{ } ( ) ( )

I.E.S. Mediterráneo de Málaga
Junio 2014
Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A
1. a) Discuta para qué valores de k el sistema siguientes es compatible: (7 puntos)
 x + 2y − z = 8

2 x − 3 y + z = −1
 3 x − y + kz = 5

b) Resuélvalo en el caso (o los casos) en que sea compatible. (3 puntos)
a)
−1 1 2
−1
1 2 −1
A = 2 −3 1 = 0 −7
3 = 0 − 7 3 = −7 k ⇒ Si A = 0 ⇒ −7 k = 0 ⇒ k = 0 ⇒
3 −1 k
k
0 −7 k +3 0 0
1
2
∀k ∈ ℜ − {0} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número incógnitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
Si k = 0
 1 2 −1 8   1 2 −1 8   1 2 −1 8 

 
 

 2 − 3 1 − 1 ≡  0 − 7 3 − 17  ≡  0 − 7 3 − 17  ⇒ rang ( A) = 2 ≠ rang ( A) = 3 ⇒
 3 − 1 0 5   0 − 7 3 − 19   0 0
0 − 2 
 
 

Sistema Incompatible
b) Cuando es compatible det er min ado
 1 2 −1 8   1 2
−1 8   1 2 −1 8 

 
 

2
2
3 − 17  ≡  0 − 7 3 − 17  ⇒ kz = −2 ⇒ z = − ⇒ −7 y − 3 ⋅ = −17
 2 − 3 1 − 1 ≡  0 − 7
k
k
 3 − 1 k 5   0 − 7 k + 3 − 19   0 0
k − 2 
 
 

2 34k − 12 56k − 14 + 34k − 12
6
17k − 6
 17k − 6   2 
=
⇒ x + 2⋅
7 y = 17 − ⇒ y =
 −−  = 8 ⇒ x = 8 − −
k
k
7k
7k
7k
 7k   k 
x=
2
9k − 26
 9k − 26 17 k − 6
⇒ Solución ⇒ (x , y , z ) = 
,− 
,
k
7k
7k
 7k
1
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Junio 2014
2. Determina el (los) punto (s) de la recta
π1 : x + y + z + 3 = 0
r:
Juan Carlos Alonso Gianonatti
x −1 y +1 z
= que equidistan de los planos
=
2
1
2
 x = −3 + λ

y π 2 :  y = −λ + µ
 z = −6 + µ

(10 puntos)
x+3 y z +6
0 = 0 ⇒ − ( x + 3) + ( z + 6 ) − y = 0 ⇒ π 2 : x + y − z − 3 = 0
−1
π2 : 1
0
1
1
 x = 1 + 2t
(1 + 2t ) + (− 1 + t ) + 2t + 3 = ± (1 + 2t ) + (− 1 + t ) − 2t − 3 ⇒

r :  y = −1 + t ⇒ Equidis tan cia ⇒
2
12 + 12 + 12
12 + 12 + (− 1)
 z = 2t

6
3

1 + 2t − 1 + t + 2t + 3 = 1 + 2t − 1 + t − 2t − 3 ⇒ 5t + 3 = t − 3 ⇒ 4t = −6 ⇒ t = − = −

4
2⇒
 1 + 2t − 1 + t + 2t + 3 = −(1 + 2t − 1 + t − 2t − 3) ⇒ 5t + 3 = −t + 3 ⇒ 6t = 0 ⇒ t = 0

 3
x = 1 + 2 ⋅  − 2 



3
5



 3
Cuando t = − ⇒ P  y = −1 +  −  ⇒ P − 2 , − , − 3 
2
2


 2

 3

 z = 2 ⋅  − 2 

x = 1 + 2 ⋅ 0

Cuando t = 0 ⇒ Q  y = −1 + 0 ⇒ P(1 , − 1 , 0 )
 z = 2⋅0

 1
 x si − 2 ≤ x ≤ −1
3.- Dada la función: f ( x ) =  2
 x − 3 si − 1 < x ≤ 0
 2
a) Compruebe que f (x) es continua en el intervalo [- 2 , 0] y derivable en el intervalo (- 2 , 0).
(6 puntos)
b) Estudie si la función es creciente o decreciente en los intervalos (- 2 , - 1) y (- 1 , 0).
(4 puntos)
a)
Estudio de la continuidad en x = 1
1

