Apuntes Líneas de Transmisión

TEMA 15. LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
15.1 DESCRIPCIÓN GENERAL
Sabemos que las cargas y las corrientes eléctricas producen campos
electromagnéticos. En el capítulo anterior vimos cómo a partir de la expresión general
de las ec. de Maxwell se deduce que los campos electromagnéticos se propagan en
forma de ondas. Estas ondas transportan energía y se propagan a la velocidad de la luz
en el medio transmisor. En el caso de ondas esféricas, el valor de la densidad de energía
(energía por unidad de área) a grandes distancias es muy pequeño, debido al gran valor
que tiene el área de una esfera de gran tamaño centrada en las fuentes.
Una manera de transmitir eficientemente la energía electromagnética desde las
fuentes hasta puntos alejados es guiando las ondas electromagnéticas por “líneas de
transmisión”.
Los tipos más habituales de líneas de transmisión son:
a) El cable coaxial. Consiste en un conductor interno y un revestimiento
coaxial externo separado por un medio dieléctrico, como se muestra
en la figura. En esta estructura los campos eléctricos y magnéticos
están confinados en el dieléctrico. Los cables de TV, cables de
conexión entre ordenadores para transmisión de datos en redes
locales o cables de entrada en instrumentos de medida son ejemplos
de utilización de cable coaxial.
1
b) Línea de dos hilos paralelos. Consiste en un par de alambres
conductores paralelos separados por una distancia uniforme. El
ejemplo típico es el de líneas aéreas telefónicas que unen pueblos y
ciudades.
15.2
ECUACIONES GENERALES DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN
En las líneas de transmisión, en vez de resolver las Ec. de Maxwell y obtener los
valores de los campos eléctricos y magnéticos en el interior de la línea, resulta más
práctico y sencillo obtener las ecuaciones generales de la línea de transmisión a partir de
un modelo circuital, en términos de resistencia, inductancia, conductancia y
capacitancia por unidad de longitud de la línea.
Representaremos esquemáticamente la línea como dos conductores perfectos en
paralelo. La distancia de separación entre los conductores es pequeña comparada con la
longitud de onda de la señal que se propaga.
En Teoría de Circuitos hemos estudiado circuitos cuya longitud era pequeña
comparada con la longitud de onda de la señal que se propagaba. En ese caso, los
elementos del circuito se representaban mediante elementos (resistencia, inducción,
condensador) concentrados en un determinado punto del circuito. Sin embargo, en las
líneas de transmisión, la longitud de la línea puede ser comparable o superior a la
longitud de onda de la señal electromagnética que se propaga. Por ese motivo,
2
representamos la línea con los llamados “elementos distribuidos”, que se definen de la
siguiente manera.
Consideremos un elemento diferencial de la línea, de longitud z . Este elemento
está descrito por los siguientes parámetros distribuidos:

R, la resistencia por unidad de longitud, en /m.

L, la inductancia por unidad de longitud, en H/m.

G, la conductancia entre los dos hilos, ya que el dieléctrico puede tener
pérdidas, por unidad de longitud, en S/m.

C, la capacitancia entre los dos hilos por unidad de longitud, en F/m.
Nótese que R y L son elementos en serie, mientras que G y C lo son en paralelo, como
se muestra en la figura, que representa el circuito eléctrico equivalente de un elemento
z de la línea.
Rz
+
Lz
1
I(z,t)
2
Gz
Cz
+
I(z+z,t)
V(z,t)
V(z+z,t)
-
-
Donde V(z,t) y V(z+z,t) representan los voltajes instantáneos en z y z+z,
respectivamente, y análogamente para I(z,t) e I(z+z,t).
Si aplicamos las Leyes de Kirchoff a este circuito:
I
I
)z  V  ( RI ( z , t )  L )z
t
t
V
V
I ( z  z , t )  I ( z , t )  (GV ( z , t )  C
)z  I  (GV ( z , t )  C
)z
t
t
V ( z  z , t )  V ( z , t )  ( RI ( z , t )  L
(15.1)
En el límite de z  0 , estas ecuaciones se pueden expresar de forma diferencial:
3
V
I
 RI  L
z
t
I
V

 GV  C
z
t

(15.2)
Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones generales de la línea de transmisión.
Si la señal que se propaga depende sinusoidalmente del tiempo, resulta conveniente
utilizar la notación fasorial para poner de manifiesto esa dependencia temporal:


I ( z , t )  ReI ( z )e 
V ( z , t )  Re V ( z )eit
(15.3)
i t
Si se sustituyen estas expresiones en las ecuaciones anteriores (15.2) se puede llegar a
las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo grado de la línea de
transmisión para voltaje e intensidad fasorial:
d 2V
  2V
dz2
d 2I
  2I
2
dz
(15.4)
, donde
    i  (R  iL)(G  iC)
(m-1)
(15.5)
es la constante de propagación, cuya parte real e imaginaria,  y , son las constante
de atenuación (Np/m) y la constante de fase (rad/m). Nótese que la constante de fase
está relacionada con la velocidad de fase mediante:


vf

2
(15.6)

La solución de las ecuaciones anteriores (las de 2º grado) son del tipo:
V ( z )  V0i ez  V0r ez
(15.7)
I ( z )  I 0i ez  I 0r ez
4
que representa la superposición de dos ondas que se propagan en la línea en el sentido
positivo del eje Z (onda incidente) y la otra en el sentido opuesto (onda reflejada).
Se define la impedancia característica de la línea, Z0, como:
Z0 
V0i
V0r
(15.8)
Se puede demostrar que:
V0i
V0r
R  iL
Z0  i   r 
I0
I0
G  iC
15.3
()
(15.9)
LÍNEA DE TRANSMISIÓN EN UN CIRCUITO.
Vamos a estudiar el caso general en el que conectamos una fuente de voltaje
(caracterizada por la amplitud del voltaje, Vg, y por la impedancia interna, Zg) a una
línea de transmisión y ésta termina en una impedancia de carga, ZL.
Zg
IL
+
ZL
Vg
z
z´=l-z
z=0
VL
-
z=l
Figura 15.1
La longitud de la línea es l. En z = 0 se conecta la fuente a la línea de transmisión, y en
z = l se conecta la línea a la impedancia de carga, ZL, como se indica en la figura.
Se puede demostrar que las ecuaciones de la onda de voltaje e intensidad que se
propaga por la línea de la figura toman la forma:
5


