Documento 2569785

IES Mediterráneo de Málaga
Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
UNIVERSIDAD DE CATALUÑA
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA DE JUNIO 2012
Responda a CINCO de las siguientes seis cuestiones. En las respuestas, explique siempre
qué quiere hacer y por qué.
Cada cuestión vale 2 puntos.
Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos
que tengan información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.
Serie 3
1.- Diga para qué valor del parámetro m los planos π1: x − y + mz = 1,
π2: x – y + z = m y π3: my + 2z = 3 tienen como intersección una recta. [2 puntos]
2.- Dadas la recta y = 3x + b y la parábola y = x2,
a) Calcule la abscisa del punto en el cual la recta tangente a la parábola es paralela a la recta dada.
b) Calcule el valor del parámetro b para que la recta sea tangente a la parábola.
[1 punto por apartado]
3.- Dados el plano
π:
 x+ y+z =0
2 x − y + z = 10
x – y + 2z – 5 = 0 y la recta , r : 
a) Calcule el punto de intersección entre el plano y la recta.
b) Calcule la ecuación continua de la recta s que está contenida en el plano
y corta la recta r.
π , es perpendicular a la recta r
[1 punto por apartado].
 3 2
1 − 2 
 y B = 

−1 1
1 3 
4.- Dadas las matrices A = 
a) Compruebe que se cumple la igualdad (A + B) (A – B) = A2 – B2
b) ¿Es cierta esta igualdad para cualquier par de matrices cuadradas A y B del mismo orden?
Responda razonadamente utilizando las propiedades generales de las operaciones entre matrices, sin
utilizar matrices A y B concretas.
[1 punto por apartado]
5.- Un triángulo equilátero de vértices A, B y C tiene los lados de 8 cm. Se sitúa un punto P sobre una de
las alturas del triángulo, a una distancia x de la base correspondiente.
a) Calcule la altura del triángulo de vértices A, B y C.
b) Indique la distancia del punto P a cada uno de los vértices (en función de x).
c) Determine el valor de x para el cual la suma de los cuadrados de las distancias del punto P a cada uno
de los tres vértices sea mínima.
[0,5 puntos por el apartado a; 0,5 puntos por el apartado b; 1 punto por el apartado c]
B
P
A
C
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
6.- Dados los puntos P = (1 , 0 , 0), Q = (0 , 2 , 0), R = (0 , 0 , 3) y S = (1 , 2 , 3):
a) Calcule la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del plano que contiene los
puntos P, Q y R.
b) Compruebe si los cuatro puntos son coplanarios (es decir, si los cuatro están contenidos
en un mismo plano).
[1 punto por apartado]
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Serie 1
1- Dados los planos π 1 : 3x + y − 2z + 15 = 0 y π 2: x + y + 2z −103= 0,
a) Compruebe que son perpendiculares.
b) Encuentre la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax + By + Cz +D = 0) del
plano perpendicular a π 1 y π 2, que pasa por el punto P = (1 , 3 , 2).
[1 punto por cada apartado]
2.- La gráfica de la función f ( x ) = x 9 − x
2
es la siguiente:
a) Encuentre el punto de corte, (a , 0), de la función con la parte positiva del eje OX.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) y el eje OX en el primer cuadrante.
[0,5 puntos por el apartado a; 1,5 puntos por el apartado b]
3.- Sea A una matriz cuadrada de orden n de modo que A2 =O, siendo O la matriz nula
(la formada completamente por ceros).
a) Compruebe que (A + In) 2 = 2 A + In.
b) Compruebe que las matrices B = In – A y C = A + In son una inversa de la otra.
[1 punto por cada apartado]
4.- Un rectángulo está inscrito en el triángulo que tiene los lados en las rectas de ecuaciones
y = x, x + y = 8, y = 0, y tiene un lado sobre la recta y = 0. Encuentre sus vértices para que su superficie sea
máxima.
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5.- Conteste las siguientes preguntas:
a) Explique razonadamente si una matriz de orden 3 y una matriz de orden 2 pueden tener el mismo
determinante.
1
1

b) Considere las siguientes matrices: A = 1 1 − p
1
2

p
1 −1 4 



2  y B = 0 1 p
0 p 4 
p 


Calcule, si es posible, el valor del parámetro p para el cual det A = det B.
[1 punto por cada apartado]
6. Sean
parámetro m.
[2 puntos]
3x + y = 1
. Estudie su posición relativa según el valor del
2 x − y + mz = 1

