Guía 10 FIS129 UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MA

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA - FIS 129
GUÍA Nº10 - FÍSICA CUÁNTICA II
MODELO DE BOHR PARA EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE.
ECUACIÓN DE SCHROEDINGER
1. Explique qué es la serie de Balmer. Demuestre que las longitudes de onda de dicha serie
satisfacen la ecuación: n  364,5nm  n2 /(n2  4) , siendo n un entero mayor o igual a 3. ¿Qué
colores tienen las cuatro primeras líneas de esta serie?
2. El modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno usa las ecuaciones de una partícula no relativista
para el radio de la órbita y la energía del electrón, pero agrega las propiedades ondulatorias para
cuantizar el momentum angular del electrón.
a)
2
2
Considerando al electrón como una partícula se obtiene k c  e  me  v . Explique cómo se
2
r
r
obtiene esta ecuación, e identifique cada una de las cantidades involucradas.
b) Niels Bohr propuso la hipótesis de que el momentum angular del electrón está cuantizado:
  r  me  v  N ħ, siendo N = 1,2,3,…etc. y ħ = h / (2) . Use esta condición de cuantización y la
ecuación dada en la pregunta anterior para calcular los radios posibles de las órbitas del modelo
de Bohr.
3. Para los dos primeros estados del átomo de hidrógeno calcule: (a) La velocidad del electrón (b) La
energía cinética del electrón en [eV]. (c) La energía potencial eléctrica en [eV]. (d) ¿es razonable en
estos cálculos usar ecuaciones no-relativistas?
4. El ión de Helio He+ (un átomo de helio que ha perdido un electrón), es análogo a un átomo de
hidrógeno, pero con carga +2e en el núcleo (Z = 2). (a) Construya un diagrama de los niveles de
energía para el ión He+. (b) Calcule la energía de ionización del ión de He+.
5. (a) Un átomo de hidrógeno absorbe un fotón de luz ultravioleta. ¿Cuáles podrían ser los estados
inicial y final? (b) Un átomo emite un fotón de luz infrarroja. ¿Cuáles podrían ser los estados inicial y
final?
6. Explique por qué el espectro del hidrógeno tiene una gran cantidad de líneas, en circunstancias
que el átomo de hidrógeno tiene un sólo electrón.
7. ¿Cuál es la mínima energía que se requiere para remover un electrón de un átomo de hidrógeno
que se encuentra en el estado n = 5?
8. Determine la longitud de onda del fotón emitido cuando un átomo de hidrógeno pasa del estado
n = 4 al estado n = 1. ¿Corresponde a luz visible?
9. Un átomo de hidrógeno pasa de un estado de energía –0,85 [eV] a otro de –3,4 [eV]. (a) Este
proceso ¿corresponde a la absorción o a la emisión de un fotón? (b) ¿Cuál es la longitud de onda de
dicho fotón? (c) ¿Cuál es el número cuántico n del estado inicial y del estado final?
10. Para cada uno de los siguientes experimentos:








