Una carga puntual q se localiza en una cierta región en el espacio

CAMPO ELECTRICO
Una carga puntual q se localiza en una cierta región en el espacio. Como resultado de q,
otra carga puntual qp experimenta una fuerza debido a la ley de Coulomb.
Fk
qq p
r2
rˆ
El módulo (magnitud) y la dirección de Fp depende de la distancia que hay de la carga q a
qp, según el signo de q y qp el sentido de Fp coincidirá o no con el del vector de posición r,
Fp depende también de la magnitud de la carga qp.
r
q+
qp +
r
q
Fp
Fp
_
qp +
r
2q +
qp _
Fp
A la carga q+ le llamamos carga fuente.
A la carga qp+ le llamamos carga de prueba
Nuestro interés de estudio es el efecto que produce en el espacio la carga fuente. Por lo que
eliminaremos de la ley de Coulomb a qp, reescribiéndola de tal forma que nos de:
La fuerza sobre la carga de prueba por unidad de carga de la carga de prueba.
Fp
qp

1
q
rˆ
4 0 r 2
Donde:
Fp es la fuerza ejercida sobre la carga de prueba por la carga fuente
r es la distancia de la carga fuente a la carga de prueba
r̂ es el vector unitario que va de la carga fuente a la carga de prueba
k
1
4 0
 9 x109
N m2
C2
La fuerza por unidad de carga que actúa sobre la carga de prueba localizada en un
punto se conoce como:
CAMPO ELÉCTRICO ( E ) en ese punto.
E
Fp
q p
Sus unidades son
Newton
N

Coulomb C
Como la F es un vector, entonces E es otro vector que tiene la misma dirección que el
vector que le da origen.
El campo eléctrico así definido, no depende de la carga de prueba qp, aunque esté
explícitamente incluida en la definición, ya que esta carga se elimina de E al definirlo como
Fp dividido entre qp.
1
E
Fp
q p

qq p
4 0 r 2
q
rˆ 
rˆ
qp
4 0 r 2
E
q
4 0 r 2
rˆ
Campo eléctrico debido a una carga puntual
Si q es positiva E está dirigido hacia fuera de q
Si q es negativa E está dirigido hacia la carga q
Para determinar el campo eléctrico de un conjunto de n cargas puntuales fuente,
aprovechamos el hecho de que la fuerza ejercida por estas cargas sobre una carga puntual
de prueba qp se suman vectorialmente (principio de superposición).
Sean las cargas puntuales fuente: q1, q2, q3, q4,…., qn entonces:
Fp  Fp1  Fp 2  Fp3  Fp 4  ..... Fpj  ......Fpn
Donde:
Fpj es la fuerza ejercida sobre qp debido a la presencia de qj
Aplicando la ley de Coulomb:
Fp 

q2 q p
q3 q p
q4 q p
q jqp
qn q p
1  q1q p
rˆ1 p  2 rˆ2 p  2 rˆ3 p  2 rˆ4 p  ...... 2 rˆ jp  ..... 2 rˆnp 
2

4 0  r1 p
r2 p
r3 p
r4 p
r jp
rnp

Donde: r̂ jp es el vector unitario que va desde la carga qj a la carga qp.
Dividimos ambos miembros de la igualdad entre qp para obtener E
E
Fp
qp

1
1
4 0 q p
 q1 q p

q2 q p
q3 q p
q4 q p
q jqp
qn q p


r

r

r

r

......

r

.....
r
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2p
3p
4p
jp
np
2
2
2
2
2
 r 2 1p

r
r
r
r
r
2p
3p
4p
jp
np
 1p

Obteniendo:
E

qj
q
q
q
q
1  q1
rˆ1 p  22 rˆ2 p  23 rˆ3 p  24 rˆ4 p  ...... 2 rˆ jp  ..... 2n rˆnp 
2

