión de 0,1 N?
SOLUCIÓN
¿Con qué fuerza se repelen dos protones de un núcleo atómico si cada uno de ellos tiene una carga
de 1,6 ⋅ 10−19 C y la distancia que los separa es de 10−15 m?
4
Un cuerpo de masa 1 g y con carga eléctrica levita sobre otro cuerpo situado a 1 cm de distancia por debajo
del primero. Si este segundo cuerpo tiene una carga de 2 μC, calcula el valor de la carga del primero.
SOLUCIÓN
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AMPLIACIÓN sin soluciones
FICHA 2
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
2. EJERCICIO RESUELTO
Una carga Q1 = 2 μC está situada en el punto de coordenadas (2 , 0) m.
Otra carga Q2 = −3 μC está situada en el punto (0 , 3) m. Calcula:
a) La intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.
b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas.
SOLUCIÓN
a) La intensidad de campo eléctrico en un punto es la fuerza que sentiría
una carga positiva de 1 C colocada en ese punto. El campo eléctrico
que generan varias cargas es la suma vectorial del campo eléctrico que
genera cada una de las cargas.
Qជ2
−3 μC
La carga Q1 genera sobre el origen de coordenadas un campo eléctrico
horizontal y de sentido negativo igual a:
ជ
e2
−6
Q
N ⋅ m 2 ⋅ 10 C ជ
⋅
u 10 = 9 ⋅ 109
(−i ) →
Eជ1 = K ⋅ 21 ជ
d1
22 m2
C2
2
ជ
e1
→ Eជ1 = −4,5 ⋅ 103 ជ
i (N/C)
La carga Q2 genera sobre el origen de coordenadas un campo eléctrico
vertical y de sentido positivo igual a:
Q
N ⋅ m2 −3 ⋅ 10−6 C ជ
⋅
u 2 = 9 ⋅ 109
(−j ) = 3 ⋅ 103 ជ
j N/C
Eជ2 = 22 ជ
d2
C2
32 m2
El campo eléctrico en el origen es:
i + 3 ⋅ 103 ជ
j
Eជ= Eជ1 + Eជ2 = −4,5 ⋅ 103 ជ
Es un vector de módulo:
E⏐ =
⏐ជ
3
3
(−4 , 5 ⋅ 10 ) + ( 3 ⋅ 10 )2 = 5, 41⋅ 109 N/C
Y forma un ángulo α con el sentido positivo horizontal:
α = arc tg
3
= 146° 19'
−4 , 5
b) El potencial eléctrico que generan varias carga es la suma escalar de los potenciales que generan
cada una de las cargas.
El potencial en el origen debido a la primera carga es:
V1 = K ⋅
N ⋅ m2 2 ⋅ 10−6 C
Q1
= 9 ⋅ 109
⋅
= 9 ⋅ 103 V
C2
d1
2m
El potencial en el origen debido a la segunda carga es:
V2 = K ⋅
Q2
N ⋅ m2 −3 ⋅ 10−6 C
= 9 ⋅ 109
⋅
= −9 ⋅ 103 V
d2
C2
3m
El potencial eléctrico en el origen, que es la suma de los potenciales que generan las dos cargas,
es cero:
V1 + V2 = 9 ⋅ 103 V − 9 ⋅ 103 V = 0
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Qជ1
2 μC
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AMPLIACIÓN sin soluciones
FICHA 2
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS
NOMBRE:
5
5/8/08
CURSO:
FECHA:
Dos cargas Q1 y Q2 están separadas una distancia de 2 m. Si Q1 = 2 μC y Q2 = −3 μC.
SOLUCIÓN
a) Calcula el punto de la recta que pasa por las cargas donde se anula el campo eléctrico.
b) Calcula el punto de la recta que pasa por las cargas donde se anula el potencial eléctrico.
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AMPLIACIÓN sin soluciones
FICHA 2
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS
NOMBRE:
6
5/8/08
CURSO:
FECHA:
Seis cargas están situadas en los vértices de un hexágono regular de lado 2 cm centrado en el origen
de coordenadas. El valor absoluto de todas las cargas es de 3 mC, pero las tres de la izquierda
son negativas, mientras que las tres de la derecha son positivas.
SOLUCIÓN
a) Calcula la intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.
b) Calcula el potencial eléctrico en el origen de coordenadas.
7
Los puntos A, B, C y D forman los vértices de un cuadrado de lado 5 cm. Una carga de 6 mC
está situada en cada uno de los puntos A y B.
SOLUCIÓN
a) Calcula el trabajo que debemos realizar si queremos trasladar una carga de 2 μC
desde el punto C hasta el punto D.
continúa 앶앸
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AMPLIACIÓN sin soluciones
FICHA 2
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
b) ¿Qué energía potencial tiene la carga de 2 mC en cada uno de los puntos C y D?
8
En el punto de coordenadas (−3 , 0) m hay una carga de −2 μC. Una segunda carga de 3 μC está situada
en el punto (2 , 0) y una tercera carga de valor desconocido está situada en el punto (4 , 0) m.
SOLUCIÓN
a) Calcula el valor de la carga desconocida si el potencial eléctrico en el origen de coordenadas es nulo.
b) Calcula la intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.
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AMPLIACIÓN sin soluciones
FICHA 3
CORRIENTE Y LEY DE OHM
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
3. EJERCICIO RESUELTO
Una corriente de 10 mA llega a una asociación de dos
resistencias de 0,1 y 0,3 Ω, respectivamente, que están
unidas en paralelo entre sí y en serie con otra de 0,2 Ω.
Calcula:
a) La diferencia de potencial entre los extremos
de cada resistencia.
b) La intensidad de corriente que circula por cada
resistencia.
R1 = 0,1 Ω
A
B
C
R3 = 0,2 Ω
R2 = 0,3 Ω
SOLUCIÓN
a) El sistema de resistencias lo forman dos resistencias R1 = 0,1 Ω y R2 = 0,2 Ω asociadas en paralelo,
y una tercera resistencia R3 = 0,2 Ω asociada en serie a las otras dos.
La resistencia equivalente a la asociación en paralelo de las resistencias de 0,1 y 0,3 Ω verifica:
1
Requiv.
=
1
1
1
1
1
+
→
=
+
→ Requiv. = 0,075 Ω
0,1 Ω
0, 3 Ω
R1
R2
Requiv.
