PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO – 2012 (GENERAL)

I.E.S. “CASTELAR” BADAJOZ
PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE BALEARES
JUNIO – 2012 (GENERAL)
MATEMÁTICAS II
Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se valorarán la
corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el
alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
OPCIÓN A
a
b
 que satisfa1º) a ) Calcule todas las matrices de dimensión 2x2 de la forma A = 
1 d 
gan A2 = O.
b ) Demostrar que las matrices del apartado anterior no son invertibles.
2º) Calcule la recta perpendicular al plano π que pasa por los puntos P1 (1, 1, 1) ,
P2 (0, 2, 1) , P3 (0, 0, − 1) y pasa por el punto O(0, 0, 0).
3º) Calcule los máximos y mínimos de la función f (x ) =
4º) Dibuje el recinto limitado por la curva f (x ) =
2x +1
.
x + 2x + 3
2
x
entre los valores x = 0, x = 1 y el
x +3
2
eje OX. Calcule el área de este recinto.
**********
A. Menguiano
OPCIÓN B
 x + 2 y + 3 z = −1
x + y = 0
y r2 ≡ 
.
x + y − z = 0
2 x + y = 1
1º) a ) Calcule la posición relativa de las rectas r1 ≡ 
b ) Calcule, si procede, o bien el punto de intersección o bien la recta perpendicular a las
dos rectas dadas y que las corte.
 x + 2 y + z = −1
según los valores del parámetro α.
2º) a ) Discuta el sistema  x + ay − az = 0
3ax + 6 y − 3 z = −1

b ) Resuelva el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.
3º) Sea α un valor real que est
á estrictamente entre -1 y 1 (-1 < α < 1). Definimos la
función siguiente en función de α: f (x ) = x 3 + ax 2 + x − 3 . Demuestre que la función ante1
3
rior solo se anula para un valor de x.
4º) Calcule la siguiente integral indefinida: I = ∫ x · 3 4 + x 2 · dx .
**********
I.E.S. “CASTELAR” BADAJOZ
PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE BALEARES
JUNIO – 2012 (GENERAL)
(RESUELTOS por Antonio Menguiano)
MATEMÁTICAS II
Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se valorarán la
corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el
alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
OPCIÓN A
a
b
 que satisfa1º) a ) Calcule todas las matrices de dimensión 2x2 de la forma A = 
1 d 
gan A2 = O.
b ) Demostrar que las matrices del apartado anterior no son invertibles.
---------a)
a 2 + d = 0 


 a b   a b   a 2 + b ab + bd   0 0  a + d = 0  → d = −a
2
 = 
 · 
 = 
 ⇒ 
A = A · A = 
⇒

2 
 1 d   1 d   a + d b + d   0 0  b(a + d ) = 0
b + d 2 = 0 


a 2 − a = 0 ; ; a(a − 1) = 0 ⇒ a1 = 0 → d1 = 0 → b1 = 0 ; ; a2 = 1 → d 2 = −1 → b2 = −1 .
0 0
1 − 1
 ; ; A2 = 

1 0
1 − 1
Las matrices que cumplen la condición dada son A1 = 
b)
Una matriz es inversible cuando su determinante es distinto de cero.
A1 =
0 0
1 −1
= 0 ; ; A2 =
= −1 + 1 = 0 ⇒ A1 y A2 no son inversibles.
1 0
1 −1
**********
A. Menguiano
2º) Calcule la recta perpendicular al plano π que pasa por los puntos P1 (1, 1, 1) ,
P2 (0, 2, 1) , P3 (0, 0, − 1) y pasa por el punto O(0, 0, 0).
---------Los puntos P1 (1, 1, 1) , P2 (0, 2, 1) y P3 (0, 0, − 1) determinan los siguientes vectores:
u = P1 P2 = P2 − P1 = (0, 2, 1) − (1, 1, 1) = (− 1, 1, 0 ) .
v = P1 P3 = P3 − P1 = (0, 0, − 1) − (1, 1, 1) = (− 1, − 1, − 2 ) .
El vector normal del plano π es cualquiera que sea linealmente dependiente del
producto vectorial de los vectores u = (− 1, 1, 0) y v = (− 1, − 1, − 2) :
i
u ∧ v = −1
j
1
k
0 = −2i + k + k − 2 j = −2i − 2 j + 2k = (− 2, − 2, 2 ) ⇒ n = (1, 1, − 1) .
−1 −1 − 2
La recta r pedida es la que tiene como vector director a n = (1, 1, − 1) y pasa por el
origen de coordenadas; su expresión por unas ecuaciones paramétricas es la siguiente:
x = λ

