MATEMÁTICAS II 2º BACHILLERATO CIENCIAS

MATEMÁTICAS II
2º BACHILLERATO CIENCIAS
CONTROL ANÁLISIS
2
1.- a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:
⎧e x
si x ≤ 0
⎪
2
(1 punto)
f ( x) = ⎨1 − x si 0 < x ≤ 1
⎪x
si 1 < x
⎩
b) Determina los valores de a y b para que la función
⎧⎪ebx ⋅ cos ax si x < 0
f ( x) = ⎨
sea continua y derivable en todo R.(1 punto)
⎪⎩ln (e + x) a si x ≥ 0
[
]
⎡ π⎤
2.- Dada la función f ( x) = sen x con x ∈ ⎢0, ⎥ , se pide:
⎣ 2⎦
⎡ π⎤
a) Halla un punto en el intervalo ⎢0, ⎥ en el que la recta tangente sea paralela a la
⎣ 2⎦
⎛π ⎞
cuerda que pasa por los extremos (0,0 ) y ⎜ ,1⎟ (0’75 puntos)
⎝2 ⎠
b) Determina la ecuación de dicha recta tangente. (0’75 puntos)
c) ¿Tiene esto algo que ver con algún teorema? En caso afirmativo, enúncialo.(0’5
puntos)
x3
1
y
g
x
=
(
)
x2
x2 −1
a) Halla la función derivada de f(x) aplicando la definición de derivada (0’5
puntos)
b) Estudia el crecimiento y decrecimiento y los puntos críticos de g(x) (0’75
puntos)
c) Estudia la curvatura de la función g(x). (0’75 puntos)
3.- Dadas las funciones: f ( x) =
4.- Averigua las dimensiones de una lata cilíndrica (es decir, el radio de la base y la
altura de la lata) de 333 cm3, de modo que la chapa empleada en su construcción sea
mínima.
(2 puntos)
5.- Resuelve las siguientes cuestiones:
1
⎛ ex + 2x ⎞ x
⎟⎟
(0’75 puntos)
a) Calcula: lim⎜⎜
x→0
⎝ 2 ⎠
b) Dada la función f ( x) = 2 x − 2 − 2 , comprueba que f (0) = f (2) y sin embargo
f ' ( x) ≠ 0, ∀x ∈ (0,2 ) . Explica cómo este hecho no contradice el teorema de
Rolle. (0’75 puntos)
c) Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2 + y 2 = 10 en el
punto de abscisa x = 1 y ordenada negativa.
(0’5 puntos)
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SOLUCIONES
1.- a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:
⎧e x
si x ≤ 0
⎪
2
f ( x) = ⎨1 − x si 0 < x ≤ 1 cada parte es continua (exponencial y polinómicas)
⎪x
si 1 < x
⎩
veamos la continuidad en los puntos 0 y 1:
Continuidad en 0:
Continuidad en 1:
⎫
⎫
f (0) = e 0 = 1
f (1) = 1 − 12 = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
x
2
lim− f ( x) = lim e = 1
continua en 0 lim− f ( x) = lim(1 − x ) = 0⎬ NO continua
⎬
x
→
0
x
→
1
x→0
x→1
⎪
⎪
2
lim
f ( x) = lim x = 1
lim+ f ( x) = lim(1 − x ) = 1⎪
⎪⎭
+
x→1
x→1
x→0
x→0
⎭
⎧e x
si x < 0
⎪
Derivabilidad: f ' ( x) = ⎨− 2 x si 0 < x < 1 vemos que no es derivable en 0 ni en 1.
⎪1
si 1 < x
⎩
⎧bebx ⋅ cos ax − a ⋅ ebx ⋅ sen ax si x < 0
⎪
f ( x) = ⎨ a(e + x )a−1
si x > 0
⎪
a
⎩ (e + x )
cada trozo de f(x) es continuo: exponencial y coseno lo son en R, y el logaritmo en los
reales positivos, por lo tanto, sólo nos queda que sea continua y derivable en 0:
Continuidad en 0:
Derivabilidad en 0:
⎫
f (0) = ln e a = a
lim− f ' ( x) = lim(bebx cos x − ebx sen x) = b⎫
⎪
x→0
→0
x
1
⎪
⎪
lim− f ( x) = lim ebx cos ax = 1 ⎬a = 1
⎬b =
1
1
x→0
x→0
e
lim f ' ( x) = lim
=
⎪
⎪
a
x→0 e + x
x→0+
e
⎭
lim f ( x) = lim ln(e + x) = a ⎪
x→0
x→0+
⎭
⎧⎪e x ⋅ cos ax si x < 0
b) f ( x) = ⎨