Como esta asociación está conectada en serie con la tercera resistencia, la resistencia del sistema es:
R = Requiv. + R3 = 0,075 Ω + 0,2 Ω = 0,275 Ω
La intensidad de corriente que llega al sistema es de 10 mA. La Ley de Ohm permite calcular la diferencia
de potencial entre los puntos A y C:
VC − VA
→ VC − VA = I ⋅ R = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,275 Ω = 2,75 ⋅ 10−3 V
R
Esta diferencia de potencial se reparte entre los extremos A y B y los extremos B y C:
VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA)
I=
La diferencia de potencial entre los extremos de las dos resistencias que están en paralelo es:
VB − VA = I ⋅ Requiv. = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,075 Ω = 7,5 ⋅ 10−4 V
La diferencia de potencial en los extremos de la tercera resistencia es:
VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA) → 2,75 ⋅ 10−3 V = (VC − VB) + 7,5 ⋅ 10−4 V →
→ (VC − VB) = 2, 75 ⋅ 10−3 V − 0,75 ⋅ 10−3 V = 2 ⋅ 10−3 V
Y coincide con el resultado calculado por la ley de Ohm:
VC − VB = I ⋅ R3 = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,2 Ω = 2 ⋅ 10−3 V
b) Cuando la corriente llega a la bifurcación de las resistencias en paralelo se reparte entre las dos ramas
verificando siempre la ley de Ohm:
V − VA
7, 5 ⋅ 10−4 V
I1 = B
=
= 7, 5 ⋅ 10−3 A = 7,5 mA
R1
0,1 Ω
I2 =
7, 5 ⋅ 10−4 V
VB − VA
=
= 2, 5 ⋅ 10−3 A = 2,5 mA
0, 3 Ω
R2
La suma de las intensidades de cada rama es la intensidad de corriente que atraviesa el sistema de resistencias:
I = I1 + I2 = 7,5 mA + 2,5 mA = 10 mA
La intensidad de corriente que pasa por la tercera resistencia, asociada en serie a las otras dos, coincide
con la intensidad de corriente total 10 mA.
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CORRIENTE Y LEY DE OHM
NOMBRE:
9
AMPLIACIÓN sin soluciones
FICHA 3
CURSO:
FECHA:
La resistividad del cobre a 20 °C es de 1,67 ⋅ 10−8 Ω⋅ m.
SOLUCIÓN
a) ¿Cuál es la longitud de un cable de dicho material de 0,5 Ω de resistencia y 0,01 cm2 de sección?
b) La resistividad del cobre aumenta de manera lineal según la expresión ρ = ρ20 ⋅ [1 + α⋅ (t −20 °C)],
siendo αuna constante dependiente del material llamada coeficiente de temperatura.
Para el cobre α = 3,9 ⋅ 10−3 °C−1. Calcula la resistencia de un cable con la longitud y sección
del cable del apartado anterior cuando su temperatura pase de 20 a 50 °C.
10
Tenemos una asociación de resistencias en paralelo
con tres ramas. En la rama superior hay una resistencia
de 0,2 Ωunida en serie con una resistencia de 0,3 Ω.
En la rama del medio solo hay una resistencia
de 0,5 Ω. En la rama inferior hay una resistencia de 0,1 Ω
unida a otra resistencia de valor desconocido.
Si a dicha asociación de resistencias llega una corriente
de 1,8 A y el voltaje entre sus extremos es de 0,2 V,
calcula el valor de la resistencia desconocida.
R1 = 0,2 Ω
R2 = 0,3 Ω
R3 = 0,5 Ω
R4 = 0,1 Ω
R5
SOLUCIÓN
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CORRIENTE Y LEY DE OHM
NOMBRE:
11
AMPLIACIÓN sin soluciones
FICHA 3
CURSO:
Dos bombillas están asociadas en serie. La intensidad
de corriente que circula por ellas es de 0,5 A.
El sistema está sometido a una diferencia de potencial
en los extremos de 7 V. La primera bombilla tiene
una resistencia de 10 Ω.
FECHA:
A
B
10 Ω
SOLUCIÓN
a) ¿Cuál es el voltaje al que está sometida la segunda bombilla?
b) ¿Cuál es la resistencia de la segunda bombilla?
12
Cuatro resistencias de 1, 2, 3 y 4 Ωestán conectadas en paralelo.
Por la de 2 Ωcircula una corriente de 3 mA.
R1 = 1 Ω
SOLUCIÓN
R2 = 2 Ω
a) ¿Cuál es la intensidad de corriente en las otras resistencias?
R3 = 3 Ω
R4 = 4 Ω
b) Si mantenemos la tensión suministrada pero eliminamos la resistencia de 4 Ω,
¿cuál sería ahora la intensidad en las otras resistencias?
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C
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AMPLIACIÓN con soluciones
FICHA 1
LEY DE COULOMB
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
1. EJERCICIO RESUELTO
Tenemos dos cargas iguales y positivas de 1 μC cada una situadas en los puntos (0 , 2) y (1 , 0).
¿Cuál es la fuerza que ejercen sobre otra carga idéntica a las anteriores y situada en el origen
de coordenadas?
SOLUCIÓN
La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de ordenadas sobre el origen
es vertical y está dirigida hacia abajo:
2
q1 ⋅ q
1⋅ 10−6 C ⋅ 1⋅ 10−6 C
9 N⋅m
ជ
⋅
F1 = K ⋅ 2 (−jជ) = 9 ⋅ 10
(−jជ) = −2, 25 ⋅ 10−3 ជ
j N
d1
22 m2
C2
La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de abscisas sobre el origen
es horizontal, dirigida hacia la izquierda:
q2 ⋅ q
N ⋅ m2 1⋅ 10−6 C ⋅ 1⋅ 10−6 C
ជ
ជ) = 9 ⋅ 109
⋅
F2 = K ⋅
(−i
(−iជ) = −9 ⋅ 10−3 ជ
j N
d22
C2
12 m
+1 μC
Fជ2
+1 μC
Fជ1
ជ
F
La fuerza resultante de la suma vectorial de estas fuerzas es:
j N− 2,25 ⋅ 10−3 ជ
j N
Fជ= Fជ1 + Fជ2 = −9 ⋅ 10−3 ជ
Que forma un ángulo α con el eje horizontal positivo:
−2, 25 ⋅ 10−3
α = arc tg
= 194° 2'
−9 ⋅ 10−3
Y su módulo resulta:
F ⏐ = (−2, 25 ⋅ 10−3 )2 + (−9 ⋅ 10−3 )2 = 9, 3 ⋅ 10−3 N
⏐ជ
1
¿Cuál es la constante dieléctrica relativa de un medio en el que 2 cargas de 5 μC separadas una distancia
de un metro, se repelen con una fuerza de 0,1 N?
SOLUCIÓN
La fuerza electrostática entre dos cargas en un medio se puede expresar en términos
de la constante dieléctrica ε del medio según:
1
q ⋅ q'
⋅ 2 ជ
Fជ=
ur
4πε
d
Pero es habitual utilizar la constante dieléctrica relativa, εr, a la constante en el vacío, ε0.