r ≡  y = λ , ∀λ ∈ R
 z = −λ

**********
3º) Calcule los máximos y mínimos de la función f (x ) =
2x +1
.
x + 2x + 3
2
----------
(
f ' (x ) =
=
(
− 2 x2 + x − 2
(x
2
)
+ 2x + 3
)
2 · x 2 + 2 x + 3 − (2 x + 1) · (2 x + 2 )
2
(x
+ 2x + 3
2
)
2
=
2x 2 + 4x + 6 − 4x 2 − 4x − 2x − 2
(x
+ 2x + 3
2
)
2
=
− 2x 2 − 2x + 4
(x
2
+ 2x + 3
)
2
=
) = f ' (x ) .
Una función tiene un máximo o un mínimo relativo para los valores que anulan la
primera derivada.
(
− 2 x2 + x − 2
f ' (x ) = 0 ⇒
(x
2
)
2
+ 2x + 3
) = 0 ;; x
+ x − 2 = 0 ;; x =
2
−1± 1+ 8 −1± 3
=
⇒ x1 = −2 ; ; x2 = 1 .
2
2
2
(
− 4 x − 2 ) · (x 2 + 2 x + 3) + 2(x 2 + x − 2 ) · 2 · (x 2 + 2 x + 3) · (2 x + 2 )
f ' ' (x ) =
=
(x
=
=
=
)
+ 2x + 3
2
4
(− 4 x − 2) · (x 2 + 2 x + 3) + 8(x 2 + x − 2)(x + 1) =
(x
2
)
+ 2x + 3
3
(
(x + 2 x + 3)
− 4 x 3 − 8 x 2 − 12 x − 2 x 2 − 4 x − 6 + 8 x 3 + x 2 + x 2 + x − 2 x − 2
3
2
− 4 x 3 − 10 x 2 − 16 x − 6 + 8 x 3 + 16 x 2 − 8 x − 16
(x
f ' ' (− 2 ) =
f ' ' (1) =
+ 2x + 3
)
3
=
4 x 3 + 6 x 2 − 24 x − 22
(x
4 · (− 2 ) + 6 · (− 2 ) − 24 · (− 2 ) − 22
3
[(− 2)
2
(1
2
2
2
]
+ 2 · (− 2 ) + 3
4 · 13 + 6 · 12 − 24 · 1 − 22
f (− 2) =
f (1) =
2
)
+ 2 ·1 + 3
3
=
3
)=
=
+ 2x + 3
)
3
= f ' ' (x ) .
− 32 + 24 + 48 − 22 18
=
> 0 ⇒ Mínimo .
27
(4 − 4 + 3)3
4 + 6 − 24 − 22 − 36
= 6 < 0 ⇒ Máximo .
6
(1 + 2 + 3)3
2 · (− 2) + 1
− 4 +1 − 3
=
=
= −1 ⇒ Mínimo relativo : A(− 2, − 1) .
2
(− 2) + 2 · (− 2) + 3 4 − 4 + 3 3
2 ·1 + 1
2 +1
3 1
 1
=
= = ⇒ Máximo relativo : B1,  .
1 + 2 ·1 + 3 1 + 2 + 3 6 2
 2
2
**********
4º) Dibuje el recinto limitado por la curva f (x ) =
x
entre los valores x = 0, x = 1 y el
x +3
2
eje OX. Calcule el área de este recinto.
---------La función f (x ) =
x
está definida para cualquier valor real de x.
x +3
2
Por ser f (− x ) = − f (x ) , la función es simétrica con respecto al origen.
lím
lím
x
f (x ) =
= 0 , el eje X es asíntota horizontal de la función.
2
x → ±∞
x → ±∞ x + 3
Por ser
No tiene asíntotas horizontales por ser x 2 + 3 ≠ 0, ∀x ∈ R .
f ' (x ) =
(
f ' (x ) = 0 ⇒
(x
2
+3
2
+3
(x
2
(x
2
+3
=
)
2
3 − x2
(x
2
+3
2
) (
(x
)
+ 3)
2
)
3
=
)
2
.
= 0 ; ; 3 − x 2 = 0 ⇒ x1 = − 3 ; ; x2 = 3 .
)
+3
(
f ' '(− 3 ) =
f ' '( 3 ) =
2
3 − x2
− 2 x 3 − 6 x − 12 x + 4 x 3
(x
)
x 2 + 3 − 2x 2
=
(
)
− 2x · x 2 + 3 − 3 − x 2 · 2 · x 2 + 3 · 2x
f ' ' (x ) =
=
)
1 · x 2 + 3 − x · 2x
4
2
2 x 3 − 18 x
(x
2
+3
)
3
=
(
2x x2 − 9
(x
2
+3
)
3
=
(
)
(
− 2x · x 2 + 3 − 4x 3 − x2
(x
2
)
+3
3
)=
) = f ' ' (x ) .
− 2 3 (3 − 9 ) 12 3
= 3 > 0 ⇒ Mínimo relativo para x = − 3 .
6
(3 + 3)3
2 3 (3 − 9 ) − 12 3
=
< 0 ⇒ Máximo relativo para x = 3 .
63
(3 + 3)3