4 0  r1 p
r2 p
r3 p
r4 p
r jp
rnp

E  E1  E2  E3  E4  ..... EJ  .....En
n
E  E j
j 1
E
1
4 0
n
qj
r
j 1
2
jp
rˆ jp
Campo Eléctrico E en un lugar del espacio
debido a un conjunto de n cargas puntuales
En la ecuación anterior, E es un vector. Su dirección va a estar dada por el signo de la carga
fuente (qj).
Si qj > 0 el campo eléctrico en el punto donde se quiere determinar apunta alejándose de la
carga.
Si qj < 0 el campo eléctrico en el punto donde se quiere determinar apunta hacia la carga.
q+
E
qE
Conocido el campo eléctrico en un punto del espacio, debido a un conjunto de cargas,
podemos determinar la fuerza que estas cargas ejercen sobre cualquier carga q
F=qE
Para calcular la F que ejerce una distribución de cargas sobre una carga q localizada en el
punto P
Punto p
q
F=?
Se calcula primero E en el punto p
E no depende de q
E
Una vez conocido E, encontramos F
F no hace referencia a la distribución de
cargas , solo a E
F= q E
Ejemplo: sean tres cargas puntuales
q1 = + 1 x 10-6 C
q2 = - 2 x 10-6 C
q3 = + 3 x 10-6 C
fijas rígidamente en los vértices de un triángulo isósceles como se muestra en la figura.
a) Determine el campo eléctrico E en el punto medio p de la base del triángulo
b) Una carga puntual q4 = - 4 x 10-6 C se localiza en p ¿Cuál es la fuerza eléctrica que
actúa sobre esta carga?
r3p dirección y -
q3
0.3m
0.2m
0.2m
r31
p
q1
q2
E

q
q
1  q1
rˆ1 p  22 rˆ2 p  23 rˆ3 p 
2

4 0  r1 p
r2 p
r3 p

E
1  q1 ˆ q 2 ˆ q3 ˆ 
i   2 - i   2 - j
4 0  r12p
r2 p
r3 p

 N m2
E  9 x109 
2
 C
x
+
dirección
r2p dirección
x-
6
6
 (1x106 C )

ˆi   (2 x10 C ) - ˆi   (3x10 C ) - ˆj


2
2
2

(0.2m)
(0.3m)

 (0.2m)


N
E  9 x10 9 7.5 x10 5 ˆi  3.33 x10 5 ˆj
C
Para determinar la magnitud utilizamos el Teorema de Pitágoras (dadas las componentes
rectangulares de un vector, calcular su magnitud. En el curso de mecánica)
E  9 x109
7.5x10    3.33x10 
E  7.39 x10 5
5 2
N
C
5 2
 Ey
 E  tan 
 Ex
1
5


1   3.33x10
  tan 
  23.9 0
5
 7.5 x10 

ó
23.90 al S del E
Para calcular la Fuerza, se hace uso de:
F=qE
Su magnitud viene dada por:


N

F  q E  4 x106 C  7.39x105   2.96N
C

Para determinar su dirección, obsérvese que se tiene la multiplicación de un escalar q
(negativo) multiplicado por un vector E, lo que da un nuevo vector F que apunta en
dirección contraria a E. Es decir, F es opuesta al vector E
q3
F
q2
q1
q4

E
CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE CARGAS
A) Distribución lineal de carga (  )
Una distribución uniforme de cargas se da cuando colocamos una serie de cargas una junto
a la otra. El efecto de una gran cantidad de cargas colocadas de esta forma, es como tener
una varilla cargada, en la cual se ha depositado una densidad lineal de carga , definida
como: diferencial de carga por diferencial de unidad de longitud, que se mide en C/m, es
decir:

dq
dx
Distribución lineal de carga
Por lo que:
dq =  dx
dx
dq
Si considerásemos a cada diferencial de carga como una carga puntual, en la figura anterior
se tienen 11 cargas. Cada una de ellas produce un campo eléctrico en un punto p (situado a
la mitad de la línea de cargas formada).
y+
E11
E1
p

r
y
q1
x
q11
x+
El campo eléctrico total E en el punto p viene dado por:
E
11
1
4 0
qj
r
j 1
2
jp
rˆ jp
Es decir:
E

q3
q2
q11
1  q1

r

r

r

..........

