tp - fh reentrega

Objetivos:

Reproducir el experimento de Frank-Hertz para verificar la cuantización de los
niveles de energía de los electrones en un átomo.

Calcular el potencial de contacto del cátodo del dispositivo diseñado para el
experimento Frank-Hertz.

Calcular la energía de ionización del átomo de mercurio.
Introducción
El experimento de Franck y Hertz se realizó por primera vez en 1914 por James
Franck y Gustav Ludwig Hertz. Tiene por objeto probar la cuantificación de los
niveles de energía de los electrones en los átomos. El experimento confirmó el
modelo cuántico del átomo de Bohr demostrando que los átomos solamente podían
absorber cantidades específicas de energía (cuantos). Por ello, este experimento es
uno de los experimentos fundamentales de la física cuántica. Por esta experiencia
Franck y Hertz recibieron el premio Nobel de física en 1925.
En 1913, Niels Bohr propuso un nuevo modelo del átomo, (átomo de Bohr), y de
órbitas de los electrones, que se basaba en el modelo del átomo
de Rutherford (análogo a un sistema planetario). Su modelo tenía cuatro postulados,
uno de ellos era relativo a la cuantificación de las órbitas de los electrones. Así, los
primeros experimentos consistían en poner en evidencia esta cuantificación. Estos
primeros experimentos usaban la luz, y a la época se sabía que esta estaba formada
por "cuantos de energía". Por ello, se reprochaba a Bohr que los resultados de la
cuantificación de las órbitas (y por tanto la cuantificación de los estados de energía de
los electrones del átomo) se debían sólo a la cuantificación de la luz.
En 1914, Franck y Hertz, que trabajaban en las energías de ionización de los átomos,
pusieron a punto una experiencia que usaba los niveles de energía del átomo
de mercurio. Su experiencia sólo usaba electrones y átomos de mercurio, sin hacer
uso de luz. Bohr encontró así la prueba irrefutable de su modelo atómico.
El experimento se basa en dirigir un haz de electrones a través de vapor de mercurio
mediante un triodo (compuesto por un cátodo, una rejilla y un ánodo). El fin del
experimento es hacer colisionar los electrones con los átomos de mercurio y medir la
pérdida de energía de los electrones en las colisiones.
Durante la trayectoria de los electrones, los mismos adquieren energía en forma de
energía cinética aumentando su energía total. Cuando los mismos colisionan con los
átomos de mercurio, si la energía del electrón es la suficiente para que el choque sea
inelástico, el electrón le transfiere energía al átomo de mercurio excitando al mismo y
perdiendo energía cinética durante el choque. Así, el átomo de mercurio pasa a un
nivel de energía mayor o, mejor dicho, a un estado excitado. Cuando el átomo de
mercurio vuelve a su estado fundamental, la energía ganada durante el choque la
libera en forma de radiación (fotones) cuya energía viene dada por la ecuación
E= hf
1
La energía de contacto, es la energía necesaria que debe entregarse a los electrones
del cátodo para poder desprenderlos del mismo y así dirigirlos hacia el ánodo mediante
el campo eléctrico que existe entre el cátodo y la rejilla.
El siguiente, es un esquema del dispositivo utilizando para llevar a cabo el experimento
de Franck-Hertz:
Como puede apreciarse en el esquema, dentro de un tubo se halla un cátodo, un
ánodo, una rejilla y mercurio en estado gaseoso a baja presión y alta temperatura. Se
aplica una diferencia de potencial entre el cátodo y la rejilla a la que llamaremos
tensión de aceleración y se aplica una diferencia de potencial entre la rejilla y el ánodo
a la que llamaremos tensión de frenado. La tensión de aceleración, tiene por objeto,
arrancar electrones del cátodo y dirigirlos hacia la rejilla entregándoles energía en
forma de energía cinética. La tensión de frenado, en cambio, tiene por objeto reducir la
energía cinética de los electrones que logran pasar la rejilla. En el cátodo van a
impactar los electrones que lleguen a la rejilla con la suficiente energía como para
vencer la tensión de frenado.
El objetivo del dispositivo es poder medir con el amperímetro la corriente eléctrica, Ic,
