Pentágono regular.

• EL PENTÁGONO REGULAR
Un pentágono regular es aquél que tiene todos sus lados iguales y sus
ángulos internos congruentes. Cada ángulo interno mide 108 grados ó 3π / 5
radianes. Así, por ejemplo (véase la figura), el ángulo BCD mide 108°. La suma
de los ángulos internos de un pentágono regular es de 540° ó 3π radianes.
Como los segmentos DE, EA, y AB son iguales, los arcos que ellos determinan
en la circunferencia circunscrita son iguales. Esto implica que los tres ángulos
DCE, ECA y ACB son iguales. Como la suma de ellos es 108°, cada uno de
ellos mide 36°.
Cada ángulo externo del pentágono regular mide 72º ó 2π / 5 rad.
Área
El área de un pentágono cesil y regular de lado a se puede obtener de la
siguiente fórmula:
De forma general si tenemos que el radio de la circunferencia circunscrita es ru
o también:
Perímetro
Siempre que supongamos que el pentágono tiene lado a:
ó también:
Para obtener el perímetro P de un pentágono regular, multiplíquese la longitud t
de uno de sus lados por cinco (el número de lados n del polígono).
Fórmula para calcular los ángulos interiores
La suma de todos los ángulos interiores de un pentágono es 540°.
La fórmula general para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier
polígono regular (en el caso del pentágono n = 5) es:
El ángulo comprendido entre dos lados de un pentágono regular se puede
calcular mediante la siguiente fórmula (en el pentágono, n = 5):
Construcción de un pentágono regular
Podemos construir con regla y compás un pentágono regular, inscrito en una
circunferencia (véase la figura) de la siguiente manera:
Trazamos dos rectas perpendiculares por el centro O de la circunferencia (PD y
OQ en la figura). Determinamos el punto medio M del segmento OQ y trazamos
la recta PM. Con centro en M, trazamos la circunferencia de radio MO.
Denotemos con R y S las intersecciones de esta circunferencia con la recta
PM. Las circunferencias de centro en P y radios PR y PS determinan los
vértices del pentágono regular.
Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5
puntas) inscrito en él. En el centro quedará otro pentágono regular, con lo que
el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan
generando, matemáticamente, no tiene fin.
Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la
razón áurea entre las longitudes de los segmentos resultantes. Para calcular el
área de un polígono se necesita A=B X A.
• LA SECCIÓN AÚREA
Este cociente o razón se Llama La razón áurea. El número que resulta F =
1,61803398875... se llama número áureo o número de oro. (A F también se
le representa por La Letra griega "fi")
La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y
extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como
este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños
con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta
proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama
proporción áurea.
Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada
anteriormente
Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que
tendremos que resolver
Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=
.
Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el
segmento mayor entre el menor,
Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el
número de oro.