r
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
p
2
p
3
p
11
p

4 0  r12p
r22p
r32p
r112 p

Cálculo que se complica ya que se tiene que conocer la distancia de cada una de las cargas
al punto p. Por otro lado, si se tuvieran una infinidad de cargas, el cálculo resulta tedioso.
En estos casos, es mejor trabajar con diferenciales, es decir:
dE 
1
dq
4 0 r 2
Integrando:
E
1
4 0
dq
r
2
rˆ
Campo Eléctrico E en un lugar del espacio
debido a una distribución de cargas
Para una distribución lineal infinita de cargas, se tiene:
dq =  dx
r2 = x2 + y2
sustituyendo
dE 
1

dx
4 0 x  y 2
2

Observando la figura, el vector dE se puede descomponer en sus componentes
rectangulares dEx y dEy
y+
dEy
dE
dEx

r
y
x
Donde:
dEx = - dE sen 
dEy = dE cos 
integrando:
dx
x+
E x  
x 
Ey  
x 
sen dE
x  
x  
cos dE
Donde
dE 
1
dx

4 0 x  y 2
2

Sustituyendo
Ex 
Ey 
1
4 0
1
4 0

x 

x 
x  
x  
dx
sen
x
2
cos
x
2
 y2
dx
 y2


En algunos problemas y para evitar trabajar de más, se debe de aprovechar la simetría del
problema. En este caso, en el eje de las x+ existe un correspondiente dEx del lado opuesto
que anula la contribución de la figura, de tal manera que:
Ex = 0
Aprovechando también la simetría, en el Ey se tiene algo similar, solo que las
contribuciones se suman. Esto lo podemos hacer dividiendo la integral de:
-∞a0
y de
0a+∞
Luego entonces el campo eléctrico total viene dado por:
E  2E y 
2
4 0

x 
x 0
cos
x
dx
2
 y2

Antes de integrar y aprovechando la figura anterior, observe que x y  no son cantidades
independientes, sino que están relacionadas mediante la expresión:
x = y tan 
derivando
dx = y sec2  d
sustituyendo x y dx:
E
2
4 0
E
2
4 0
E
E

x 

x 
2
4 0

x 
2
4 0

x 
x 0
x 0
x 0
x 0
cos

y sec 2  d
y 2 tan2   y 2
cos
y sec 2  d
y 2 1  tan2 
cos
y sec 2  d
y 2 sec 2 
cos
d
y



Como y es una constante, sale de la integral
E
2
4 0
y
x 
x 0
cos d
Incluso, antes de integrar, se deben de cambiar los límites de integración observando que:
Para
x = 0, 
x = ∞, 900
E
2


4 0 y  0
2
cos d
Resolviendo
E
2
4 0 y
sen


2
 0
E

2 0 y
Magnitud de E a una distancia y de un alambre de
longitud infinita y con distribución lineal de carga
Ejemplo: La figura muestra un aro circular de radio a hecho de alambre muy delgado de
cobre. El aro conductor posee una carga positiva q. Determinar el campo eléctrico E en un
punto p sobre el eje del aro a una distancia z de su centro.
ds
a
r

dEz
z
dEy

dE
El aro posee una distribución uniforme de carga, esta puede dividirse en diferenciales de
carga dq localizadas en diferenciales de superficie ds.
El cociente de diferencial de carga dq a la carga total Q, es igual al cociente del
diferencial de superficie ds a la longitud total del segmento (perímetro) 2a, es decir:
dq ds