⎪⎩ln (e + x) a si x ≥ 0
[
]
[ ]
⎡ π⎤
2.- f ( x) = sen x con x ∈ ⎢0, ⎥
⎣ 2⎦
⎛π ⎞
a) tangente paralela a la cuerda que pasa por los extremos (0,0 ) y ⎜ ,1⎟
⎝2 ⎠
1− 0
2
2
= → f ' ( x) = cos x = → x0 = 0'88
f ' ( x) = sen x pendiente de la cuerda: m =
π
π
−0 π
2
2
b) y = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) → y = sen 0'88 + ( x − 0'88) → y = 0'77 + 0'64( x − 0'88)
π
c) Teorema del Valor Medio: Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b ) , entonces
f (b) − f (a)
podemos asegurar que ∃c ∈ (a, b ) / f ' (c) =
b−a
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1
1
− 2
2
1
f ( x + h) − f ( x )
x
( x + h)
= lim
=
f ' ( x) = lim
3.- a) f ( x) = 2
h→0
h→0
h
h
x
2
− h( h + 2 x )
− h 2 − 2 xh
x 2 − (x + h )
x 2 − x 2 − h 2 − 2 xh
= lim
=
=
lim
=
lim
= lim
2 2
2 2
h→0
h
→
h
→
0
0
h→0 h( x + h )2 x 2
h ( x + h) 2 x 2
h( x + h) x
h ( x + h) x
− (h + 2 x) − 2 x
2
= lim
= 4 =− 3
2
2
h → 0 ( x + h) x
x
x
x3
3x 2 ( x 2 − 1) − x 3 ⋅ 2 x x 4 − 3 x 2
→
g
'
(
x
)
=
=
→ g ' ( x) = 0
2
2
x2 −1
x2 −1
x2 −1
x=0
x 4 − 3x 2 = 0 ⇒ x 2 ( x 2 − 3) = 0 ⇒
x=± 3
b) g ( x) =
(
(
) (
g (x) crece en − ∞,− 3 U
c) g ' ' ( x) =
)
(
)
(
2
)
(
3 ,+∞ y decrece en − 3 ,−1 U (− 1,0) U (0,1) U 1, 3
(4 x − 6 x)( x − 1) − ( x − 3x ) ⋅ 2( x − 1)2 x
3
)
2
4
2
2
2x + 6x
=0→
3
−1
x2 − 1
x=0
Punto de inflexión en 0
2 x 3 + 6 x = 0 ⇒ x(2 x 2 + 6) = 0 ⇒
x = −3
(x
2
)
4
=
3
(
)
g ( x) es cóncava ( ∩ ) en (− ∞,−1) U (1,+∞ ) y convexa ( ∪ ) en (− 1,0 ) U (1,+∞ )
333
; A = 2π r 2 + 2π r h
π r2
333
666
A = 2π r 2 + 2π r
= 2π r 2 +
, esta es la función a minimizar
2
πr
r
4.- V = π r 2 h = 333 ⇒ h =
666 4π r 3 − 666
666
=
= 0 ⇒ 4π r 3 = 666 ⇒ r 3 =
2
2
4π
r
r
r = 3'76 , comprobemos que es un mínimo
A' = 4π r −
)
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333
333
=
= 7'5
2
πr
π 3'76 2
Luego la lata tendrá que tener 3’76 cm de radio de la base y 7’5 cm de altura
nos falta hallar h: h =
⎛e +2
5.- a) lim⎜⎜
x→0
⎝ 2
x
1
x
x
⎛ ex + 2x ⎞
⎟⎟ = e
lim⎜⎜
x→0
⎝ 2 ⎠
(
=e
1 x x
e + 2 ln 2
2
e x +2x
2
lim
x →0
1
1
x
⎞
⎟⎟ = 1∞ indeterminación, que resolvemos:
⎠
⎡
⎢⎛ ex +2x
lim ln ⎢ ⎜⎜
x →0
⎢⎝ 2
⎣
)
1⎤
⎞x ⎥
⎟ ⎥
⎟
⎠ ⎥
⎦
(
=e
1 x x
e + 2 ln 2
lim 2
x →0 1 x
e +2x
2
(
)
=e
1 ⎛ e x +2x
lim ⎜
x →0 x ⎜
⎝ 2
⎞
⎟
⎟
⎠
=e
⎛ ex +2x
ln ⎜⎜
2
lim ⎝
x →0
x
⎞
⎟
⎟ 0
⎠ =⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝0⎠
L' Hopital =
)
=e
lim
x →0
e x + 2 x ln 2
ex +2x
=e
1+ln 2
2
f (0) = 0 − 2 − 2 = 0 ⎫⎪
⎬
f (2) = 4 − 2 − 2 = 0⎪⎭
⎧2 x − 2 − 2 si 2 x − 2 ≥ 0 → 2 x − 4 si x ≥ 1
⎧2 si x > 1
f ( x) = ⎨
→ f ' ( x) = ⎨
⎩− 2 x + 2 − 2 si 2 x − 2 < 0 → −2 x si x < 1
⎩− 2 si x < 1
vemos que no se contradice el teorema de Rolle, ya que la función f no es derivable en
1∈ (0,2 )
b) f ( x) = 2 x − 2 − 2 , comprobamos:
c) x 2 + y 2 = 10 en x = 1 ⇒ 12 + y 2 = 10 ⇒ y 2 = 9 ⇒ y = ±3 , el punto es el (1,-3)
1
1
− 2x
x
derivada: 2 x + 2 y ⋅ y ' = 0 ⇒ y ' =
= − → y ' (1) = −
=
2y
y
−3 3
1
ecuación de la recta tangente: y = f (1) + f ' (1)( x − 1) → y = −3 + (x − 1)
3
x 1
x 10
y = −3 + − → y = −
3 3
3 3