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MATEMÁTICAS II
EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS – 2º BACH.
BLOQUE I - ALGEBRA Y GEOMETRÍA
1) [2,5 puntos ] Dadas las matrices
1
0
−1


A =  3 − 2 0
 1 5 −1


0
3
− 5


1 ,
y B =  1 −1
−2
4 − 3 

(
halla la matriz X que cumple que A ⋅ X = B ⋅ A t
).
t
2) Considera el sistema de ecuaciones


λx + y + (λ − 1)z = 1

λx + y = 2 + λ 
x + λy = λ
(a) [1,5 puntos ] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ .
(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
x + 2y = 6
z = 2
3) Considera el punto P(2, 0, 1) y la recta r ≡ 
(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a P y a r .
(b) [1,5 puntos ] Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r .
4) [1,5 puntos ] Dadas las rectas:
x −1 y +2 z +3
r≡
=
=
1
2
3
x = t

s ≡ y = 2 + 2t
z = 3 + 3t

,
estudia su posición relativa y halla, si existe, la ecuación del plano que las contiene.
MATEMÁTICAS II
BLOQUE II – ANÁLISIS
1) (a) [1,25 puntos ] Calcula:
(b) [1,25 puntos ] Calcula :
lim
x → +∞
(ln x )2
x
2x + 1
∫ (x − 1) ⋅ (x − 2) dx
2
2) [2,5 puntos ] Se sabe que la función f : R → R definida por f(x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d es
tal que f(0 ) = 4 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,2) . Conociendo además
que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula
a, b, c y d.
3) [2,5 puntos] Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f, definida
por f(x ) = 2 − x 2 y sus tangentes en los puntos de abscisas x=-1 y x=1.
4) Sea f : R → R la función definida por f(x ) = 4 − x x
(a) [0,75 puntos ] Esboza la gráfica de f .
(b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0 .
(c) [0,75 puntos ] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica en el punto de abscisa
x = 1.
Los alumnos que tienen un bloque realizarán los 4 ejercicios del mismo.
Los que tienen TODO harán los TRES PRIMEROS ejercicios de cada bloque (Todos los
ejercicios puntúan lo mismo: 10/6 puntos)
MATEMÁTICAS II
SOLUCIONES
1
0
−1


A =  3 − 2 0
 1 5 −1


1)
0
3
− 5


y B =  1 −1
1
−2
4 − 3 

A ⋅ X = (B ⋅ At ) → X = A −1 ⋅ (B ⋅ A t )
t
t
− 1 3 1 
0
3  − 1 3 1 
− 5





t
A = 1; A =  1 − 2 5  , B ⋅ A =  1 − 1
1  1 − 2 5 
 0 0 − 1
− 2
4 − 3  0 0 − 1 



2 1 0 
 5 − 15 − 8 




B ⋅ At =  − 2 5
− 5  ; A −1 =  3 1 0 
 17 6 − 1 
 6 − 14 21 




t
X = A ⋅ (B ⋅ A
−1
)
t t
 2 1 0  5
−2


=  3 1 0  − 15 5
 17 6 − 1  − 8 − 5



1


λx + y + (λ − 1)z = 1
 A = λ
λ
λx + y = 2 + λ 

x + λy = λ
2)
a)
6  − 5 1 − 2 

 
− 14  =  0 − 1 4 
21   3 1 − 3 

1
 * 
1 λ − 1 ; A =  λ
λ
1 0 

λ
0
1
λ
λ
λ
1 λ − 1 = λ3 − λ2 − λ + 1 = (λ2 − 1)(λ − 1) = 0 ⇒
1
0
0
1

Para λ = 1 A =  1
1

*
1
1
1


1 λ −1 1 
1 0 2 + λ 
λ
0
λ
λ =1
λ = −1
1

0 1  → r(A) = 1, r A* = 2 INCOMPATIBLE
0 3 
0
( )
 1 − 1 0 − 1


Para λ = −1 A* =  − 1 1 − 2 1  → r(A) = 2, r A* = 2 (Dos filas iguales)
− 1 1 0 1 


( )
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
( )
Para λ ≠ 1 y λ ≠ −1 → r(A) = 3, r A* = 3 COMPATIBLE DETERMINADO
MATEMÁTICAS II
b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. ( λ = −1 )
x − y = −1 
x − y = − 1
1 µ