en función del la tensión de aceleración a medida que va variando la misma.
El amperímetro tiene por objeto medir la corriente eléctrica producto de los electrones
que logran vencer la tensión de frenado. La medición que se obtiene corresponde a
corriente vs tiempo. Teniendo en cuenta el circuito equivalente correspondiente al
dispositivo, podemos calcular la tensión de aceleración en función del tiempo como
sigue1:
V a= V 0× (1− e− t )
RC
Mediante la formula de tensión de aceleración en función del tiempo podemos obtener,
a partir de las mediciones de corriente en función del tiempo, la función de corriente en
función de la tensión de aceleración.
1
Ver apéndice para una descripción detallada del calculo de la tensión de aceleración en función del tiempo.
2
El siguiente es un ejemplo del gráfico que se espera obtener:
FIG. 1: Corriente en función del potencial de aceleración.
En la figura 1, los picos del gráfico de corriente en función de la tensión de aceleración
se corresponden con los potenciales de aceleración a los cuales comienzan a presentarse
choque inelásticos entre los electrones y los átomos de mercurio mientras que los valles
corresponden a los potenciales de aceleración a los cuales comienzan a presentarse
choques elásticos. Luego, la diferencia entre dos máximos de corriente se corresponde
con la energía mínima que debe poseer el electrón para que se produzca un choque
inelástico con el átomo de mercurio. En otras palabras, la diferencias entre dos
máximos de corriente es la energía a la cual los átomos de mercurio comienzan a
intercambiar energía y, por ende, se corresponde con la energía de primera excitación
del átomo de mercurio.
Debido a que calcular la energía de primera excitación del átomo de mercurio como la
diferencia de potencial de aceleración presente en dos máximos consecutivos introduce
una incerteza considerable en el resultado obtenido, se adopta el siguiente método para
el cálculo de dicho valor. Se determina el potencial de aceleración para cada máximo
de corriente presente en la medición y se confecciona un grupo de puntos (N, Va),
donde N es el número de pico y Va es la tensión de aceleración asociada. Luego, se
ajusta una recta a los puntos obtenidos. La pendiente de la recta corresponde con la
diferencia de potencial de aceleración que existe entre máximos de corriente y, por
ende, con la energía de primera excitación del átomo de mercurio.
En condiciones ideales, si los electrones estuvieren libres y en reposo, la recta obtenida
debería cruzar el origen de coordenadas o tener una ordenada al origen despreciable.
Pero como los electrones los aporta el cátodo, debe entregar una cierta cantidad de
energía para liberar los electrones del mismo. Dicha energía se denominan potencial de
contacto y se ve reflejada en la recta que se obtiene mediante el ajuste por la ordenada al
orígen que da cuenta de la energía que tiene el electrón inicialmente (cuando el número
de pico es cero).
3
Durante la ionización, el mercurio pasa a ser una carga positiva y los iones son
capturados por el potencial de frenado. De este modo, esperamos un repentino
incremento de la corriente en las mediciones. La siguiente ecuación nos permite
calcular la energía de ionización del mercurio:
V ion= V r− (V f + V c)
donde Vion corresponde con la energía de ionización del mercurio, Vr es la tensión de
aceleración a la cual se dispara el crecimiento de la corriente, Vf es la tensión de
frenado y Vc es el potencial de contacto.
4
Desarrollo
El siguiente gráfico es un esquema del circuito diseñado para llevar a cabo las
mediciones
donde
Vo: Potencial aplicado.
Vf: Potencial de frenado.
Va: Potencial de aceleración.
I: Amperímetro.
L1: Llave de descarga del capacitor.
C: Capacitor de descarga.
En este circuito la llave L1 permite descargar el capacitor C, cuando esta cerrada, y
cargarlo, cuando está abierta, generando así un potencial de aceleración variable en el
tiempo. Cuando la llave esta cerrada y el circuito se encuentra en régimen permanente
el capacitor y el resistor de resistencia de 100 Ohms comparten la misma tensión entre
sus bornes. Dado que el resistor de 10 kOhms posee una resistencia mucho mayor
