Documento 2569795

IES Mediterráneo de Málaga
Septiembre 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
UNIVERSIDAD DE CATALUÑA
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE 2012
Responda a CINCO de las siguientes seis cuestiones. En las respuestas, explique siempre
qué quiere hacer y por qué.
Cada cuestión vale 2 puntos.
Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos
que tengan información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.
Serie 4
1 1 k 


1.- Determine el rango de la matriz A =  1 k 1  en función del parámetro k.
k 1 1


[2 puntos]
2.- Sea , f ( x ) =
ax 2
en que a ≠ 0.
x+b
a) Determine si tiene alguna asíntota vertical, en función del parámetro b.
b) Indique el valor de los parámetros a y b para que la función f (x) tenga la recta
y =2x − 4 como asíntota oblicua en +∞.
[1 punto por cada apartado]
x + y − 3z = 2


3.- Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales  2 x + ay − 5 z = 2a + 3 :
2 x − 3 y + (a − 2 )z = 9

a) Calcule el valor o los valores del parámetro a para el cual o para los cuales el sistema
es compatible indeterminado.
b) ¿Cuántas soluciones tiene este sistema cuando a = −3?
[1,5 puntos por el apartado a; 0,5 puntos por el apartado b]
4.- Una fábrica produce cada día x toneladas de un producto A y
40 − 5 x
toneladas de un
10 − x
producto B. La cantidad máxima de producto A que se puede producir es de 8 toneladas. El
precio de venta del producto A es de 100 € por tonelada y el del producto B es 250 € por
tonelada.
a) Construya la función de la variable x que nos proporciona los ingresos diarios, suponiendo
que se vende toda la producción.
b) Calcule cuántas toneladas de cada producto se tienen que producir diariamente para
obtener el máximo de ingresos, y compruebe que es realmente un máximo relativo.
[0,5 puntos por el apartado a; 1,5 puntos por el apartado b]
IES Mediterráneo de Málaga
Septiembre 2012
5.- Considere las siguientes rectas del espacio r :
s:
x − 4 y −1 z − 2
=
=
3
−1
2
Juan Carlos Alonso Gianonatti
x +1
z −1
= y −1 =
,
2
−1
a) Compruebe que son secantes.
b) Calcule la ecuación continua de la recta que las corta y es perpendicular a las dos.
[1 punto por cada apartado]
6.- Dadas la recta y = ax + 1 y la parábola y =3x – x2,
a) Calcule los valores del parámetro a para que sean tangentes.
b) Calcule los puntos de tangencia.
[1,5 puntos por el apartado a; 0,5 puntos por el apartado b]
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Septiembre 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Serie 4
1 1 k 


1.- Determine el rango de la matriz A =  1 k 1  en función del parámetro k.
k 1 1


[2 puntos]
k
k
1 1 k 1
1
1
1
A = 1 k 1 = 0 k −1 1− k = 0 k −1
= 1 ⋅ (k − 1) ⋅ − k 2 − k + 2 ⇒
1− k
k 1 1 0 1− k 1− k 2 0
0 1− k 2 +1− k
(
)
k −1 = 0 ⇒ k = 1


Si A = 0 ⇒ − k 2 − k + 2 = 0 ⇒ k 2 + k − 2 = 0 ⇒ ∆ = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 2) = 9 ⇒ k = − 1 ± 9 ⇒  k = 1


2 ⋅1
k = − 2
∀k ∈ ℜ − {− 2 , 1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3
Si k = −2
1 − 2  1 1 − 2 1 1 − 2
 1

 
 

 1 − 2 1  ≡  0 − 3 3  ≡  0 − 3 3  ⇒ rang ( A) = 2
− 2 1
1   0 3 − 3   0 0
0 

Si k = 1
 1 1 1  1 1 1 

 

1 1 1 ≡  0 0 0  ⇒ rang ( A) = 1
 1 1 1  0 0 0 

 

