UD_8_EJER_RESOL

CEPA "PAULO FREIRE”
CURSO 2010-2011
FUENLABRADA
NIVEL I
ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO
MÓDULO DE MATEMÁTICAS
UNIDAD 8: POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS.
MÓDULO DE MATEMÁTICAS
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS
UNIDAD 8: POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS.
1. CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS REGULARES.
1. Construye un paralelogramo sabiendo que sus lados miden 7 cm y que dos
de ellos forman un ángulo de 120º. ¿Cuánto miden los demás ángulos? ¿Qué
nombre recibe este paralelogramo?
En todos los cuadriláteros, la suma de los ángulos es 360º. En este caso, al ser un
paralelogramo, los ángulos son iguales dos a dos, así pues, si dos de ellos miden 120º,
tendremos:
120º2  240º
360º 240º  120º
120º : 2  60º
Luego los otros dos miden 60º cada uno.
Este paralelogramo es un rombo.
2. Si la diagonal de un rectángulo mide 15 cm y uno de sus lados 9 cm, ¿cuánto
mide su otro lado?
Para resolver el problema, empleamos el teorema de Pitágoras:
152  9 2  c 2
a2  b2  c2
225  81 c 2
donde
Así pues:
225 81  c 2
a  hipotenusa diagonal
144  c 2
b, c  catetos  base, altura
c  144  12 cm
El otro de sus lados mide 12 cm.
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3. Calcula la longitud de un lado de un rombo cuyas diagonales midan 8 y 12
cm.
Para determinar la longitud del lado del rombo, se puede emplear el teorema de
Pitágoras:
a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa lado del rom bo l
D 12
  6 cm
2 2
d 8
c  cateto  m itad de la diaggonalm enor   4 cm
2 2
b  cateto  m itad de la diagonalm ayor
Así pues:
l 2  62  42
l 2  36  16
l 2  52
l  52  7,2 cm
Es decir, el lado del rombo es 7,2 cm.
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4. Construye un cuadrado de 5 cm de lado. Calcula su diagonal.
Para determinar la longitud del lado del cuadrado, se puede emplear el teorema de
Pitágoras:
a 2  b2  c2
donde
a  hipotenusa diagonal d
b, c  catetos  lados del cuadrado l  5 cm
Así pues:
d 2  l2 l2
d 2  5 2  5 2  25  25  50
l  50  7,1 cm
Es decir, el lado del cuadrado es 7,1 cm.
5. Construye un cuadrado de 8 cm de diagonal.
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6. Dibuja un trapezoide que tenga las diagonales iguales y perpendiculares.
Un trapezoide es un cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo, luego no puede
tener diagonales iguales y perpendiculares.
El único cuadrilátero que tiene dos diagonales iguales y perpendiculares es el cuadrado:
7. Construye un cuadrilátero ABCD cuyos lados midan AB=4 cm; BC=3 cm;
CD=1 cm; DA=5 cm, y la diagonal AC=5 cm.
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8. Construye un trapecio cuyos lados paralelos midan 7 y 3 cm, y los otros
lados 5 y 6 cm.
9. En un trapecio rectángulo, las bases miden 10 y 7 cm, y su altura 4 cm.
Calcula la longitud del lado oblicuo.
Para determinar la longitud del lado del trapecio, se puede emplear el teorema de
Pitágoras:
a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa lado  l
b  cateto  altura  4cm
c  cateto  base m ayor base m enor 10  7  3 cm
Así pues:
l 2  4 2  32  16  9  25
l  25  5 cm
Es decir, el lado del trapecio es 5 cm.
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10. En un trapecio isósceles las bases miden 16 y 10 cm. Si la altura mide 5 cm,
calcula el lado.
Para determinar la longitud del lado del trapecio, se puede emplear el teorema de
Pitágoras:
a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa lado  l
b  cateto  altura  5 cm
c  cateto 
base m ayor base m enor 16  10