que la de 100 Ohms la caída de tensión del capacitor es menor al 1% de V 0 y se
considera el capacitor descargado. Al abrirse la llave el capacitor aumenta se carga
hasta llegar a tener una tensión igual a V 0 .
Se llevaron a cabo 7 mediciones. A continuación se listan los resultados arrojados por
cada medición:
5
Medición 1
Condiciones iniciales:
T = 150 ° C
V 0 = 30V
V f = 1,5V
I vs Va
I (µA)
8
6
4
2
0
-2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Va (V)
Va vs N
Va (V)
16
16,64
11,39
12
8
4
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
N
V a (N )= (5,25 N + 0,89)V
Ex = 5,25 V
Vc= 0,83V
Vr= 20,59V
V ion= 20,59 V − (1,50 V + 0,89 V )= 18,20 V
6
Medición 2
Condiciones iniciales:
T = 188 ° C
V 0 = 30V
V f = 1,5V
I vs Va
I (µA)
3
2
1
0
-1
1
0
3
2
5
4
7
6
9
8
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Va (V)
Va vs N
Va (V)
30
25
20
15
10
5
0
26,34
21,37
16,34
11,47
0
1
2
3
4
5
6
N
V a (N )= (4,96 N + 1,51)V
Ex = 4,96 V
Vc= 1,51V
Vr= 29,37V
V ion= 29,37 V − (1,50 V + 1,51 V )= 26,36 V
7
Medición 3
Condiciones iniciales:
T = 190 ° C
V 0 = 30V
V f = 3V
I vs Va
I (µA)
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425
Va (V)
Va vs N
Va (V)
24,00
20,00
16,00
12,00
8,00
4,00
0,00
21,33
16,46
0
1
2
3
V a (N )= (4,87 N + 1,85)V
Ex = 4,87 V
Vc= 1,85V
Vr= 23,31V
V ion= 23,31 V − (3,00 V + 1,85 V )= 18,46 V
8
4
N
5
Medición 4
Condiciones iniciales:
T = 190 ° C
V 0 = 20V
V f = 1,5V
I vs Va
I (µA)
2
1,5
1
0,5
0
-0,5 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Va (V)
Va (V)
Va vs N
20,00
16,11
15,00
11,45
7,42
10,00
5,00
0,00
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
N
V a (N )= (4,35 N + 2,97)V
Ex = 4,35 V
Vc= 2,97 V
Vr= 18,74 V
V ion= 18,74 V − (1,50 V + 2,97 V )= 14,27 V
9
Medición 5
Condiciones iniciales:
T = 160 ° C
V 0 = 40V
V f = 1,5V
I vs Va
I (µA)
8
6
4
2
0
-2 0
5
10
15
20
25
30
35
Va (V)
Va (V)
Va vs N
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
26,56
21,36
15,96
10,77
0
1
2
3
V a (N )= (5,28 N + 0,19)V
Ex = 5,28 V
Vc= 0,19 V
Vr= 31,43 V
V ion= 31,43 V − (1,50 V + 0,19 V )= 29,74 V
10
4
5
6
N
Medición 6
Condiciones iniciales:
T = 162 ° C
V 0 = 40V
V f = 3V
I vs Va
I (µA)
5
4
3
2
1
0
-1 0
5
10
15
20
25
30
35
Va (V)
Va vs N
Va (V)
40,00
32,49
27,22
30,00
21,78
16,50
20,00
10,00
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
N
V a (N )= (5,34 N + 0,46)V
Ex = 5,34 V
Vc= 0,46 V
Vr= 33,77 V
V ion= 33,77 V − (3,00 V + 0,46 V )= 30,31 V
Mediciones - Análisis de la información :
El siguiente cuadro presenta el resultado de las mediciones llevadas a cabo durante el
experimento:
N°
1
2
3
4
5
Medición
T [°C]
Vo [V]
150
188
190
190
160
6
162
Vion [V]
Vf [V]
Vc [V]
Nº Picos
Ex [V]
30
30
30
20
40
1,5
1,5
3
1,5
1,5
18,2
26,36
18,46
14,27
29,74
0,83
1,51
1,85
2,97
0,19
2
4
2
3
4
5,25
4,96
4,87
4,35
5,28
40
3
30,31
0,46
4
5,34
Luego, la energía de primera excitación del átomo de mercurio se calcula como el
promedio del valor de energía de primera excitación obtenido en las 6 mediciones:
Ex = 5,01 V
Lo primero que puede apreciarse en la tabla es que la energía de excitación no varía
considerablemente entre las diferentes mediciones; luego, no depende de las
condiciones iniciales de la medición. Esto sugiere que la energía de excitación es un
valor intrínseco de la partícula que participa en las colisiones. Debido a que las
condiciones iniciales tienen efecto directo sobre la energía que poseen los electrones
durante su trayectoria, la energía de excitación es un valor intrínseco de los átomos de
mercurio.
Tomando en cuenta las mediciones 1 y 2, la tensión inicial y la tensión de frenado se
configuraron con igual valor en ambas mediciones; incrementando únicamente el valor
de la temperatura en la medición 2 respecto de la medición 1. En la medición 2 puede
apreciarse un incremento en el número de máximos de corriente observados respecto
de la medición 1. Esto se debe a que los electrones en la medición 2 poseen mayor
energía en el inicio de su trayectoria por lo que pueden participar en un número mayor
de colisiones inelásticas.
En las mediciones 2 y 3, se mantuvo relativamente constante la temperatura mientras