π : x – 3y + 2z = 1 y r : 
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Serie 3
1.- Diga para qué valor del parámetro m los planos π1: x − y + mz = 1,
π2: x – y + z = m y π3: my + 2z = 3 tienen como intersección una recta. [2 puntos]
Tienen como intersección una recta cuando el sistema que forman sea compatible indeterminado que
significa tener infinitas soluciones o puntos que la determinan
1 −1 m 1 −1 m
 x − y + mz = 1
0 1− m

= − m ⋅ (1 − m ) ⇒
 x − y + z = m ⇒ A = 1 − 1 1 = 0 0 1 − m = 1⋅
2
m
 my + 2 z = 3
0 m 2 0 m
2

m=0

⇒
Si A = 0 ⇒ m ⋅ (m − 1) = 0 ⇒ 
m − 1 = 0 ⇒ m = 1
Si m = 0
1 −1 0 1 1 −1 0 1  1 −1 0 1 

 
 

 1 − 1 1 0  ≡  0 0 1 − 1 ≡  0 0 1 − 1 ⇒ rang ( A) = 2 ≠ rang ( A / B ) = 3 ⇒
 0 0 2 3  0 0 2 3   0 0 0 5 

 
 

Sistema Incompatible
Si m = 1
 1 − 1 1 1  1 − 1 1 1 

 

 1 − 1 1 1  ≡  0 0 0 0  ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Número de incognitas ⇒
 0 1 2 3  0 1 2 3 

 

Sistema Compatible In det er min ado
Cuando m = 1 los tres planos tienen como intersección una recta
2.- Dadas la recta y = 3x + b y la parábola y = x2,
a) Calcule la abscisa del punto en el cual la recta tangente a la parábola es paralela a la recta dada.
b) Calcule el valor del parámetro b para que la recta sea tangente a la parábola.
[1 punto por apartado]
a)
 y' = 2 x
3
⇒ 2x = 3 ⇒ x = ⇒

2
m=3
b)
9
9
3
9 9 9 − 18
9
9
3 3
= − ⇒ y = 3x −
y  =   = ⇒ = 3 ⋅ + b ⇒ b = − =
4
4
2
4 2
4
4
4
2 2
2
1
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3.- Dados el plano
π:
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 x+ y+z =0
2 x − y + z = 10
x – y + 2z – 5 = 0 y la recta , r : 
a) Calcule el punto de intersección entre el plano y la recta.
b) Calcule la ecuación continua de la recta s que está contenida en el plano
y corta la recta r.
π , es perpendicular a la recta r
[1 punto por apartado].
a)
3
3
1
x ⇒ x + y + 5 − x = 0 ⇒ y = −5 + x ⇒
2
2
2
 x = 2λ
3

 1
v r = 1 , , −  ≡ (2 , 1 , − 3) ⇒ r ≡  y = −5 + λ ⇒ 2λ − (− 5 + λ ) + 2 (5 − 3λ ) = 0 ⇒
2
 2
 z = 5 − 3λ

3 x + 2 z = 10 ⇒ 2 z = 10 − 3 x ⇒ z = 5 −
2λ + 5 − λ + 10 − 6λ = 0 ⇒ 15 − 5λ = 0 ⇒ 5λ = 15 ⇒ λ = 3 ⇒
 x = 2⋅3

Punto de int er sec ción P  y = −5 + 3 ⇒ P (6 , − 2 , − 1)
z = 5 − 3 ⋅ 2

b) El vector director de la recta s es perpendicular al vector director del plano π y al de la recta r, lo
calcularemos como el producto vectorial de ambos y además pasara por el punto de corte P hallado
i
j
k
v r = (2 , 1 , − 3)
⇒ v s = v r × vπ = 2 1 − 3 = 2i − 3 j − 2k − k − 3i − 4 j = −i − 7 j − 3k ⇒

vπ = (1 , − 1 , 2 )
1 −1 2
v s = (− 1 , − 7 , − 3) ≡ (1 , 7 , 3) ⇒ s ≡ x − 6 =
y + 2 z +1
=
7
3
2
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 3 2
1 − 2 
 y B = 