− 3
3
3
.
=−
⇒ Mínimo : A − 3 , −
f (− 3 ) =

3+3
6
6



3
.
Por simetría con respecto al origen: Máximo : B 3 ,

6


Con los datos obtenidos puede hacerse una representación gráfica de la función
con una cierta aproximación, como se hace a continuación.
Como se observa en la figura, entre los valores x = 0 y x = 1, todas las ordenadas
de la función f (x ) =
x
son positivas por lo que el área pedida es la siguiente:
x +3
2
Y
y= 0
− 3
B f(x)
S
O
1 3
X
A
4
 x 2 + 3 = t x = 1 → t = 4 
1 1
1
1
x
4
· dx ⇒ 
S=∫ 2
 ⇒ S = · ∫ · dt = · [L t ] 3 = · (L 4 − L 3) =
1
2 3t
2
2
x +3
 xdx = 2 dt x = 0 → t = 3
0
1
=
1 4 1
L ≅ · 0'2877 = 0'144 u 2 = S .
2 3 2
**********
OPCIÓN B
 x + 2 y + 3 z = −1
x + y = 0
y r2 ≡ 
.
x + y − z = 0
2 x + y = 1
1º) a ) Calcule la posición relativa de las rectas r1 ≡ 
b ) Calcule, si procede, o bien el punto de intersección o bien la recta perpendicular a las
dos rectas dadas y que las corte.
---------a)
Vamos a realizar el estudio mediante el sistema de cuatro ecuaciones con tres
incógnitas que determinan las dos rectas expresadas por ecuaciones implícitas.
 x + 2 y + 3 z = −1
x + y − z = 0
, cuyo estudio mediante
El sistema que forman las rectas r1 y r2 es 
x + y = 0
2 x + y = 1
el teorema de Rouché-Fröbenius se hace a continuación.
Las matrices de coeficientes y ampliada son:
1

1
M =
1

2

2 3
1


1 − 1
1
;; M ' = 

1 0
1




1 0
2
2 3
1 −1
1 0
1 0
− 1

0
.
0

1 
En función de los rangos de las matrices M y M’, la posición relativa de las dos
rectas es la siguiente:
Rango M = Rango M’ = 2 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Son rectas coincidentes.
Rango M = 2 ;; Rango M’ = 3 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Son rectas paralelas.
Rango M = Rango M’ = 3 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Las rectas se cortan en un punto.
Rango M = 3 ;; Rango M’ = 4 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Las rectas son secantes.
3
1
Rango M ' ⇒ {F1 → F1 + F4 } ⇒ M ' =
1
2
3 3
1 −1
1 0
1 0
⇒ Rango M '= 3
Vamos a determinar ahora el rango de M:
0
3 3 3
0
= 1 1 −1 = 3 − 3 − 3 + 3 = 0 ⇒
0
1 1 0
1
{F1 ,
1 2
3
1 1
0
F2 , F3 } ⇒ 1 1 − 1 = 3 − 2 − 3 + 1 = −1 ≠ 0 ⇒ Rango M = 3
Rango M = Rango M = 3 ⇒ Las rectas r y s se cor tan en un punto
b)
 x + 2 y + 3 z = −1
x + y − z = 0
El punto de intersección es la solución del sistema 
, que sabemos
x + y = 0
2 x + y = 1
que es compatible determinado. Para resolverlo despreciamos una ecuación, por ejemplo la primera, y resolvemos el sistema resultante.
x + y − z = 0

− x − y = 0
.
x + y = 0
⇒
 ⇒ x = 1 ; ; y = −1 ; ; z = x + y = 0 = z

2x + y = 1 
2x + y = 1 
El punto de corte es P(1, -1, 0).
**********
 x + 2 y + z = −1
2º) a ) Discuta el sistema  x + ay − az = 0
según los valores del parámetro α.
3ax + 6 y − 3 z = −1

b ) Resuelva el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.
---------a)
Las matrices de coeficientes y ampliada son:
1 2 1 
 1 2 1 − 1




