Tema 12: Las Áreas de figuras planas

Tema 12: Las Áreas de figuras planas. El Teorema de Pitágoras.
1-T12
I.- Perímetro y Área de las figuras planas:
Antes de ver todas y cada una de las fórmulas que nos permiten averiguar el área de cualquier
figura plana, es conveniente tener conocimientos sobre qué es el perímetro y el área de un polígono, así
como las unidades en las que los podemos medir.
El perímetro es la suma de todos los lados de una figura o polígono, sin faltar ninguno. Como lo
que se pretende sumar son segmentos, el perímetro vendrá dado en una unidad de “longitud”.
Por otra parte, el área o la superficie es el espacio del plano que ocupa una figura o polígono, es
decir, es la parte del plano que hay en el interior de un polígono. Para tomar medidas de área o superficie
hay que utilizar las unidades de “superficie” las cuales son las mismas que las de longitud, pero elevadas
al cuadrado. Veámoslas.
II.- Unidades de área o superficie:
Las unidades de área o superficie salen siempre de multiplicar dos de longitud, y por ello, el
resultado será una unidad de longitud pero elevada al cuadrado. Dichas unidades son, de mayor a menor:
Km2 – hm2 – dam2 – m2 – dm2 – cm2 – mm2
La unidad fundamental de área es el metro cuadrado (m2) y tiene tres unidades múltiplos (Km2 –
2
hm – dam2) y otras tres submúltiplos (dm2 – cm2 – mm2). Estas unidades, al estar elevadas al cuadrado,
van de 100 en 100. Esto significa que cada unidad es 100 veces más grande que la unidad inmediatamente
inferior y 100 veces más pequeña que la inmediata superior.
¿Y qué es un metro cuadrado? Lo primero que se nos ocurriría decir es que es la unidad
fundamental de área o superficie, y sería cierto. Pero debemos definirla como “la superficie que ocuparía
un cuadrado cuyo lado mide 1 metro”. Asimismo, el dam2 sería la superficie que ..., y un hm2 o ha sería la
superficie que ocuparía un cuadrado de 1 hm de lado, o lo que es lo mismo, 100 metros de lado. En la
realidad, siempre hemos dicho que algo así podría ser “el césped de un campo de fútbol”.
Cabe recordar que existen otras tres unidades más de superficie, que son las que están relacionadas
con el sector agrícola. Son las “unidades agrarias” y son “ha – a – ca” y equivalen a:
ha = hm2 - a = dam2 - ca = m2
Para pasar una cantidad de área a otra unidad es preciso hacerlo con el “factor de conversión”, y se
haría de la misma manera que lo hicimos en el tema 11, si bien habrá que contar doble nº de ceros por
cada salto de unidad debido a que estas unidades van de 100 en 100. Vaya este ejemplo:
2´34 hm2  dm2
2´34 hm2 x
1000000dm2 2´34 x1000000dm2
=
= 2.340.000 dm2
2
1
1 hm
Si lo que queremos es pasarlo de forma compleja a incompleja lo haríamos con el factor de
conversión de la misma forma que lo hicimos en el tema 11, esto es, pasándolo todo a una misma unidad
(la que yo elija o la que me diga el ejercicio) y después sumando.
Si por el contrario quiero pasarlo de forma incompleja a compleja se hace de forma parecida al
tema 11. En este caso, y ya que las unidades de área o superficie van de 100 en 100, lo primero es hacer
parejas con las cifras de la cantidad a partir de la coma teniendo cuidado con la última de las parejas.
Después, a la pareja que haya justo antes de la coma se le asigna la unidad en la que está expresada la
cantidad. A las parejas anteriores se le asignan las unidades inmediatamente superiores, y a las parejas
posteriores se le asignan las unidades inmediatamente inferiores. Valga este ejemplo:
140´785 dm2  las parejas son “01 = 1 , 40 , 78 y 50”
Quedará entonces así: 140´785 dm2 = 1 m2 40 dm2 78 cm2 50 mm2
Otros ejemplos serían: 3´78968 ha = 3 ha 78 a 96 ca 8 dm2 ,, 24.345 m2 = 2 m2 43 dm2 45 cm2
EJERCICIOS
2
2
1.- ¿Qué es un dm ? ¿Y un km ? ¿Cuántos dam2 son 350 cm2?
2.- Pasa a forma compleja o incompleja, según corresponda:
a) 4 km2 39 dam2 19 m2
b) 142´8 dm2
2
2
2
2
2
c) 64 dam 89 a 45 dm 6 mm
d) 3845´276 hm
e) 6009 mm
f) 70096´1 cm2
III.- Las Fórmulas de las áreas de las Figuras Planas:
2-T12
Los polígonos o figuras planas tienen todos su fórmula correspondiente que permiten calcularles
su área. Siempre y cuando sean figuras conocidas, lo primero que se pone siempre es la fórmula para
luego sustituir los datos en el paso siguiente, y finalmente se realizan los cálculos y se coloca en el
resultado la unidad de área pertinente.
