Unidad 2 Problemas explicados

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UNIDAD 2
PROBLEMAS EXPLICADOS
Unidad 2
Problema 7 explicado
7) La región esférica caracterizada por a < r < b tiene una carga por unidad de volumen  = A/r, en donde A
es una constante. En el centro de la cavidad interna (r = 0) hay una carga Q. Calcule el valor de A para que el
campo eléctrico en la región a < r < b tenga una magnitud constante.
La superficie S1 es una un superficie esférica matemática de
radio r < a en cuyo interior está la carga puntual Q ubicada
exactamente en su centro. Aplicando la ley de Gauss, obtenemos
la solución que ya conocemos: El campo de una carga puntual
está dado por la ley de Coulomb.
La superficie S2 es una un superficie esférica matemática de
radio r tal que a < r < b en cuyo interior está la carga puntual Q
ubicada exactamente en su centro. Esta superficie cerrada
contiene parte de la carga de la región esférica., dependiendo del
volumen abarcado. Si aplicamos la ley de Gauss, obtenemos:

  1
E
  dS  Q    dV
s2
o

En todos los puntos de S2 el campo eléctrico es perpendicular a la superficie y tiene el mismo módulo ya
que es función sólo de r y su dirección es radial. Es decir, para la simetría esférica de esta distribución se

cumple que: E  Er (r ) rˆ
En general, para una distribución cualquiera el campo eléctrico
expresado
en
coordenadas
esféricas
sería:

Pero en el caso
E  Er (r, , ) rˆ  E (r, , )ˆ  E (r, , ) ˆ
de una distribución con simetría esférica las componentes E y E
deben ser nulas. Supongamos que en un punto de S2 el campo no
fuera radial. En este caso tendría una componente tangencial a la
superficie esférica. Esto se podría deber a que la región A contiene
más carga que la región B. Dicho de otro modo, un campo como el
que se muestra en la figura nos permitiría distinguir, por asimetría,
las dos mitades A y B de la distribución esférica. Pero si la
distribución esférica tiene simetría esférica, esto es absurdo.
Conclusión: El vector tiene que tener dirección radial.
Pero además de tener dirección radial, esta única componente del
campo sólo puede ser función de la coordenada radial r y debe ser
independiente de cualquiera de las coordenadas angulares. Si el
campo dependiera de alguna de las coordenadas angulares su módulo
sería distinto en distintos puntos de la esfera. Esto nos permitiría
diferenciar entre los puntos U, V y W de la esfera y eso sólo podría
ocurrir si la simetría de la distribución no fuera esférica. Conclusión:
El campo sólo es función de la coordenada r.
Volvamos a la ley de Gauss…
r

1 
A
2
ˆ
ˆ
E
r

dS
r

Q

4

r
dr


r
S2
a r
0 

Ya que la densidad de carga sólo es función de r y esto le da simetría esférica a la distribución podemos
simplificar la integral de volumen que en general debe ser una integral triple y convertirla en una integral
2
simple de una sola variable. La integral de volumen, en general, habría que plantearla así:
2
pero como en nuestro caso la densidad de carga sólo es función de r (en esto
  r sen dr d d
consiste que la distribución tenga simetría esférica), entonces:
r

2
a
0
0
2
 r dr send  d
Volviendo a la ley de Gauss:
r

1 
E
dS

Q

4

A
rdr

S2 r

0 
a

E r  dS 
S2


 r 2 a 2 
1 
  
Q

4

A

0 
2 
 2
E r 4r 2 
 r 2 a 2 
1 
  
Q

4

A

0 
2 
 2
Dado que el campo y el diferencial de superficie son vectores paralelos, su producto escalar es igual al
producto de sus módulos. Además como el campo tiene el mismo módulo en todos los puntos de la
superficie S2 podemos considerarlo constante en la integral de superficie y sacarlo fuera del integrando.
Por otra parte la integral de superficie que queda, no es otra cosa que el valor de la superficie de una
esfera de radio r. Por último para determinar la expresión del campo sólo falta pasar dicha superficie
dividiendo y volver a asignarle el carácter vectorial:
1 Q
2Aa 2 
 2  2A 