−1 1
1 3 
4.- Dadas las matrices A = 
a) Compruebe que se cumple la igualdad (A + B) (A – B) = A2 – B2
b) ¿Es cierta esta igualdad para cualquier par de matrices cuadradas A y B del mismo orden?
Responda razonadamente utilizando las propiedades generales de las operaciones entre matrices, sin
utilizar matrices A y B concretas.
[1 punto por apartado]
a)

 3 2  1 − 2   4 0 
 + 
 = 

 A + B = 
4   8 16 

 − 1 1  1 3   0 4  ⇒ ( A + B ) ( A − B ) =  4 0  ⋅  2
=





4 
0 4   − 2 − 2   − 8 − 8 

 A − B =  3 2  − 1 − 2  =  2
 − 1 1  1 3   − 2 − 2 


 
 

 2  3 2  3 2  7
8
 ⋅ 
 = 

 A = 
8   − 1 − 8   8 16 

 − 1 1   − 1 1   − 4 − 1 ⇒ A 2 − B 2 =  7
=


 − 4 − 1 −  4
7   − 8 − 8 

 
 B 2 = 1 − 2  ⋅ 1 − 2  =  − 1 − 8 
1 3  1 3   4

7 

 
 
Son iguales por lo tanto está comprobado
b)
( A + B )( A − B ) = AA − AB + BA − BB = A 2 − AB + BA − B 2
Se cumplirá la igualdad cuando AB = BA, en caso contrario AB ≠ BA se puede dar ya que las matrices no
cumplen, la mayoría, la propiedad conmutativa o sea no siempre se cumple la igualdad
3
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5.- Un triángulo equilátero de vértices A, B y C tiene los lados de 8 cm. Se sitúa un punto P sobre una de
las alturas del triángulo, a una distancia x de la base correspondiente.
a) Calcule la altura del triángulo de vértices A, B y C.
b) Indique la distancia del punto P a cada uno de los vértices (en función de x).
c) Determine el valor de x para el cual la suma de los cuadrados de las distancias del punto P a cada uno
de los tres vértices sea mínima.
[0,5 puntos por el apartado a; 0,5 puntos por el apartado b; 1 punto por el apartado c]
B
P
A
C
a)

x = 4 3 cm
h 2 + 4 2 = 8 2 ⇒ h 2 = 64 − 16 ⇒ h 2 = 48 ⇒ h = ± 48 ⇒ 
 x = −4 3 ⇒ No es solución del problema
b)

PB = 4 3 − x


 2
PA = x 2 + 16
2
2
2
PA
x
PA
x
4
16
=
+
⇒
=
±
+
⇒


 PA = − x 2 + 16 ⇒ No es solución del problema


PC = PA = x 2 + 16

c)
(
) (
2
S = 4 3−x +
) (x
2
x 2 + 16 +
2
+ 16
) = 48 − 8
2
3 x + x 2 + x 2 + 16 + x 2 + 16 = 3 x 2 − 8 3 x + 80 ⇒
dS
d 2S
8 3
= 6x − 8 3 ⇒ S ' = 0 ⇒ 6x − 8 3 = 0 ⇒ 6x = 8 3 ⇒ x =
⇒ S ' ' = 2 = 6 ⇒ Mínimo ⇒
dx
6
dx
4 3
x=
cm
3
S'=
4
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6.- Dados los puntos P = (1 , 0 , 0), Q = (0 , 2 , 0), R = (0 , 0 , 3) y S = (1 , 2 , 3):
a) Calcule la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del plano que contiene los
puntos P, Q y R.
b) Compruebe si los cuatro puntos son coplanarios (es decir, si los cuatro están contenidos
en un mismo plano).
[1 punto por apartado]
a) El plano π queda determinado por los vectores PQ, PR y PG, siendo G el punto genérico del plano.
Estos tres vectores tienen que ser coplanarios (pertenecer al mismo plano) y, por ello, el vector PG es
combinación lineal de los otros dos, por eso el determinante de la matriz formada por ellos es nulo y la
ecuación pedida del plano.
 PQ = (0 , 2 , 0 ) − (1 , 0 , 0 ) = (− 1 , 2 , 0 )
x −1 y z