que se mantuvo constante la tensión inicial aplicada. Sin embargo, se duplicó la
tensión de frenado en la medición 3 respecto de la medición 2. Como consecuencia
directa, puede observarse una disminución en el número de picos presentes en la
medición 3 respecto de la medición 2. Esto se debe a que en la medición 2, los
electrones que participan en las colisiones correspondientes a los dos primeros
máximos de corriente aún poseen energía para vencer el potencial de frenado que
obra entre la rejilla y el ánodo. En cambio, en la medición 3, al duplicarse el potencial
de frenado, los electrones que participan en las colisiones uno y dos correspondientes
a la medición dos no poseen suficiente energía para vencer el potencial de frenado
presente en la medición 3 y son atrapados por la rejilla. En las mediciones 3 y 4,
puede apreciarse el caso contrario; manteniendo relativamente constantes la
temperatura y la tensión inicial y disminuyendo la tensión de frenado se visualiza un
incremento en el número de picos en la medición 4 respecto de la medición 3.
Conclusiones:
Se reprodujo el experimento de Franck-Hertz. Se verificó la cuantificación de la
energía de los átomos de mercurio al medir la primera energía de excitación y se
comprobó que era una propiedad intrínseca del átomo. Se adoptó como valor
representativo de la energía de primera excitación del átomo de mercurio el siguiente:
Ex = 5,01 V
A medida que aumenta la temperatura, aumenta el potencial de contacto por lo que
hay que se debe entregar mayor energía para liberar los electrones del cátodo. Otro
factor condicionado por la temperatura es el potencial de ionización. A menor
temperatura, el gas ioniza con mayor facilidad ya que se debe entregar menor energía
para que se produzca la ionización.
Por medio de la experiencia pudimos evaluar los postulados de Bohr, como las
propiedades físicas del gas de mercurio. Se puede comprobar la cuantización de la
energía observando los gráficos de voltaje de aceleración en función de los picos
obtenidos, asimismo se puede verificar a simple vista que los valores obtenidos se
aproximan, independientemente de la medición.
Siendo estos resultados congruentes con los resultado esperados, se puede afirmar
que se cumplió el objetivo de la experiencia, sin dejar de lado los errores de las
mediciones, los cuales podrían mejorarse, ya sea mediante la modificación del
instrumental o el circuito RC con el fin de observar mas claramente los picos
obtenidos.
Calculando promedios de las seis experiencias, tomando las diferencias de los picos,
se calcula, que el promedio ponderado final a diferencia de picos tiene un valor
aproximado de 4.97 V, siendo este valor muy cercano al 4.9 V que informan Frank y
Hertz en su experiencia de observación de los espectros de emisión de vapores
durante el bombardeo de electrones.
Se observa que el experimento tiene un carácter convergente al valor aportado por
estos físicos, mediante su experiencia, sin dejar de tener en cuenta los errores
introducidos por los cálculos y conexiones realizadas en el experimento.
Por todo lo informado y analizado durante esta experiencia se puede concluir que con
el experimento realizado en el laboratorio se pudo demostrar la teoría.
Apéndice
Carga de un capacitor en un circuito RC
Va = Vc
La relación entre la corriente y la carga es:
i
dq
dt
Las ecuaciones de las diferencias de potencial en el capacitor y la resistencia:
VC 
q
C
VR  i  R
Aplicando la ley de Kirchhoff:
dq q V

IN
0
dt R
C R
VINVC VR
Resolviendo la ecuación diferencial mediante variables separables:

t
R
C
q

C
V
(
1

e )
IN
Finalmente se obtiene:
−t
V C=
q
= V IN × (1 – e RC )
C
Esto es así siempre y cuando el capacitor no tenga carga inicial. En caso de
tener una tensión inicial V CO la expresión se modifica de la siguiente manera:
−t
V C = V IN × (1−
1
e RC )
V C0
1+
V IN
En el circuito utilizado los valores de sus componentes fueron:
R= 10k Ω
C= 2200μ F
Luego, la expresión de la tensión de aceleración es la siguiente:
−t
V a= V 0× (1− e 22seg )
donde Vo es la tensión configurada inicialmente en cada una de las mediciones.