SOLUCIONES

I.E.S LA ARBOLEDA (LEPE)
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
SOLUCIONES
Examen de Matemáticas I (1º Bachillerato)
UNIDAD 3: ÁLGEBRA
Fecha: 27/11/2009
Notas:
1) El examen ha de hacerse limpio, ordenado y sin faltas de ortografía.
2) El examen ha de realizarse en bolígrafo, evitando tachones en la medida de lo posible.
3) Debe aparecer todas las operaciones, no vale con indicar el resultado.
4) Los problemas deben contener: Datos, Planteamiento y Resolución, respondiendo a lo que se
pregunte, no vale con indicar un número como solución del problema.
1. Resuelve estas ecuaciones: (1p)
3 x + 16 = 2 x − 1
a)
b)
3
2
4
+ 2 = 1+ 2
x x
x
Solución:
3 x + 16 = 2 x − 1
a)
3 x + 16 = ( 2 x − 1) 2
3 x + 16 = 4 x 2 + 1 − 4 x
0 = 4 x 2 − 7 x − 15
x=
7±
49 + 240 7 ± 289 7 ± 17
=
=
8
8
8
→
 x = 3
 x = − 10 = − 5

8
4
Comprobación:
x= 3
x=
→
25 = 5
−5
→
4
49 7 − 7
= ≠
4
2
2
Hay una solución: x = 3
b)
3x
x
2
3 2
4
+
= 1+ 2
x x2
x
+
2
x
2
→
=
x2
x2
+
4
x2
x = 3 sí vale.
→
x=
−5
no vale.
4
3x + 2 = x 2 + 4
0 = x 2 − 3x + 2
x=
3±
9− 8
2
=
3± 1
2
→
x = 2

x = 1
2. Factoriza y resuelve: (1.5p)
a) x 4 + x 3 − 9 x 2 − 9 x = 0
b) x4 - 21x2 - 100 = 0
Solución:
a) Sacamos factor común:
(
)
x 4 + x 3 − 9x 2 − 9x = x x 3 + x 2 − 9x − 9 = 0
Factorizam os x 3 + x 2 − 9 x − 9 :
x 4 + x 3 − 9 x 2 − 9 x = x ( x + 1) ( x − 3 ) ( x + 3 ) = 0
→
x = 0

 x + 1= 0 →

x− 3= 0 →
 x + 3 = 0 →
→
 z = 25 → x = ± 5


 z = − 4 (no vale)
x = −1
x= 3
x = −3
Por tanto, las soluciones de la ecuación son:
x 1 = 0,
x 2 = − 1,
x 3 = 3,
x4 = − 3
b) x 4 − 21x 2 − 100 = 0
Cambio: x 2 = z
→
x 4 = z2
z 2 − 21z − 100 = 0
z=
21 ±
441 + 400
2
=
21 ±
841
2
Dos soluciones: x1 = -5, x2 = 5
=
21 ± 29
2
3. Resuelve las ecuaciones que se dan a continuación: (1p)
a) 3 x +
1 1 79
− =
9
3x 3
b) ln ( 3 x − 1) = ln 2 + ln ( 4 x − 6 )
Solución:
a) 3 x +
1 1 79
− =
9
3x 3
Hacemos el cambio de variable: 3x = y
y+
1 1 79
− =
y 3
9
→
9 y 2 + 9 − 3 y = 79 y
9 y 2 − 82 y + 9 = 0
y=
82 ±
6724 − 324
82 ± 6400
82 ± 80
=
=
18
18
18
• y= 9
→
3x = 9
1
9
→
3x =
• y=
→
1
9
→
y = 9

2
1

 y = 18 = 9
x= 2
→
x = −2
Hay dos soluciones: x1 = 2; x2 = -2
b) ln ( 3 x − 1) = ln 2 + ln ( 4 x − 6 )
ln ( 3 x − 1) = ln [ 2 ( 4 x − 6 ) ]
3 x − 1 = 2( 4 x − 6 )
11 = 5 x
→
x=
→
3 x − 1 = 8 x − 12
11
5
Hay una única solución: x =
11
5
4. Problema. Un grupo de amigos tiene que pagar una factura de 500 euros. Si fueran dos amigos más,
cada uno de ellos tendría que pagar 12,5 euros menos. ¿Cuántos amigos son? (1.5p)
Solución:
Llamamos x al número de amigos. Cada uno tiene que pagar
500
euros.
x
Si fueran x + 2 amigos (dos amigos más), cada uno tendría que pagar:
500
− 12,5 euros ( 12,5 euros menos)
x
 500

Como en total son 500 euros, ( x + 2) 
− 12 , 5  = 500
x


Resolvemos la ecuación:
500 − 12, 5 x +
− 12, 5 x +
1 000
− 25 = 500
x
1 000
− 25 = 0
x
− 12, 5 x 2 + 1 000 − 25 x = 0
12, 5 x 2 + 25 x − 1 000 = 0
x=
− 25 ±
625 + 50000
25
=
− 25 ±
50625
25
=
− 25 ± 225
25
→
x = 8


 x = − 10 (no vale)

Son, por tanto, 8 amigos.
5. Halla las soluciones de este sistema: (1.25p)
y = 3x + 1


x + y + 4 = y − x 
Solución:
y = 3x + 1


x + y + 4 = y − x 
4 x + 5 = 2 x + 1;
y = 3x + 1
x + 3x + 1+ 4 = 3x + 1 − x
4 x + 5 = ( 2 x + 1)
4 x + 5 = 4 x 2 + 1 + 4 x;
x= ±
4 = 4x 2 ;
2
x2 = 1
 x = − 1 → no válida, porque

1 → 
x= 1 → y = 4

Hay una solución: x = 1; y = 4
− 1 + 3 ⋅ ( − 1) + 1 + 4 =
1 = 1 ≠ 3 ⋅ ( − 1) + 1 − ( − 1) = − 1
6. Resuelve: (1.25p)
2log x − log y = 0


2y + 2x = 8
Solución:
2log x − log y = 0

2 y + 2x = 8


x2 = y

y = 3 − 2 x 
x=
−2±
log x 2 = log y 

2 y + 2x = 23

x 2 = 3 − 2x

x2 = y

y + 2 x = 3
x 2 + 2x − 3 = 0
→
4 + 12 − 2 ± 16 − 2 ± 4
=
=
2
2
2
→
x = 1 → y = 1


 x = − 3 (No válida, porque no existe log − 3 )
( )

Hay una única solución: x = 1, y = 1
7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss: (1.25p)
 x − 2y + z = 6

 3x + y − z = 7
 x − y + 2z = 6
Solución:
x − 2y + z = 6


3 x + y − z = 7

x − y + 2z = 6
→
1ª
2ª − 3 ⋅ 1ª
3ª − 1ª
x − 2 y + z = 6


− 11z = − 11 

y + z = 0 
→
x − 2y + z = 6 


7 y − 4z = − 11

y + z = 0
1ª
2ª − 7 ⋅ 3ª
3ª
− 11

= 1
− 11


y = − z = − 1

x = 6 + 2 y − z = 6 − 2 − 1 = 3


z=
→
Solución : x = 3 , y = − 1 , z = 1
8. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: (1.25p)
3x − 2 < 4


2 x + 6 > x − 1
→
Solución:
3x − 2 < 4


2 x + 6 > x − 1
3 x < 6

x > − 7
x< 2
x > −7
Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir:
{x < 2 y x > -7} = {x / -7 < x < 2} = (-7, 2)