SOLUCIONES

I.E.S LA ARBOLEDA (LEPE)
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
SOLUCIONES
Examen de Matemáticas I (1º Bachillerato)
RECUPERACIÓN 1ª EVALUACIÓN
Fecha: 20/01/2010
Notas:
1) El examen ha de hacerse limpio, ordenado y sin faltas de ortografía.
2) El examen ha de realizarse en bolígrafo, evitando tachones en la medida de lo posible.
3) Debe aparecer todas las operaciones, no vale con indicar el resultado.
4) Los problemas deben contener: Datos, Planteamiento y Resolución, respondiendo a lo que se
pregunte, no vale con indicar un número como solución del problema.
1. Opera y simplifica al máximo las expresiones: (1.5p)
80
45
a) 5 ⋅
b) 128 + 2 18
c)
5
5− 2
Solución:
5 ⋅ 80
=
45
80
=
45
a) 5 ⋅
b) 128 + 2 18 =
c)
5
=
5− 2
(
5
5 ⋅ 24 ⋅ 5 4
4 5
=
5 =
2
3
3
3 ⋅5
2 7 + 2 2 ⋅ 3 2 = 8 2 + 6 2 = 14 2
(
5+ 2
5− 2
)(
)
5+ 2
)
=
5+ 2 5
= 5+ 2 5
5− 4
2. Halla la suma de todos los términos de la progresión: (1p)
2,
2 2 2 2
, ,
,
,
3 9 27 81
Solución:
Es una progresión geométrica en la que a1 = 2 y r =
S=
a1
=
1− r
2
1
1−
3
=
2 6
= = 3
2 2
3
1
< 1. Por tanto, la suma será :
3
3. Halla las soluciones del sistema: (1.25p)
x− y = 9
log x − log y =


1
Solución:
x− y = 9 


log x − log y = 1
x = 9+ y 

x
log
= 1

y
x = 9 + y

x
= 10 

y
x = 9 + y


x = 10 y 
9 + y = 10 y
9 = 9y
y=1 →
x = 10
→
→
Hay una solución: x = 10; y = 1
4. Resuelve, utilizando el método de Gauss: (1.5p)
 2 x − y + 2z = 2

 x + 2y − z = 3
 2 x − y + 3z = 1
Solución:
2 x − y + 2z = 2 


x + 2y − z = 3 


2 x − y + 3 z = 1
→
2ª
1ª
→
3ª
x + 2y − z = 3 


− z = 1


y − z = 1
→
x + 2y − z = 3 


2 x − y + 2z = 2 


2 x − y + 3z = 1
z = − 1


y = 1 + z = 0


x = 3 − 2y + z = 2 
1ª
2ª − 2 ⋅ 1ª
3ª − 2 ⋅ 1ª
→
x + 2y − z = 2 


− 5 y + 4z = − 4 


− 5 y + 5z = − 5 
1ª
2ª − 3ª
→
3ª:( − 5)
x= 2
y= 0
z = −1
5. Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que, si cada uno
pone 20 euros, sobran 5 euros; y si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros. ¿Cuántos amigos son y
cuál es el precio total que tienen que pagar? (1.25p)
Solución:
Llamamos x al número de amigos e y al precio total de la cena.
Si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros, es decir:
20x - 5 = y
Si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros, es decir:
15x + 20 = y
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
20 x − 5 = y 
15 x + 20 = y 
20 x − 5 = 15 x + 20
5 x = 25
→
x= 5
y = 20 x − 5 = 100 − 5 = 95
Son 5 amigos y el precio total es de 95 euros.
6. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide
54º. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo. (1.25p)
Solución:
Como el triángulo es rectángulo, los ángulos son:
 = 90  − B̂ = 90  − 54  = 36 
Ĉ = 90 
Hallamos los lados:
sen B̂ =
tg B̂ =
b
c
b
a
→
→
sen 54  =
tg 54  =
4, 8
c
4, 8
a
Por tanto:
a = 3, 49 cm; Aˆ = 36 
b = 4, 8 cm; Bˆ = 54 
c = 5, 93 cm; Cˆ = 90 
→
→
c=
4, 8
= 5, 93 cm
sen 54 
4,8
a=
= 3, 49 cm
tg 54 
7. (1p)
Si tg α =
1
y α es un ángulo que está en el primer cuadrante, calcula (sin hallar α ):
3
(
a) tg 180o − α
)
(
b) tg 180o + α
)
(
c) tg 360o − α
)
(
d) tg 360o + α
)
Solución:
(
)
(
)
(
)
(
)
a) tg 180o − α = − tg α = −
b) tg 180o + α = tg α =
1
3
c) tg 360o − α = − tg α = −
d) tg 360o + α = tg α =
1
3
1
3
1
3
8. Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C
con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50º, y el
ángulo en A es de 75º. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ? (1.25p)
Solución:
Hallamos el ángulo Ĉ :
(
)
Ĉ = 180  − Â + B̂ = 55 
Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos:
a
sen 75

b
sen 50

=
=
100
sen 55

100
sen 55

→
a=
→
b=
100 ⋅ sen 75 
sen 55 
100 ⋅ sen 50 
sen 55 
= 117 , 92 m
= 93 , 52 m
Por tanto, la distancia entre B y C es de 117,92 m y la distancia entre A y C es de 93,52 m.