2.- Sea , f ( x ) =
ax 2
en que a ≠ 0.
x+b
a) Determine si tiene alguna asíntota vertical, en función del parámetro b.
b) Indique el valor de los parámetros a y b para que la función f (x) tenga la recta
y =2x − 4 como asíntota oblicua en +∞.
[1 punto por cada apartado]
a)
x + b = 0 ⇒ x = −b ⇒ f ( x ) =
a (− b )
ab 2
=
⇒ Sin solución ⇒ Asíntota vertical en x = −b
−b+b
0
2
Continuación del Problema 2 de la Serie 4
1
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Septiembre 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
b)
x2
ax 2
a 2
2
∞
ax
a
a
f (x )
a
= lim
=
=
=a⇒
= lim x + b = lim 2
= = lim 2 x
2 = m = lim
x →∞
x
→
∞
x
→
∞
x
→
∞
x
→
∞
b
b
x
1+ 0
x
x + bx ∞
x
x
1+
1+
+b 2
∞
x
x2
x
a=2
x
− 2b
2
2
 2x 2

2 x − 2 x − 2bx
− 2bx ∞
x =⇒
− 4 = lim[ f (x ) − mx ] = lim 
− 2 x  = lim
= lim
= = lim
x →∞
x →∞ x + b
x →∞
x
→
∞
x
→
∞
x b
x+b
x+b ∞


+
x x
− 2b
− 2b − 2b
− 4 = lim
=
=
= −2b ⇒ −2b = −4 ⇒ b = 2
x →∞
b
b 1+ 0
1+
1+
∞
x
x + y − 3z = 2


3.- Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales  2 x + ay − 5 z = 2a + 3 :
2 x − 3 y + (a − 2 )z = 9

a) Calcule el valor o los valores del parámetro a para el cual o para los cuales el sistema
es compatible indeterminado.
b) ¿Cuántas soluciones tiene este sistema cuando a = −3?
[1,5 puntos por el apartado a; 0,5 puntos por el apartado b]
1 1
1
1
−3
−3
a−2
1
A= 2 a
1 = 1⋅
−5 = 0 a−2
= (a − 2 ) (a + 4 ) + 5 = a 2 + 2a − 8 + 5
−5 a+4
2 −3 a−2 0 −5 a+4
 x =1
− 2 ± 16
⇒
2 ⋅1
 x = −3
∀a ∈ ℜ − {− 3 , 1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sist. Compatible Deter min ado
Si A = 0 ⇒ a 2 + 2a − 3 = 0 ⇒ ∆ = 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 3) = 4 + 12 = 16 ≥ 0 ⇒ a =
Si a = −3
1 1 − 3 2  1 1 − 3 2  1 1 − 3 2 

 
 

 2 − 3 − 5 − 3  ≡  0 − 5 1 − 7  ≡  0 − 5 1 − 7  ⇒ rang ( A) = 2 ≠ rang ( A) = 3 ⇒
2 − 3 − 5 9  0 − 5 1 5  0 0
0 12 

 
 
Sistema Incompatible
Contes tan do al apartado b), cuando a = −3 no hay soluciones
2
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Septiembre 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 3 de la Serie 4
a)
Si a = 1
 1 1 − 3 2 1 1 − 3 2 1 1 − 3 2

 
 

 2 1 − 5 5  ≡  0 − 1 1 1  ≡  0 − 1 1 1  ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Num incognitas
 2 − 3 −1 9 0 − 5 5 5 0 0
0 0 

 
 
Sistema Compatible In det er min ado
4.- Una fábrica produce cada día x toneladas de un producto A y
40 − 5 x
toneladas de un producto B. La
10 − x
cantidad máxima de producto A que se puede producir es de 8 toneladas. El precio de venta del producto A
es de 100 € por tonelada y el del producto B es 250 € por tonelada.
a) Construya la función de la variable x que nos proporciona los ingresos diarios, suponiendo que se vende
toda la producción.
b) Calcule cuántas toneladas de cada producto se tienen que producir diariamente para obtener el máximo
de ingresos, y compruebe que es realmente un máximo relativo.
[0,5 puntos por el apartado a; 1,5 puntos por el apartado b]
a)
− 2 x 2 − 5 x + 200
40 − 5 x
200 − 25 x 
20 x − 2 x 2 + 200 − 25 x

=
⋅
=
⋅
I d = 100 x + 250 ⋅
= 50 ⋅  2 x +
50
 50
10 − x
10 − x 
10 − x
10 − x

b)
I '=
(
)
(− 4 x − 5) (10 − x ) + − 2 x 2 − 5 x + 200 = 50 ⋅ − 40 x − 50 + 4 x 2 + 5 x − 2 x 2 − 5 x + 200
dI
= 50 ⋅
dx
(10 − x )2
(10 − x )2
I ' = 50 ⋅
x 2 − 20 x + 75
x 2 − 20 x + 75
2 x 2 − 40 x + 150
=
⋅
I
⇒
=
⇒
⋅
=0⇒
100
'
0
100
(10 − x )2
(10 − x )2
(10 − x )2
20 + 10

x=
= 15

±
20
100
2
x 2 − 20 x + 75 = 0 ⇒ ∆ = (− 20 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 75 = 400 − 300 = 100 ≥ 0 ⇒ x =
⇒
20 − 10
2 ⋅1
x=
=5
2