Q 2a
Por lo que:
dq 
Q
ds
2a
El diferencial de carga dq contribuye al campo eléctrico total E en un dE, el cual se puede
descomponer en sus componentes rectangulares dEz y dEy.
Dada la simetría del problema, el ds opuesto al segmento elegido, contribuye de igual
forma en un dE por lo que los diferenciales de campo dEysuperior y dEyinferior se anularan,
teniendo únicamente que dEz contribuye al campo total E.
De la figura se observa que:
z
z
dEz  dE cos  dE   dE
r
a2  z 2


1
2
Utilizando la expresión de un campo eléctrico para una distribución continua de carga
E   dE 
1
r
r
4 0
2
(forma vectorial)
dq
Donde:
dE 
1
dq
4 0 r 2
(forma escalar)
Sustituyendo la expresión encontrada anteriormente para dq
dq 
Q
ds
2a
Se tiene que el diferencial de campo eléctrico es:
Q
ds
1 dq
1 2a
Q
ds
dE 


2
2
2
2
4 0 r
4 0 r
8  0 a a  z 2


Luego entonces, la componente en z (dEz) del diferencial de campo eléctrico dE, debido al
diferencial de carga dq contenido en el diferencial de superficie ds es:
dEz  dE
a
z
2
 z2


1
2
ds 
z
2
2
2 
2
2
8  0 a a  z
 a z
Q



1
2




Que se reduce a:
dE z 
Qz
ds

8  0 a a 2  z 2
2

3
2
Integrando sobre la longitud del aro
E z   dEz  
Qz
ds

8  0 a a 2  z 2
2

3
2
Haciendo uso del hecho de que a, z y Q son constantes y que pueden salir de la integral, se
tiene:
Ez 
Qz

8  0 a a  z
2
2
2

3
2
 ds
Integral cuyo valor es el perímetro del aro
Ez 
Qz

8  0 a a  z
2
2
2


2
3
2 a 
2
Reduciendo:
Ez 
Qz

4 0 a a 2  z 2
3
El campo eléctrico en forma vectorial viene dado por:
E  E z kˆ
E
Qz

4 0 a a  z
2
2

3
kˆ
2
Campo eléctrico en un punto p
sobre el eje de un anillo cargado
Al realizar una evaluación de la expresión se tiene que:
Para z = 0 (centro del anillo)
E0
Para puntos mucho muy alejados del centro
z >> a
E
Q
4 0 z 2
kˆ
Es decir, se comporta como si fuese una carga puntual
B) Distribución superficial de carga (  )
En este caso tenemos un conjunto de varillas cargadas, las cuales hemos colocado una en
seguida de la otra, de tal manera que formamos una placa cargada.
Se dice que existe una carga por unidad de área (q/A) o también conocida como densidad
superficial de carga ()
dE
dEx
dEz

r
a
y

x
dx
x
La figura anterior muestra una placa cuya carga está distribuida uniformemente sobre todo
el plano (considerado infinito) xy, con una carga por unidad de área o densidad superficial
de carga . Se desea encontrar el campo eléctrico en el punto p a una distancia a del plano.
Para ello, se divide la carga en líneas de carga estrechas de anchura dx, paralelas el eje y.
Cada banda o línea de carga puede considerarse como una carga lineal (ejemplo anterior).
El área de una porción de una banda de longitud L y anchura dx es Ldx; la carga dq en la
banda es
dq = L dx
Entonces la carga por unidad de longitud es:

dq
L
Sustituyendo dq

 L dx
L
  dx
La banda crea un campo eléctrico dE situado en el plano xz, cuya magnitud viene dada por
el problema anterior
dE 
2
4 0 y
Pero en nuestro caso y = r ; y  =  dx
Que al sustituirse queda:
dE 
2( dx)
4 0 (r )
simplificando
dE 
 dx
2 0 r
El campo eléctrico dE está formado por las componentes dEx y dEz donde la contribución al
campo total debido a dEx es nula por la simetría del problema.
De la figura:
dEz = dE sen 
E   dEz 
Con:
sen  
a
r
r2 = a2 + x2
 x sen
dx
2 0 x  r
a
 x  a 2  x 2  2
E   dEz 
dx
2 0 x  a 2  x 2 12
1
E
a
2 0