Fជ=
1
q ⋅ q'
q ⋅ q'
1
ε
1
1
q ⋅ q'
1
q ⋅ q'
⋅ 2 ជ
⋅ 2 ជ
⋅
⋅ 2 ជ
ur = 0 ⋅
ur =
ur =
ur
⋅K ⋅ 2 ជ
4πε
ε 4πε0
d
d
d
εr 4πε0
d
εr
Es decir:
1
q ⋅ q'
⋅ K ⋅ 2 ⋅ជ
ur
Fជ=
d
εr
Si en el medio hay dos cargas de 5 μC separadas una distancia de 1 m y se repelen con una fuerza
de 0,1 N, el módulo de la expresión anterior refleja que:
0 ,1 N =
1
N ⋅ m2 5 ⋅ 10−6 C ⋅ 5 ⋅ 10−6 C
⋅ 9 ⋅ 109
⋅
→ εr = 2, 27
C2
12 m2
εr
La constante dieléctrica relativa del medio es 2,27.
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AMPLIACIÓN con soluciones
FICHA 1
LEY DE COULOMB
NOMBRE:
2
5/8/08
CURSO:
FECHA:
Tenemos tres cargas A, B y C cuyos valores son de 2 μC, −3 μC y 4 μC, respectivamente. Están alineadas
ocupando B la posición intermedia. La separación entre A y B es de 30 cm, mientras que la separación
entre B y C es de 40 cm. Calcula la fuerza que sufre la carga B debido a la presencia de las cargas A y C.
SOLUCIÓN
Las cargas A, B y C se distribuyen en el espacio según el dibujo.
4 μC
ជ
2 μC
ជ
FC
F A −3 μC
Como la carga B tiene signo contrario a las cargas A y C,
las fuerzas que ejercen estas sobre aquella son atractivas.
ជ
ជ
u CB
u AB
C
A
La fuerza que ejerce la carga A sobre B es una fuerza
de atracción, y su sentido es negativo:
q ⋅q
N ⋅ m2 2 ⋅ 10−6 C ⋅ (−3 ⋅ 10−6 ) C ជ
FជA = K ⋅ A B ជ
u AB = 9 ⋅ 109
i = −0,6 ជ
iN
⋅
2
dAB
C2
0, 32 m2
La fuerza que ejerce la carga C sobre B también es atractiva:
q ⋅q
N ⋅ m2 4 ⋅ 10−6 C ⋅ (−3 ⋅ 10−6 ) C ជ
u CB = 9 ⋅ 109
(−i ) = 0,675 ជ
i N→ ជ
u CB = −iជ
FជC = K ⋅ C B ជ
⋅
2
dAB
C2
0 , 4 2 m2
La fuerza resultante que actúa sobre la carga B es la suma vectorial de las fuerzas que ejercen sobre ella las cargas:
i N + 0,675 ជ
i N = 0,075 ជ
i N
Fជ= FជA + FជB = −0,6 ជ
que tiene módulo 0,075 N y sentido hacia la carga C.
3
¿A qué distancia deben estar dos cargas iguales de 3 μC cada una para que entre ellas se produzca
una repulsión de 0,1 N?
SOLUCIÓN
Para que dos cargas de 3 μC se repelan con una fuerza de 0,1 N por efecto de las fuerzas electrostáticas deben estar
separadas una distancia d de manera que:
q ⋅ q'
Fជ= K ⋅ 2 ជ
ur
d
El módulo de la expresión anterior permite calcular la distancia según:
N ⋅ m2 3 ⋅ 10−6 C ⋅ 3 ⋅ 10−6 C
0,1 N = 9 ⋅ 109
⋅
→ d = 0, 9 m
C2
d2
¿Con qué fuerza se repelen dos protones de un núcleo atómico si cada uno de ellos tiene una carga
de 1,6 ⋅ 10−19 C y la distancia que los separa es de 10−15 m?
Para dos protones de un núcleo atómico que estén a distancia de 1 ⋅ 10−15 metros:
q ⋅ q'
N ⋅ m2 1, 6 ⋅ 10−19 C ⋅ 1, 6 ⋅ 10−19 C
ជ
⋅
u r = 9 ⋅ 109
u r = 230,4 ជ
ur N
Fជ = K ⋅ 2 ជ
d
C2
(1⋅ 10−15 )2 m2
Así, se repelen mutuamente con una fuerza repulsiva de módulo 230,4 N.
4
Un cuerpo de masa 1 g y con carga eléctrica levita sobre otro cuerpo situado a 1 cm de distancia por debajo
del primero. Si este segundo cuerpo tiene una carga de 2 μC, calcula el valor de la carga del primero.
SOLUCIÓN
Para que el cuerpo mantenga su posición de equilibrio en el aire las fuerzas gravitatoria y electrostática tienen
que ser de la misma dirección e intensidad y de sentidos contrarios. La fuerza gravitatoria tiene dirección y sentido
vertical y hacia abajo. Por tanto, la fuerza electrostática tiene que ser vertical y hacia arriba, así que las cargas
eléctricas tiene que ser de igual signo.
En el equilibrio los módulos de las fuerzas han de ser iguales:
q ⋅ q'
N ⋅ m2 q ⋅ 2 ⋅ 10−6 C
mg = K ⋅ 2 → 0, 001 kg ⋅ 9, 8 N/kg = 9 ⋅ 109
⋅
→ q = 5,4 ⋅ 10−11 C
d
C2
0, 012 m2
La carga del cuerpo que está en el aire debe ser de valor 5,4 ⋅ 10−11 μC y de igual signo que la carga del segundo cuerpo.
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AMPLIACIÓN con soluciones
FICHA 2
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
2. EJERCICIO RESUELTO
Una carga Q1 = 2 μC está situada en el punto de coordenadas (2 , 0) m.
Otra carga Q2 = −3 μC está situada en el punto (0 , 3) m. Calcula:
a) La intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.
b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas.
SOLUCIÓN
a) La intensidad de campo eléctrico en un punto es la fuerza que sentiría
una carga positiva de 1 C colocada en ese punto. El campo eléctrico
que generan varias cargas es la suma vectorial del campo eléctrico que
genera cada una de las cargas.
Qជ2
−3 μC
La carga Q1 genera sobre el origen de coordenadas un campo eléctrico
horizontal y de sentido negativo igual a:
Q
N ⋅ m2 2 ⋅ 10−6 C ជ
⋅
u 10 = 9 ⋅ 109
(−i ) →
Eជ1 = K ⋅ 21 ជ
d1
22 m2
C2
ជ
E2
ជ
E1
Qជ1
2 μC
→ Eជ1 = −4,5 ⋅ 103 ជ
i (N/C)
La carga Q2 genera sobre el origen de coordenadas un campo eléctrico
vertical y de sentido positivo igual a:
Q
N ⋅ m2 −3 ⋅ 10−6 C ជ
⋅
u 2 = 9 ⋅ 109
(−j ) = 3 ⋅ 103 ជ
j N/C
Eជ2 = 22 ជ
d2
C2
32 m2
El campo eléctrico en el origen es:
i + 3 ⋅ 103 ជ
j
Eជ= Eជ1 + Eជ2 = −4,5 ⋅ 103 ជ
Es un vector de módulo:
E⏐ =
⏐ជ
3
3
(−4 , 5 ⋅ 10 ) + ( 3 ⋅ 10 )2 = 5, 41⋅ 109 N/C
Y forma un ángulo α con el sentido positivo horizontal:
α = arc tg
3
= 146° 19'
−4 , 5
b) El potencial eléctrico que generan varias carga es la suma escalar de los potenciales que generan
cada una de las cargas.