 4 cm
2
2
Así pues:
l 2  5 2  4 2  25  16  41
l  41  6,4 cm
Es decir, el lado del trapecio es 6,4 cm.
11. Calcula la apotema en un hexágono regular de 8 cm de lado.
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En hexágono regular, el lado es igual al radio.
Para determinar la apotema del hexágono regular, se puede emplear el teorema de
Pitágoras:
a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa radio  lado  8 cm
b  cateto  apotem a a
c  cateto 
lado 4
  4 cm
2
2
Así pues:
82  a 2  4 2
64  a 2  16
64  16  a 2
a 2  48
a  48  6,9 cm
Es decir, la apotema es 6,9 cm.
12. Calcula la apotema en un pentágono regular cuyo radio mide 10 cm y el
lado 11,76 cm.
Para determinar la apotema del pentágono regular, se puede emplear el teorema de
Pitágoras:
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a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa radio  10 cm
b  cateto  apotem a a
c  cateto 
lado 11,76

 5,88 cm
2
2
Así pues:
102  a 2  5,882
100  a 2  34,57
100  34,57  a 2
a 2  65,43
a  65,43  8,1 cm
Es decir, la apotema es 8,1 cm.
13. Calcula el ángulo central en un pentágono regular, en un eneágono regular
y en un dodecágono regular.
El ángulo central de un polígono regular se calcula dividiendo 360º entre el número de
lados:
360º
ángulocentral 
n
360º
ángulocentral pentágono
 72º
5
360º
ángulocentral eneágono
 40º
9
360º
ángulocentral dodecágono
 30º
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14. Dibuja un cuadrado inscrito en una circunferencia 2 cm de radio. Calcula
su lado.
Para determinar el lado del cuadrado, se puede emplear el teorema de Pitágoras:
a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa lado  l
b  c  cateto  radio  2 cm
Así pues:
l 2  22  22
l2  4 4
l2  8
l  8  2,8 cm
Es decir, el lado es 2,8 cm.
2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO.
1. Una recta secante a una circunferencia de radio 10 cm determina una
cuerda de 16 cm. Calcular la distancia del centro de la circunferencia.
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2. Traza una circunferencia de 6 cm de radio y tres rectas que pasen a 4, 6 y 8
cm del centro de la circunferencia.
3. Dibuja:
a) Dos circunferencias exteriores.
b) Dos circunferencias tangentes interiores.
Mide, en ambos casos, la diferencia entre sus centros y compárala con
sus radios.
4. Di qué posición relativa tienen una circunferencia de 5 cm de radio y otra de
7 cm de radio de forma que sus centros estén a:
A) 12 cm; B) 2 cm; C) 9 cm; D) 1 cm; E) 0 cm.
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5. Dibuja un círculo de 5 cm radio.
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6. Construye un sector circular de 4 cm de radio y ángulo central de 60º.
7. Dibuja un segmento circular de 6 cm de radio con una cuerda de 10 cm.
8. Construye una corona circular de radios R=6 cm y r=4 cm.
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9. Dibuja un trapecio de radios 5 y 3 cm, con un ángulo de 50º.
3. CÁLCULOS DE PERÍMETROS Y ÁREAS.
