LOS NÚMEROS NATURALES Los números naturales son 0, 1, 2, 3

LOS NÚMEROS NATURALES
Los números naturales son 0, 1, 2, 3, 4…..Los podemos distinguir entre:
 Números cardinales: se utilizan para contar los elementos de un
grupo: 1, 2, 3, 4…Por ejemplo: 3 manzanas, 17 botellas, 4 niños…
 Números Ordinales: se utilizan para determinar la posición que
ocupa un elemento dentro de un conjunto: primero, segundo,
tercero, cuarto…
NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN
El sistema de numeración decimal permite escribir cualquier número con
diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.Estos diez símbolos se llaman cifras
o dígitos. En un número, el valor de cada cifra depende de la posición que
ocupa:
 unidades, decenas, centenas, unidades de mil o de millar, decenas
de millar
Características

Es decimal porque diez unidades de un orden forman una
unidad del orden inmediato superior.
10 U = 1 D
10 D = 1C
10C = 1 UM
 Es posicional porque el valor de una cifra depende de su
posición en el número.
MILLARES DE
MILLÓN
MILLONES
MILLARES
CmM DmM UmM Cm Dm Um CM DM UM
UNIDADES
C
D U
Los números los podemos descomponer indicando la suma de sus
diferentes órdenes, o bien, la suma del valor posicional de sus cifras.
21403.745 = 2 Um + 4 CM + 0 DM + 3 UM + 7 C + 4 D + 5 U
21403.745 = 21000.000 + 400.000 + 3.000 + 700 + 40 + 5
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS:
Para leer o escribir con palabras un número se empieza por la izquierda
leyendo o escribiendo:
- El grupo de los millones.
- El grupo de los millares.
- El grupo de las unidades.
Si algún grupo tiene ceros no se nombra.
 231204.329 = Veintitrés millones doscientos cuatro mil
trescientos veintinueve.
 41000.207 = Cuatro millones doscientos siete.
 47.002.000 =Cuarenta y siete millones dos mil.
COMPARACIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS:
Para ordenar números nos fijamos:
 Número de cifras: Mayor el que más cifras tiene.
 15.312
 5.980
 117.920
5 cifras
4 cifras
6 cifras
El mayor será 117.920 que posee 6 cifras y el menor 5.980 que posee 4
cifras.
 Valor de cada cifra; Si los números poseen el mismo número de
cifras empezando por la izquierda vamos comparando cifra a cifra.
 Los números 24.243 y 26.115 tienen el mismo número
de cifras, así que empezaremos a comparar los valores
de sus cifras empezando por la izquierda. Vemos que la
cifra de las decenas de mil la misma, 2, así que
comparamos la siguiente cifra, las unidades de mil, que
en el primer número es 4 y en el segundo es 6. Por lo
tanto el número mayor es el segundo, el 26.115
Para comparar utilizamos los símbolos:
> Mayor que
< Menor que
= Igual que
Ejemplo:
117.920 > 15.312 > 5.980 (Ordenados de mayor a menor)
5.980 < 15.312 < 117.920 (Ordenados de menor a mayor)
REDONDEO: Redondear un número es cambiarlo por otro más
sencillo. Tenemos en cuenta que:
 Si el número acaba en 0, 1, 2, 3, 4 se deja igual.
 Si el número acaba en 5, 6, 7, 8, 9 se suma uno.
Redondeo al
millar
Redondeo a la
centena
Redondeo a la
decena
3.827
4.000
3.800
3.830
7.404
7.000
7.400
7.400
6.545
7.000
6.500
6.550
OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES:
Suma
Los números que se suman se llaman sumandos. Un paréntesis indica la
suma que se realiza primero.
La suma de números naturales tiene las siguientes propiedades:
• Conmutativa: La alteración del orden de los sumandos no
altera la suma.
a+b=b+a
• Asociativa: Se pueden asociar de cualquier modo los
sumandos sin alterar la suma.
a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
Resta
Los números que intervienen en una resta se llaman minuendo,
sustraendo y diferencia:
Minuendo−Sustraendo=Diferencia
Multiplicación
La multiplicación de un número a, mayor que 1, por otro b es la suma de a
sumandos iguales al número b.
Se expresa axb o a·b; a y b se llaman factores.
Propiedades
• Conmutativa: a·b=b·a
• Asociativa: (a·b)·c=a·(b·c)=a·b·c
División
La división es la operación contraria a la multiplicación y se expresa a:b ó
a/b.
a:b=c significa que a=b·c;
Términos: a es el dividendo, b el divisor y c el cociente.
Muchas veces la división no es exacta. Por ejemplo, 45:8 no es una
división exacta porque 8·5=40 y 8·6=48; entonces 45 entre 8 tiene de
cociente 5 y de resto 45−40=5.
OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES: REGLAS DE PRIORIDADES
a) Si en una expresión matemática hay sumas (restas) y multiplicaciones
(divisiones), primero hay que resolver las multiplicaciones (divisiones) y
luego las sumas (restas).
Ejemplo 1: 3 + 7 x 8
1º Resolvemos la multiplicación: 7 x 8 = 56.