x 
x  
dx
a  x2

2
a 1
x
E
tan 1
2 0 a
a
E




2 0
Evaluación del resultado anterior
¿Cuál es el campo eléctrico en la cara inferior de la placa cargada?
¿Cuál será el campo eléctrico si la placa tiene una carga negativa? ¿Cuál será la
dirección de este campo?
¿Qué ocurrirá si se colocan dos placas paralelas una a la otra y con cargas iguales?
¿Cómo serán los campos dentro y fuera de las placas?
¿Qué ocurrirá si se colocan dos placas paralelas una a la otra con cargas diferentes?
¿Cómo serán los campos dentro y fuera de las placas? (a este dispositivo se le conoce
como capacitor de placas paralelas)
C) Distribución volumétrica de carga (  )
En este caso tenemos un conjunto de placas cargadas, las cuales hemos colocado una
encima de la otra, de tal manera que formamos un rectángulo cargado.
dE
dEx
dEz

r
a
y

x
dx
x
Se dice que existe una carga por unidad de volumen (q/V) o también conocida como
densidad volumétrica de carga ()

Q
V
La figura anterior muestra un conjunto de placas (no conductoras) cuya carga está
distribuida uniformemente sobre todo el volumen (considerado infinito) xyz, con una carga
por unidad de volumen o densidad volumétrica de carga  Se desea encontrar el campo
eléctrico en el punto p a una distancia a del volumen.
Para ello, se divide la carga en planos de carga de área dxdy, perpendiculares el eje z. Cada
plano de carga puede considerarse como una carga superficial (ejemplo anterior).
El volumen de una porción del cubo de altura dz y área A es Adz; la carga dq en el volumen
es
dq = dv
Entonces la carga por unidad de volumen  es:

dq
dxdydz
FALTA CONTINUAR ……………………
CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
Hasta ahora se ha visto las fuerzas que ejercen las cargas y distribuciones de cargas así
como los campos eléctricos generados.
Ahora el problema por resolver es analizar los efectos que produce un campo eléctrico
sobre una configuración de cargas inmersas en él.
Es decir, dado un campo eléctrico E en el cual se coloca una carga puntual ¿Qué efectos
produce sobre ésta el campo eléctrico?
La fuerza que ejerce un campo eléctrico sobre una partícula cargada es:
F=qE
Como el campo es uniforme, la fuerza será una constante la cual producirá una aceleración
debido a la segunda ley de Newton.
a
F
m
Para entender los efectos, se analiza el movimiento de una partícula cargada de masa m y
carga q que se coloca en un campo eléctrico uniforme E, con una velocidad inicial v0
Primero se analiza el caso en que la velocidad inicial es cero.
+++++++++++++++++++++++
v≠0
E
e_
v0 = 0
-------------------------------La aceleración (vertical) viene dada por:
a
F qE

m
m
Como F y E son constantes, entonces a es una constante
Y se utilizan las ecuaciones de cinemática
v = v0 + a t
y = y0 +v0 t + ½ a t2
v2 – v02 = 2ay
y como v0 = 0, se reducen a:
v  at 
y
qEt
m
1 2 qEt2
at 
2
2m
v 2  2ay 
2qEy
m
La energía cinética (K) después de recorrer una distancia y es:
K
1 2 1  2qEy 
m v  m

2
2  m 
K  qEy
Ejemplo: Analizar el siguiente problema donde un electrón de masa m y carga e- se lanza
perpendicularmente a un campo eléctrico uniforme con una rapidez v0. Describa el
movimiento.
+++++++++++++++++++++++
v0 ≠ 0
E
_
e
--------------------------------