Er 
4 o  r
r 2 

E

1  Q  2Aa 2

 2A  rˆ
2
4 o 
r

La expresión hallada corresponde al campo eléctrico en la región a < r < b. En la región r < a el campo
corresponde solamente al producido por la carga puntual Q. En la región r > b corresponde a una carga
esférica cuyo valor será Q más el valor de toda la carga contenida en la región a < r < b.
¿Cuál debe ser el valor de la constante A para que el módulo del sea constante en la región a < r < b? Es
decir en dicha región el campo no debe ser función de r. Inspeccionando la expresión hallada, es fácil ver
que para que ello ocurra el primer término dentro del paréntesis debe ser nulo, y por lo tanto:
Q  2Aa2  0 De aquí obtenemos la expresión para A que es la solución del problema:
A
Q
2a 2
Para pensar…
1) ¿Cuál es el valor de la carga total en la región a < r < b?
2) ¿Cuál es la expresión del campo en la región r < a? ¿Cuánto vale el módulo del campo eléctrico en
r = a?
3) ¿Cuál es la expresión del campo en la región r > b? ¿Cuánto vale el módulo del campo eléctrico
en r = b?
4) Realizar un gráfico que represente Er en función de r desde r = 0 hasta r 
5) La función Er = f(r), ¿es continua o discontinua?
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Problema 8 unidad 2 explicado
8)El flujo del campo eléctrico se puede interpretar como el número de líneas de campo que
atraviesan una determinada superficie. Por definición utilizaremos la siguiente equivalencia:
1
Newton
línea
1 2
Coulomb
m
Consideremos una carga puntual positiva q.
a) Demostrar que el número de líneas que atraviesan una superficie esférica de radio r centrada en q
es igual a q/0
b) ¿Qué valor debe tener q para que salgan de ella 1000 líneas?
c) ¿Cuánto vale el flujo de E a través de una superficie esférica centrada en q de radio r = 10 metros?
a) Por la ley de Gauss, sabemos que el flujo del campo eléctrico en una superficie cerrada es proporcional al valor
de la carga encerrada dentro de dicha superficie. Es decir la carga neta que se encuentra en el volumen limitado por

la superficie cerrada:

q
 E  dS  
SC
o

En este caso, por tratarse de una carga puntual: E 
1
q
rˆ
4 o r 2
Si la superficie “gaussiana” se elige de manera que sea una esfera de radio r en cuyo centro se ubica la carga q
puntual, entonces el campo tendrá el mismo módulo en todos los puntos de dicha superficie.
Además la dirección del campo es radial y su sentido “hacia fuera” (si suponemos que la carga q es positiva). El
elemento infinitesimal de superficie se representa por medio de un vector normal a la superficie y con sentido

hacia el exterior. Cuando la superficie es cerrada hay un único sentido posible para el vector dS para cada punto.
Entonces el flujo se puede expresar así:


E

d
S


SC
1
 4
SC
En esta expresión
o
q
1 q
1 q
rˆ  dS rˆ  
dS 
2
2
4 o r
4 o r 2
r
SC
 dS  4 r
2
 dS
SC
es la superficie de la esfera.
SC
Entonces si multiplicamos el módulo del campo eléctrico a una distancia r de la carga puntual por el área de una
esfera de radio r centrada en la carga q, obtenemos el flujo del campo eléctrico. Como el campo se expresa en N/C
pero, convencionalmente, hemos adoptado que esto es lo mismo que líneas/m2, y lo multiplicamos por el área
expresada en m2, lo que obtenemos al calcular el flujo es número de líneas.
  
Newton
líneas
 m2 
 m 2  líneas
2
Coulomb
m
Como  
q
0
, entonces el número de líneas que surgen de la carga q es igual a  
q
0
4
Newton
línea
 1 2 , para que de una carga emerjan 1000 líneas es
Coulomb
m
q
que se puede obtener de

 1000líneas. Es decir
b) Adoptando convencionalmente que 1
necesario
q  1000
que
tenga
un
valor
0
N m
C
 8,85  1012
 8,85  109 C  8,85 nC
2
C
N m
2
2
c) El cálculo del flujo que hemos realizado en el ítem (a), nos muestra que dicho flujo es independiente del radio de
la esfera. En efecto:


   E  dS 
SC
1
 4
SC
o
q
1 q
1 q
rˆ  dS rˆ  
dS 
2
2
4 o r
4 o r 2
r
SC
1
 dS  4
SC
o
q
q
 4 r 2 
2
0
r
Esto es así, ya que según la ley de Coulomb el campo de una carga puntual es inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia r. Mientras que la superficie de una esfera centrada en q es directamente proporcional al
cuadrado de la distancia r. Es decir:
1
q
q
 4 r 2 
2
 o 4 r
o
En este cálculo podemos apreciar la razón práctica por la cual se acostumbra escribir la constante de la ley de
Coulomb en la forma
1
4 o
. Además vemos que para que la ley de Gauss sea válida, el exponente de la distancia
r en la ley de Coulomb debe ser necesariamente 2.
Por otra parte, si interpretamos al flujo como el número de líneas que atraviesa la superficie, es fácil ver que ese
número no puede depender del radio de la esfera. Si de la carga q salen 1000 líneas que se dirigen hacia el infinito,
cualquier esfera de radio arbitrario será atravesada por esas 1000 líneas.
Si la esfera no está centrada en la carga q, también será atravesada por esas 1000 líneas. Por lo tanto el flujo del
campo eléctrico será el mismo a través de una esfera que encierre a la carga q aunque dicha carga no esté ubicada
en su centro.
Si la superficie “gaussiana” (Cerrada) no tiene forma esférica, si no cualquier otra forma arbitraria y la carga q está
en cualquier punto interior, el número de líneas que atraviese a la SC será el mismo. El flujo del campo eléctrico es
independiente del tamaño y de la forma de dicha superficie.
Unidad 2 Problema 12 explicado
"Un globo esférico tiene una carga Q constante distribuida sobre su superficie. A medida que se
infla el globo, ¿Cómo varía el campo eléctrico en el interior, exterior y sobre la superficie del
globo?"
a) El campo en el interior del globo es nulo. Si tomamos cualquier superficie gaussiana interior al globo
(no tiene que ser esférica) la carga encerrada es cero, por lo tanto según la ley de Gauss el flujo de E a
través de dicha superficie es nulo. Es decir dicha superficie no es atravesada por líneas de campo 1 y eso es
porque no hay campo.
Así que aunque el radio del globo aumente, el campo seguirá siendo cero. Es decir, en el interior del
globo el campo eléctrico es nulo y se mantiene nulo mientras el globo se infla.
b) En el exterior, es decir para cualquier r > Rglobo, el campo es igual al campo de una carga puntual ya
que la distribución tiene simetría esférica. El campo es directamente proporcional a la carga Q e
inversamente proporcional a la distancia al cuadrado r2, desde el centro del globo hasta el punto “campo”.
1
¿Es posible en algunos casos que el flujo sea cero pero sin embargo el campo no sea cero?
5
Es decir, es independiente del radio del globo, por lo tanto mientras el globo se infla el campo en un
punto exterior a una distancia r > Rglobo se mantiene constante aunque Rglobo varíe.
c) El campo en un punto de la superficie del globo es igual al campo de una carga puntual a una distancia
r = Rglobo del centro. Como la carga se mantiene constante y ahora r2 aumenta mientras se infla el globo,
entonces E en la superficie disminuye. Otra forma de ver esto es la siguiente:
Q

. Mientras el globo se infla la densidad superficial de carga 

2
4  o R
 o 4 Rglobo  o
disminuye y por lo tanto E disminuye.
E
1
Q

2
globo
1
En el 1er parcial del 1er cuatrimestre del 2011, tomé un problema que es una variante…va el
enunciado y una explicación resumida..
3) Un globo esférico tiene una carga Q constante distribuida sobre su superficie exterior. A medida
que se infla el globo…
a) el campo eléctrico sobre la superficie exterior del globo, ¿aumenta, disminuye o permanece
constante?
b) el potencial eléctrico, respecto a , en el centro del globo, ¿aumenta, disminuye o permanece
constante?
3) a) El campo de una esfera cargada para puntos exteriores a la esfera, r  Rglobo, es igual al campo de

una carga puntual E 
E
1
Q
2
4 o Rglobo
1
Q
rˆ . Entonces en la superficie exterior, r = Rglobo, el módulo del campo es
4 o r 2
. A medida que el globo se infla, Rglobo aumenta y por lo tanto E disminuye.
b) El potencial de una esfera cargada para puntos exteriores a la esfera, r  Rglobo, es igual al potencial de
Q
, considerando que para r  , V 0. Como el campo en el interior del
4 o r
globo es nulo, el potencial es constante. Es decir, el potencial tienen el mismo valor en la superficie del
globo y en todos los puntos interiores incluyendo, por supuesto al centro, r = 0. Entonces el potencial en
1
Q
el centro del globo es V 
. A medida que el globo se infla, Rglobo aumenta y por lo tanto V
4 o Rglobo
disminuye.
una carga puntual, V 
1
Esta respuesta al ítem b, me condujo a otra pregunta, como debería suceder siempre en la ciencia…Si el
potencial es el trabajo por unidad de carga que hay que realizar para traer a una carga de prueba desde el
infinito hasta el centro del globo ¿por qué “cuesta” menos trabajo traer una carga si el globo está más
inflado?
Es decir, el globo tiene una carga Q y tiene un radio R1. Para traer a una carga qo desde el ∞ hasta r = 0,
1 Qqo
hay que hacer un trabajo W  
.
4 o R12
Si el globo se infla y pasa a tener un radio mayor R2 > R1, entonces ¡hay que realizar un trabajo menor!
¡Para pensar…!