4.2. funciones trigonométricas

4. TRIGONOMETRÍA
La palabra “trigonometría” deriva del griego y significa “medida del triángulo”. De hecho
esta rama de la Matemática se desarrolló inicialmente, estudiando las relaciones entre los
ángulos y lados de un triángulo, por ejemplo, las llamadas funciones trigonométricas, las
que pueden ser consideradas como funciones cuyos dominios son ángulos o cuyo dominio
son los números reales, en este último caso se les conoce como funciones circulares.
4.1. ÁNGULOS
Ángulo (lo abreviaremos con el signo  ) es el conjunto de puntos generado por la rotación
de una semirrecta alrededor de su extremo, desde una posición inicial (“lado inicial”) hasta
una final (“lado final”). El extremo de la semirrecta se llama vértice del ángulo.
lado final
vértice
O
lado inicial
Un ángulo es positivo si la rotación es en el sentido contrario a los punteros del reloj; en
caso contrario es negativo.
Las unidades de medida más frecuentes de un ángulo son : grado sexagesimal y radián. En
el sistema sexagesimal el ángulo (completo) obtenido por una rotación completa de la
semirrecta en el sentido positivo, tiene una medida de 360º. Así, un grado (1º) es 1/360 por
la medida de un ángulo completo. Un grado se divide en 60 partes iguales, llamadas
minutos (), y cada minuto se divide en 60 partes iguales, llamadas segundos ().
Para definir los radianes se considera el arco s intersectado por el   sobre una
s
circunferencia unitaria de centro O (O = vértice del  ) y radio r. Se sabe que
es una
r
constante que sólo depende de .
s

r
Definición 4.1.1: Si r = 1, la medida en radianes de  es rad = s. Es decir, la medida en
radianes de un   es la medida del arco que  intercepta sobre la circunferencia unitaria.
Si º es la medida en grados sexagesimales de , se tiene la siguiente relación:
 rad
º


180º
Por ejemplo: 1 radián  57,3º y 1º  0,0175 radianes.
Las equivalencias más usuales son:
º
rad
0º
0
30º
/6
45º
/4
60º
/3
90º
/2
120º
2/3
180º

270º
3/2
360º
2
La medida de un ángulo no se limita a valores comprendidos entre 0º y 360º (0 y 2 en
radianes), si la semirrecta que genera el ángulo rota alrededor de su extremo en más de una
vuelta en el sentido positivo, la medida del ángulo será mayor que 360º (mayor que 2
radianes). Si la rotación es en el sentido de los punteros del reloj, la medida será negativa.
Conclusión: cada número real es la medida en radianes de un ángulo.
Nota: Si t es la medida del arco que subtiende un ángulo del centro  en una circunferencia
t
de radio r, se tiene que la medida en radianes de  es .
r
Ejercicios resueltos:
1.- Convertir a radianes: a) 75º , b) – 450º, c) 45,22º
Solución: a) 75º =
75  5

radianes
180 12
b) – 450º = 
450 
5

radianes
180
2
c) 45,22º  0,251 radianes
2.- Convertir a grados sexagesimales: a) 
Solución: a) 
7
radianes, b) 1,72 radianes.
12
7
7 180
radianes = 
= - 105º
12
12 
b) 1,72 radianes  98,55º = 98º 33
3.- Calcular la medida del arco s que subtiende un ángulo del centro  de 135º en una
circunferencia de radio r = 12 cm.
Solución: rad =

3
3
135 º 
. Luego s = r rad = 12
 28,3 cm.
180 º
4
4
4.- Si el ángulo del centro  subtiende un arco de 4 cm en una circunferencia de diámetro
14 cm, encontrar la medida aproximada de  en radianes y grados.
Solución: rad =
s 4
 radianes
r 7
º =
4 180

 32,74º = 32º 44
7 
5.- Expresar el área de un sector circular en términos del radio y el ángulo comprendido.
Solución: Si r es el radio de la circunferencia
y A,  y s denotan el área, el ángulo y la
longitud del arco del sector circular, de la
geometría sabemos que “las áreas de los
sectores son entre sí como los arcos comprendidos, es decir,
A : r2 = s : 2r  A =
s
r

