JUEGOS REPETIDOS

Tema 5
Manual: cap. 8
JUEGOS REPETIDOS
Los mismos jugadores juegan el mismo juego G
periodo tras periodo. Tras cada periodo observan el
resultado obtenido por ambos (y el vector de
acciones elegidas).
G: juego constituyente o de etapa
G(T): juego repetido con horizonte temporal T
La conducta estratégica en G(T) puede ser muy
diferente a la conducta en G.
En particular, si G es un dilema de los prisioneros,
¿bajo qué condiciones puede obtenerse cooperación
entre jugadores egoístas en G(T)?
Problema: ¿cómo evaluar una corriente o flujo de pagos?
Mediante la suma de su valor presente o descontado, es
decir, su valor en euros de t = 1.
Factor de descuento de un jugador, δ, es el valor
presente (euros de t = 1) de un euro que se obtendrá
mañana (en t = 2).
Si el tipo de interés es r, entonces δ = 1/(1+r).
Luego, 0 < δ < 1.
Si δ tiende a 1, entonces el futuro importa bastante.
Si δ tiende a 0, entonces el futuro importa poco.
Además del tipo de interés, influyen en el factor de
descuento (en tus preferencias intertemporales) otros
aspectos como los gustos, la probabilidad de continuar
activo en el juego....
Horizonte temporal:
- finito: existe una fecha límite que es conocimiento
público entre los jugadores.
- infinito: no existe tal fecha límite conocida de
antemano. En cada periodo existe una probabilidad
positiva de volver a jugar el siguiente periodo.
Estrategia de un jugador en G(T)
Es una regla o plan que especifica qué acción adoptar en
cada periodo como función de cada posible historia previa
del juego.
La historia del juego en t es la secuencia de pares de
acciones observadas hasta t – 1.
Dos estrategias de cooperación condicional son:
Estrategia del Disparador
Empiezo cooperando en t = 1, y luego coopero si siempre
se cooperó antes pero si en algún periodo algún jugador no
coopera paso a no cooperar para siempre (tras toda
historia).
Observese que la longitud del castigo no depende de
la conducta del otro en el castigo.
Estrategia del Talión o de Toma y Daca.
Empiezo cooperando y luego juego lo que jugó mi
oponente en el periodo anterior.
Considere el par de estrategias en que cada jugador
utiliza la estrategia del Disparador, ¿Bajo qué
condiciones constituye un equilibrio Nash del juego
repetido con horizonte infinito?
DILEMA DE LOS PRISIONEROS GENERAL.
Considere el siguiente DP simétrico:
C
c ,c
NC
b,a
a,b
n,n
C
NC
donde a > c > n > b.
En el juego repetido con horizonte infinito se puede
obtener cooperación mediante estrategias de
disparador si se cumple:
c/(1 – δ) ≥ a + [δ.n/(1 – δ)], donde δ es el factor de
descuento de ambos jugadores. Luego,
δ ≥ δ´ = (a – c)/(a – n)
Si los jugadores siguen la estrategia de Toma y Daca
(TD), entonces además de la misma desviación que
con la estrategia del Disparador (NC en t = 1 y luego
NC para siempre), existe otra posible desviación:
NC en t = 1 para luego volver a C en t = 2.
Para que esta desviación no sea provechosa deberá
cumplirse:
c + δ.c ≥ a + δ.b, que implica
δ ≥ δ* = (a – c)/(c – b)
Luego, ambos jugadores jugando la estrategia TD es
un EN del DP con horizonte infinito si
δ ≥ max { δ´, δ*}.
¿Qué factores favorecen la cooperación?
1. Altos factores de descuento y altas
probabilidades de continuación.
2. Bajas ganancias netas por traicionar la
cooperación, a – c.
3. Altas ganancias individuales cuando todos los
jugadores cooperan: c. Bajas ganancias
individuales cuando todos no cooperan: n.
Práctica: la colusión en los mercados.
1-. Suponga dos empresas que compiten en precios en un
mercado de un producto homogéneo con función de
demanda D(p) con pendiente negativa. Ambas tienen
costes unitarios constantes iguales c > 0. Suponga que
descuentan los pagos futuros con un mismo factor de
descuento δ > 0. Obtenga las condiciones bajo las que es
posible sostener la colusión entre estas empresas. ¿Qué
sucede si el número de empresas aumenta?
2-. Comente la facilidad de que se produzca la colusión
entre dos empresas que compiten en precios, si saben que
la demanda de mercado se expande (o se reduce) según
una tendencia conocida por ambas.
3-. Dos empresas con un mismo factor de descuento δ =
0.65 compiten en precios en dos mercados idénticos e
independientes. En el mercado 1 tras cada periodo se
observa el precio que puso el rival, pero en el mercado 2
cuesta dos periodos observarlo y poder responder.
Compruebe si es posible sostener la colusión en cada uno
de estos mercados por separado.