El potencial en el origen debido a la primera carga es:
V1 = K ⋅
Q1
N ⋅ m2 2 ⋅ 10−6 C
= 9 ⋅ 109
⋅
= 9 ⋅ 103 V
d1
C2
2m
El potencial en el origen debido a la segunda carga es:
V2 = K ⋅
Q2
N ⋅ m2 −3 ⋅ 10−6 C
= 9 ⋅ 109
⋅
= −9 ⋅ 103 V
d2
3m
C2
El potencial eléctrico en el origen, que es la suma de los potenciales que generan las dos cargas,
es cero:
V1 + V2 = 9 ⋅ 103 V − 9 ⋅ 103 V = 0
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FICHA 2
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS
NOMBRE:
5
CURSO:
FECHA:
Dos cargas Q1 y Q2 están separadas una distancia de 2 m. Si Q1 = 2 μC y Q2 = −3 μC.
SOLUCIÓN
a) Calcula el punto de la recta que pasa por las cargas donde se anula el campo eléctrico.
La carga Q1 es positiva, de manera que el campo eléctrico que genera tiene sentido negativo a la izquierda de la
carga, y positivo a la derecha. La carga Q2 es negativa, de manera que el campo eléctrico a la izquierda es positivo,
y a la derecha, negativo. Existe, por tanto, la posibilidad de que el campo se anule a la izquierda y a la derecha de
las cargas.
Eជ1
Eជ2
Q1
Eជ1
Q2
2 μC
Eជ2
−3 μC
Eជ1
Eជ2
El primer punto en el que el campo, vectorial, se anula tiene que estar situado a la izquierda de la primera
carga y a una distancia x de ella. En ese punto los sentidos de los campos que generan cada carga son opuestos
y los módulos iguales:
Q
Q
K ⋅ ⏐ 21⏐ = K ⋅ ⏐ 2⏐ 2 → ⏐ Q1⏐ ⋅ (x+2)2 = ⏐ Q2⏐ ⋅ x 2 → 2 ⋅ 10−6 ⋅ (x + 2)2 = 3 ⋅ 10−6 x 2 → x 2 − 8 x − 8 = 0
x
( x + 2)
De las dos soluciones solo tiene sentido la positiva:
x = 8,9 m
El segundo punto en el que el campo se podría anular está situado a la derecha de la segunda carga
y a una distancia y de ella. La carga de la izquierda es menor en valor absoluto y está a mayor distancia;
el campo que genera a la derecha de la segunda carga será siempre de módulo menor que el que genera
la segunda carga. Por tanto, en esa semirrecta el campo no se anula.
El único punto donde se anula el campo es 8,9 m a la izquierda de la primera carga.
b) Calcula el punto de la recta que pasa por las cargas donde se anula el potencial eléctrico.
El potencial eléctrico en un punto situado a la izquierda de la primera carga a distancia x es la suma
del potencial que genera cada carga:
V = V1 + V2 = K
Q1
Q2
+K
x
x +2
Para que el potencial en ese punto se anule debe ocurrir que:
Q1
Q
= − 2 → Q1 ⋅ (x+2) = −Q2 ⋅ x → 2 ⋅ 10−6 ⋅ (x + 2) = 3 ⋅ 10−6 x →
x
x +2
→x=4m
El potencial eléctrico en un punto situado entre las dos cargas y a distancia y de la primera es:
V = V1 + V2 = K ⋅
Q1
Q2
+K ⋅
y
2− y
Para que el potencial en ese punto se anule debe ocurrir que:
Q1
Q2
=−
→ Q1 ⋅ (2 − y) = −Q2 ⋅ y → 2 ⋅ 10−6 ⋅ (2 − y) = 3 ⋅ 10−6 y →
y
2− y
→ y = 0,8 m
A la derecha de la segunda carga el potencial no se anula porque la carga positiva es menor
que la negativa y está mas lejos.
En resumen, el potencial eléctrico en este sistema se anula a la izquierda de la primera carga en un punto
situado a 4 m de ella, y entre las cargas en un punto que dista 0,8 m de la carga de la izquierda.
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FICHA 2
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS
NOMBRE:
6
Página 633
CURSO:
FECHA:
Seis cargas están situadas en los vértices de un hexágono regular de lado 2 cm centrado en el origen
de coordenadas. El valor absoluto de todas las cargas es de 3 mC, pero las tres de la izquierda
son negativas, mientras que las tres de la derecha son positivas.
SOLUCIÓN
a) Calcula la intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.
El módulo del campo eléctrico generado por cada una de las cargas de igual valor absoluto, 3 ⋅ 10−3 C,
y a la misma distancia, 0,02 m, del origen es:
2
Q
3 ⋅ 10−3 C
9 N⋅m
⋅
= 135
, ⋅ 109 N/C
E 1⏐ = K ⋅ 2 = 9 ⋅ 10
⏐ជ
d
C2
0, 02 m2
La dirección y el sentido de cada fuerza es la indicada en el dibujo.
El campo eléctrico resultante es la suma vectorial de las campos
generados por cada una de las seis cargas. La componente vertical
del campo creado por la carga positiva del primer cuadrante
se compensa con la componente vertical de la carga del cuarto
cuadrante. Y la componente vertical del campo creado por la carga
negativa del segundo cuadrante se compensa con la componente
vertical de la carga negativa del tercer cuadrante. Por tanto, el campo
eléctrico resultante tiene solo componente horizontal.
El campo creado por las dos cargas que están en el eje horizontal
es igual en módulo, dirección y sentido.
Las componentes horizontales de las cuatro cargas que no están
en el eje también son iguales en módulo y signo. Por tanto:
+3 μC
−3 μC
−3 μC
60°
+3 μC
−3 μC
+3 μC
⎛ Q
⎛ Q
⎞
⎞
Eជ= 2 ⋅ ⎜⎜⎜K ⋅ 2 (−iជ)⎟⎟⎟ + 4 ⋅ ⎜⎜⎜K ⋅ 2 ⋅ cos 60° (−iជ)⎟⎟⎟ →
⎝ d
⎝ d
⎠
⎠
9
9
9 ជ
ជ
ជ
→ E = (−2 ⋅ 1,35 ⋅ 10 − 4 ⋅ 1,35 ⋅ 10 ⋅ 0,5) i = −5,4 ⋅ 10 i
El campo en el origen tiene módulo 5,4 ⋅ 109 N/C, dirección horizontal y sentido negativo.
b) Calcula el potencial eléctrico en el origen de coordenadas.