− x + y − 2z = 1  →
x = µ → y = 1 + µ → z = − −
− x + y − 2z = 1 
2 2
− x + y = 1

x = µ

Solución: y = 1 + µ

1 µ
z = − −

2 2
x + 2y = 6
z = 2
3) Considera el punto P(2, 0, 1) y la recta r ≡ 
a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a r .
x = 6 − 2λ

r ≡ y = λ
→ Q(6, 0, 2) →
z = 2

P(2,0,1)
x −2 y
 r
→π ≡ −2 1
d (− 2,1,0 )
r
4
0
e = PQ = (4,0,1)
z −1
0
=0
1
π ≡ x − 2 − 4z + 4 + 2y = 0 → x + 2y − 4z + 2 = 0
b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r .
r
r
Plano perpendicular a r y que pasa por P → n = d (− 2, 1, 0 )
π' ≡ −2x + y + D = 0 → −2 ⋅ 2 + 0 + D = 0 ⇒ D = 4 → π' ≡ −2x + y + 4 = 0
Hallamos ahora la intersección de este plano y r, será el punto M (punto medio de P y su
simétrico P’)
− 2(6 − 2λ ) + λ + 4 = 0 → −12 + 4λ + λ + 4 = 0 → λ =
8
5
18
8 14
2 + x 14

 2 = 5 →x= 5
x = 6 − 2 ⋅ 5 = 5


8
16

y 8
 14 8 
 18 16 
M y =
→ M , ,2  → P'  = → y =
P'  , ,3 
5
5
5 5 
5 5 

2 5
z = 2
z + 1

 2 =2→z=3


x −1 y +2 z +3
4) Dadas las rectas: r ≡
=
=
1
2
3
x = t

s ≡ y = 2 + 2t
z = 3 + 3t

estudia su posición relativa y halla, si existe, la ecuación del plano que las contiene.
En paramétricas:
MATEMÁTICAS II
x = 1 + s

r ≡ y = -2 + 2s
z = -3 + 3s

r
d (1,2,3)
t-s =1
t−s =1 
x = t




s ≡ y = 2 + 2t → 2t - 2s = -4 → t − s = −2 INCOMPATIBLE
z = 3 + 3t
3t - 3s = -6
t − s = −2

r
e (1,2,3) Rectas paralelas
Tomamos un punto de cada recta A de r y B de s → A(1,-2,-3), B(0,2,3)
r
El plano buscado, pasa por A y tiene vectores directores d y AB :
x −1 y +2
π ≡
z +3
1
2
3
−1
4
6
= 0 → 3y − 2z = 0
1) a) Calcula:
lim
x → +∞
(ln x )2
x
b) Calcula :
+ ∞
=
L' H = xlim
→ +∞
+ ∞
2(ln x ) ⋅
1
1
x = lim 2ln x =  + ∞ L' H = lim 2 = 0


x → +∞
x → +∞ x
x
+ ∞
2x + 1
5
−5
3
∫ (x − 1) ⋅ (x − 2) dx = ∫ (x − 2) dx + ∫ (x − 1) dx + ∫ (x − 1)
2
= 5 ln x − 2 - 5 ln x - 1 +
2
dx =
3
+C
x −1
2) Se sabe que la función f : R → R definida por f(x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d es tal que
f(0 ) = 4 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,2) . Conociendo además que la
recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula a, b, c
y d. Datos: f(0 ) = 4 ; f(1) = 2 (pasa por el PI); f'' (1) = 0 ; f' (0 ) = 0
f' (x ) = 3ax 2 + 2bx + c ; f'' (x ) = 6ax + 2b
d=4
d=4




c=0
a + b + c + d = 2

→
 → sol :
a + b = −2 
6a + 2b = 0


6a + 2b = 0 
c=0

a = 1

b = −3

c = 0
d = 4

MATEMÁTICAS II
3) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f, definida por
f(x ) = 2 − x 2 y sus tangentes en los puntos de abscisas x=-1 y x=1.
Calculamos las rectas tangentes:
f(− 1) = 1;
f(1) = 1;
f' (x ) = −2x → f' (− 1) = 2;
En x = -1:
y − 1 = 2(x + 1) → y = 2x + 3
En x = 1:
y − 1 = −2(x − 1) → y = −2x + 3
f' (1) = −2
El área será:
0
A=
1
∫ (2x + 3 − 2 + x )dx + ∫ (− 2x + 3 − 2 + x )dx
2
−1
2
0
O lo que es lo mismo:
1
1
0
0
A = 2∫ (− 2x + 3 − 2 + x 2 )dx = 2∫ (x 2 − 2x + 1)dx =
4) Sea f : R → R la función definida por f(x ) = 4 − x x
4 − x (− x ) = 4 + x 2 si x < 0
a) Esboza la gráfica de f(x ) = 4 − x x = 
si x ≥ 0
4 − x ⋅ x = 4 − x 2
Son dos trozos de parábola, ambas con vértice en (0,4):
b) Estudia la derivabilidad de f en x = 0 .
Es continua en x= 0
 lim− f(x ) = 4
x → 0
f(0 ) = 4 = 
f(x ) = 4
xlim
→0 +
Derivabilidad:
−
 2x si x < 0
f' (0 ) = 0
f' (x ) = 
→
→ es derivable y su
f' (0 + ) = 0
− 2x si x > 0
derivada es nula en x = 0
c) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica en el punto de abscisa x = 1 .
f(1) = 4 − 1 = 3;
f' (1) = −2 → y − 3 =
1
(x − 1) ⇒ y = − 1 x + 7
−2
2
2