Suponga ahora que ambas empresas vinculan el
mantenimiento de la colusión a que se produzca en ambos
mercados a la vez.
Solución ejercicio 3.
Mercados separados.
La colusión es posible en el mercado 1 porque δ
= 0,65 > 0,5.
En el mercado 2 los beneficios obtenidos antes
de ser detectado son: Bm(1 + δ). La colusión
sólo es posible si δ ≥ 0,71… Como δ = 0,65, no
es posible colisionar en el mercado 2.
La velocidad (y precisión) de detección de cambios
en precios y de reacción ante estos cambios es muy
importante para facilitar (o dificultar) la colusión.
Mercados relacionados estratégicamente.
Los beneficios de la colusión en ambos mercados a
la vez son: 2.[(Bm/2)/ (1 - δ)] = Bm /(1 - δ).
Desviaciones:
- recortar precio en ambos mercados en t = 1.
Pago: 2.Bm.
- recortar en t = 1 sólo en mercado 2 y en
ambos en t = 2. Pago:
(Bm + (Bm/2)) + δ.2.Bm.
Los pagos en la fase de castigo no cambian.
Luego la colusión multimercado es posible si:
Bm /(1 - δ) ≥ (Bm + (Bm/2)) + δ.2.Bm.
Resolviendo obtenemos δ ≥ 0,63…
LA ESTRUCTURA DEL MERCADO
AFECTA A LA VIABILIDAD DE LA
COLUSIÓN.
1. Concentración del mercado. Cuanto mayor es
la concentración más fácil es la colusión.
2. Velocidad (y precisión) de detección de
cambios en precios y de reacción ante estos
cambios. La observación rápida y con certeza
de los recortes de precios de la competencia
facilita la colusión.
3. Mercados en expansión o en recesión. Si el
mercado está en expansión (resp. recesión) más
fácil (resp. difícil) es la colusión.
4. Asimetrías entre las empresas. Más difícil
cooperar al no existir un punto focal “natural”.
(Ahora bien, ventajas del “liderazgo”).
5. Conducta multi-mercado o mercados
relacionados estratégicamente. Facilita la
colusión (pues aumentan los beneficios futuros
de la colusión).
JUEGOS REPETIDOS CON HORIZONTE
FINITO.
• -Todo juego repetido con horizonte finito
donde el juego de etapa tenga un único
equilibrio Nash (EN) (por ejemplo, el dilema
de los prisioneros), tiene un único resultado
de equilibrio perfecto (calculado por
inducción hacia atrás). Este resultado
consiste en la repetición todos los periodos
del equilibrio del juego de etapa (luego en el
DP repetido finito no es posible obtener la
cooperación).
• Si el juego de etapa tiene multiplicidad de EN
ineficientes, entonces puede existir un
equilibrio perfecto del juego repetido con
horizonte finito en el que se coopera
(resultado eficiente) en todos los periodos
menos el último.
• Intuición: es posible castigar a un jugador
por desviarse en el penúltimo periodo
especificando que si no se desvía jugarás el
EN “bueno”, pero si se desvía jugarás el EN
“malo” para él y “bueno” para tí mismo.
Ejemplo:
C
X
Y
Z
C
5,5
0,0
0,0
6,0
X
0,0
3,3
0,0
0,0
Y
0,0
0,0
0,0
4,1
Z
0,6
0,0
1,4
0,0
Suponga que este juego se juega dos veces. Los
jugadores maximizan la suma de los pagos en cada
periodo.
Que ambos jugadores utilicen la siguiente estrategia
constituye un equilibrio perfecto del juego repetido:
“C en t = 1; X en t = 2 si ambos eligieron C en t = 1;
en cualquier otro caso, Z en t = 2.”
JUEGO REPETIDO CON GENERACIONES
SOLAPADAS.
• Un equipo de producción de 10 individuos
juega cada periodo con horizonte infinito.
Cada individuo vive 10 periodos y en cada
periodo juegan solapadamente individuos de
todas las generaciones.
• Cada miembro del equipo elige
simultáneamente si trabaja duro con coste 1
o vaguea con coste cero. El output generado
se reparte a partes iguales y depende del
número de miembros que trabajan duro, en
concreto, si k individuos cooperan el ouput
será x = 2k. Suponga que el pago en el juego
repetido es la suma de las utilidades por
periodo.
• Construya un equilibrio Nash del juego
repetido en el que todos, menos el individuo
de edad 10, cooperan.
• Estrategia de disparador:
• “Los trabajadores de edad laboral 10 siempre
eligen vaguear.
Siempre que en el pasado ningún trabajador
de edad laboral menor que 10 vagueó, todos los
trabajadores de edad menor que 10 trabajan
duro. En caso contrario, todos los trabajadores
vaguean.”
• - Obsérvese que el equilibrio cooperativo
obtenido se mantiene como equilibrio si
suponemos que los trabajadores sólo observan
el número total de individuos que vaguean
aunque no su identidad.