El potencial eléctrico en el origen es la suma de los potenciales creados por cada carga.
Como las cargas son idénticas en valor absoluto, están a la misma distancia del origen,
y la mitad de ellas son positivas, y la otra mitad, negativas, la suma es cero.
7
Los puntos A, B, C y D forman los vértices de un cuadrado de lado 5 cm. Una carga de 6 mC
está situada en cada uno de los puntos A y B.
SOLUCIÓN
a) Calcula el trabajo que debemos realizar si queremos trasladar una carga de 2 μC
desde el punto C hasta el punto D.
La simetría del problema sugiere que el trabajo es cero. En efecto, como el campo eléctrico
es conservativo, el trabajo que se necesita para trasladar una carga Q = 0,002 C entre dos puntos
de igual potencial eléctrico es nulo.
En el punto C el potencial eléctrico es la suma de los potenciales creados por las cargas QA y QB
de 0,006 C cada una que están situadas a (0, 05 ⋅ 2 ) = 0,07 m y 0,05 m, respectivamente:
VC = VA + VB = K ⋅
2
QA
Q
N ⋅ m2 6 ⋅ 10−3 C
6 ⋅ 10−3 C
9 N⋅m
+ K ⋅ B = 9 ⋅ 109
⋅
+
⋅
⋅
= 3, 08 ⋅ 108 V
9
10
dA
dB
C2
0, 07 m
C2
0, 05 m
continúa 앶앸
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AMPLIACIÓN con soluciones
FICHA 2
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICOS
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
En el punto D el potencial eléctrico es la suma de los potenciales creados por las cargas QA y QB
de 0,006 C cada una que están situadas a 0,05 m y (0, 05 ⋅ 2 ) = 0,05 m, respectivamente:
Q
Q
N ⋅ m2 6 ⋅ 10−3 C
N ⋅ m2 6 ⋅ 10−3 C
VD = VA + VB = K ⋅ A + K ⋅ B = 9 ⋅ 109
⋅
+ 9 ⋅ 109
⋅
= 3, 08 ⋅ 108 V
2
dA
dB
C
0, 05 m
C2
0, 07 m
El trabajo que realiza el campo es:
W = −Q ⋅ ΔV = −Q ⋅ (VD − VC) = 0
El que realizamos nosotros será igual y de signo opuesto; y, por tanto, cero también.
b) ¿Qué energía potencial tiene la carga de 2 mC en cada uno de los puntos C y D?
La energía potencial que tiene la carga Q = 0,002 C en el punto C se calcula a través del potencial eléctrico:
EC = Q ⋅ VC = 2 ⋅ 10−3 C ⋅ 3,08 ⋅ 108 V = 6,16 ⋅ 105 J
En el punto D la energía potencial de la carga es la misma que en el C, porque tiene el mismo valor
del potencial eléctrico.
8
En el punto de coordenadas (−3 , 0) m hay una carga de −2 μC. Una segunda carga de 3 μC está situada
en el punto (2 , 0) y una tercera carga de valor desconocido está situada en el punto (4 , 0) m.
SOLUCIÓN
a) Calcula el valor de la carga desconocida si el potencial eléctrico en el origen de coordenadas es nulo.
El potencial en el origen que genera la primera carga es:
Q
N ⋅ m2 −2 ⋅ 10−6 C
V1 = K ⋅ 1 = 9 ⋅ 109
⋅
= −6 ⋅ 103 V
Q1 → (−3 , 0)
d1
C2
3m
El potencial en el origen que genera la segunda carga es:
Q
N ⋅ m2 3 ⋅ 10−6 C
V2 = K ⋅ 2 = 9 ⋅ 109
⋅
= 135
, ⋅ 10 4 V
Q2 → (2 , 0)
d2
C2
2m
Como queremos que el potencial en el origen sea cero, la tercera carga crea un potencial igual a:
0 = V1 + V2 + V3 → 0 = −6 ⋅ 103 V + 1,35 ⋅ 104 V + V3 → V3 = 7,5 ⋅ 103 V
De donde se deduce que:
V3 = K ⋅
Q3
N ⋅ m2 Q3
→ 7, 5 ⋅ 103 V = 9 ⋅ 109
⋅
→ Q3 = 3,33 ⋅ 10−6 C
d3
C2
4m
La carga desconocida es Q3 = 3,33 ⋅ 10−6 C.
b) Calcula la intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.
La carga Q1 crea en el origen de coordenadas un campo eléctrico horizontal y de sentido negativo igual a:
Q
N ⋅ m2 −2 ⋅ 10−6 C ជ
⋅
Eជ1 = K ⋅ 21 ជ
u 10 = 9 ⋅ 109
i = −2 ⋅ 103 ជ
i N/C
d1
C2
32 m2
La carga Q2 crea en el origen de coordenadas un campo eléctrico horizontal y de sentido negativo igual a:
Q
N ⋅ m2 3 ⋅ 10−6 C ជ
⋅
Eជ2 = K · 22 ជ
u 20 = 9 ⋅ 109
(−i ) = −6,75 ⋅ 103 ជ
i N/C
d2
C2
22 m2
La carga Q3 crea en el origen de coordenadas un campo eléctrico horizontal y de sentido negativo igual a:
Q
N ⋅ m2 3, 33 ⋅ 10−6 C ជ
⋅
Eជ3 = K · 23 ជ
u 30 = 9 ⋅ 109
(−i ) = −1,87 ⋅ 103 ជ
i N/C
d2
C2
4 2 m2
El campo eléctrico en el origen es la suma vectorial del que crea cada carga:
Eជ= Eជ1 + Eជ2 + Eជ3 = −2 ⋅ 103 ជ
i − 6,75 ⋅ 103 ជ
i −1,87 ⋅ 103 ជ
i = −1,06 ⋅ 104 ជ
i
Tiene dirección horizontal y sentido negativo, y su módulo es 1,06 ⋅ 104 N/C.
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AMPLIACIÓN con soluciones
FICHA 3
CORRIENTE Y LEY DE OHM
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
3. EJERCICIO RESUELTO
Una corriente de 10 mA llega a una asociación de dos
resistencias de 0,1 y 0,3 Ω, respectivamente, que están
unidas en paralelo entre sí y en serie con otra de 0,2 Ω.
Calcula:
a) La diferencia de potencial entre los extremos
de cada resistencia.
b) La intensidad de corriente que circula por cada
resistencia.