2º Luego la suma: 3 + 56 = 59
Ejemplo 2: 9 – 6: 2
1º Resolvemos la división: 6: 2 = 3
2º Luego la resta: 9 – 3 = 6
b) Si hay multiplicaciones y divisiones se comienza a resolver empezando
por la izquierda. Igualmente, si hay sumas y restas se comienza a resolver
empezando por la izquierda.
Ejemplo 3: 3 x 7 x 8
1º Empezamos por la izquierda, resolviendo la primera
multiplicación:
3 x 7 = 21
2º Luego la segunda: 21 x 8 = 168
Ejemplo 4: 9 – 6 + 2
1º Empezamos por la izquierda, resolviendo la resta: 9 - 6 = 3
2º Luego la suma: 3 + 2 = 5
c) Si en la expresión matemática hay paréntesis hay que comenzar
resolviendo los paréntesis. Si dentro de los paréntesis hay sumas (restas) y
multiplicaciones (divisiones), aplicamos el orden señalado anteriormente.
Ejemplo 5:
(5 + 3) x 4 = (8) x 4 = 32
(9 - 3) + (4 x 3) = (6) + (12) = 18
(5 - 3) x (7 - 4): 3 = (2) x (3) : 3 = 2
d) Si dentro de los paréntesis hay otros paréntesis, hay que comenzar
resolviendo los paréntesis interiores.
Ejemplo 6:((15 – 3) x 4) – 1 x ((5 + 3) x 4) =
((12) x 4) – 1 x ((8) x 4) =
(48) – 1 x (32) = 48 – 32 = 16
POTENCIAS
POTENCIA DE UN NÚMERO NATURAL
Si se desea multiplicar un número por sí mismo varias veces se
puede indicar el producto factor a factor, si son pocos factores esto se
puede hacer sin mucha dificultad.
Por ejemplo 2·2·2, si se multiplica por sí mismo 2 tres veces.
Esta forma de expresar este tipo de operaciones es tediosa y poco
práctica. Una notación más simple y práctica para expresar el producto de
un número por sí mismo varias veces es la notación en forma de potencia.
Una potencia consta de dos partes, por un lado está la base que es
el número que se multiplica por sí mismo y por otro el exponente que nos
indica el número de veces que se multiplica el número.
Ejemplo:
2.2.2=23
15.15.15.15=154
3.3=32
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados.
Las potencias de exponente 3 se llaman cubos.
POTENCIA DE BASE NEGATIVA
 Si la BASE es NEGATIVA y el Exponente es PAR, el resultado
es POSITIVO.
Ejemplo:
(-3)2= (-3). (-3)=9
 Si la BASE es NEGATIVA y el Exponente es IMPAR, el
resultado es NEGATIVO.
Ejemplo:
(-3)5= (-3). (-3). (-3). (-3). (-3)=-243
POTENCIAS DE BASE 10
Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
indica el exponente, es decir si exponente es 4, se pondrá la unidad
seguida de 4 CEROS.
PRODUCTO DE POTENCIAS
Antes de operar con las potencias hay que saber que:
1. Producto de potencias con la misma base
Si multiplicamos dos o más potencias con la misma base el
resultado del producto es otra potencia de igual base y de
exponente la suma de los exponentes.
2. Producto de potencias con el mismo exponente
Si multiplicamos dos o más potencias con el mismo exponente
multiplicamos las bases y dejamos el exponente
3. División de potencias MISMA BASE
Para dividir dos potencias con la misma base se deja esa base y se
restan los exponentes.
am: an =a m-n
312: 37= 3 12-7= 35
25-2 = 25-1 =24
4. División de potencias MISMO EXPONENTE
Para dividir dos potencias con el mismo exponente se realiza la
división de las bases y se deja el mismo exponente.
am: bn =(a:b)n
162: 42= (16:4) 2= 42
5.
(ap)q=ap.q
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia es igual a otra potencia que tiene por
base la que había y por exponente el producto de los exponentes,
ya que:
2   2  2  2   2
2 3
2
2
2
2
 22  22  22  2  2  26  223
 De otro modo:
2 
2 3
 4 3  4  4  4  22  22  22  22  2  2  26
 Al igual que en los apartados anteriores, las
propiedades son de ida y vuelta, así:
   2   2   2  , adoptaremos la notación
218  26
3
2 9
9 2
3 6
que más convenga a nuestros propósitos de cálculo.
EJERCICIOS
1 Busca
el
término
desconocido
e
indica
su
no mbre
en
las
siguientes operaciones:
1
327 + ....... = 1.208
2
....... − 4.121 = 626
3
321 · ....... = 32 100
4
28.035 : ....... = 623
2 Calcular de dos modos distintos las siguientes operaciones:
1
17 · 38 + 17 · 12 =
2
6 · 59 + 4 · 59 =
3
(6 + 12) : 3=
3 Realiza
las
siguientes operaciones
combinadas teniendo
prioridad:
1
27 + 3 · 5 − 16 =
2
27 + 3 − 45 : 5 + 16 =
3
(2 · 4 + 12) (6 − 4) =
4
3 · 9 + (6 + 5 − 3) − 12 : 4 =
5
2 + 5 · (2 · 3) 3 =
6
440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
7
2 { 4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
4 Subraya la cifra que te indican en los siguientes números:
a. Centenas en 126346
b. Decenas de millar en 33848590040
c. Unidades de millar de millón en 734623783774
5 Escribe con palabras los siguientes números:
en
cuenta
su
a. 90917
b. 1200219
c. 29073000116
d. 10023456789
5 Aproxima mediante redondeo:
a. 55344 a las centenas
b. 29999999 a las decenas de millar
c. 734545454847 a las unidades de millar de millón
PROBLEMAS
El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el
dividendo?