2
(
)
(2 x − 20) (10 − x ) − 2 (10 − x ) (− 1) x 2 − 20 x + 75 ⇒
d 2I
=
⋅
100
dx 2
(10 − x )4
2
I ''=
I ' ' = 100 ⋅
I ' ' = 100 ⋅
(2 x − 20) (10 − x ) + 2 (x 2 − 20 x + 75) = 100 ⋅ 20 x − 2 x 2 − 200 + 20 x + 2 x 2 − 40 x + 150
(10 − x )3
(10 − x )3
(− 50)
(10 − x )3
=−
5000
(10 − x )3
5000
5000

I ' ' (15) = − (10 − 15)3 = − (− 125) = 40 > 0 ⇒ Mínimo
⇒
⇒
5000
5000
 I ' ' (5) = −
=−
= −40 < 0 ⇒ Máximo
125

(10 − 5)3
x = 5 tm de producto A


 40 − 5 ⋅ 5 = 15 = 3 tm de producto B
 10 − 5
5
5.- Considere las siguientes rectas del espacio r :
x +1
z −1
= y −1 =
,
2
−1
3
IES Mediterráneo de Málaga
s:
Solución Septiembre 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
x − 4 y −1 z − 2
=
=
−1
3
2
a) Compruebe que son secantes.
b) Calcule la ecuación continua de la recta que las corta y es perpendicular a las dos.
[1 punto por cada apartado]
a)
  x = −1 + 2λ
 
r :  y = 1 + λ
 − 1 + 2λ = 4 + 3µ
 2λ − 3µ = 5
− λ − µ = 0


  z = 1 − λ
⇒  1+ λ = 1− µ ⇒  λ + µ = 0 ⇒ 
⇒ µ = −1 ⇒ λ − 1 = 0 ⇒

 1 − λ = 2 + 2µ
λ + 2 µ = −1 λ + 2 µ = −1
  x = 4 + 3µ


 s :  y = 1− µ
 
  z = 2 + 2 µ
λ = 1 ⇒ 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ (− 1) = 5 ⇒ 5 = 5 ⇒ Sistema Compatible Deter min ado, se cor tan en un punto P
b) El punto P de concurrencia de las rectas es el punto de arranque de la recta t, y su vector director, al ser
perpendicular a ambas rectas, es el resultado del producto vectorial de los vectores directores de las dos
rectas
 x = −1 + 2 ⋅ 1

P  y = 1 + 1 ⇒ P(1 , 2 , 0 )
 z = 1−1

i
j k
 v r = (2 , 1 , 1)
⇒ vt = v r × v s = 2 1 1 = 2i + 3 j − 2k − 3k + i − 4 j = 3i − j − 5k

v s = (3 , − 1 , 2 )
3 −1 2
vt = (3 , − 1 , − 5) ⇒ t ≡
x −1
z
= y−2=
−3
−5
4
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Septiembre 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
6.- Dadas la recta y = ax + 1 y la parábola y =3x – x2,
a) Calcule los valores del parámetro a para que sean tangentes.
b) Calcule los puntos de tangencia.
[1,5 puntos por el apartado a; 0,5 puntos por el apartado b]
a)
3 x − x 2 = ax + 1
 x = −1
y' = 3 − 2 x ⇒ 
⇒ 3 x − x 2 = (3 − 2 x ) x + 1 ⇒ 3 x − x 2 = 3 x − 2 x 2 + 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ 
 x =1
 a = 3 − 2x
 x = −1 ⇒ a = 3 − 2 ⋅ (− 1) = 3 + 2 = 5

 x = 1 ⇒ a = 3 − 2 ⋅1 = 3 − 2 = 1
b)
 x = −1 ⇒ y (− 1) = 3 ⋅ (− 1) − (− 1)2 = −3 − 1 = −4 ⇒ (− 1 , − 4 )

x = 1 ⇒ y (1) = 3 ⋅ 1 − 12 = 3 − 1 = 2 ⇒ (1 , 2 )

5