R1 = 0,1 Ω
A
B
C
R3 = 0,2 Ω
R2 = 0,3 Ω
SOLUCIÓN
a) El sistema de resistencias lo forman dos resistencias R1 = 0,1 Ω y R2 = 0,2 Ω asociadas en paralelo,
y una tercera resistencia R3 = 0,2 Ω asociada en serie a las otras dos.
La resistencia equivalente a la asociación en paralelo de las resistencias de 0,1 y 0,3 Ω verifica:
1
Requiv.
=
1
1
1
1
1
+
→
=
+
→ Requiv. = 0,075 Ω
0,1 Ω
0, 3 Ω
R1
R2
Requiv.
Como esta asociación está conectada en serie con la tercera resistencia, la resistencia del sistema es:
R = Requiv. + R3 = 0,075 Ω + 0,2 Ω = 0,275 Ω
La intensidad de corriente que llega al sistema es de 10 mA. La ley de Ohm permite calcular la diferencia
de potencial entre los puntos A y C:
VC − VA
→ VC − VA = I ⋅ R = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,275 Ω = 2,75 ⋅ 10−3 V
R
Esta diferencia de potencial se reparte entre los extremos A y B y los extremos B y C:
VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA)
I=
La diferencia de potencial entre los extremos de las dos resistencias que están en paralelo es:
VB − VA = I ⋅ Requiv. = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,075 Ω = 7,5 ⋅ 10−4 V
La diferencia de potencial en los extremos de la tercera resistencia es:
VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA) → 2,75 ⋅ 10−3 V = (VC − VB) + 7,5 ⋅ 10−4 V →
→ (VC − VB) = 2, 75 ⋅ 10−3 V − 0,75 ⋅ 10−3 V = 2 ⋅ 10−3 V
Y coincide con el resultado calculado por la ley de Ohm:
VC − VB = I ⋅ R3 = 10 ⋅ 10−3 A ⋅ 0,2 Ω = 2 ⋅ 10−3 V
b) Cuando la corriente llega a la bifurcación de las resistencias en paralelo se reparte entre las dos ramas
verificando siempre la ley de Ohm:
V − VA
7, 5 ⋅ 10−4 V
I1 = B
=
= 7, 5 ⋅ 10−3 A = 7,5 mA
R1
0,1 Ω
I2 =
7, 5 ⋅ 10−4 V
VB − VA
=
= 2, 5 ⋅ 10−3 A = 2,5 mA
0, 3 Ω
R2
La suma de las intensidades de cada rama es la intensidad de corriente que atraviesa el sistema de resistencias:
I = I1 + I2 = 7,5 mA + 2,5 mA = 10 mA
La intensidad de corriente que pasa por la tercera resistencia, asociada en serie a las otras dos, coincide
con la intensidad de corriente total 10 mA.
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AMPLIACIÓN con soluciones
FICHA 3
CORRIENTE Y LEY DE OHM
NOMBRE:
9
CURSO:
FECHA:
La resistividad del cobre a 20 °C es de 1,67 ⋅ 10−8 Ω⋅ m.
SOLUCIÓN
a) ¿Cuál es la longitud de un cable de dicho material de 0,5 Ωde resistencia y 0,01 cm2 de sección?
La resistencia que un material ofrece al paso de la corriente eléctrica por él es mayor cuanto mayor sea
su longitud y menor sea su sección. Para el cable de cobre a 20 °C de sección 1 ⋅ 10−6 m2 se tiene:
R=ρ
L
L
→ 0, 5 Ω = 1, 67 ⋅ 10−8 Ω ⋅ m ⋅
→ L = 29, 9 m
s
1⋅ 10−6 m2
La longitud del cable de cobre es 29,9 m.
b) La resistividad del cobre aumenta de manera lineal según la expresión ρ = ρ20 ⋅ [1 + α⋅ (t −20 °C)],
siendo αuna constante dependiente del material llamada coeficiente de temperatura.
Para el cobre α = 3,9 ⋅ 10−3 °C−1. Calcula la resistencia de un cable con la longitud y sección
del cable del apartado anterior cuando su temperatura pase de 20 a 50 °C.
La resistividad del cobre varía al cambiar su temperatura según la expresión:
ρ = ρ20 ⋅ [1 + α (t − 20)] = 1,67 ⋅ 10−8 Ω ⋅ m ⋅ [1 + 3,9 ⋅ 10−3 °C−1 ⋅ (50 − 20 °C)] = 1,87 ⋅ 10−8 Ω ⋅ m
Por tanto, la resistencia del cable de cobre a 50 °C de temperatura es:
R=ρ
10
L
29, 9 m
= 187
, ⋅ 10−8 Ω ⋅ m ⋅
= 0, 56 Ω
s
1⋅ 10−6 m2
Tenemos una asociación de resistencias en paralelo
con tres ramas. En la rama superior hay una resistencia
de 0,2 Ωunida en serie con una resistencia de 0,3 Ω.
En la rama del medio solo hay una resistencia
de 0,5 Ω. En la rama inferior hay una resistencia de 0,1 Ω
unida a otra resistencia de valor desconocido.
Si a dicha asociación de resistencias llega una corriente
de 1,8 A y el voltaje entre sus extremos es de 0,2 V,
calcula el valor de la resistencia desconocida.
R1 = 0,2 Ω
R2 = 0,3 Ω
R3 = 0,5 Ω
R4 = 0,1 Ω
R5
SOLUCIÓN
La resistencia equivalente R a la asociación de resistencias descrita debe cumplir la ley de Ohm, luego:
I=
ΔV
ΔV
0, 2 V
→R=
=
= 0,11 Ω
R
I
18
, A
La asociación de resistencias tiene tres ramas en paralelo. En la primera de las ramas hay dos resistencias R1 y R2
conectadas en serie. Su suma indica la resistencia de la rama:
R1 + R2 = 0,2 Ω + 0,3 Ω = 0,5 Ω
En la segunda de las ramas hay una resistencia de R3 = 0,5 Ω. Y en la tercera rama hay dos resistencias R4 y R5
conectadas en serie:
R4 + R5 = 0,1 Ω + R5
Se cumple:
1
1
1
1
1
1
1
1
=
+
+
→
=
+
+
→
111
0, 5 Ω
0, 5 Ω
0,1 Ω + R5
R
R1 + R2
R3
R4 + R5
, Ω
1
→5=
→ R5 = 0,1 Ω
0,1 + R5
La resistencia desconocida es de 0,1 Ω.
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AMPLIACIÓN con soluciones
FICHA 3
CORRIENTE Y LEY DE OHM
NOMBRE:
11
CURSO:
Dos bombillas están asociadas en serie. La intensidad
de corriente que circula por ellas es de 0,5 A.
El sistema está sometido a una diferencia de potencial
en los extremos de 7 V. La primera bombilla tiene
una resistencia de 10 Ω.