 PQ = (0 , 0 , 3) − (1 , 0 , 0 ) = (− 1 , 0 , 3) ⇒ π ≡ − 1 2 0 = 0 ⇒ 6 (x − 1) + 2 z + 3 y = 0 ⇒
 PQ = (x , y , z ) − (1 , 0 , 0 ) = (x − 1 , y , z )
−1 0 3

π ≡ 6x + 3y + 2z − 6 = 0
b)
Para saber si el punto S pertenece al plano hallado, que contiene a P, Q y R, si sustituyendo sus
coordenadas en él cumple su ecuación
6 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 − 6 = 0 ⇒ 6 + 6 + 6 − 6 = 0 ⇒ 12 ≠ 0
El punto S no cumple la ecuación por lo tanto no es coplanario con P, Q y R
5
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Serie 1
1- Dados los planos π 1 : 3x + y − 2z + 15 = 0 y π 2: x + y + 2z −103= 0,
a) Compruebe que son perpendiculares.
b) Encuentre la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax + By + Cz +D = 0) del
plano perpendicular a π 1 y π 2, que pasa por el punto P = (1 , 3 , 2).
[1 punto por cada apartado]
a) Son perpendiculares si lo son sus vectores directores y esto sucederá si sus productos escalares son
nulos
vπ = (3 , 1 , − 2 )
⇒ vπ 1 ⋅ vπ 2 = (3 , 1 , − 2 ) ⋅ (1 , 1 , 2 ) = 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + (− 2 ) ⋅ 2 = 4 − 4 = 0
 1
 vπ 2 = (1 , 1 , 2 )
Los planos
π 1 y π 2 son perpendiculares
b) El vector director del plano α es perpendicular a los vectores directores de π 1 y π 2 , para hallarlo
calcularemos su producto vectorial.
Una vez obtenido el vector director de α , este es perpendicular al vector PG, siendo G el punto generador
del plano y debido a esa condición el producto escalar de ambos vectores es nulo y la ecuación pedida del
plano
i j k
vπ = (3 , 1 , − 2 )
⇒ vα = vπ 1 × vπ 2 = 3 1 − 2 = 2i − 2 j + 3k − k + 2i − 6 j = 4i − 8 j + 2k ⇒
 1
 vπ 2 = (1 , 1 , 2 )
1 1 2

vα = (4 , − 8 , 2 ) ≡ (2 , − 4 , 1)
⇒ vα ⊥ PG ⇒ vα ⋅ PG = 0 ⇒

 PG = (x , y , z ) − (1 , 3 , 2 ) = (x − 1 , y − 3 , z − 2 )
(2 , − 4 , 1) (x − 1 , y − 3 , z − 2) = 0 ⇒ 2 (x − 1) − 4 ( y − 3) + z − 2 = 0 ⇒ α ≡ 2 x − 4 y + z + 8 = 0
2.- La gráfica de la función f ( x ) = x 9 − x
2
es la siguiente:
a) Encuentre el punto de corte, (a , 0), de la función con la parte positiva del eje OX.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) y el eje OX en el primer cuadrante.
[0,5 puntos por el apartado a; 1,5 puntos por el apartado b]
a)
x=0


x =3⇒ a =3
f (x ) = 0 ⇒ x 9 − x 2 = 0 ⇒ 9 − x 2 = 0 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ± 9 ⇒ 


 x = −3 ⇒ No es la solución
Continuación del Ejercicio 2 de la Serie 1
6
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Solución Junio 2012
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b)
3
0
0
A = ∫ x 9 − x 2 dx = ∫ t (− t ) dt = − ∫ t 2 dt = −
0
3
3
[ ]
1 3
t
3
0
3
(− 27 ) = 9 u 2
1
= − ⋅ 0 3 − 33 = −
3
3
(
)
3.- Sea A una matriz cuadrada de orden n de modo que A2 = O, siendo O la matriz nula
(la formada completamente por ceros).
a) Compruebe que (A + In) 2 = 2 A + In.
b) Compruebe que las matrices B = In – A y C = A + In son una inversa de la otra.
[1 punto por cada apartado]
a)
( A + I n )2 = A 2 + 2 AI n + I n 2
 A2 = 0

