MATEMÁTICAS II 2º BACHILLERATO CIENCIAS CONTROL ANÁLISIS 2 1.- a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función: ⎧e x si x ≤ 0 ⎪ 2 (1 punto) f ( x) = ⎨1 − x si 0 < x ≤ 1 ⎪x si 1 < x ⎩ b) Determina los valores de a y b para que la función ⎧⎪ebx ⋅ cos ax si x < 0 f ( x) = ⎨ sea continua y derivable en todo R.(1 punto) ⎪⎩ln (e + x) a si x ≥ 0 [ ] ⎡ π⎤ 2.- Dada la función f ( x) = sen x con x ∈ ⎢0, ⎥ , se pide: ⎣ 2⎦ ⎡ π⎤ a) Halla un punto en el intervalo ⎢0, ⎥ en el que la recta tangente sea paralela a la ⎣ 2⎦ ⎛π ⎞ cuerda que pasa por los extremos (0,0 ) y ⎜ ,1⎟ (0’75 puntos) ⎝2 ⎠ b) Determina la ecuación de dicha recta tangente. (0’75 puntos) c) ¿Tiene esto algo que ver con algún teorema? En caso afirmativo, enúncialo.(0’5 puntos) x3 1 y g x = ( ) x2 x2 −1 a) Halla la función derivada de f(x) aplicando la definición de derivada (0’5 puntos) b) Estudia el crecimiento y decrecimiento y los puntos críticos de g(x) (0’75 puntos) c) Estudia la curvatura de la función g(x). (0’75 puntos) 3.- Dadas las funciones: f ( x) = 4.- Averigua las dimensiones de una lata cilíndrica (es decir, el radio de la base y la altura de la lata) de 333 cm3, de modo que la chapa empleada en su construcción sea mínima. (2 puntos) 5.- Resuelve las siguientes cuestiones: 1 ⎛ ex + 2x ⎞ x ⎟⎟ (0’75 puntos) a) Calcula: lim⎜⎜ x→0 ⎝ 2 ⎠ b) Dada la función f ( x) = 2 x − 2 − 2 , comprueba que f (0) = f (2) y sin embargo f ' ( x) ≠ 0, ∀x ∈ (0,2 ) . Explica cómo este hecho no contradice el teorema de Rolle. (0’75 puntos) c) Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2 + y 2 = 10 en el punto de abscisa x = 1 y ordenada negativa. (0’5 puntos) MATEMÁTICAS II 2º BACHILLERATO CIENCIAS SOLUCIONES 1.- a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función: ⎧e x si x ≤ 0 ⎪ 2 f ( x) = ⎨1 − x si 0 < x ≤ 1 cada parte es continua (exponencial y polinómicas) ⎪x si 1 < x ⎩ veamos la continuidad en los puntos 0 y 1: Continuidad en 0: Continuidad en 1: ⎫ ⎫ f (0) = e 0 = 1 f (1) = 1 − 12 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 2 lim− f ( x) = lim e = 1 continua en 0 lim− f ( x) = lim(1 − x ) = 0⎬ NO continua ⎬ x → 0 x → 1 x→0 x→1 ⎪ ⎪ 2 lim f ( x) = lim x = 1 lim+ f ( x) = lim(1 − x ) = 1⎪ ⎪⎭ + x→1 x→1 x→0 x→0 ⎭ ⎧e x si x < 0 ⎪ Derivabilidad: f ' ( x) = ⎨− 2 x si 0 < x < 1 vemos que no es derivable en 0 ni en 1. ⎪1 si 1 < x ⎩ ⎧bebx ⋅ cos ax − a ⋅ ebx ⋅ sen ax si x < 0 ⎪ f ( x) = ⎨ a(e + x )a−1 si x > 0 ⎪ a ⎩ (e + x ) cada trozo de f(x) es continuo: exponencial y coseno lo son en R, y el logaritmo en los reales positivos, por lo tanto, sólo nos queda que sea continua y derivable en 0: Continuidad en 0: Derivabilidad en 0: ⎫ f (0) = ln e a = a lim− f ' ( x) = lim(bebx cos x − ebx sen x) = b⎫ ⎪ x→0 →0 x 1 ⎪ ⎪ lim− f ( x) = lim ebx cos ax = 1 ⎬a = 1 ⎬b = 1 1 x→0 x→0 e lim f ' ( x) = lim = ⎪ ⎪ a x→0 e + x x→0+ e ⎭ lim f ( x) = lim ln(e + x) = a ⎪ x→0 x→0+ ⎭ ⎧⎪e x ⋅ cos ax si x < 0 b) f ( x) = ⎨ ⎪⎩ln (e + x) a si x ≥ 0 [ ] [ ] ⎡ π⎤ 2.