FECHA:
A
B
C
10 Ω
SOLUCIÓN
a) ¿Cuál es el voltaje al que está sometida la segunda bombilla?
La diferencia de potencial en un sistema de resistencias asociadas en serie es aditiva, es decir:
VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA)
La diferencia de potencial para la primera bombilla verifica la ley de Ohm y es:
VB − VA = I ⋅ R1 = 0,5 A ⋅ 10 Ω = 5 V
El voltaje al que está sometido la segunda bombilla es:
VC − VA = (VC − VB) + (VB − VA) → 7 V = (VC − VB) + 5 V → VC − VB = 2 V
b) ¿Cuál es la resistencia de la segunda bombilla?
Conocida la diferencia de potencial y la intensidad de corriente que atraviesa la segunda bombilla es sencillo
calcular su resistencia:
V − VB
V − VB
2V
I= C
→ R2 = C
=
=4Ω
R2
I
0, 5 A
12
Cuatro resistencias de 1, 2, 3 y 4 Ωestán conectadas en paralelo.
Por la de 2 Ωcircula una corriente de 3 mA.
R1 = 1 Ω
SOLUCIÓN
R2 = 2 Ω
a) ¿Cuál es la intensidad de corriente en las otras resistencias?
Conocida el valor de la segunda resistencia y la intensidad
de corriente que circula por ella podemos calcular
la diferencia de potencial en sus extremos:
ΔV
I2 =
→ ΔV = I ⋅ R2 = 3 A ⋅ 2 Ω = 6 V
R2
R3 = 3 Ω
R4 = 4 Ω
Y como todas las resistencias están conectadas en paralelo, esa diferencia de potencial es la misma para todas
las resistencias del sistema. Así, por cada resistencia pasa una intensidad de corriente diferente e iguales a:
ΔV
6V
ΔV
6V
ΔV
6V
I1 =
=
= 6 A; I3 =
=
= 2 A; I4 =
=
= 15
, A
R1
1Ω
R3
3Ω
R4
4Ω
La intensidad total del sistema es la suma de las intensidades de corriente que circulan por cada una de las ramas:
I = I1 + I2 + I3 + I4 = 6 A + 3 A + 2 A + 1,5 A = 12,5 A
b) Si mantenemos la tensión suministrada pero eliminamos la resistencia de 4 Ω
¿cuál sería ahora la intensidad en las otras resistencias?
Si se mantiene la tensión pero se cambian las resistencias del sistema la intensidad de corriente varía
de manera que se verifique la ley de Ohm para la resistencia equivalente del sistema.
La resistencia equivalente de un conjunto de resistencias conectadas en paralelo verifica:
1
1
1
1
1
1
1
11 −1
=
+
+
=
+
+
=
Ω → R = 109
, Ω
1Ω
2Ω
3Ω
12
R
R1
R2
R3
La intensidad total de corriente es: I =
ΔV
6V
=
= 5, 5 A
R
109
, Ω
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PRUEBAS DE EVALUACIÓN
ELECTRICIDAD
PRUEBA DE EVALUACIÓN 1
1
Tres cargas A, B , y C de −3 , 2 y 5 C están situadas en los puntos (−3 , 0), (0 , 0) y (0 , 2).
C
A
B
a) Calcula la intensidad de la fuerza que sufre la carga B debido a la presencia de A y C.
b) ¿Dónde habría que situar una cuarta carga positiva de 4 C para que la resultante de las fuerzas
que actúa sobre B fuera nula?
2
En el punto de coordenadas (2 , 2) se encuentra situada una carga Q1 de 3 C. En el punto (2 , 0)
hay otra carga Q2 de −5 C. Calcula:
a) La intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas.
b) La energía potencial que adquiere una carga de 2 μC al situarla en el origen de coordenadas.
3
En una cierta región del plano existe un campo eléctrico uniforme horizontal de 15 ⋅ 10−15 N/C.
¿Qué velocidad adquiere un electrón situado inicialmente en reposo en esa región, al cabo de 3 s?
Datos: carga del electrón = 1,6 ⋅ 10−19 C; masa del electrón = 9,1 ⋅ 10−31 kg.
4
Dos resistencias de 4 y 6 Ωestán unidas en serie entre sí y a una asociación de 3 resistencias
de 2, 3 y 4 Ωunidas en paralelo. Si la intensidad que recorre la de 2 Ωes de 0,2 A, calcula:
a) La intensidad que circula por cada resistencia.
b) El voltaje entre los extremos de cada resistencia.
R3 = 2 Ω
R1 = 4 Ω
A
R2 = 6 Ω
B
R4 = 3 Ω
D
C
R5 = 4 Ω
5
Un generador suministra una corriente de 4 A a un motor de 15 V de fuerza contraelectromotriz
y 1 Ωde resistencia interna. Si la resistencia exterior del circuito es de 4 Ω, calcula:
a) La tensión en bornes del generador.
b) El rendimiento del motor.
c) El calor generado por efecto Joule en la resistencia exterior en una hora.
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PRUEBAS DE EVALUACIÓN
ELECTRICIDAD
PRUEBA DE EVALUACIÓN 1: SOLUCIONES
1
a) La fuerza que produce la carga negativa A sobre la carga positiva B
situada en el origen es atractiva, horizontal y hacia la izquierda:
C
N ⋅ m2 (−3) C ⋅ 2 C ជ
q ⋅q
FជA = K ⋅ A B ជ
i = 9 ⋅ 109
i = −6 ⋅ 109 ជ
i N
⋅
2
C2
32 m2
dA
ជ
FA
A
La fuerza que ejerce la carga positiva C sobre la carga positiva B
situada en el origen es repulsiva, vertical y hacia abajo:
B
ជ
F
N ⋅ m2 5 C ⋅ 2 C ជ
q ⋅q
j N
FជC = K ⋅ C B (−jជ) = 9 ⋅ 109
⋅ 2 2 (−j ) = −2,25 ⋅ 1010 ជ
C2
2 m
dC2
La fuerza resultante de la suma vectorial de estas fuerzas es:
Fជ= FជA + FជC = −6 ⋅ 109 ជ
i + 2,25 ⋅ 1010 ជ
j N
ជ
FC
que forma un ángulo con el eje horizontal positivo:
α = arc tg
−22, 5 ⋅ 109
= 255° 4'
−6 ⋅ 109
Y su módulo resulta:
F⏐ =
⏐ជ
(−6 ⋅ 109 )2 + (−22, 5 ⋅ 109 )2 = 23, 3 ⋅ 109 N
b) Hay que situar la cuarta carga positiva en la dirección de la fuerza resultante ya calculada, y en el tercer cuadrante
para que su fuerza repulsiva compense esta resultante.