Dichas fórmulas, las cuales habrá que memorizar, son las siguientes:
Acuadrado = L x L = L2
Atriángulo=
b ·a b ·h
=
2
2
Afigura regular=
Per ·ap
2
Arectángulo = b x a = b x h
Arombo=
D ·d
2
Acírculo=  · r2
Atrapecio=
Aromboide = b x a = b x h
( B  b ) ·a ( B  b ) · h B  b
=
=
·a
2
2
2
Aparte rayada= Afigura mayor – Afigura/s menor/es
Acorona circular= Acírculo grande – Acírculo pequeño=  · R2 -  · r2 =  · ( R2 – r2 )
Aunque lo que viene ahora no es una fórmula para calcular el área de ninguna figura, sí nos puede
servir para otros menesteres relacionados con ellas. Os hablo de la fórmula para averiguar la longitud de
una circunferencia conociendo el radio de ella:
Longitud de una circunferencia = 2 ·  · r =  · d
(“d” significa “diámetro”)
Esta fórmula nos vale para, como ya hemos dicho, averiguar cuánto mide la longitud de una
circunferencia sabiendo su radio. Pero también vale para hallar cuánto vale el radio de una circunferencia
sabiendo lo que mide dicha circunferencia, y lo haríamos aplicando la fórmula que sale de despejar “r” de
la fórmula de la longitud de la circunferencia:
r=
L
, donde “L” es la longitud de la circunferencia.
2 ·
IV.- El Teorema de Pitágoras:
Un “teorema” en matemáticas es la explicación o la demostración de lo que sucede en algún
apartado concreto dentro de esta ciencia. Antes de explicar en qué consiste el “Teorema de Pitágoras”
hagamos una experiencia:
dibujar un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 4 cm, respectivamente
(espacio para el dibujo)
Se puede apreciar que la hipotenusa mide 5 cm.
Pues bien. Si hacemos los siguientes cálculos,
deberíamos saber en qué consiste dicho teorema:
C12 = (3 cm)2 = 3 cm · 3 cm = 9 cm2
C22 = (4 cm)2 = 4 cm · 4 cm = 16 cm2
C12 + C22 = 9 cm2 + 16 cm2 = 25 cm2
H2 = (5 cm)2 = 5 cm · 5 cm = 25 cm2
¿De qué nos hemos dado cuenta? Efectivamente, si elevamos al cuadrado los dos catetos del
triángulo y sumamos los resultados, nos sale justamente lo mismo que la hipotenusa elevada al cuadrado.
Pues éste es el Teorema de Pitágoras y dice así:
“en un triángulo rectángulo al elevar la hipotenusa al cuadrado nos sale lo mismo que la suma de
los dos catetos elevados al cuadrado (cada uno por su lado)”
Quedaría así la fórmula:
H2 = C2 + C2
Esta fórmula nos sirve para, en un triángulo rectángulo, adivinar cuánto vale la hipotenusa siempre
y cuando sepamos cuánto miden los dos catetos. De esta fórmula, podemos sacar otra, la que saldría de
despejar alguno de los dos catetos, y nos saldría esta otra fórmula:
C2 = H2 – C2
3-T12
y nos valdría para poder averiguar cuánto vale un cateto de un triángulo rectángulo sabiendo la
hipotenusa y el otro cateto.
Un ejemplo donde podamos aplicar este teorema sería éste:
EJERCICIO RESUELTO
“Si los lados de un rectángulo miden 4 y 7 cm, respectivamente, ¿cuánto medirá su Diagonal?”
Lo primero que tendríamos que hacer es un dibujo del rectángulo en cuestión, poniendo las
medidas que nos dicen, y también con una diagonal pintada. Se observa que la diagonal, la base y la
altura del rectángulo forman un triángulo rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema de Pitágoras
en él. Si sabemos los dos catetos, habrá que aplicar la primera de las fórmulas:
h2 = c2 + c2 = (7 cm)2 + (4 cm)2 = 49 cm2 + 16 cm2 = 65 cm2 (que será la hipotenusa al cuadrado)
Si queremos saber cuánto mide la hipotenusa, habrá que hacer la raíz cuadrada a 65 cm2, y la raíz
exacta o aproximada (con un decimal, o dos en caso de ser el primero “0”) que salga será la medida de la
hipotenusa, y en consecuencia, la diagonal pedida:
h=
65 cm 2  8´06 cm medirá la diagonal.
(la raíz cuadrada se hará a un lado)
Muchos problemas interesantes se resuelven con este magnífico teorema. A nosotros nos toca
descubrir cuándo hay que aplicarlo y en qué triángulo.
EJERCICIOS
3.- De la página 205 del libro, los nos 13 bd, 17 y 19 los paralelogramos.