= −1
f (x ) =
−
 f (− 1) = xlim
→ −1
−1

2
 lim f ( x ) = (− 1) − 3 = − 2 = −1
 x→−1+
2
2
⇒ f (− 1) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = −1 ⇒ Es continua
x → −1
x → −1
Continuación del Problema 3 de la opción A
2
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Junio 2014
Juan Carlos Alonso Gianonatti
a )Continuación
 1
− 2
f ' (x ) =  x
2x

 2
si
si
1

f ' (x ) = −
= −1
 xlim
−
→
−
1
(− 1)2
⇒
⇒ lim− f ' (x ) = lim+ f ' (x ) = −1 ⇒ Derivable
x → −1
x → −1
(
)
lim
f
'
x
=
−
1

−1 < x < 0
 x→−1+
− 2 < x < −1
b)
 1
−
si − 2 < x < −1
f ' (x ) =  x 2
⇒ Creciente ⇒ f ' (x ) > 0 ⇒
 x si − 1 < x < 0
− 1 < 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ
1
En x ∈ (− 2 , − 1) ⇒ − 2 > 0 ⇒  2
x
 x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ
-2
-1 < 0
2
x >0
Solución
-1
(-)
(+)
(-)
Es decreciente en el intervalo (- 2 , -1)
En x ∈ (− 1 , 0 ) ⇒ x > 0 ⇒ Positiva en (− 1 , 0 )
Es creciente en el intervalo (- 1 , 0)
4.- Calcula la siguiente integral indefinida
x3
− x3 − x
−x
x3
∫ x 2 +1 dx (10 puntos)
x2 +1
x
x3
x
∫ x2 +1 = x − x2 +1
dt
2
2
1 2
x
x
2 = x − 1 ⋅ dt = x − 1 ⋅ ln t = 1 x 2 + ln x 2 + 1 + K
dx
x
dx
dx
x
=
⋅
−
=
−
∫t 2 2 ∫t 2 2
∫ x2 +1 ∫
∫ x2 +1
2
2
dt
x 2 + 1 = t ⇒ 2 x dx = dt ⇒ x dx =
2
3
[
(
)]
3
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B
1. a) Discuta por qué valores de m el sistema siguiente es compatible: (7 puntos)
y + z =1


(m − 1) x + 3 y + z = 2
 x + (m − 1) y − z = 0

b) Resuélvalo en el caso (o los casos) en que sea compatible indeterminado. (3 puntos)
a)
1
m −1
1
0
1
1
0
1
m−2
3
= (m − 2 ) (m − 1) − 6 = m 2 − 3m + 2 − 6 ⇒
3
1 = m−2
3
0 = 1⋅
m −1
2
m −1 −1
m −1 0
2
3+5

m=
=4

±
3
25
2
2
A = m 2 − 3m − 4 ⇒ ∆ = (− 3) − 4 ⋅1 ⋅ (− 4 ) = 9 + 16 = 25 ≥ 0 ⇒ m =
⇒
3−5
2 ⋅1
m =
= −1
2

∀m ∈ ℜ − {− 1 , 4} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número incógnitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
Si k = −1
 1
0
1 1 1 0
1 1  1 0
1 1  1 0 1 1

 
 
 

1 2 ≡ 0 3
3 4  ≡ 0 3
3 4  ≡ 0 3 3 4 ⇒
− 2 3
 1 − 2 − 1 0   0 − 2 − 2 − 1  0 − 6 − 6 − 3   0 0 0 5 

 
 

 
rang ( A) = 2 ≠ rang ( A / B ) = 3 ⇒ Sistema Incompatible
Si k = 4
1 0 1 1   1 0 1 1   1 0 1 1 


 
 