- f ( x) = sen x con x ∈ ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦ ⎛π ⎞ a) tangente paralela a la cuerda que pasa por los extremos (0,0 ) y ⎜ ,1⎟ ⎝2 ⎠ 1− 0 2 2 = → f ' ( x) = cos x = → x0 = 0'88 f ' ( x) = sen x pendiente de la cuerda: m = π π −0 π 2 2 b) y = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) → y = sen 0'88 + ( x − 0'88) → y = 0'77 + 0'64( x − 0'88) π c) Teorema del Valor Medio: Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b ) , entonces f (b) − f (a) podemos asegurar que ∃c ∈ (a, b ) / f ' (c) = b−a MATEMÁTICAS II 2º BACHILLERATO CIENCIAS 1 1 − 2 2 1 f ( x + h) − f ( x ) x ( x + h) = lim = f ' ( x) = lim 3.- a) f ( x) = 2 h→0 h→0 h h x 2 − h( h + 2 x ) − h 2 − 2 xh x 2 − (x + h ) x 2 − x 2 − h 2 − 2 xh = lim = = lim = lim = lim 2 2 2 2 h→0 h → h → 0 0 h→0 h( x + h )2 x 2 h ( x + h) 2 x 2 h( x + h) x h ( x + h) x − (h + 2 x) − 2 x 2 = lim = 4 =− 3 2 2 h → 0 ( x + h) x x x x3 3x 2 ( x 2 − 1) − x 3 ⋅ 2 x x 4 − 3 x 2 → g ' ( x ) = = → g ' ( x) = 0 2 2 x2 −1 x2 −1 x2 −1 x=0 x 4 − 3x 2 = 0 ⇒ x 2 ( x 2 − 3) = 0 ⇒ x=± 3 b) g ( x) = ( ( ) ( g (x) crece en − ∞,− 3 U c) g ' ' ( x) = ) ( ) ( 2 ) ( 3 ,+∞ y decrece en − 3 ,−1 U (− 1,0) U (0,1) U 1, 3 (4 x − 6 x)( x − 1) − ( x − 3x ) ⋅ 2( x − 1)2 x 3 ) 2 4 2 2 2x + 6x =0→ 3 −1 x2 − 1 x=0 Punto de inflexión en 0 2 x 3 + 6 x = 0 ⇒ x(2 x 2 + 6) = 0 ⇒ x = −3 (x 2 ) 4 = 3 ( ) g ( x) es cóncava ( ∩ ) en (− ∞,−1) U (1,+∞ ) y convexa ( ∪ ) en (− 1,0 ) U (1,+∞ ) 333 ; A = 2π r 2 + 2π r h π r2 333 666 A = 2π r 2 + 2π r = 2π r 2 + , esta es la función a minimizar 2 πr r 4.- V = π r 2 h = 333 ⇒ h = 666 4π r 3 − 666 666 = = 0 ⇒ 4π r 3 = 666 ⇒ r 3 = 2 2 4π r r r = 3'76 , comprobemos que es un mínimo A' = 4π r − ) MATEMÁTICAS II 2º BACHILLERATO CIENCIAS 333 333 = = 7'5 2 πr π 3'76 2 Luego la lata tendrá que tener 3’76 cm de radio de la base y 7’5 cm de altura nos falta hallar h: h = ⎛e +2 5.- a) lim⎜⎜ x→0 ⎝ 2 x 1 x x ⎛ ex + 2x ⎞ ⎟⎟ = e lim⎜⎜ x→0 ⎝ 2 ⎠ ( =e 1 x x e + 2 ln 2 2 e x +2x 2 lim x →0 1 1 x ⎞ ⎟⎟ = 1∞ indeterminación, que resolvemos: ⎠ ⎡ ⎢⎛ ex +2x lim ln ⎢ ⎜⎜ x →0 ⎢⎝ 2 ⎣ ) 1⎤ ⎞x ⎥ ⎟ ⎥ ⎟ ⎠ ⎥ ⎦ ( =e 1 x x e + 2 ln 2 lim 2 x →0 1 x e +2x 2 ( ) =e 1 ⎛ e x +2x lim ⎜ x →0 x ⎜ ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ =e ⎛ ex +2x ln ⎜⎜ 2 lim ⎝ x →0 x ⎞ ⎟ ⎟ 0 ⎠ =⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ L' Hopital = ) =e lim x →0 e x + 2 x ln 2 ex +2x =e 1+ln 2 2 f (0) = 0 − 2 − 2 = 0 ⎫⎪ ⎬ f (2) = 4 − 2 − 2 = 0⎪⎭ ⎧2 x − 2 − 2 si 2 x − 2 ≥ 0 → 2 x − 4 si x ≥ 1 ⎧2 si x > 1 f ( x) = ⎨ → f ' ( x) = ⎨ ⎩− 2 x + 2 − 2 si 2 x − 2 < 0 → −2 x si x < 1 ⎩− 2 si x < 1 vemos que no se contradice el teorema de Rolle, ya que la función f no es derivable en 1∈ (0,2 ) b) f ( x) = 2 x − 2 − 2 , comprobamos: c) x 2 + y 2 = 10 en x = 1 ⇒ 12 + y 2 = 10 ⇒ y 2 = 9 ⇒ y = ±3 , el punto es el (1,-3) 1 1 − 2x x derivada: 2 x + 2 y ⋅ y ' = 0 ⇒ y ' = = − → y ' (1) = − = 2y y −3 3 1 ecuación de la recta tangente: y = f (1) + f ' (1)( x − 1) → y = −3 + (x − 1) 3 x 1 x 10 y = −3 + − → y = − 3 3 3 3