O
1
2
sr  A = r rad r
 A = 12 r2 rad
6.- El minutero de un reloj mide 12 cm. ¿Qué distancia ha recorrido su extremo al cabo de
20 minutos?
Solución: En 22 minutos, el minutero describe un ángulo  = 120º = 2/3 radianes,
2
luego la distancia recorrida por su extremo es s = r rad = 12
 25,1 cm.
3
7.- Una vía férrea ha de describir un arco de circunferencia. ¿Qué radio hay que utilizar si
la vía tiene que cambiar su dirección en 25º en un recorrido de 120 m?
Solución: Hay que determinar el radio de una circunferencia sabiendo que el arco
subtendido el ángulo del centro  = 25º, mide 120 m.
 = 25º =
5
s
120
864

radianes, por lo tanto, r = rad 
 275 m.
36
(5 / 36)


8.- Una rueda de 4 pies de diámetro gira a razón de 80 r.p.m. Encontrar la distancia que
recorre en un segundo un punto del borde de la rueda.
80  2
8
rad / seg   rad/seg.
60
3
8
Luego, un punto del borde recorre la distancia s = 2
 16,76 pies en un segundo.
3
4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Solución: 80 r.p.m. 
Definición 4.2.1.: Se definen las funciones seno, coseno y tangente como:
1) sen  = y
2) cos  = x
y
3) tan  =
si x  0
x
De inmediato se puede ver que el dominio de las funciones seno y coseno es IR y su
recorrido es [-1, 1]. La función tangente, sin embargo, no está definida cuando x = 0. Por lo

tanto, el dominio de la función tangente es {  IR   
+ n, n  } y su recorrido es
2

sen 
IR. Además tan  =
si  
+ n, n  
2
cos 
Teorema 4.2.1.:    IR y  n   se tiene que:
a) sen ( + 2n) = sen 
b) cos ( + 2n) = cos 
Es decir, las funciones seno y coseno son periódicas de período 2, luego basta conocer los
valores de seno y coseno en el intervalo 0, 2 , para conocer sus valores en IR.
Evidentemente el teorema anterior es válido para la función tangente, con las debidas
restricciones en , pero en este caso se puede enunciar
Teorema 4.2.2.:    IR - {

2
+ m, m  } y  n  , se tiene tan ( + n) = tan .
Es decir, la función tangente es periódica, de período .
Algunos valores de seno, coseno y tangente:

W()
0
(1, 0)
/6
( 23 , 12 )
/4
( , 22 )
/3
( , 23 )
/2
(0, 1)

(-1, 0)
3/2
(0, -1)
seno
0
1
2
2
2
1
0
-1
coseno
1
3
2
2
2
3
2
1
2
0
-1
0
tangente
0
3
3
1
N.D.
0
N.D.
2
2
1
2
3
(N.D. = no definida)
Tomando en cuenta los signos que tienen las coordenadas de un punto, según el cuadrante
en que esté, se puede determinar los signos que tendrán las funciones trigonométricas seno,
coseno y tangente, en los diferentes cuadrantes:
Cuadrante en el que está
sen 
cos 
tan 
I
+
+
+
II
+
-
III
+
IV
+
-
La variación de estas funciones, cuando  varía de 0 a 2, es la que se indica en el siguiente
cuadro:
Cuadrante
I
II
III
IV
(0    /2)
(/2    )
(   3/2)
(3/2    2)
seno
de 0 a 1
de 1 a 0
de 0 a -1
de -1 a 0
Teorema 4.2.3.:
sen (-) = -sen 
cos (-) = cos 
Variación de
coseno
de 1 a 0
de 0 a -1
de -1 a 0
de 0 a 1
tangente
de 0 a 
de - a 0
de 0 a 
de - a 0
   IR
   IR