IL
Z L  Z 0 ez´  Z L  Z 0 ez´
2
I
I ( z´)  L Z L  Z 0 ez´  Z L  Z 0 e z´
2Z 0
V ( z´) 

(15.10)

donde, por comodidad, se ha realizado el cambio de variable z´= l-z, que es la distancia
a un punto de la línea medida desde la carga, como se indica en la figura. El primer
sumando representa una onda incidente que se propaga hacia la derecha, y el segundo
una onda reflejada que se propaga hacia la izquierda.
La impedancia a una distancia z´ de la carga viene dada por:
Z ( z´) 
15.4
V ( z´)
Z  Z 0 tanh(z ' )
 Z0 L
I ( z´)
Z0  Z L tanh(z ' )
()
(15.11)
COEFICIENTES DE REFLEXIÓN Y RAZÓN DE ONDA ESTACIONARIA.
Hemos comentado, en el apartado anterior, que las ondas de voltaje e intensidad
que se propagan en un línea finita, como la de la figura 15.1, están formadas por la
superposición de una onda incidente y otra reflejada.
Se llama coeficiente de reflexión de voltaje en la carga a la razón de las
amplitudes de las ondas de voltaje reflejada e incidente:
VL 
Z L  Z0
Z L  Z0
(15.12)
Se observa que  1  VL  1 , como es lógico por su definición.
El coeficiente de reflexión de voltaje en la entrada de la línea es:
Vg 
Z g  Z0
(15.13)
Z g  Z0
Nótese que si Z L  Z0 , no hay onda reflejada en la carga. Se dice que la línea de
transmisión está adaptada a la carga. Análogamente, si Z g  Z0 , no hay onda reflejada
en la fuente. Se dice, entonces, que la línea está adaptada a la fuente.
6
En cuanto a las ondas de intensidad, los coeficientes de reflexión en la carga y
en la entrada son:
I L  V L
(15.14)
I g  V g
, respectivamente.
Se puede, ahora, reescribir las ecuaciones (15.10) en función de los coeficientes
de reflexión de voltaje:
V ( z´) 
 1  V e2z´ 
L
ez 
 2l 
Z0  Z g
1  Vg VL e 
Z 0Vg
(15.15)
 1  V e 2z´ 
 z
L
I ( z´) 
e 
 2l 
Z0  Z g
1



V g VL e


Vg
Como la tensión y la corriente en un punto de la línea son, en general, la
superposición de una onda incidente y otra reflejada, habrá puntos de la línea en los que
esta suma será constructiva (máximos) y otros en los que será destructiva (mínimos),
dando lugar a una onda estacionaria.
Se define la razón de onda estacionaria como:
S
15.5
Vmax 1  VL

Vmin 1  VL
(15.16)
LÍNEA DE TRANSMISIÓN SIN PÉRDIDAS
En ese caso se cumple que R=0 y G=0.
Veamos cómo afecta esto a los siguientes aspectos:
a) Constante de propagación:
    i  i LC
 0
(15.17)
   LC
7
b) Velocidad de fase:
vf 

1
1



LC

(15.18)
donde  y  son la permeabilidad magnética y permitividad eléctrica del medio
dieléctrico de la línea de transmisión por el que se propaga la onda de voltaje.
c) Impedancia característica:
Z0 
L
C
(15.19)
d) Ecuaciones de la onda de voltaje e intensidad que se propaga por una línea en un
circuito como en la figura xx.


IL
Z L  Z 0 eiz´  Z L  Z 0 eiz´
2
I
I ( z´)  L Z L  Z 0 eiz´  Z L  Z 0 e  iz´
2Z 0
V ( z´) 


(15.20)
o bien, utilizando los coeficientes de reflexión:
V ( z´) 
Z 0Vg
Z0  Z g
e
 i z
 1  V e 2iz´ 
L

 2 il 
1





V g VL e
 1  V e  2iz´ 
Vg
 i z
L
I ( z´) 
e 
 2 il 
Z0  Z g
1





Vg VL e
(15.21)
e) Impedancia de la línea a una distancia z´ de la carga:
Como tanh(iz´)  i tan(z´) , se tiene que
Z ( z´)  Z 0
Z L  iZ0 tan(z ' )
Z 0  iZ L tan(z ' )
(15.22)
De modo que, la impedancia de la línea en la entrada (z = 0 , z´ = l):
Z ENT  Z ( z´ l )  Z 0
Z L  iZ 0 tan(l )
Z 0  iZ L tan(l )
f) Potencia transmitida a la carga:
8
(15.23)
La definición de potencia en cualquier punto de la línea es P 
 
1
Re VI * , de
2
modo que la potencia transmitida a la carga será:
P( z´ 0) 
Si

1
*
Re V  z´ 0I z´ 0
2

(15.24)
empleamos las ecuaciones de voltaje e intensidad en función de los
coeficientes de reflexión:




*
Z0Vg2
1
 1  VL 1  VL 
*
P( z´  0 )  Re V z´  0 I z´  0  
Re
2
2 
2
2Z0  Z g 
 1  Vg VL e 2il 




(15.25)
9