La distancia al origen debe ser tal que el módulo de la fuerza que ejerce sobre la carga B coincida con el módulo
de la resultante:
q ⋅q
N ⋅ m2 4 C ⋅ 2 C
⋅
F ⏐ = K ⋅ D 2 B → 23, 3 ⋅ 109 N = 9 ⋅ 109
→ dD = 0,57 m
⏐ជ
dD
C2
dD2
Las coordenadas del punto en el que hay que situar la carga positiva D son:
(dD ⋅ cos (255° 4') , dD ⋅ sen (255° 4’)) = (−0,15 , −0,55)
2
a) La carga Q1 positiva, de 3 C y situada a una distancia:
d1 =
22 + 22 = 2, 83 m
en una dirección que forma un ángulo de 225° con el eje positivo horizontal,
genera sobre el origen de coordenadas un campo eléctrico igual a:
Q
i + cos 225° ជ
j )→
Eជ1 = K 21 ⋅ (sen 225°ជ
d1
3C
N ⋅ m2
⋅
⋅ (−0,71iជ− 0,71jជ) =
→ Eជ1 = 9 ⋅ 109
C2
2, 832 m2
i + −2,4 ⋅ 109 ជ
j N/C
= −2,4 ⋅ 109 ជ
La carga Q2 negativa genera sobre el origen de coordenadas un campo
eléctrico vertical y de sentido positivo igual a:
Q1 = 3 C
ជ
E2
ជ
E1
Q2 = −5 C
ជ
E
Q
N ⋅ m2 ( −5) C ជ
⋅ 2 2 (−i ) = 1,125 ⋅ 1010 ជ
Eជ2 = 22 (−iជ) = 9 ⋅ 109
i N/C
d2
C2
2 m
El campo eléctrico en el origen es:
Eជ= Eជ1 + Eជ2 = (−2,4 ⋅ 109 ជ
i − 2,4 ⋅ 109 ជ
j ) + 11,25 ⋅ 109 ជ
i = 8,85 ⋅ 109 ជ
i − 2,4 ⋅ 109 ជ
j N/C
Que es un vector de módulo:
E⏐ =
⏐ជ
+( 8, 85 ⋅ 109 )2 + (−2, 4 ⋅ 109 )2 = 9,17 ⋅ 109 N/C
Y forma un ángulo α con el sentido positivo horizontal:
−2, 4
α = arc tg
= −15° 10'
8, 85
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PRUEBAS DE EVALUACIÓN
ELECTRICIDAD
PRUEBA DE EVALUACIÓN 1: SOLUCIONES (continuación)
b) La energía potencial que adquiere una carga de 2 C situada en el origen es el producto de la carga
por el potencial eléctrico en ese punto. Y el potencial eléctrico en ese punto es la suma de los potenciales
creados por cada carga en el origen.
La primera carga genera un potencial en el origen igual a:
Q
N ⋅ m2
3C
V1 = K ⋅ 1 = 9 ⋅ 109
⋅
= 9, 54 ⋅ 109 V
2
d1
C
2, 83 m
La segunda carga genera un potencial en el origen igual a:
Q
N ⋅ m 2 ( −5 ) C
V2 = K ⋅ 2 = 9 ⋅ 109
⋅
= −2, 25 ⋅ 1010 V
d2
C2
2m
El potencial en el origen es, por tanto:
V = V1 + V2 = 9,54 ⋅ 109 V − 2,25 ⋅ 1010 V = −1,30 ⋅ 1010 V
Y la energía potencial de la carga de 2 C es:
E = Q ⋅ V = 2 C ⋅ (−12,96 ⋅ 109 V) = −2,6 ⋅ 1010 J
3
Un campo eléctrico constante produce una fuerza constante sobre el electrón: Fជ= q ⋅ Eជ
Y esta fuerza constante induce una aceleración constante sobre el electrón. La segunda ley de Newton
asegura que: Fជ= m ⋅ ជ
a . Por tanto: q ⋅ Eជ= m ⋅ ជ
a
Los módulos de los vectores que intervienen en la igualdad anterior han de ser iguales, luego:
1,6 ⋅ 10−19 C ⋅ 15 ⋅ 10−15 N/C = 9,1 ⋅ 10−31 kg ⋅ a → a = 2,64 ⋅ 10−3 m/s2
El movimiento que describe un electrón inicialmente en reposo cuando se le aplica una fuerza constante es
rectilíneo uniformemente acelerado. La velocidad al cabo de 3 s es:
vF = v0 + a ⋅ t = 0 + 2,64 ⋅ 10−3 m/s2 ⋅ 3 s = 7,92 ⋅ 10−3 m/s
4
a) La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia R3 = 2 Ω conocida la intensidad de corriente
I3 = 0,2 A que la atraviesa se calcula mediante la ley de Ohm: VD − VC = I ⋅ R3 = 0,2 A ⋅ 2 Ω = 0,4 V.
Esta diferencia de potencial es la misma para las tres resistencias asociadas en paralelo R3 = 2 Ω, R4 = 3 Ω y R5 = 4 Ω.
b) Sin embargo, la intensidad que pasa por cada resistencia de la asociación en paralelo es diferente:
V − VC
0, 4 V
V − VC
0, 4 V
I4 = D
=
= 0,13 A; I5 = D
=
= 0,1 A
R4
3Ω
R5
4Ω
Y la intensidad que atraviesa el circuito es la suma de la que atraviesa cada rama de la asociación en paralelo:
I = I3 + I4 + I5
La ley de Ohm establece que la diferencia de potencial entre las resistencias conectadas en serie es:
VC − VB = I ⋅ R2 = 0,43 A ⋅ 6 Ω = 2,58 V
VB − VA = I ⋅ R1 = 0,43 A ⋅ 4 Ω = 1,72 V
5
a) La ley de Ohm generalizada permite calcular la intensidad en un circuito con generador y motor es:
ε − ε'
I=
r + r' + R
La tensión en bornes del generador es igual a su fuerza electromotriz menos la caída de tensión
debida a su resistencia interna. Despejando de la ley de Ohm generalizada:
r' ⋅ I + R ⋅ I + ε' = ε − r ⋅ I = VG → VG = 1 Ω ⋅ 4 A + 4 Ω ⋅ 4 A + 15 V = 35 V
b) El rendimiento del motor se calcula dividiendo su potencia útil entre la potencia teórica,
lo que equivale a dividir su fuerza contraelectromotriz entre la tensión en sus bornes:
ε' ⋅ I
ε'
ε'
15 V
15
Rendimiento =
=
=
=
=
= 78, 95 %
VM ⋅ I
VM
ε' + r' ⋅ I
15 V + 1 Ω ⋅ 4 A
19
c) El calor generado por efecto Joule en una hora es:
Q = R ⋅ I2 ⋅ t = 4 Ω ⋅ 42 ⋅ A2 ⋅ 3600 s = 230 400 J
640
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