tan (-) = -tan 

+ n, n  
2
Es decir, las funciones de seno y tangente son impares, mientras que la de coseno es una
función par. También se definen otras funciones trigonométricas: cotangente, secante y
cosecante.
Definición 4.2.2.: Se definen:
x
cot  =
, y0
y
1
sec  =
, x0
x
1
csc  =
, y0
y
cos 
si sen   0
sen 
1
sec  =
si cos   0
cos 
1
csc  =
si sen   0
sen 
Observación: cot  =
Por diferentes razones es conveniente definir las funciones trigonométricas para ángulos:
Sea  un ángulo, cuyas medidas en grados y radianes son º y rad, respectivamente.
Definición 4.2.3: Si f es una función trigonométrica y  es un ángulo se define:
1) f() = f(rad)
2) f(º) = f()
Ejercicios resueltos:
1.- Demostrar que    IR se tiene que: cos2  + sen2  = 1.
Demostración: Como por definición x = cos  e y = sen , elevando al cuadrado se
tiene que
x 2  y 2  (cos )2+ (sen )2 =cos2  + sen2  = 1.
2.- Si el punto Q = (1/3, - 8 /3), calcular las seis funciones trigonométricas en .
8
3
8
cot  = 
8
Solución: sen  = 
cos  =
1
3
tan  =  8
sec  = 3
csc  = 
3 8
8
3.- Si sen  = 12/13 y tan   0, determinar los valores de las funciones trigonométricas
restantes.
Solución:   II cuadrante, entonces cos   0 y como cos2  + sen2  = 1, se tiene que
cos  =  1  sen 2  . Luego
5
12
cos  = 
, tan  = 
13
5
, cot  = 
5
12
, sec  = 
13
5
, csc  =
13
12
4.- Para un determinado   IR ocurre que el punto P se encuentra en el recta que une el
origen O con el punto Q=(a, b). Calcular las funciones trigonométrica en .
Solución:
Por semejanza de los triángulos
OQ’Q y OPP’ se tienen las
proporciones siguientes:
x : a = 1 : OQ , y : b = 1 : OQ
Denotando OQ por r, se tiene:
sen  = y = b/r , cos  = x = a/r ,
tan  = y/x = b/a (si a  0) ,
cot  = a/b (si b  0) , sec  = r/a
(si a  0) , csc  = r/b (si b  0).
Además del triángulo rectángulo OQQ’ se tiene que OQ 2 = OQ' 2 + Q' Q 2 = a2 + b2, es
decir r =
a 2  b2 .
5.- Calcular seno, coseno y tangente en: 7; -8;  212  .
Solución:
a) 7 =  + 2  2 ,  sen (7) = sen  = 0, cos (7) = cos  = -1, tan (7) = tan  = 0
b) -8 = 0 - 2  4 ,  sen(-8) = sen 0 = 0, cos(-8) = cos 0 = 1, tan(-8) = tan 0 = 0
c)
 212 
=
 2  2  5 ,
 sen(  2
cos( 
tan( 
21
21
2
21
2
 ) = sen( 
 ) = cos( 


2 ) = -sen( 2 ) = -1


2 ) = cos( 2 ) = 0
 ) no está definida.
Ejercicios propuestos:
1.- Si cos  = -1/3, calcular las otras funciones trigonométricas y el ángulo  esta en el
cuarto cuadrante.
2.- Un punto P del lado final de un ángulo en posición estándar se encuentra en el segmento
que une (0, 0) y (8, 15). Construya un gráfico y determine la funciones trigonométrica
de:
a)  + /2
b)  + 
c)  + 3/2
d)  - 
e)  - /2,
siendo  la medida del ángulo en cuestión.
3.- Construya un ángulo  en posición estándar, tal que tan  sea igual a :
a) –1
b) 1,5
c) –8,5
De lo anterior, deduzca un método geométrico que le permita probar que para todo
número real m existe un ángulo  tal que tan  = m.
4.- Determinar el dominio y recorrido de las funciones cotangente, secante y cosecante,
Graficar dichas funciones.
5.- Demostrar que  k   se tiene que: a) cos (k) = (-1)k
b) sen ( k) = 0
4.3 TRIGONOMETRÍA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Muchas aplicaciones de la trigonometría están relacionadas con ángulos agudos. Como
todo ángulo agudo puede considerarse como ángulo interior de un triángulo rectángulo, es
conveniente tener definiciones de las funciones trigonométricas de éstos en términos de los
lados del triángulo, independientes de cualquier sistema de coordenadas.
Sean  un ángulo agudo y ABC un triángulo rectángulo en C tal que  BAC = .
Supongamos que colocamos este triángulo en un sistema de coordenadas con  en la
posición estándar
y
Sean a, b, c las longitudes de los lados del
triángulo, por lo tanto, en el sistema de
coordenadas, B es el punto (b, a).
B
c
a