1. Calcula el área de un triángulo cuya base mide 7 cm y altura 4 cm.
El área (S) de un triángulo es:
ba
S
2
donde:
b  base
a  altura
Así pues:
74
S
 14 cm 2
2
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2. Calcula el perímetro, el área y la diagonal de un cuadrado de 9 m de lado.
El perímetro (P) de un cuadrado es:
P  4l
P  4  9  36 m
Así pues:
donde:
l  lado
El área (S) de un cuadrado es:
S  l2
Así pues:
donde
S  92  81 m2
l  lado
Para calcular la diagonal, se considera que ésta divide al cuadrado en dos triángulos
rectangulares y, luego, aplicar el Teorema de Pitágoras teniendo en cuenta que los lados
del cuadrado coinciden con los catetos del triángulo rectángulo:
Teorem ade Pitágoras:
a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa
b, c  catetos
Así pues, en este caso:
hipotenusa diagonal d
catetos  lados  l
d 2  l2  l2  2l 2
d 2  2  9 2  2  81  162
d  162  12,7 m
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3. Calcula el perímetro, el área y la diagonal de una habitación rectangular de
dimensiones 9,4 m y 5,7 m.
El perímetro (P) de un rectángulo es:
P  2 a  2b
donde:
P  2  9,4  2  5,7  30,2 m
Así pues:
a  base
b  altura
El área (S) de un rectángulo es:
S  a b
Así pues:
S  9,4  5,7  53,58 m2
Para calcular la diagonal, se considera que ésta divide al rectángulo en dos triángulos
rectangulares y, luego, aplicar el Teorema de Pitágoras teniendo en cuenta que los lados
del rectángulo coinciden con los catetos del triángulo rectángulo:
Teorem ade Pitágoras:
hipotenusa diagonal d
catetos  base y altura  a, b
a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa
Así pues:
b, c  catetos
d 2  a2  b2
d 2  9,4 2  5,7 2  88,36  32,49  120,85
d  120,85  11 m
4. Mide las dimensiones de una página de este libro, calcula su perímetro, la
superficie y su diagonal. ¿Cuánto tardaría un caracol en ir de una esquina
de una página a la opuesta si recorre 2 mm cada segundo?
Dimensiones del libro:
- ancho: 21cm
- alto: 28,5 cm
El perímetro (P) de un rectángulo es:
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P  2 a  2b
donde:
Así pues:
a  base
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P  2  21 2  28,5  99 cm
b  altura
El área (S) de un rectángulo es:
S  a b
Así pues:
S  21 28,5  598,5 cm2
Para calcular la diagonal, se considera que ésta divide al rectángulo en dos triángulos
rectangulares y, luego, aplicar el Teorema de Pitágoras teniendo en cuenta que los lados
del rectángulo coinciden con los catetos del triángulo rectángulo:
Teorem ade Pitágoras:
hipotenusa diagonal d
catetos  base y altura  a, b
a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa
Así pues:
b, c  catetos
d 2  a2  b2
d 2  212  28,5 2  441 812,25  1253,25
d  1253,25  35,4 cm  354 m m
Para calcular el tiempo que tarda el caracol en ir de una esquina de una página a la
opuesta si recorre 2 mm cada segundo, se puede hacer de varias maneras. Una de ellas
es aplicando la proporcionalidad directa entre el espacio recorrido y el tiempo tardado:
2 354
354