El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. ¿Cuál
es el resto?
Pedro compró una finca por 643 750€ y la vendió ganando 75 250 €. ¿Por
cuánto lo vendió?
Con el dinero que tengo y 247 € más, podría pagar una deuda de 525 € y me
sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo?
Se compran 1600 Kg de boquerones, a razón de 4 €/Kg. Si los portes cuestan
400 € y se desea ganar con la venta 1200 €. ¿A cuánto debe venderse el
kilogramo de boquerones?
SOLUCIONES
Busca
el
término
desconocido
e
indica
su
nombre
operaciones:
1
327 + ....... = 1.208
Solución:
1.208 − 327 = 881
2
Sumando
....... – 4.121 = 626
Solución:
4.121 + 626 = 4747
3
Minuendo
321 · ....... = 32 100
Solución:
32 100 : 321 = 100
4
Factor
28.035 : ....... = 623
Solución:
28 035 : 623 = 45
Divisor
Calcular de dos modos distintos la siguiente s operaciones:
1
17 · 38 + 17 · 12 =
Solución:
17 · 38 + 17 · 12 = 646 + 204 = 850
17 · 38 + 17 · 12 = 17 (38 + 12) = 17 · 50 = 850
2
6 · 59 + 4 · 59 =
Solución:
en
las
siguientes
6 · 59 + 4 · 59 = 354 + 236 = 590
6 · 59 + 4 · 59 = 59 (6 + 4) = 59 · 10 = 590
3
(6 + 12) : 3
Solución:
(6 + 12) : 3 = 18 : 3 = 6
(6 + 12) : 3 = (6 : 3) + (12 : 3) = 2 + 4 = 6
Realiza
las
siguientes operaciones
combinadas teniendo
en
cuenta
su
prioridad:
Soluciones:
1
27 + 3 · 5 − 16 = 27 + 15 − 1 6 = 26
2
27 + 3 – 45 : 5 + 16 = 27 + 3 – 9 + 16 = 37
3
(2 · 4 + 12) (6 − 4) = (8 + 12) (2) = 20 · 2 = 40
4
3 · 9 + (6 + 5 − 3) − 12 : 4 = 27 + 8 – 3 = 32
5
2 + 5 · (2 · 3) 3 = 2 + 5 · (6) 3 =
= 2 + 5 · 216 = 2 + 1080 = 1082
6
440 − [30 + 6 (19 − 12)] = 440 − (30 + 6 · 7)] =
440 − (30 + 42) = 440 − (72) = 368
7
=
2 { 4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
2[4
(7
+
4
·
6)
−
3
(32)]
=
2[4
(7
+
24)
−
3
(32)]
= 2[4 (31) − 3 (32)]= 2 (124 − 96)= 2 (28)= 56
El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el
dividendo?
=
504 · 605 = 304 920
El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321.
¿Cuál es el resto?
321 − 21 · 15 = 321 − 315 = 6
Pedro compró una finca por 643 750€ y la vendió ganando 75 250 €. ¿Por
cuánto lo vendió?
643 750 + 75 250 = 719 000 €
Con el dinero que tengo y 247 € más, podría pagar una deuda de 525 € y me
sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo?
525 + 37 = 562 €
562 − 247 = 315 €
Se compran 1600 Kg de boquerones, a razón de 4 €/Kg. Si los portes c uestan
400 € y se desea ganar con la venta 1200 €. ¿A cuánto debe venderse el
kilogramo de boquerones?
1 600 · 4 = 6 400
6 400 + 400 + 1 200 = 8 000
8 000 : 1 600 = 5 €
Subraya la cifra que te indican en los siguientes números:
a. Centenas en 126346
b. Decenas de millar en 33848590040
c. Unidades de millar de millón en 734623783774
Solución
a. 126346
b. 33848590040
c. 734623783774
2. Escribe con palabras los siguientes números:
a. 90917
b. 1200219
c. 29073000116
d. 10023456789
Solución
a. Nove nta mil novecientos diecisiete.
b. Un millón doscientos mil doscientos diecinueve.
c. Veintinueve mil setenta y tres millones ciento dieciséis.
d. Diez mil veintitrés millones cuatrocientos cincuenta y seis mil setecientos
ochenta y nueve.
Aproxima mediante redondeo:
a. 55344 a las centenas
b. 29999999 a las decenas de millar
c. 734545454847 a la s unidades de millar de millón
Solución
a. 55300
b. 30000000
c. 735000000000