4.- Calcula: a) El área de un rectángulo cuya altura mide 2 cm y su base mide tres veces su altura.
b) El área de un rectángulo de base 6 cm y altura 2/3 de la base.
c) El lado de un cuadrado de área 29´16 cm2.
d) El área, en metros cuadrados, de un cuadrado que tiene 16 dm de lado.
e) El área de un triángulo cuya base es de 10 cm y su altura es el doble de la base.
f) El área de un triángulo cuya base es de 5 cm y su altura mide 4/5 de la base.
g) El área, en cm2, de un romboide de base 2 dm y altura 3 cm.
h) El área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y la diagonal menor es la mitad
de la mayor.
i) El área de un triángulo isósceles, cuya base es de 14 cm y uno de sus lados mide 20 cm.
5.- El producto de las diagonales de un rombo es 24 cm2. Calcula su área.
6.- La suma de las bases de un trapecio es 10 cm y su altura es 2 cm. Calcula su área.
7.- Calcula el área de un trapecio cuya base mayor mide 15 cm, su base menor mide 2/3 de la mayor y su
altura mide 4 cm.
8.- Calcula el área de un rombo que tiene de diagonal menor 6 cm, y cualquiera de sus lados de 6 cm
también.
9.- Halla el área de un hexágono regular de lado 10 cm.
10.- Tenemos un cuadrado de 6´4 dm de lado. Se desea saber cuánto medirá la suma de sus dos
diagonales, pero en mm.
11.- De la página 209 del libro, los nos 35 y 38.
12.- ¿Qué es un trapecio? ¿Cuándo un trapecio es rectángulo? Se sabe que en un trapecio rectángulo, la
base mayor mide 15 cm, la base menor 10 cm, y la altura 6 cm. ¿Cuánto medirá el perímetro y el área de
este bonito trapecio?
4-T12
13.- Si el área de un hexágono regular es aproximadamente 96 cm , ¿cuánto valdrá el área de la parte
rayada, si el hexágono está dividido en 6 triángulos iguales?
2
14.- El perímetro de un hexágono regular es de 72 cm. Calcula su área.
15.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el área del hexágono regular es más o menos 258
cm2.
16.- Calcula el área de un hexágono regular donde la suma de dos de sus lados es 16´4 cm.
17.- Si el área de un hexágono regular es aproximadamente 64´5 cm2 y cualquiera de sus apotemas vale
4´3 cm, ¿cuánto valdrá un lado de dicho hexágono?
18.- De la página 211 del libro, los nos 44 b, 46 y 52.
19.- Si el radio de un círculo es 1 dm, calcula su área en metros cuadrados.
20.- Calcula el área del círculo sabiendo que su diámetro son 2 m.
21.- Sabiendo que el área de un círculo es 16  m2, ¿cuánto medirá su radio?
22.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el lado del cuadrado mide 6 cm (la relación existente
entre el lado del cuadrado y el radio del círculo inscrito en él es: el radio es la mitad del lado).
23.- Si la longitud de una circunferencia es 12  cm, ¿cuál será el área del círculo correspondiente?
(recuerda que la longitud de la circunferencia es 2 ·  · r).
24.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo el radio del círculo mayor (6 cm) y el radio de los círculos
pequeños (2 cm).
25.- Averigua el área de una corona circular cuyos radio son R = 5 dm y r = 3 dm. ¿Cuál sería su área en
m2?
5-T12
26.- Halla el área de una corona circular cuyo radio mayor es cuatro veces el menor, sabiendo que el
menor mide 2 cm.
27.- Calcula el área de una corona circular sabiendo que el radio mayor es R = 6 cm y el radio menor es
2/3 del mayor.
28.- Construye una corona circular cuyo radio mayor sea R = 3 cm y cuyo radio menor sea r = 2 cm.
Luego, calcula su área.
29.- En una corona circular, el área del círculo mayor es 25  m2, y el área del círculo menor es 1/5 del
área del mayor. Calcula el área de la corona circular en decímetros cuadrados.
30.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el lado del cuadrado es 8 cm y el radio del círculo
mide 2 cm.
31.- En una corona circular el radio del círculo mayor es 12 cm, y el radio del círculo menor es 6 cm.
Comprueba la relación que hay entre el área de la corona circular y el área del círculo menor. (Pista: si
una persona A tiene 40 años y otra persona B tiene 20 años, eso quiere decir que la persona A tiene el
doble de edad que la persona B, o bien, que la persona B tiene la mitad de edad que la persona A).
32.- Halla el lado de un triángulo equilátero que tiene 27´6 m2 de área, y de altura 6´9 m.
33.- Halla el área de una cuadrado cuyo perímetro vale 40 dm.
34.- Halla la diagonal mayor de un rombo cuya área vale 14 km2 y la diagonal menor 4 km.
35.- Halla el área de esta figura.
A
8 cm
D
10 cm
12 cm
B
C
36.- En un trapecio isósceles se sabe que la base mayor mide 18 cm, la base menor 10 cm y los lados
iguales 7 cm. Averigua el área de dicho trapecio. (Nota: se recomienda un dibujo que os aclare el tema).
37.- Averigua el área de la parte oscura de esta figura tomando las medidas que creas necesario:
38.- El ejercicio nº 7 de la página 203 del libro.
Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez
Profesor de matemáticas de 1º de ESO