 2  x  1 354  x 
 177
1
x
2
Así pues, el caracol tardaría 177 segundos.
5. Averigua cuánto mide la altura de un rectángulo de 35 m2 de superficie y 7
m de base.
El área (S) de un rectángulo es:
S  a b
S  35 m 2
donde
Y sabemos:
a  base
a7m
b  altura
Así pues:
35  7  b  b 
35
5m
7
6. Con dos listones de madera de 12 cm y otros dos de 7 cm podemos construir
una figura que puede deformarse para dar lugar a una infinidad de
romboides ¿Qué podemos decir de sus perímetros y sus áreas?
Sea un romboide de:
a  base
b  altura
El perímetro (P) y el área (S) de un romboide, respectivamente, son:
P  2 a  2b
S  a b
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Todos los romboides tienen los perímetros iguales ya que las dimensiones no varían:
P  2 12  2  7  12  14  38 cm
En cambio, las áreas varían pues varía la altura.
7. Halla el perímetro y el área de un rombo cuyo lado es de 13 cm y una
diagonal mide 5 cm.
Sea un rombo de:
l  lado  13 cm
D  diagonalm ayor
d  diagonalm enor
Su perímetro (P) es:
P  4  l  P  4 13  52 m
Su área (S) es:
Dd
S
2
Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular la otra diagonal, si consideramos
que el rombo se puede dividir, a través de sus diagonales, en cuatro triángulos
rectángulos cuyos catetos son la mitad de las diagonales y cuya hipotenusa, el lado del
rombo.
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Teorem ade Pitágoras:
a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa
b, c  catetos
Así pues:
hipotenusa lado  l
catetos  las m itadesde las diagonales
2
D d 
l    
 2  2
D d
,
2 2
2
2
2
D
13     2,5 2
2
D2
169 
 6,25
4
D2
169 6,25 
4
2
D
162,75 
4
162,75 4  D 2
2
D 2  651
D  651  25,5
Por lo tanto, conociendo las diagonales del rombo:
25,5  5
S
 63,8 m 2
2
8. Calcular el área de un rombo sabiendo que su perímetro mide 52 y su
diagonal mayor 24 m.
Sea un rombo de:
l  lado
D  diagonalm ayor 24 m
d  diagonalm enor
Su perímetro (P) es:
52
 13
4
De manera que su lado mide 13 m.
P  4l
 52  4  l
 l
Su área (S) es:
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Dd
2
Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular la otra diagonal, si consideramos
que el rombo se puede dividir, a través de sus diagonales, en cuatro triángulos
rectángulos cuyos catetos son la mitad de las diagonales y cuya hipotenusa, el lado del
rombo.
Teorem ade Pitágoras:
S
a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa
b, c  catetos
Así pues:
hipotenusa lado  l
catetos  las m itadesde las diagonales
2
D d 
l2     
 2  2
2
D d
,
2 2
2
 24   d 
13      
 2  2
d2
2
169  12 
4
d2
169  144
4
d2
169 144 
4
2
d
25 
4
25 4  d 2
2
2
d 2  100
d  100  10
De manera que su diagonal menor mide 10 m.
Así pues su área es:
24 10
S
 120 m 2
2
9. Halla el perímetro y el área de un triángulo equilátero de 30 m de lado.
Sea un triángulo equilátero de:
l  lado  30 m
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Su perímetro (P) es:
P  a  b  c  l  l  l  3  l  P  3  3o  90 m
Su área (S) es:
a b
S
2
donde:
a  altura
b  base  30 m
Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular la altura, si consideramos que el
triángulo se puede dividir en dos triángulos rectángulos cuyos catetos son: uno, la mitad
del lado y el otro, la altura, y cuya hipotenusa, el lado del triángulo.
hipotenusa lado  l  30
base 30