a)
b)
c)
Experimento de Michelson y Morley.
Medición de radiancia espectral para radiación de cavidad.
Medición de corriente y potencial de frenado en el efecto fotoeléctrico.
Medición del espectro de emisión del hidrógeno.
Medición de la masa de los reactantes y de los productos en una reacción de fisión nuclear.
Detección de piones en abundancia al nivel del mar.
Registro del patrón formado por electrones dispersados por un cristal.
Medición de la longitud de onda de rayos X dispersados por un material.
¿Qué se esperaba de acuerdo a las teorías clásicas?
¿Cuál fue el resultado experimental?
¿Cuál es la explicación relativista y/o cuántica?
Gonzalo Fuster / Claudio Bravo
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11. Un electrón y un protón viajan a la misma velocidad, no relativista: ¿cuál tiene una longitud de
onda De Broglie más corta?
12. Calcule aproximadamente la longitud de onda De Broglie de cada uno de los siguientes objetos:
a) Un electrón con energía cinética de 10 [eV].
b) Un electrón con energía cinética de 10 [MeV].
c) Una molécula de hidrógeno, moviéndose a 2200[m/s].
d) Una persona caminando.
e) ¿Cuáles de estos objetos pueden considerarse partículas clásicas y cuáles deben
considerarse objetos cuánticos?
13. Considere las siguientes partículas, moviéndose a velocidades relativistas: electrón, protón,
neutrón y partícula  (núcleo de helio), todas con la misma energía total: ¿Cuál tiene la longitud de
onda De Broglie más corta?
14. Si tanto electrones como fotones pueden considerarse partículas ¿en qué se diferencian entre sí?
15. Para medir la presión del aire encerrado en un neumático se usa un manómetro. Al medir la
presión un poco de aire escapa del neumático. Se puede decir que el acto de medir cambia la
cantidad que se desea medir. ¿Es esto un ejemplo del principio de incertidumbre de Heisenberg?
Explique.
16. Se hace la siguiente afirmación: “La energía del estado base de un átomo puede conocerse con
precisión, pero las energías de sus estados excitados están siempre sujetas a incertidumbre.”
Explique esta afirmación, usando el principio de incertidumbre.
17. ¿Es un fotón onda o partícula? ¿Es un electrón onda o partícula? Explique describiendo algún
experimento donde se manifieste el carácter de cada objeto.
18. Aunque el modelo de Bohr explica las líneas del espectro del hidrógeno, no es un buen modelo de
acuerdo a la física cuántica porque viola el principio de incertidumbre de Heisenberg. Explique por
qué.
19. Suponga que se ha generado un haz de neutrones que viajan todos
exactamente en la misma dirección: a lo largo del eje z. A continuación se
los hace incidir sobre una placa que contiene una rendija de ancho a.
a. Antes de incidir sobre la rendija: ¿Cuál sería la incerteza en la
componente transversal del momentum, px?
z
x
b. Antes de incidir sobre la rendija, y de acuerdo al Principio de Incertidumbre: ¿Cuál debería ser, a
lo menos, la incerteza en la componente lateral de la posición, x?
c. Para los neutrones que logran atravesar la rendija, estime la nueva incerteza en la posición
transversal x’.
d. De acuerdo al Principio de incertidumbre: ¿Cuál sería, a lo menos, la nueva incerteza en la
componente transversal del momentum px’?
e. Brevemente: ¿Qué resultado experimental puede observarse, debido a este nuevo valor de px’?
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20. Una partícula está confinada en un pozo de
potencial unidimensional infinito de ancho L:
Ep(x) = 0 dentro del pozo, y Ep(x)  , fuera del pozo.
a) Si la partícula está en el estado base (n = 1):
¿cuál es la probabilidad de que la partícula se
encuentre en un pequeño elemento de longitud
ubicado junto a una de las barreras de
potencial?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula
esté en la mitad derecha del pozo?
Energía Potencial
Ep  ∞
Ep  ∞
Ep = 0
0
x
L
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula esté en el intervalo L/4  x  L/2?
d) ¿Qué dimensiones tiene la constante h2/(8mL2), que aparece en la expresión para la energía ?
e) ¿Cuál es el valor de dicha constante, para un electrón confinado en un pozo infinito de unos
500 [] de ancho? Exprese su resultado en [eV].
21. Suponga que un electrón estuviera atrapado en el interior de un pozo de potencial unidimensional
infinito, de un ancho similar al del tamaño de un núcleo atómico  10 – 15[m]. Calcule:
a) La energía del estado base.
b) La energía de ionización del electrón.
c) La energía necesaria para excitar el electrón al primer estado excitado.
22. Una partícula está en el estado fundamental de un pozo unidimensional infinito de ancho L.
Encuentre expresiones para:
a) El valor medio < x > de la posición del electrón.
b) La probabilidad de encontrar a la partícula en el rango 0,49L  x  0,51L.
23. Un electrón con energía cinética igual a 5,0 [eV]
incide sobre una barrera de potencial de 10[eV] y de
0,2[nm] de ancho. ¿Cuál es la probabilidad de que el
electrón atraviese la barrera? ¿Cuál es la probabilidad de
que sea reflejado?
Ep eV
10
5
0
x nm
0,2[nm]
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SOLUCIONES
3. Un método: en el modelo de Bohr la energía cinética del electrón es igual al valor absoluto de
la energía total, y la energía potencial eléctrica es el doble de la energía total.
(a) Usando la expresión no relativista para la energía cinética: v1  2,2106[m/s] y v2 = v1 / 4.
(d) v1  0,007c: las ecuaciones no relativistas son una buena aproximación.
4. a) Ayuda: en el modelo de Bohr, los niveles de energía para cualquier ión con un solo electrón
están dados por En  – Z 2 13,6 [eV] / n2, siendo Z el número de protones en el núcleo.
b) E ionización  54,4[eV]
5. a) Desde el estado base, a cualquier otro. b) Ayuda: la diferencia en energía entre el estado
inicial y el estado final no puede ser mayor a unos 1,5[eV].
7.  0,544[eV]
8.  97[nm], luz ultravioleta.
9. a) emisión
b)  487 [nm] c) n INICIAL = 4, n FINAL = 2.
11. El protón.
12. a)  3,910 – 10[m]
b)  1,210 – 13[m]
c)  9,010 – 11 [m]
d)  10 – 37[m] e) Clásica: la persona. Cuánticas: todas las demás.
13. Ayuda: exprese el momentum p en función de la energía, usando E2 = p2c2 + E02.
15. No: este tipo de incerteza no tiene nada que ver con el carácter ondulatorio de las partículas
cuánticas.
16. Ayuda: el estado base es estable. Una partícula en el estado base puede permanecer en él
para siempre porque no hay ningún estado con menor energía al que pudiera decaer
espontáneamente.
20. a)  0
b) Por simetría: 50%
c) P 
L/2


2
dx  41%
d) De energía.
L/4
21. a) E1  0,381012 [eV] = 0,38 [TeV]
L
22. a) < x > =  x  
2
0
23. a)  1%
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 dx =
c) E  1,131012 [eV] = 1,13 [TeV]
L
(por simetría)
2
b)  99%
4
0,49 L
b)

0,51 L
x 
2
 dx  3%
e) 15 [keV]