 3 3 1 2  ≡  0 3 − 2 − 1 ≡  0 3 − 2 − 1 ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Número de incognitas ⇒
 1 3 − 1 0   0 3 − 2 − 1  0 0 0 0 

 
 

Sistema Compatible In det er min ado
b)
Si k = 4 ⇒ Sistema Compatible In det er min ado
1 0 1 1 


3y +1
⇒
 0 3 − 2 − 1 ⇒ x + y = 1 ⇒ x = 1 − y ⇒ 3 y − 2 z = −1 ⇒ 2 z = 3 y + 1 ⇒ z =
2
0 0 0 0 


3λ + 1 

Solución ⇒ (x , y , z ) = 1 − λ , λ ,

2 

4
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Junio 2014
Juan Carlos Alonso Gianonatti
2. Calcula la ecuación continua de la recta r paralela al plano
recta
s:
π : 2 x − 2 y + 5z = 3
y perpendicular a la
x +1 y − 2 z
=
= en el punto P (- 1 , 2 , 0). (10 puntos)
−1
2
3
La recta es perpendicular al vector director del plano π y al de la recta s, por lo tanto hallaremos su vector
director calculando el producto vectorial de ambos vectores. Como sabemos que tiene que contener el
punto P la recta r queda perfectamente determinada.
i
j k
vπ = (2 , − 2 , 5)
⇒ vr = vπ ∧ v s = 2 − 2 5 = −6i + 10 j − 2k + 4k + 5i − 6 j = −i + 4 j + 2k ⇒

 v s = (2 , − 1 , 3)
2 −1 3
v s = (− 1 , 4 , 2 ) ⇒ r :
x +1 y − 2 z
=
=
4
2
−1
3. A) Calcular el valor de a para que la función
verifique el teorema de Rolle en el intervalo
1 − cos x si x ≤ 0
f (x ) =  2
 x + ax si x > 0
 π 
− 2 , 1 . (5 puntos)
b) Considerando el valor de determinado en el apartado a), probar el valor
 π 
c ∈  − , 1 tal
 2 
que f’ (c) = 0. (5 puntos)
a)
Teorema de Rolle
Sea f(x) una función continua en [a , b], derivable en (a , b) y que verifica que f(a) = f(b); entonces existe, al
menos, un punto c ∈ (a , b ) tal que f’(c) = 0
La primera condición para verificar el Teorema de Rolle es que la función sea continua y derivable.
Estudiemoslo en el punto x = 0
 f (0 ) = lim− f (x ) = 1 − cos 0 = 1 − 1 = 0
x →0
⇒ como f (0 ) = lim− f (x ) = lim+ f (x ) = 0 ⇒ Es continua

x →0
x →0
lim
f (x ) = 0 2 + a ⋅ 0 = 0

+
x →0
 lim− f ' (x ) = sen 0 = 0
 sen x si x < 0
⇒ como lim− f (x ) = lim+ f (x ) ⇒ a = 0
⇒  x →0
f ' (x ) = 
f ' (x ) = 2 ⋅ 0 + a = a
x →0
x →0
+
2 x + a si x > 0  xlim
→0
1 − cos x si x ≤ 0
f (x ) = 
2
 x si x > 0
b)
  π
 π
sen x = 0 ⇒ x = 0
 f  −  = 1 − cos  −  = 1 − 0 = 1
 π
 π
⇒
⇒ f  −  = f  −  ⇒ f ' (c ) = 0 ⇒ 
  2
 2
2x = 0 ⇒ x = 0
2
2


2


f (1) = 1 = 1
 π 
c ∈  − , 1
 2 
4. Haga un dibujo del recinto limitado por la curva y(x) = cos x, el eje OX y las rectas verticales
x=−
π
2
y
x=
π
2
(4 puntos). Calcular el área de este recinto. (6 puntos)
a)
5
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Y
X
b)
Es una función simétrica y positiva
π
π
π


A = 2 ⋅ ∫ cos x dx = 2 ⋅ [sen x ]02 = 2 ⋅  sen − sen (0 ) = 2 ⋅ (1 − 0 ) = 2 u 2
2


0
2
6