S UPUESTO PRÁCTICO P

PROFESORES DE
SECUNDARIA
MATEMÁTICAS
SUPUESTO PRÁCTICO
0. Introducción
1. Problemas
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PROFESORES DE SECUNDARIA-MATEMÁTICAS
SUPUESTO PRÁCTICO
CENTRO DE OPOSICIONES
0. INTRODUCCIÓN
El supuesto práctico de la prueba históricamente, ha consistido en la realización
de una serie de problemas. En un primer momento consistía en la realización de 10 u
8 problemas en dos sesiones de unas cuatro horas de mañana y tarde. En las últimas
convocatorias se ha reducido a una única sesión de cuatro horas con 4 o 5 problemas.
La variedad de problemas que se pueden plantear, es cómo la matemática en si
enorme. Normalmente hay un problema de cada bloque de contenidos es decir: un
problema de números o álgebra, uno de análisis, uno de geometría y uno del bloque
de estadística y probabilidad. Aunque los problemas no siempre utiliza
conocimientos de un mismo bloque, si no que se interrelacionan.
Hay que tener claro, que para la mayoría de los opositores está es la parte más
dura, no hay que desesperarse durante el examen se ha de intentar hacer aquello que
se sabe, normalmente siempre hay un problema de los que podríamos llamar tipo,
algún estudio de una función, o algún problema de estudiar endomorfismos, o
ecuaciones diofánticas. O simplemente algún apartado sencillo. Es muy importante
en esta prueba el procedimiento de resolución, es decir si no se encuentra la solución
del problema, realizar un esquema de lo que se está buscando y porqué.
A la hora de estudiar podéis seguir la siguiente clasificación de tipos de
problemas que a grandes rasgos han salido a lo largo de las oposiciones.
Números/ Congruencias/ Divisibilidad/Ecuaciones diofánticas
Números Reales
Números complejos
Teoría de conjuntos
Aplicaciones lineales/ matrices
Ecuaciones reales y complejas
Polinomios divisibilidad
Resolución de triángulos
Geometría del espacio: ecuaciones de la recta y el plano
Plano y espacio afín.
Lugares geométricos.
Funciones
Sucesiones /Series
Problemas de máximos y mínimos
Volumen e integrales
Probabilidad, probabilidad geométrica
Funciones de distribución y densidad
Para finalizar os dejo unos problemas resueltos que han salido durante las
oposiciones de secundaria, a veces hay suerte y se repiten.
Autora: Lidia Santágueda Ruiz, ISBN: 978- 84- 92655- 89- 2
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Encontrar un número abcd de 4 cifras en base 12, que sea cuadrado perfecto y
además los números ab y cd sean consecutivos en base 12.
abcd12)  n2  12 3  n2  12 4
1728  n2  20376 .
Como
42  n  144
Como cd es consecutivo ab cd  a  b  1 , busco poner el número de la forma
abcd  aba  b  1 
abcd  1  abab
n2  1  abab
n
2
 n  1 n  1  abab
 1   n  1 n  1 ;  n  1  n  1   a12 3  b12 2  a12  b ;
 n  1 n  1  1728a  12 a  144b  b
 n  1 n  1  1740 a  145b
 n  1 n  1  5·3· 4·29 a  5·29b
 n  1 n  1  5·29  12 a  b 
Como 29 es primo sólo tenemos dos posibilidades 29|n  1 
además los múltiplos de 29 comprendidos entre 42 y 144 son: 58,87,116.
Si 29|n  1 entonces analizamos las tres posibilidades de múltiplos
29|n  1 ,

 n  1  n  1   5·29  12 a  b 
n  1  58  n  57  
con lo que llegamos a una

58·59  5·29  12 a  b 
contradicción ya que 5 no divide a 59.

 n  1 n  1  5·29  12 a  b 
n  1  87  n  88  

89·87  5·29  12 a  b 
llegamos
a
la
misma
contradicción ya que 5 no divide a 89

 n  1 n  1  5·29  12 a  b 
n  1  116  n  117  
es la misma contradicción.

118·116  5·29  12 a  b 
Luego necesariamente 29|n  1 , analizamos las posibilidades
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n  1  58  n  57  n  1  56
5 | 56
n  1  87  n  86  n  1  85 5|85 , luego parece que lo hemos encontrado
87·85  5·29  12 a  b 
   12 a  b  .
3· 29·5·17  5·29
Como
el
sistema
de
numeración
es
el
12
51  12 a  b
51  48  3 con a  12 b  12  a  4; b  3 . Luego el número buscado es el 4344.
Veamos si es un cuadrado perfecto 4·12 3  3·12 2  4·12  4  7396;
7396  86 .
En el caso que hemos dejado
n  1  86  n  85  n  1  84
Sea
consideramos
M2
 a  b  2c b  2c 
L 
 ;
0
2c 

5 |84

los
subespacios
 1 1   1 0   0 1 
M 
 ,
 ,

 0 0   0 1   0 1 
Determinar L  M y comprobar que L  L  M , decir si la suma es directa

 1 1 
1 0 
 1 1 


 L tal que
Sea BL  u  
,v  
,w  
  una base de L y f : L 

0 0 
 0 1 
 0 1 


f  u   v; f  v   u; f  w   w . Halla la matriz de f respecto de dicha base y Kerf e
Im f .
a. Veamos
las
 1 0   1 1   2 2 
 1 0   1 1 
 1 1 
a
  b
c
  a
  b
  2c 
.
 0 1  0 0  0 2 
 0 1  0 0
0 1 
bases
1 0
 1 1 
 1 1 
Sean u1  
 ; u2  b 
 ; u3  
 . Veamos si el conjunto es sistema
0 1
 0 0
0 1 
generador y linealmente independiente , obviamente es sistema generador.
 a  b  2c  0

luego es una base de L .
b  2 c  0
 2c  0  c  0  b  0  a  0

Sea M  e1 , e2 , e
veamos si es base.
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