2
⇒ Como 2 AI n = 2 A ⇒ ( A + I n ) = 0 + 2 A + I n = 2 A + I n
 I 2 =I
n
 n
b) Si son inversas el producto de ellas nos dará la matriz identidad In
B ⋅ C = (I n − A) ( A + I n ) = I n A − A 2 + I n − AI n = A − 0 + I n − A = I n
2
4.- Un rectángulo está inscrito en el triángulo que tiene los lados en las rectas de ecuaciones
y = x, x + y = 8, y = 0, y tiene un lado sobre la recta y = 0. Encuentre sus vértices para que su superficie sea
máxima.
h
L
x
Continuación del Problema 4 de la Serie 1
7
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
h=x


2
h = 8 − ( x + L ) ⇒ x = 8 − ( x + L ) ⇒⇒ x = 8 − x − L ⇒ L = 8 − 2 x ⇒ S = (8 − 2 x ) x = 8 x − 2 x ⇒

S = Lh

dS
= 8 − 4 x = 4 (2 − x ) ⇒ S ' = 0 ⇒ 4 (2 − x ) = 0 ⇒ 2 − x = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S ' ' = −4 ⇒ Máximo
dx
(2 , 0 )
(2 , 2 )
 x=h=2

Vértices
⇒
⇒


L = 8 − 2 ⋅ 2 = 4
(6 , 2 )
(6 , 0 )
S'=
5.- Conteste las siguientes preguntas:
a) Explique razonadamente si una matriz de orden 3 y una matriz de orden 2 pueden tener el mismo
determinante.
1
1

b) Considere las siguientes matrices: A = 1 1 − p
1
2

p
1 −1 4 



2  y B = 0 1 p
0 p 4 
p 


Calcule, si es posible, el valor del parámetro p para el cual det A = det B.
[1 punto por cada apartado]
a) El determinante es un valor real, es pues posible que una matriz de orden 3 tenga el mismo determinante
que una matriz de orden dos. Por ejemplo si los dos determinantes dan valor nulo y así infinitos ejemplos
b=
1
1

1 1 − p
2
 1
A = B ⇒




p
1 1
2 =0 −p
p 0 1
1 −1
0 1
0 p
p
− p 2− p
2 − p = 1⋅
= −(2 − p ) = p − 2
1
0
0
⇒ p − 2 = 4 − p2 ⇒
4
1 p
p = 1⋅
= 4 − p2
p 4
4
−1+ 5

=
=2
p

− 1 ± 25
2
2
2
⇒
p + p − 6 = 0 ⇒ ∆ = 1 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 6 ) = 1 + 24 = 25 ≥ 0 ⇒ p =
−1− 5
2 ⋅1
p =
= −3
2

8
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6. Sean
Solución Junio 2012
Juan Carlos Alonso Gianonatti
3x + y = 1
. Estudie su posición relativa según el valor del
2 x − y + mz = 1

π : x – 3y + 2z = 1 y r : 
parámetro m.
[2 puntos]
Una recta y un plano pueden ser paralelas, que el plano contenga a la recta o que tengan un punto de
intersección.
Estudiaremos el sistema formado por los tres planos, dos de ellos los que determinan la recta
En el primer caso el sistema que obtengamos será incompatible.
En el segundo caso el sistema será compatible indeterminado
Y en el último caso el sistema será compatible de terminado
3 1 0
 3x + y = 1

2 x − y + mz = 1 ⇒ A = 2 − 1 m = −6 + m + 9m − 4 = 10m − 10 ⇒ Si A = 0 ⇒ 10m − 10 = 0 ⇒ m = 1
 x − 3y + 2z = 1
1 −3 2

∀m ∈ ℜ − {1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
La recta y el plano tienen un punto de corte común
Si m = 1
 3 1 0 1  0

 
 2 − 1 1 1 ≡  0
 1 − 3 2 1  1

 
Sistema Compatible
10 − 6 − 2   0 0
0 0
 

5 − 3 − 1  ≡  0 5 − 3 − 1 ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Núm. incognitas
− 3 2 1   1 − 3 2 1 
In det er min ado ⇒ La recta esta contenida en el plano
9