 15
2
2
cateto c  altura  a
cateto b 
302  152  a 2
900  225 a 2
900 225  a 2
675  a 2
a  675  26
Así pues, su área será:
a  b 26  30
S

 390 m 2
2
2
10. Halla el área de un trapecio cuyas bases miden 8 y 14 cm, y cuya altura es 6
cm.
Sea un trapecio tal que:
base m enor b  8 cm
base m ayor B  14 cm
altura  a  6 cm
Para cualquier tipo de trapecio se cumple que su área es:
B  b   a
S
2
14  8  6  22  6  66 cm2
S
2
2
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11. El lado de un decágono regular mide 14 cm, y el radio de su circunferencia
circunscrita 22,65 cm. Halla la longitud del apotema y el área.
Para determinar la apotema, se emplea el Teorema de Pitágoras. Se divide el decágono
en triángulos que parten del centro del polígono hasta los vértices; luego éstos se
dividen por su apotema, obteniéndose triángulos rectángulos cuya hipotenusa coincide
con el radio, uno de los catetos, con dicho apotema y el otro cateto es la mitad del lado.
Así pues:
Teorem ade Pitágoras:
a2  b2  c2
donde
a  hipotenusa
b, c  catetos
Adaptando el teorema a este caso:
2
l
r  a  
 2
Sustituimos los valores conocidos y obtenemos la apotema:
2
 14 
22,652  a 2   
2
2
2
513,02  a 2  49
a 2  513,02  49  464,02
a  464,02  21,5 cm
El área contenida dentro de la circunferencia es:
S   r2
Sustituimos los valores conocidos y obtenemos el área:
S    22,652    510,76  1605cm2
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12. Calcula el área de la siguiente figura: (NO HAY DATOS SUFICIENTES
PARA RESOLVER EL EJERCICIO)
13. Calcula la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 6,48 cm.
La longitud de la circunferencia es:
L  2   r
Sustituimos los valores conocidos en la expresión:
L  2    6,48  40,7 cm
14. Calcula la longitud del arco de circunferencia de radio 8,5 y de 120º de
amplitud.
La longitud del arco de circunferencia es:
2   r
Larco 
 nº
360 º
Sustituimos los valores conocidos en la expresión:
2    8,5
Larco 
120 º  17,8 cm
360 º
15. Calcula el radio de una circunferencia que mide 42,53 cm de longitud.
La longitud de la circunferencia es:
L  2   r
Sustituimos los valores conocidos en la expresión:
42,53  2    r
42,53
r
 6,8 cm
2 
16. La tapa de un bote de tomate frito mide 35,6 cm de circunferencia. ¿Cuánto
mide el radio de la tapa?
La longitud de la circunferencia es:
L  2   r
Sustituimos los valores conocidos en la expresión:
35,6  2    r
35,6
r
 5,7 cm
2 
17. En una etapa de la vuelta a España, los ciclistas tienen que recorrer 160 km.
Si las ruedas de las bicis tienen un radio de 35 cm, ¿cuántas vueltas ha de
dar cada rueda?
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MÓDULO DE MATEMÁTICAS
UNIDAD 8: POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS.
La longitud de la circunferencia es:
L  2   r
Sustituimos los valores conocidos en la expresión:
L  2    35  220cm
Para calcular el número de vueltas, transformamos 160 km a cm, y luego dividimos esa
cantidad entre la longitud de la rueda y así obtendremos el número de vueltas:
120 km  120100000  12000000 cm
12 000 000
nº de vueltas 
 54 545
220
18. Calcula el perímetro y el área de la zona sombreada.
La longitud de la circunferencia es:
L  2   r
En este caso, se suma la circunferencia exterior y luego la interior luego:
Ltotal  2    R  2    r  2    R  r   2    4  2  37,7 m
El área de una esfera es:
S   r2
Para determinar el área sombreada, se calculan las áreas de las esferas y luego se resta la
menor de la mayor:
S zona sombreada    R 2    r 2    R 2  r 2 


S zona sombreada    4 4  2 2    16  4   12  37,7 m 2
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UNIDAD 8: POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS.
19. Calcula el perímetro y el área de la figura sabiendo que el diámetro de la
circunferencia mayor es 60 m.
El perímetro de un arco es:
2   r
Larco 
 nº
360 º
En este caso, tenemos el arco de tres semicircunferencias, luego:
n º  180º
rsemicircunferencia mayor  30 m
rsemicircunferenciaa menor  15 m
Así pues:
2    30
180º  94,2 m
360º
2   15

180º  47,1 m
360º
Larco semicircunferencia mayor 
Larco semicircunferencia menor
El perímetro de la figura es la suma de las tres:
P  Larco semicircunferencia mayor  2  Larco semicircunferencia menor
P  94,2  2  47,1  188,4 m
El área de una esfera es:
S   r2
Para determinar el área contenida en la figura, se calcula el área de la circunferencia de
60 m de diámetro (30 m de radio); luego, el de las dos que tienen un diámetro la mitad
de la primera; se restan a la primera; y por último, se divide entre dos, puesto se la
figura representan circunferencias.
S esfera mayor    302  2 827 m 2
S esfera manor   152  707 m 2
S
S esfera mayor  2  S esfera menor
2

2 827  2  707 2 827  1417

 707 m 2
2
2
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UNIDAD 8: POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS.
20. Calcula el área de la figura sabiendo que el ángulo central que abarca es de
60º, el radio mayor 7 m y el menor 4 m.
El área de la corona circular es:
Scorona    R 2  r 2


Pero para determinar el área del trapecio circular, hay que considerar:
  R 2  r 2 
S trapecio circular 
 nº
360º
  7 2  4 2 
  49  16
S trapecio circular 
 60º 
 60º  17,3 m 2
360º
360º
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