( ) ∫

MATEMÁTICAS II 2º BTO
ANALISIS-ALGEBRA
NOMBRE:_____________________________________________________GRUPO:______
1.
a. [1, 5 puntos] Calcula
∫ (x
2
1
dx
− 2x (x − 2)
)
1
b. [1 punto] Calcula ∫ x ⋅ ln (x + 1) dx (ln denota la función logaritmo neperiano).
0
2. Sea f : R → R la función definida por
x x
f(x ) = 
6 − x
si x ≤ 2
si 2 < x
a. [1 punto] Estudia la derivabilidad de f
b. [0,75 puntos] Esboza la gráfica de f.
c. [0,75 puntos] Calcula el área de la región acotada comprendida entre la
gráfica de f y el eje de abscisas.
3. [2,5 puntos] De la función f: R → R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se
sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el
punto de abscisa x = -2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa
x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica
de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.
4. Dado el sistema de ecuaciones
ax − y + 2z = 1 + a 

x + ay − z = −1


3x + y + z = a

a. [1,25 puntos]Estudia el sistema según los valores del parámetro a.
b. [1,25 puntos] Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.
MATEMÁTICAS II 2º BTO
SOLUCIÓN
1.
a.
∫ (x
2
1
A
dx =
dx +
x
− 2x (x − 2)
∫
)
B
C
∫ (x − 2) dx + ∫ (x − 2)
2
dx
1 = A(x − 2)2 + Bx(x − 2) + Cx
1
1
Para x = 0 → 1 = 4A → A = ; Para x = 2 → 1 = 2x → C =
4
2
1
1
1
Para x = 1 → 1 = A − B + C → 1 = − B + → B = −
4
2
4
∫ (x
=
2
1
1 1
1
dx =
dx −
4 x
4
− 2x (x − 2)
∫
)
1
1
1
∫ (x − 2) dx + 2 ∫ (x − 2)
2
dx =
1
1
1
ln x − ln x − 2 −
+C
4
4
2(x − 2)
1

dx 
du =
u = ln (x + 1)
x +1 
b. x ⋅ ln (x + 1) dx Por partes:


dv = xdx 
x2

0
v=

2
1
∫
∫
x ⋅ ln (x + 1) dx =
=
x2
1
ln (x + 1) −
2
2
x2
1
ln (x + 1) −
2
2
∫
x2
x2
1
dx =
ln (x + 1) −
x+1
2
2
1
∫ (x − 1)dx − ln x + 1
2
1
=
∫
(x + 1)(x − 1) dx − 1
x +1
dx
=
2∫ x +1
x2
x2 x 1
ln (x + 1) −
+ − ln x + 1
2
4 2 2
1

x
x2 x 1
1 1 1
x ⋅ ln (x + 1) dx = =
ln (x + 1) −
+ − ln x + 1  = − + =
2
4 2 2
4 2 4
0
0
2
∫
2. Sea f : R → R la función definida por
x x
f(x ) = 
6 − x
si x ≤ 2
si 2 < x
a. Estudia la derivabilidad de f
x x
f(x ) = 
6 − x
− x2 si x < 0
si x ≤ 2  2
=x
si 0 ≤ x ≤ 2
si 2 < x 
6 − x si x > 2
Continuidad: funciones polinómicas y continua en 0 y 2 (hallando los límites
laterales y la función en el punto, coinciden)
Derivabilidad:
− 2x si x < 0

f' (x ) =  2x si 0 < x < 2 , derivadas laterales en 0 y 2:
− 1 si x > 2

MATEMÁTICAS II 2º BTO
( )
( )
( )
( )
f' 0 = 0
derivable en 0

f' 0 + = 0
f' 2 = 4
no derivable en 2 , derivable en R − {2}

f' 2 + = −1
−
−
b. Esboza la gráfica de f.
Dos trozos de parábolas
(una cóncava y otra convexa)
y una semirrecta.
El vértice de ambas
parábolas es (0,0) y la recta
corta al eje OX en x=6
La parábola y la recta se
cortan en x=2
c. Calcula el área de la región
acotada comprendida entre
la gráfica de f y el eje de
abscisas.
2
6
2
6

x2 
8
32 2
+
6
x
−
u

 = + 36 − 18 − 12 + 2 =
3 0
2 2 3
3
∫
x
∫ (6 − x ) dx =
0
2
A = x 2 dx +
3
3. De la función f: R → R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tiene
un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa
x = -2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c
y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = 2 tiene pendiente 9.
f' (− 1) = 0
f(x ) = ax 3 + bx2 + cx + d


f(− 2) = 0
2
Datos: 
, derivadas: f' (x ) = 3ax + 2bx + c
(
)
f
0
=
0
'
'

f'' (x ) = 6ax + 2b

f' (2) = 9

f' (− 1) = 3a − b + c = 0
3a + c = 0

3a + c = 0 
f(− 2) = −8a + 4b − 2c + d = 0

→ − 8a − 2c + d = 0 →

 → 9a = 9
12a + c = 9
f'' (0 ) = 0 + 2b = 0 → b = 0
12a + c = 9

f' (2) = 12a + 4b + c = 9

b = 0
a = 1


c = −3

a = 1
b = 0
→

→d=2→
− 8 + 6 + d = 0
3a + c = 0
c = −3
− 8a − 2c + d = 0
d = 2


MATEMÁTICAS II 2º BTO
4. Dado el sistema de ecuaciones
a.
Estudia el sistema según los
a

Matrices del sistema: A =  1

3
ax − y + 2z = 1 + a 

x + ay − z = −1


3x + y + z = a

valores del parámetro a.
− 1 2
a −1 2 1 + a



a − 1  A* =  1 a − 1 − 1 



1 1 
3 1 1 a 
Estudiamos los rangos:
a −1 2
1
a − 1 = a 2 + 3 + 2 − 6a + a + 1 = a 2 − 5 a + 6 = 0 ⇒ a =
3
1
1
Para a = 2 →
2 −1
1
2
2 −1
2
3
3
≠ 0 → r(A) = 2; A* → 1 2 − 1 = 0 → r(A* ) = 2
3 1 2
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
3 −1 4
3 −1
≠ 0 → r(A) = 2; A* → 1 3 − 1 = 4 ≠ 0 → r(A* ) = 3
Para a = 3 →
1 3
3 1 3
SISTEMA INCOMPATIBLE
Para a = 2 Para a ≠ 2 y a ≠ 3 → r(A) = 3; r(A* ) = 3
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
b. Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.
2 −1
≠ 0 → r(A) = 2; r(A* ) = 2 , nos queda el sistema:
Para a = 2 →
1 2
2x − y + 2z = 3
2x − y = 3 − 2λ 
3
4

x + 2y − z = −1  → z = λ →
 → x = 1 − λ , y = −1 + λ
x + 2y = −1 + λ 
5
5
3x + y + z = 2 