O=A
b
C
x
Luego
a catetoopuesto a 

c
hipotenusa
b catetoadyacentea 
cos  = 
c
hipotenusa
catetoopuestoa 
a
tan  = 
b catetoadyacentea 
sen  =
Consideremos un triángulo ABC rectángulo en C. Sean  =  BAC y  =  ACB,
entonces se tiene:

c
B
a
sen  =
a
= cos 
c
cos  =
b
= sen 
c
tan  =
a
= cot 
b

A
Como  =
b

2
C
  , podemos establecer que para todo ángulo agudo , se cumple:
sen(

2
  ) = cos 
cos(

2
  ) = sen 
tan( 2   ) = cot 
De lo anterior se puede concluir que si se conocen las funciones trigonométrica   con
0    /4, también se conocen   con 0    /2.
Más adelante se demostrará que    IR, las funciones trigonométricas en  pueden
expresarse en términos de ángulos comprendidos entre 0 y /4.
Para resolver algunos de los ejercicios que se presentan a continuación se necesita definir lo
siguiente:
B
Sean 1 y 2 son dos rectas paralelas. Si A  1, B  2,

 y  son los ángulos indicados en la figura, entonces
 es el ángulo de elevación de B con respecto a A
 es el ángulo de depresión de A con respecto a B

A
15.- La mayoría de los aviones llegan al aeropuerto internacional de San Francisco en una
planeación recta de 3º empezando en un punto5.5 millas horizontales del punto de
aterrizaje. Usando una técnica experimental computarizada, llamada acceso en dos
segmentos, un avión alcanza la pista en un planeo recto, empezando en un punto 5.5
millas horizontales del punto de aterrizaje, y luego cambia a un planeo de 3º a 1.5
millas horizontales del punto de aterrizaje. El propósito de este nuevo acceso es por
supuesto es el de reducir el ruido. ¿Cuál es la altura de un avión que utiliza el planeo
experimental cuando cambia al planeo de 3º? Compare la altura de este avión con otro
que utilice el acceso estándar de 3º cuando ambos aviones están a 5.5 millas del punto
de aterrizaje.
4.4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Las identidades trigonométricas son igualdades que se satisfacen para todos los valores de
la(s) variable(s), excepto aquellos para los cuales carezcan de sentido
Teorema 4.4.1.: Se tiene las siguientes identidades básicas:
1) cos2  + sen2  = 1
2) 1 + tan2  = sec2 
3) 1 + cot2  = csc2 
sen 
4) tan  =
cos 
cos 
5) cot  =
sen 
1
6) sec  =
cos 
1
7) csc  =
sen 
   IR


+ k, k  
2
   k, k  


+ k, k  
2
   k, k  


+ k, k  
2
   k, k  
Teorema 4.4.2.:  ,  IR, se cumple que:
8) cos(/2 - ) = sen 
9) sen(/2 - ) = cos 
10) tan(/2 - ) = cot 
   IR
   IR
   k/2, k  
Observación: A las funciones seno y coseno se les llama cofunciones. También, la
tangente y cotangente son cofunciones, así como también la secante y cosecante.

El ejercicio anterior establece que : “Las funciones trigonométrica en ( 2  ) difieren de
sus cofunciones en  a lo más en un signo. Las funciones trigonométricas en
difieren de sus funciones en  a lo más en un signo”.
(   )
1.- Para x.  (2k + 1) /2, k  , demostrar que :
1  tan2 x
= cos (2x)
1  tan2 x
sen 2 x
2
1  tan x
cos2 x  sen 2 x
cos
x
Solución:
=
=
= cos2x – sen2x = cos (2x)
2
2
2
2
sen x
1  tan x
cos x  sen x
1
cos x
2
1
2.- Demostrar que: 1 + 2 sec2x tan2x – sec4x – tan4x = 0
 x  (2k + 1) /2, k  
Solución: El primer miembro se puede factorizar como sigue:
(1 + tan2x)(1 – tan2x) + (2 tan2x – sec2x) sec2x =
sec2x (1 – tan2x) + (2 tan2x – sec2x) sec2x =
sec2x (1 + tan2x – sec2x) = sec2x (sec2x - sec2x) = 0
3.- Calcular: a) cos(3/4)
Solución:
a)
 3 
cos   = cos
 4 
 
   = sen
2 4
2
 
 = 
2
4