M =  1 a − a  y M '=  1 a − a 0  .
 3a 6 − 3 
 3a 6 − 3 − 1




El rango de la matriz de coeficientes en función del parámetro α es el siguiente:
1 2 1
M = 1 a − a = −3a + 6 − 6a 2 − 3a 2 + 6a + 6 = −9a 2 + 3a + 12 = −3 3a 2 − a − 4 = 0 ⇒
3a 6 − 3
(
3a 2 − a − 4 = 0 ; ; a =
)
1 ± 1 + 48 1 ± 49 1 ± 7
=
=
⇒ a1 = −1 ; ; a2 = 43 .
6
6
6
a ≠ −1
⇒ Rango M = Rango M ' = 3 = n º incóg. ⇒ Compatible det er min ado
Para 
4 
a≠ 3 
2
1 − 1
 1


Para a = −1 ⇒ M ' =  1 − 1 1 0  ⇒ {C1 = C3 } ⇒ Rango M ' ⇒ {C1 , C3 , C 4 } ⇒
 − 3 6 − 3 − 1


1
2 −1
⇒ 1 − 1 0 = 1 − 6 + 3 + 2 = 0 ⇒ Rango M ' = 2 .
− 3 6 −1
Para a =
4
3
 1 2 1 − 1


⇒ M ' =  1 43 − 43 0  ⇒ {F1 + 3F2 = F3 } ⇒ Rango M ' = 2 .
 4 6 − 3 − 1


a = −1
⇒ Rango M = Rango M ' = 2 < n º incóg. ⇒ Compatible in det er min ado
Para 
4 
=
a
3 

b)
Resolvemos en los casos de compatible indeterminado.
 x + 2 y + z = −1
Para α = -1 resulta el sistema  x − y + z = 0
.
− 3 x + 6 y − 3 z = −1

Despreciando una ecuación, por ejemplo la tercera, y parametrizando una de las
incógnitas, por ejemplo z = λ , resulta:
x + 2 y = −1 − λ  x + 2 y = −1 − λ 
1
1
 ⇒ 3 y = −1 ; ; y = − 3 ; ; x = y − λ = − 3 − λ = x .

x − y = −λ  − x + y = λ

 x = − 13 − λ

Solución :  y = − 13 , ∀λ ∈ R
z = λ

Para α =
4
3
 x + 2 y + z = −1
resulta el sistema  x + 43 y − 43 z = 0 .
4 x + 6 y − 3 z = −1

Despreciando una ecuación, por ejemplo la segunda, y parametrizando una de las
incógnitas, por ejemplo z = λ , resulta:
x + 2 y = −1 − λ  − 3 x − 6 y = 3 + 3λ 
 ⇒ x = 2 + 6λ ; ; 2 y = −1 − λ − x = −1 − λ − 2 − 6λ =

4 x + 6 y = −1 + 3λ  4 x + 6 y = −1 + 3λ 
= −3 − 7λ ; ; y = − 32 − 72 λ .
 x = 2 + 6λ

Solución :  y = − 32 − 72 λ , ∀λ ∈ R
z = λ

**********
3º) Sea α un valor real que est
á estrictamente entre -1 y 1 (-1 < α < 1). Definimos la
función siguiente en función de α: f (x ) = x 3 + ax 2 + x − 3 . Demuestre que la función ante1
3
rior solo se anula para un valor de x.
---------El estudio del crecimiento y decrecimiento de la función f (x ) = x 3 + ax 2 + x − 3 es
1
3
el siguiente:
f ' (x ) = x 2 + 2ax + 1 = 0 ⇒ x =
− 2a ± 4a 2 − 4 − 2a ± 2 a 2 − 1
=
= −a ± a 2 − 1 .
2
2
Para − 1 < a < 1 el valor de x de la expresión − a ± a 2 − 1 carece de soluciones reales, lo que implica que la función es monótona en su dominio, que es R, independientemente del valor real de α. Teniendo en cuenta que, por ser una función polinómica de
grado impar, su recorrido es R, implica necesariamente que:
1
La función f ( x ) = x 3 + ax 2 + x − 3 se anula para un solo valor de x
3
**********
4º) Calcule la siguiente integral indefinida: I = ∫ x · 3 4 + x 2 · dx .
---------1
4 + x 2 = t

+1
1
3
1
t
1 3
1


2
3
+C =
I = ∫ x · 4 + x · dx ⇒ 2 x · dx = dt  ⇒ I = · ∫ t · dt = · ∫ t 3 · dt = ·
2 1
2
2
 x · dx = 1 · dt 
+1
2


3
4
3
4
(
)
1 t
3
3
3
= · + C = · t 3 + C = · t · 3 t + C = · 4 + x2 · 3 4 + x2 + C = I .
2 4
8
8
8
3
**********